SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH THUẬN KÌ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 – 2019 Ngày thi: 18/10/2018 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề có 01 trang) Bài (6,0 điểm) a) Cho x y số thực thỏa mãn x − xy + y P= x + xy + y nhỏ biểu thức x ≥ y > Tìm giá trị lớn giá trị m b) Tìm tất giá trị thực tham số để đồ thị hàm số y = x3 − 3x − 3mx + m có hai điểm cực trị nằm khác phía trục hồnh Bài (5,0 điểm) a) Tìm số hạng tổng quát dãy số v1 = ( ) b) Cho dãy số thỏa mãn vn+1 ≥ , ∀n ∈¥ * ( un ) biết u1 = un+1 = 2un + 5, ∀n ∈¥ * 2vn , vn+1 = + 2018v , * n ∀n ∈¥ 2018 Chứng minh Bài (4,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 xy ( x + y − 1) = x + y 2 2 x y y + − x + = x y − x BE , CF AB < AC nhọn có hai đường cao cắt ( O1 ) , ( O2 ) H A Các đường tròn qua theo thứ tự tiếp xúc với ( O1 ) ( O2 ) B, C BC D Gọi giao điểm thứ hai Bài (5,0 điểm) Cho tam giác ABC a) Chứng minh đường thẳng AD b) Chứng minh ba đường thẳng qua trung điểm cạnh EF , BC , HD đồng quy HẾT - BC; Học sinh không sử dụng máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM Bài a Nội dung P= Ta có t2 − t +1 , t2 + t +1 t= với t − t +1 f (t ) = t + t +1 x ≥ y 2 Xét hàm số 0,5 t≥ với 0,5 f ′(t ) = ⇔ t = 2t − f ′(t) = , t ≥ (t + t + 1) Tính Bảng biến thiên Suy giá trị nhỏ b P 0,5 0,5 0,25 y' = ⇔ Yêu cầu tốn Phương trình có hai nghiệm phân biệt y ( x1 ) y ( x2 ) < x1 , x2 thỏa mãn y′ = ⇔ 1+ m > Phương trình có hai nghiệm phân biệt (*) Khi đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) x 1 y = − ÷ y ′ − ( m + 1) x 3 Do 1,0 , khơng có giá trị lớn D=¡ Tập xác định y ' = x − x − 3m Ta có Điểm 6,0 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 y1 = y ( x1 ) = −2 ( m + 1) x1 y2 = y ( x2 ) = −2 ( m + 1) x2 y ( x1 ) y ( x2 ) < ⇔ ( m + 1) x1.x2 < ⇔ x1.x2 < ⇔ −m < ⇔ m > Kết hợp với điều kiện (*) ta có a thỏa mãn tốn un +1 = 2un + ⇔ un +1 + = ( un + ) ta có wn = un + 5, ∀n ∈ ¥ * ∀n ∈ ¥ , * Đặt m>0 wn +1 = 2wn , ∀n ∈ ¥ * Khi 5,0 0,5 0,5 0,5 0,5 Do ( wn ) w1 = u1 + = 7, cấp số nhân có wn = w1.q n −1 = 7.2n−1 , ∀n ∈ ¥ * cơng bội q = 0,5 Suy un = 7.2n −1 − 5, ∀n ∈ ¥ * Vậy b 0,5 > 0, ∀n ∈ ¥ * Chứng minh 2vn 2vn +1 = ≤ = , ∀n ∈ ¥ * + 2108vn 2018.vn 2018 Khi (1) * ∀n ∈ ¥ , Mặt khác, ta có 2vn − 2018vn3 ( − 2018vn ) +1 − = − = = ≥0 + 2018vn2 + 2018vn2 + 2018vn2 xy ( x + y − 1) = x + y 2 2 x y y + − x + = x y − x Điều kiện Ta có y ≠ (1) (2) 1,0 1,0 4,0 xy ≥ 0,25 x + − x > 0, ∀x ∈ ¡ nên y=0 không thỏa mãn (2) Do x=0 Suy khơng thỏa mãn (1) x, y x, y Nếu âm (1) vơ lí Do dương (2) ⇔ x + − x = y y + − x Suy 1 ⇔ +1 − = y y2 +1 − y x x x (3) ( 0; +∞ ) f (t ) = t t + − t Xét hàm số khoảng t f ′(t ) = t + + − > 0, ∀t > t2 +1 Ta có ( 0; +∞ ) f (t ) Suy đồng biến 1 (3) ⇔ f ÷ = f ( y ) ⇔ = y ⇔ xy = x x Do xy = Thay vào phương trình (1) ta 2 ( x + y − 1) = x + y ⇔ ( x − 1) + ( y − 1) = ⇔ x = y = ( ) ( ) 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm a Gọi I Ta có Suy ( x; y ) = ( 1;1) BC AD giao điểm IB = IA.ID = IC IB = IC 5,0 0,25 0,75 0,25 0,25 BC I AD Do trung điểm Hay đường thẳng qua trung BC I điểm b A E F H D I B C · · BHDC BHC = BDC Chứng minh Suy tứ giác nội tiếp AFHD Chứng minh nội tiếp EF , BC , HD Chứng minh đồng qui K 1,0 1,0 1,5 ... Khi (1) * ∀n ∈ ¥ , Mặt khác, ta có 2vn − 2018vn3 ( − 2018vn ) +1 − = − = = ≥0 + 2018vn2 + 2018vn2 + 2018vn2 xy ( x + y − 1) = x + y 2 2 x y y + − x + = x y − x Điều kiện Ta có y ≠ (1) (2)... biến 1 (3) ⇔ f ÷ = f ( y ) ⇔ = y ⇔ xy = x x Do xy = Thay vào phương trình (1) ta 2 ( x + y − 1) = x + y ⇔ ( x − 1) + ( y − 1) = ⇔ x = y = ( ) ( ) 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 Vậy... = 7, cấp số nhân có wn = w1.q n −1 = 7.2n−1 , ∀n ∈ ¥ * công bội q = 0,5 Suy un = 7.2n −1 − 5, ∀n ∈ ¥ * Vậy b 0,5 > 0, ∀n ∈ ¥ * Chứng minh 2vn 2vn +1 = ≤ = , ∀n ∈ ¥ * + 2108vn 2018. vn 2018