Bài giảng Đại số: Phần 2 - TS. Nguyễn Bằng Giang

Bài giảng Đại số: Phần 2 Không gian tuyến tính và Ánh xạ tuyến tính, cung cấp cho người học những kiến thức như: Không gian tuyến tính; Cơ sở và chiều của không gian tuyến tính; Tọa độ của véc tơ và phép đổi cơ sở; Ánh xạ tuyến tính; Trị riêng và véc tơ riêng của phép biến đổi tuyến tính - Vấn đề chéo hóa ma trận. Mời các bạn cùng tham khảo!

Phần II Khơng gian tuyến tính Ánh xạ tuyến tính TS Nguyễn Bằng Giang BM TỐN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 81 / 273 Nội dung chương Khơng gian tuyến tính Cơ sở chiều khơng gian tuyến tính Tọa độ véc tơ phép đổi sở Ánh xạ tuyến tính Trị riêng véc tơ riêng phép biến đổi tuyến tính - Vấn đề chéo hóa ma trận TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 82 / 273 Khơng gian tuyến tính Tiết Khơng gian tuyến tính TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 83 / 273 Khơng gian tuyến tính Khái niệm khơng gian tuyến tính Khơng gian tuyến tính Khái niệm khơng gian tuyến tính Khơng gian TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 84 / 273 Khơng gian tuyến tính Khái niệm khơng gian tuyến tính Mục Khái niệm khơng gian tuyến tính TS Nguyễn Bằng Giang BM TỐN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 84 / 273 Không gian tuyến tính Khái niệm khơng gian tuyến tính Khơng gian tuyến tính Định nghĩa Cho V = ∅ K trường số thực phức V gọi khơng gian tuyến tính trường K V xác định hai phép toán a) Phép cộng hai phần tử thuộc V , x + y thỏa mãn • • • • • x + y ∈ V ∀ x, y ∈ V x + y = y + x với ∀ x, y ∈ V (x + y) + z = x + (y + z) với ∀ x, y, z ∈ V Tồn ∈ V : x + = + x = x với ∀ x ∈ V ∀x ∈ V , ∃(−x) ∈ V : x + (−x) = b) Phép nhân phần tử K với phần tử V , αx thỏa mãn • • • • • αx ∈ V ∀α ∈ K , ∀x ∈ V (αβ)x = α(βx) ∀α, β ∈ K , ∀x ∈ V (α + β)x = αx + βx ∀α, β ∈ K , ∀x ∈ V α(x + y) = αx + αy ∀α ∈ K , ∀x, y ∈ V · x = x, ∀x ∈ V , với phần tử đơn vị K TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 85 / 273 Khơng gian tuyến tính Khái niệm khơng gian tuyến tính Khơng gian tuyến tính (tiếp ) V khơng gian tuyến tính trường K , x ∈ V thường gọi véc tơ Phần tử ∈ V gọi véc tơ không Phần tử (−x) ∈ V gọi phần tử đối hay véc tơ đối véc tơ x K ≡ R, V gọi không gian tuyến tính thực K ≡ C, V gọi khơng gian tuyến tính phức Trong nội dung giảng, làm việc với K ≡ R TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 86 / 273 Khơng gian tuyến tính Khái niệm khơng gian tuyến tính Ví dụ khơng gian véc tơ Khơng gian véc tơ hình học Khơng gian Rn Khơng gian ma trận cỡ m × n: Mm×n Khơng gian đa thức bậc khơng q n Pn [x] = p(x) = a0 + ax + a2 x + · · · + an x n TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 87 / 273 Khơng gian tuyến tính Khái niệm khơng gian tuyến tính Tính chất không gian véc tơ Giả sử V không gian véc tơ trường số thực R, Véc tơ Với véc tơ x ∈ V , tồn véc tơ đối (−x) ∈ V α · = với α ∈ R · x = với x ∈ V (−1) · x = (−x) với x ∈ V TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 88 / 273 Khơng gian tuyến tính Khơng gian Mục Không gian TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 89 / 273 Trị riêng véc tơ riêng - Chéo hóa ma trận Trị riêng véc tơ riêng Trị riêng véc tơ riêng phép biến đổi tuyến tính - Vấn đề chéo hóa ma trận Trị riêng véc tơ riêng phép biến đổi tuyến tính Vấn đề chéo hóa ma trận Chéo hóa ma trận TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 154 / 273 Trị riêng véc tơ riêng - Chéo hóa ma trận Trị riêng véc tơ riêng Mục Trị riêng véc tơ riêng phép biến đổi tuyến tính TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 154 / 273 Trị riêng véc tơ riêng - Chéo hóa ma trận Trị riêng véc tơ riêng Định nghĩa Định nghĩa (Trị riêng véc tơ riêng) Cho f phép biến đổi tuyến tính kgvt V Số thực λ gọi giá trị riêng f tồn v = cho f (v) = λv Khi đó, véc tơ v gọi véc tơ riêng f ứng với giá trị riêng λ Ví dụ Mọi x = véc tơ riêng ứng với trị riêng λ = ax O Mọi x = véc tơ riêng ứng với trị riêng λ = ax idV Mọi x = véc tơ riêng ứng với trị riêng α phép vị tự f (u) = αu Giả sử λ giá trị riêng f kg V , Vλ = {u ∈ V |f (u) = λu} kg V , ta gọi kg riêng ứng với trị riêng λ TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 155 / 273 Trị riêng véc tơ riêng - Chéo hóa ma trận Trị riêng véc tơ riêng Đa thức đặc trưng Định nghĩa Cho phép biến đổi tuyến tính f : V → V kg n chiều V Khi P(λ) = det(f − λidV ) đa thức bặc n gọi đa thức đặc trưng f Định lý α giá trị riêng phép biến đổi tt f α nghiệm đa thức đặc trưng f TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 156 / 273 Trị riêng véc tơ riêng - Chéo hóa ma trận Trị riêng véc tơ riêng Trị riêng véc-tơ riêng ma trận Định nghĩa (Trị riêng véc tơ riêng ma trận) Cho A ∈ Mn×n , λ gọi giá trị riêng A tồn x ∈ Rn , ; x = cho Ax = λx Véc tơ x gọi véc tơ riêng A ứng với trị riêng λ Từ đk: Ax = λx ⇒ (A − λI)x = Để phương trình có nghiệm khơng tầm thường det((A − λI)) = (*) (*) gọi phương trình đặc trưng Ví dụ: Tìm trị riêng, véc-tơ riêng ma trận: TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC −2 −2 ĐẠI SỐ - 2020 157 / 273 Trị riêng véc tơ riêng - Chéo hóa ma trận Trị riêng véc tơ riêng Phương pháp tìm trị riêng véc tơ riêng phép biến đổi tt Tìm ma trận A f sở E (cơ sở tắc) Giải phương trình đặc trưng P(λ) = det(A − λI) = hay a11 − λ a12 a21 a22 − λ ··· ··· an1 an2 ··· a1n ··· a2n =0 ··· ··· · · · ann − λ Với giá trị riêng λ tìm được, tọa độ (x1 , x2 , , xn ) véc tơ riêng u sở E nghiệm không tầm thường hệ (A − λI)[x] = TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 158 / 273 Trị riêng véc tơ riêng - Chéo hóa ma trận Trị riêng véc tơ riêng Ví dụ Tìm trị riêng véc tơ riêng phép biến đổi tuyến tính f : R2 → R2 (x, y) → (x + y, −2x + 4y) f : P2 [x] → P2 [x] a + bx + cx → (3a − 2b) + (−2a + 3b)x + 5cx TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 159 / 273 Trị riêng véc tơ riêng - Chéo hóa ma trận Vấn đề chéo hóa ma trận Mục Vấn đề chéo hóa ma trận TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 160 / 273 Trị riêng véc tơ riêng - Chéo hóa ma trận Vấn đề chéo hóa ma trận Hệ véc tơ riêng đltt Định lý Các véc tơ riêng ứng với giá trị riêng đôi khác lập thành hệ đltt Chứng minh Giả sử ta có k véc tơ riêng S = {v , v , , v k } ứng với giá trị riêng λ1 , λ2 , , λk Giả sử thêm r(S) = r Ta cm r = k Thật vậy, giả sử r < k, hệ {v , v , , v r , v r +1 } pttt Do v r +1 = α1 v + α2 v + · · · αr v r ⇒ f (v r +1 ) = f (α1 v + α2 v + · · · αr v r ) ⇔ λr +1 v r +1 = α1 λ1 v + α2 λ2 v + · · · αr λr v r ⇔ α1 (λ1 − λr +1 )v + α2 (λ2 − λr +1 )v + · · · αr (λr − λr +1 )v r = Do {v , v , , v r } đltt λi = λj (i = j) nên αi = ∀i = 1, r ⇒ v r +1 = vô lý Vậy r = k TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 161 / 273 Trị riêng véc tơ riêng - Chéo hóa ma trận Vấn đề chéo hóa ma trận Ma trận phép bđtt sở gồm VT riêng Giả sử f : V → V phép biến đổi tuyến tính có véc tơ riêng {e , e , e n } ứng với giá trị riêng λ1 , λ2 , , λn f (e i ) = λi e i Giả sử E = {e , e , e n } lập thành sở V Khi đó, ma trận f sở E có dạng chéo   λ1 · · ·  λ2 · · ·    Λ=  · · · · · · · · · TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ · · · λn - 2020 162 / 273 Trị riêng véc tơ riêng - Chéo hóa ma trận Chéo hóa ma trận Mục Chéo hóa ma trận TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 163 / 273 Trị riêng véc tơ riêng - Chéo hóa ma trận Chéo hóa ma trận Các khái niệm Định nghĩa (Ma trận chéo hóa được) Ma trận vng A gọi chéo hóa tồn ma trận khả nghịch P cho P −1 AP có dạng chéo A đồng dạng với ma trận chéo Định lý Điều kiện cần đủ để ma trận A - vng cấp n chéo hóa có đủ n véc tơ riêng độc lập tuyến tính Hệ Nếu An×n có đủ n giá trị riêng đơi khác A chéo hóa TS Nguyễn Bằng Giang BM TỐN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 164 / 273 Trị riêng véc tơ riêng - Chéo hóa ma trận Chéo hóa ma trận Quy trình chéo hóa ma trận B Giải phương trình đặc trưng det(A − λI) = để tìm giá trị riêng sau với λ tìm tìm nghiệm khơng tầm thường hệ (A − λI)x = để tìm n véc tơ riêng P1 , P2 , , Pn đltt B Lập ma trận có cột véc tơ riêng Pj    P=  P11 · · · P1j P21 · · · P2j Pn1 · · · Pnj · · · P1n · · · P2n · · · Pnn      B Khi ma trận P chéo hóa ma trận A ma trận chéo P −1 AP = diag(λ1 , λ2 , , λn ) TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 165 / 273 Trị riêng véc tơ riêng - Chéo hóa ma trận Chéo hóa ma trận Ví dụ Chéo hóa ma trận   −2 −2 A =  −3  1 Trị riêng: λ1 = −1, λ2 = 0, λ3 = −3 Các véc tơ riêng: T P1 = −2 , P2  −2 ⇒P= −1 T T = − , P3 =    −1 −1 1 ⇒ P −1 = −1 −2 0       −1 −1 −2 −2 −1 0 P −1 AP = −1 −2  −3  0 1 =  0  1 1 −1 0 −3 TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 166 / 273 Phần III Không gian Euclid TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 167 / 273 ... tính - Vấn đề chéo hóa ma trận TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 20 20 82 / 27 3 Khơng gian tuyến tính Tiết Khơng gian tuyến tính TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 20 20 83 / 27 3... (−x) với x ∈ V TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 20 20 88 / 27 3 Không gian tuyến tính Khơng gian Mục Khơng gian TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 20 20 89 / 27 3 Khơng gian tuyến... TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 20 20 84 / 27 3 Khơng gian tuyến tính Khái niệm khơng gian tuyến tính Mục Khái niệm khơng gian tuyến tính TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 20 20