Bài giảng Đại số: Phần 1 - TS. Nguyễn Bằng Giang

Bài giảng Đại số: Phần 1 Ma trận - Định thức - Hệ phương trình tuyến tính, cung cấp cho người học những kiến thức như: Ma trận và các phép toán trên ma trận; Định thức; Hệ phương trình tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo!

ĐẠI SỐ Lecturer: Dr Nguyễn Bằng Giang National University of Civil Engineering Department of Mathematics - 2020 TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 / 273 Nội dung chương trình CHƯƠNG I MA TRẬN - ĐỊNH THỨC HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG II KHƠNG GIAN TUYẾN TÍNH VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG III KHÔNG GIAN EUCLID TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 / 273 Phần I Ma trận - Định thức - Hệ phương trình tuyến tính TS Nguyễn Bằng Giang BM TỐN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 / 273 Nội dung chương 1 Ma trận phép toán ma trận Định thức Hệ phương trình tuyến tính TS Nguyễn Bằng Giang BM TỐN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 / 273 Ma trận phép toán ma trận Tiết Ma trận phép toán ma trận TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 / 273 Ma trận phép toán ma trận Khái niệm ma trận Ma trận phép toán ma trận Khái niệm ma trận Các loại ma trận Các phép toán ma trận TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 / 273 Ma trận phép toán ma trận Khái niệm ma trận Mục Khái niệm ma trận TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 / 273 Ma trận phép toán ma trận Khái niệm ma trận Ma trận gì? Định nghĩa Ma trận bảng số (thực phức) hình chữ nhật     A=   a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 ··· ··· ··· a1n a2n a3n        am1 am2 am3 · · · amn aij : Phần tử hàng i cột j m: số hàng n: số cột m × n: kích cỡ Mm×n (R): Tập tất ma trận thực cỡ m × n TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 / 273 Ma trận phép toán ma trận Khái niệm ma trận Ví dụ A=   −2 −4 0 B = 0 TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 / 273 Ma trận phép toán ma trận Các loại ma trận Mục Các loại ma trận TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 / 273 Hệ phương trình tuyến tính Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính Mục Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính TS Nguyễn Bằng Giang BM TỐN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 66 / 273 Hệ phương trình tuyến tính Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính Gauss Hình: Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855) - Nhà Toán học, Vật lý Đức TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 67 / 273 Hệ phương trình tuyến tính Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính Phương pháp Gauss Ta gọi ma trận  a11  a21  A=  a12 a22 ··· ··· a1n a2n am1 am2 · · · amn | |  b1 b2     | | bm ma trận hệ số mở rộng Phương pháp Gauss dựa vào phép biến đổi sau để đưa hệ ban đầu hệ đơn giản Đổi chỗ hai phương trình cho ⇔ Đổi chỗ hai hàng A Nhân số khác không với phương trình ⇔ Nhân vào hàng A với số khác khơng Cộng vào phương trình bội phương trình khác ⇔ Cộng vào hàng A bội hàng khác Như vậy, phép biến đổi tương ứng với phép biến đổi sơ cấp hàng A TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 68 / 273 Hệ phương trình tuyến tính Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính Giải hệ phương trình    x + y − 2z + t = x − 2y + z + t = −2   −2x + y + z + t =    1 −2 | 1 −2 H2 →H2 −H1    A = −2 1 | −2 −−−−−−−−→ −3 H3 →H3 +2H1 −3 −2 1 |  1 −2 H3 → (H3 +H2 ) −−−−3−−−−−→ 0 −1 0 H2 →− H2 TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ  | | −6 |  | | 2 | - 2020 69 / 273 Hệ phương trình tuyến tính Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính Ví dụ (tiếp )   1 −2 | A −→ 0 −1 | 2 0 | Hệ ban đầu tương đương với    x =1+C   x + y − 2z + t =   y = + C  y− z =2 ⇒ z = C      t =1 t = TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 70 / 273 Hệ phương trình tuyến tính Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính Phương pháp Gauss - Jordan giải phương trình ma trận Xét toán AX = B với A ma trận vng cấp m, Bm×n Ta biểu diễn ma trận B dạng B = (B1 B2 · · · Bn ) Khi AX = B ⇔ A(X1 X2 · · · Xn ) = (B1 B2 · · · Bn ) ⇔ AXi = Bi TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ (∀i = 1, n) - 2020 71 / 273 Hệ phương trình tuyến tính Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính Ví dụ Giải phương trình X = I2 TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 72 / 273 Hệ phương trình tuyến tính Định lý Kronecker - Capelli Mục Định lý Kronecker - Capelli TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 73 / 273 Hệ phương trình tuyến tính Định lý Kronecker - Capelli Điều kiện để phương trình có nghiệm Định lý Điều kiện cần đủ để hệ phương trình tuyến tính AX = B có nghiệm (hay cịn gọi hệ tương thích) hạng A hạng ma trận hệ số mở rộng ¯ r(A) = r(A) TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 74 / 273 Hệ phương trình tuyến tính Định lý Kronecker - Capelli Giải biện luận hệ phương trình   x − y + z = x − ay + 2z =   x + ay + 3z = b TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 75 / 273 Hệ phương trình tuyến tính Hệ cấu trúc nghiệm Mục Hệ phương trình tuyến tính nghiệm tổng quát hệ phương trình tuyến tính TS Nguyễn Bằng Giang BM TỐN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 76 / 273 Hệ phương trình tuyến tính Hệ cấu trúc nghiệm Hệ phương trình Hệ phương trình tuyến tính có dạng AX = hay  a11 x1 + a12 x2 + · · · a1n xn =     a21 x1 + a22 x2 + · · · a2n xn =      am1 x1 + am2 x2 + · · · amn xn = Hiển nhiên hệ có nghiệm tầm thường x1 = x2 = · · · = xn = Nếu r(A) = n nghiệm tầm thường nghiệm Nếu r(A) < n hệ có thêm nghiệm khơng tầm thường TS Nguyễn Bằng Giang BM TỐN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 77 / 273 Hệ phương trình tuyến tính Hệ cấu trúc nghiệm Nghiệm hệ Ta có định lý Định lý Hệ phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn AX = có nghiệm khơng tầm thường det A = Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm khơng tầm thường  =0   x+ y− z mx + y + 3z =0   2x + 1)y + 2z + (m = TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 78 / 273 Hệ phương trình tuyến tính Hệ cấu trúc nghiệm Cấu trúc nghiệm Định lý Mọi nghiệm hệ phương trình tuyến tính khơng AX = B biểu diễn dang ¯ + X∗ X =X ¯ X ∗ nghiệm riêng hệ phương trình AX = B X nghiệm tổng quát hệ tương ứng AX = TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 79 / 273 Hệ phương trình tuyến tính Hệ cấu trúc nghiệm Ví dụ Giải hệ phương trình    x + 3y + 5z − 2t = 2x + 7y + 3z + t =   x + 5y − 9z + 8t = −1 TS Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ - 2020 80 / 273 ... A A 11 = (? ?1) 1 +1 ? ?1 = ? ?1; A12 = (? ?1) 1+2 = ? ?1; 1 A13 = (? ?1) 1+3 ? ?1 = 0; A 21 = (? ?1) 2 +1 = ? ?1; 0 A22 = (? ?1) 2+2 1 = 1; A23 = (? ?1) 2+3 = 0; 0 A 31 = (? ?1) 3 +1 1 = 0; A32 = (? ?1) 3+2 = 0; ? ?1 A33 = (? ?1) 3+3 1. .. a 11 a12 a13 det A = a 21 a22 a23 a 31 a32 a33 =a 11 a a13 a a13 a22 a23 + a 31 12 − a 21 12 a22 a23 a32 a33 a32 a33 = a 11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a 21 a32 − a13 a22 a 31 − a 11 a23 a32 − a12 a 21. .. a 11 a12 · · · a1n a 21 a22 · · · a2n detA = an1 an2 · · · ann định nghĩa quy nạp sau Với n = 1, A = [a 11 ] detA = a 11 a a12 Với n = 2, A = 11 detA = a 11 a22 − a12 a 21 a 21 a22 TS Nguyễn Bằng