Bài giảng đại số phần 3 ts nguyễn bằng giang 1

Phần III Không gian Euclid TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 167 / 273 Nội dung chương Không gian Euclid Dạng song tuyến tính dạng tồn phương Đường mặt bậc hai TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 168 / 273 Không gian Euclid Tiết Không gian Euclid TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 169 / 273 Khơng gian Euclid Định nghĩa tích vơ hướng khơng gian Euclid Khơng gian Euclid Định nghĩa tích vô hướng không gian Euclid Phép biến đổi khơng gian Euclid Phép biến đổi đối xứng Chéo hóa trực giao TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 170 / 273 Không gian Euclid Định nghĩa tích vơ hướng khơng gian Euclid Mục Định nghĩa tích vơ hướng khơng gian Euclid TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 170 / 273 Không gian Euclid Định nghĩa tích vơ hướng khơng gian Euclid Tích vơ hướng Định nghĩa Cho E không gian véc tơ thực Ánh xạ E → R gọi tích vơ hướng, kí hiệu x, y , thỏa mãn tính chất x, x ≥ với x ∈ E x, x = x = x, y = y, x với x, y ∈ E αx, y = α x, y với α ∈ R x, y ∈ E x + y, z = x, z + y, z với x, y, z ∈ E Không gian véc tơ E hữu hạn chiều với tích vơ hướng x, y gọi khơng gian Euclid Tính chất: x, = 0, với ∀x ∈ E TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 171 / 273 Không gian Euclid Định nghĩa tích vơ hướng khơng gian Euclid Ví dụ Trong khơng gian véc tơ hình học a · b = |a| · |b| cos(a, b) Trong không gian véc tơ E cho hệ sở {e1 , e2 , , e n } với véc tơ n y= n yi e i , i=1 x= xi e i i=1 Biểu thức n x, y = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn = xi yi i=1 tích vơ hướng TVH khơng gian R n gọi tích vơ hướng Euclid TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 172 / 273 Khơng gian Euclid Định nghĩa tích vơ hướng khơng gian Euclid Ví dụ (tiếp ) Trong không gian R cho u, v = u1 v1 + 2u2 v2 + 4u3 v3 với u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) TVH Một cách tổng quát, biểu thức n x, y = αi xi yi với αi > i=1 tích vơ hướng Trong kg Pn [x], biểu thức f(x), g(x) = f (x)g(x)dx, ∀f , g ∈ Pn [x] thỏa mãn yêu cầu TVH TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 173 / 273 Khơng gian Euclid Định nghĩa tích vơ hướng khơng gian Euclid Bất đẳng thức Schwarz bất đẳng thức tam giác Định nghĩa (Độ dài véc tơ) Trong không gian Euclid E, độ dài véc tơ x ∈ E, kí hiệu |x| đại lượng cho |x| = x, x Định lý Trong không gian Euclid E ta ln có bất đẳng thức sau i) Bất đẳng thưc Schwarz: | u, v | ≤ |u| · |v| u,v ∈ E ii) Bất đẳng thức tam giác: |u + v| ≤ |u| + |v| TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ u,v ∈ E - 2020 174 / 273 Không gian Euclid Định nghĩa tích vơ hướng khơng gian Euclid Góc hai véc tơ Định nghĩa (Góc hai véc tơ) Trong khơng gian Euclid, góc hai véc tơ u,v góc ϕ thỏa mãn u, v cos ϕ = |u| · |v| 0≤ϕ≤π Định nghĩa (Véc tơ trực giao) Trong không gian Euclid, hai véc tơ u, v gọi trực giao với u, v = Tính chất Nếu v trực giao với véc tơ v1 , v2 , , vk , v trực giao với véc tơ không gian L(v1 , v2 , , vk ) Tập hợp véc tơ trực giao với véc tơ v1 , v2 , , vk không gian E TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 175 / 273 Đường mặt bậc hai Phương trình bậc hai khơng gian biểu diễn mặt cong Paraboloid thực tế TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 259 / 273 Đường mặt bậc hai Phương trình bậc hai khơng gian biểu diễn mặt cong Hypeboloid tầng Hình: Mặt Hypeboloid tầng TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ x2 y2 z2 + − =1 a2 b2 c2 - 2020 260 / 273 Đường mặt bậc hai Phương trình bậc hai khơng gian biểu diễn mặt cong Mặt Hyperboloid tầng Phương trình: x y z2 + − =1 a2 b c Giao tuyến với mặt vng góc với trục tọa độ: Giao với mặt z = k x2 y2 k2 + = + a2 b c2 Ellip Giao với mặt y = k x z2 k2 − = − a2 c b2 : Hypebol Giao với mặt x = k y z2 k2 − = − b2 c a2 TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ : Hypebol - 2020 261 / 273 Đường mặt bậc hai Phương trình bậc hai khơng gian biểu diễn mặt cong Hypeboloid tầng TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 262 / 273 Đường mặt bậc hai Phương trình bậc hai không gian biểu diễn mặt cong Hypeboloid hai tầng Hình: Mặt Hypeboloid tầng TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ y2 z2 x2 + − = −1 a b c - 2020 263 / 273 Đường mặt bậc hai Phương trình bậc hai khơng gian biểu diễn mặt cong Mặt Hyperboloid hai tầng Phương trình: x y z2 + − = −1 a2 b c Giao tuyến với mặt vng góc với trục tọa độ: Giao với mặt z = k x2 y2 k2 + = −1 + a2 b c2 (|k| ≥ c) Ellip Giao với mặt y = k − x z2 k2 + = + a2 c b2 : Hypebol Giao với mặt x = k − TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC k2 y z2 + = + b2 c a2 ĐẠI SỐ : Hypebol - 2020 264 / 273 Đường mặt bậc hai Phương trình bậc hai khơng gian biểu diễn mặt cong Một số hình ảnh thực tế TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 265 / 273 Đường mặt bậc hai Phương trình bậc hai khơng gian biểu diễn mặt cong Paraboloid Hypebolic (Mặt Yên Ngựa) Hình: Mặt Paraboloid Hypebolic TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ x2 y2 − = 2cz a2 b2 - 2020 266 / 273 Đường mặt bậc hai Phương trình bậc hai khơng gian biểu diễn mặt cong Paraboloid Hypebolic (Mặt Yên Ngựa) Hình: Mặt Paraboloid Hypebolic TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ x2 y2 − = 2cz a2 b2 - 2020 267 / 273 Đường mặt bậc hai Phương trình bậc hai không gian biểu diễn mặt cong Paraboloid Hypebolic (Mặt Yên Ngựa) Phương trình: x2 y2 − = 2cz a2 b Giao tuyến với mặt vng góc với trục tọa độ: Giao với mặt z = k x2 y2 − = 2ck Hypebol a2 b Giao với mặt y = k x2 k2 = 2cz − a2 b2 : Parabol Giao với mặt x = k − TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC k2 y2 = 2cz − b2 a2 ĐẠI SỐ : Parabol - 2020 268 / 273 Đường mặt bậc hai Phương trình bậc hai khơng gian biểu diễn mặt cong Các giao tuyến với mf vng góc với trục tọa độ Mặt Yên Ngựa) TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 269 / 273 Đường mặt bậc hai Phương trình bậc hai không gian biểu diễn mặt cong Paraboloid Hypebolic (Mặt Yên Ngựa) TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 270 / 273 Đường mặt bậc hai Phương trình bậc hai khơng gian biểu diễn mặt cong Hình ảnh xuất mặt yên ngưa TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 271 / 273 Đường mặt bậc hai Phương trình bậc hai khơng gian biểu diễn mặt cong Mơ hình mặt bậc TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 272 / 273 Đường mặt bậc hai Phương trình bậc hai không gian biểu diễn mặt cong Mặt cong dạng tắc Với phép biến đổi trực giao     x x y  = P y  z z với P T AP = diag(λ1 , λ2 , λ3 ) Mặt cong đưa dạng tắc sau     x x [x y z]A y  + [g h k] y  + f = z z     x x ⇔[x y z ]P T AP y  + [g h k]P y  + l = z z   x λ1 x + λ2 y + λ3 z + [g h k]P y  + l = z TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 273 / 273 ... n Chứng minh Đặt v1 = u1 Ta tìm v2 ⊥ v1 dạng v2 = u2 + tv1 ⇒ = v2 , v1 = u2 , v1 + t v1 , v1 u ,v ⇒t =− v1 , v1 TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 17 9 / 2 73 Không gian Euclid Định... {a1 = (1, 1, 1) , a2 = (0, 1, 1) , a3 = (0, 0, 1) } TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 18 2 / 2 73 Không gian Euclid Phép biến đổi không gian Euclid Mục Phép biến đổi không gian Euclid TS. .. giao TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 19 0 / 2 73 Không gian Euclid Phép biến đổi đối xứng Mục Phép biến đổi đối xứng TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 19 1 / 2 73 Không