Đề thi chọn HSG toán 12 chuyên năm học 2018 – 2019 sở GDĐT đồng nai

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC: 2018 – 2019 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn: TỐN CHUN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm có trang, có năm bài) Bài (5 điểm) 1) Chứng minh phương trình  x  x  x  có ba nghiệm thực phân biệt x1 , x2 , x3 Tính giá trị biểu thức T   x13  x12    x23  x22    x33  x32   3 2) Cho hai hàm số y  x  x  x  1, y  x  x  mx  có đồ thị  C1  ,  C2  với m tham số thực Tìm tất giá trị m để  C1   C2  cắt ba điểm phân biệt có tung độ y1 , y2 , y3 thỏa mãn 1    y1  y2  y3  Bài (3 điểm) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a  b  c  abc Chứng minh a  b  c  abc Bài x (4 điểm) Cho dãy số  n  xác định x1  x2  xn xn  xn1  3. 1 1) Chứng minh số hạng dãy lim 2) Tính  xn  n 1 số nguyên xn1 x1  x2   xn Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có trực tâm H, K trung điểm BC G hình chiếu vng góc H AK Lấy D đối xứng G qua BC · · I đối xứng C qua D Tia phân giác ACB cắt AB F tia phân giác BID cắt BD M, MF cắt AC E 1) Chứng minh D nằm đường tròn (O) 2) Tiếp tuyến A (O) cắt BC X, XE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác EBM điểm thứ hai Y Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác EYD tiếp xúc đường tròn (O) 3 Bài (4 điểm) Cho m, n số tự nhiên thỏa mãn 4m  m  12n  n Chứng minh m  n lập phương số nguyên -HẾT - Họ & tên thí sinh: …………………………………… Số báo danh: …………… Chú ý Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay!