Trục căn thức ở mẫu

NHỮNG DẠNG TOÁN CƠ BẢN TỚINÂNG CAO TOÁN LỚP 9.

PHẦN 1: ĐẠI SỐ.

CHƯƠNG 1: CĂN BẬC 2.I) Lí thuyết.

1)Căn bậc 2 là gì?

- Là ngược của lũy thừa 2

2)Căn bậc 2 có mấy loại? Căn bậc 2 gồm 2 loại:

1. Căn bậc 2 thường: Nói về số dương lẫn số âm.VD: Căn bậc 2 của 4 là: 2 với -2.

2. Căn bậc 2 số học: Chỉ nói về số dương.VD: căn bậc 2 số học của 4 là: 2.

3)Điều kiện của biểu thức trong căn bậc 2 là gì? Giả sử ta có số a: Vậy √asẽ xác định khi a≥ 0

7)Một số tính chất khi nhập căn và khai căn?

- 2 căn nhập lại thành 1 căn: {phép nhân√a.√b=√a.b( ĐK : a≥0 vàb≥ 0)

- Điều kiện của căn thức √a.b Điềukiện{a≥ 0b≥ 0

{a≤ 0b≤ 0

- Tương tự cho phép chia.

8)Trục căn thức? - √a2.b=|a|.√bvớib≥ 0.

- { a√b=√a2.b vớia>0 vàb>0a.√b=−√a2b vớia<0 vàb>0

Trục căn thức ở mẫu- √a+1√b=√a−√b

a−bvới a,b≥ 0 vàakhácb.

25Hãy căn bậc 2 số học của các số sau.

a) 64 b) 4c) 16d) 25

e) 144f) 256g)256144

h)169i) 12125

3)Hãy căn bậc 2 của các số sau.j) 64

k) 4l) 16

m) 25

n) 144o) 256p)256144

q)169r) 12125

4) Hãy tìm điều kiện của các biểu thức sau đây.a)√x+3

h)4+25√3− 54−2√3

f) F=(√√a−1a+1−√a−1

12) Hãy căn bậc 3 các số sau.a)√38=b¿√3−64=c¿√3125=d¿√3−216=¿

Nâng caoa)√338+17√25=b)√310+6√23=c)√3−10+6√23=¿

2)Theo phương pháp bình phương.a)√x−3−√x−2=−3.

BÀI TẬP CHƯƠNG CĂN BẬC 2.

1)Tìm điều kiện của phương trình a)√x−3

b)√(x−4).(x−5) c)√(x−3).(x−4)

2) So sánh 2 số.a)√3và4

g) *2+1√2+ 13√2+2√3+

1¿Hãy tìmđiều kiệncủabiểu thứctrên

2¿Hãy tính B , Khibiết a=5.

3) Hãy tìm abiết B− 1

√a≥0.

5)Hãy giải phương trình sau

III) Một số phương pháp giải.

1) Phương pháp tìm điều kiện của biểu thức không đơn giản.I) Phương pháp phổ thông.

Điều kiện của√ablàa.b>0=¿[ {a≥ 0b≥ 0

{a≤ 0b≤ 0

VD: Tìm điều kiện của biểu thức sau √( x+1).( x−2)=¿( x−1).( x−2) ≥0

=>[ {x−1≥ 0x−2≥ 0

{x−1≤ 0x−2≤ 0

=¿[ {x≥ 1x≥ 2(1)

{x≤ 1x≤ 2(2)

=¿[x≥ 2x≤ 1

(1) Giải bất phương trình theo trục số 1 2

(2) Giải bất phương trình theo trục số.

Bước 2: Tìm hệ số của bậc cao nhất.Định nghĩa về bậc: Là hệ số mũ của ẩn.x3: Bậc của x là 3.

(x−1).(x−2)=x2−3 x+2.

Vậy bậc caonhất là 2vàhệ số củabậc caonhất là1 Bước 3: Lập bảng

x Nghiệm 1 Nghiệm2

y Cùng dấu Ngược dấu Cùng dấu

Bình phương 2 vế:(√x−1+√x+2¿2 =32

4) Phân tích đa thức thành nhân tử.5) Kết quả.

Lưu ý: điều kiện của phương trình.

f(x) = y = 1x(đây làhàm số ).

- Hàm số đơn giản nhất có dạng : y = ax + b.( hàm số bậc nhất).

- Hàm hằng : là họ hàng của hàm số nhưng không có mối liên kết giữa x và y

VD: y = 5 (đây là hàm hằng vì khi x thay đổi thì y không thay đổi và ngược lại).

y = 7 ( đây là hàm hằng).2) Đồ thị là gì?

- Đồ thị là : là sự kết hợp giữa 2 trục số Trục ngang là x và trục dọc là y.

-3) Hàm số bậc nhất? Đồng biến là gì? Nghịch biến là gì?Đồng biến: là khi x tăng thì y tăng, x giảm thì y giảm.

Nghịch biến: là khi x giảm thì y tăng, khi y giảm thì x tăng.Hàm số bậc nhất có dạng: y = ax + b

Hàm đồng biến khi a > 0.

Hàm nghịch biến khi a < 0.

Lưu ý: Hàm số bậc nhất được biểu diễn trên đồ thị là 1 đường thẳng.

4) Cách vẽ đường thẳng hàm só đồ thị trong hàm số Dạng tổng quát:

f(x) = y = ax + b.

+ Nếu x = 0 thì y = b ( đánh dấu điểm đó trên đồ thị) + Nếu y =0 thì x = -b/a ( đánh dấu điểm đó trên đồ thị).Và thường được biểu diễn (x,y) = (b, -b/a).

Nối 2 điểm đã được đánh dấu trên đồ thị ta được đường thẳng và đường thẳng đó là đường thẳng của hàm số y = ax + b được biểu diễn trên đồ thị.

5) Tính chất của đường thẳng trong hàm số Giả sử ta có 2 đường thẳng

(d1) y = a1x + b1 (d2) y = a2x + b2

(1) Nếu 2 đường thẳng song song với nhau thì bắt buộc a1 = a2 và b1 ≠ b2.

(2) Nếu 2 đường thẳng cắt nhau.a1 ≠ a2 và b1 ≠ b2.

(3) Nếu 2 đường thẳng trung nhau.a1 = a2 và b1 = b2.

d)y= 1x+ 1x+1

e) E(x,y) = (4,6)f) F(x,y) = (2,3)g) G(x,y) = (6,5) h) H(x,y) = (9,10)3) Hãy vẽ các hàm số sau.

Phương pháp: Giả sử ta có phương trình y = 2x – 3.+ Nếu y = 0 => x = 1.5

+ Nếu x = 0 => y = -3.

Chấm từng điểm trên đồ thị

Nối 2 điểm đó để tạo thành đường thẳng.

a) y = 3x + 5.b) y = 6x + 3.c) y = 3x + 2.d) 2x + 3y =5.e) 3x + 6y =7.f) x = y.

g) 2x = y.

h) 2x + 3 = 3y.i) 6x + 3 = 2y.j) 7x +2y =4 k) x + y =6.

4) Hãy cho biết các hàm số sau hàm nào song song với nhau, cắt nhau, trùng nhau với hàm số y = 3x +2 và y= 2x +5, và giải thích tại sao?

a) y = 3x + 5 b) y = 4x + 2.

c) 3x + 2 – y =0.d) y = x + 2.

5) Hãy tìm giá trị của A nếu biết f(x) = y = x3+2x2-2.Phương pháp: Một cách tổng quát

Giả sử hàm f(x) = x2 + 2x => f(1) = 12 + 2.1= 3 a) A = f(1)2 + 2.

b) B = f(1) + f(2) + f(3).c) C = f(1)2 + f(2)2.

d) D = f(3)2 – f(2)2

e) E = f(1).f(-1).f) F = f(f(1)).g) G =f(2-f(1)).6) Tìm tập xác định của các hàm số sau.

Phương pháp : Tìm tập xác định có nghĩa là tìm điều kiện của hàm số.

a) y = √x+21 + x+2.

b) y = x+11 +2.

c) y = x2−3x+21 +√x+2

d) y = √( x+1).( x+2)

a) Đi qua A(1,2) và B(3,5)b) Đi qua C(5,6) và D(3,6).c) Đi qua E(2,3) và F(3,4).d) Đi qua G(5,6) và H(6,7).e) Đi qua I(7,6) và J(8,9).

f) Đi qua K(8,7) và L(7,2)g) Đi qua M(2,6) và N(3,9).h) Đi qua O(3,7) và P(6,2).i) Đi qua Q(3,4) và R(6,2).j) Đi qua S(2,5) và T(4,6).8) Tìm điểm cắt của 2 đường thẳng hàm số sau.

Phương pháp: Giả sử cần tìm điểm cắt của 2 đường thẳng hàm số sau y =2x – 3 và y = 3x – 4

PP đồ thị:

Vẽ hàm số y = 2x – 3 và y = -1x + 4.

Nhìn vào đồ thị ta thấy được điểm cắt tại hoành độ x = 7/3.

f) 3x +2y = 0 và 2x - 3y = 0 g) 3x -2 = 6y và 4x – 2y = 7h) 3x +2 =7y và 2x +y = 7.i) 3x + 2y =7 và -3x + 2y =

5.BÀI TẬP NÂNG CAO

9) Tìm m để những hàm số sau đồng biến và nghịch biến.Phương pháp:

- Để hàm số đồng biến => hệ số góc ≥ 0.- Để hàm số nghịch biến => hệ số góc < 0.

Giả sử hàm số: y =2mx + 3.

- Để hàm đồng biến => 2m ≥ 0=¿m≥ 0.

- Để hàm nghịch biến => 2m < 0 => m < 0.a) y = (3m-2)x + m-2.

b) y = (2m-1)x + m-3.

c) y = (3m +2).x – m.

d) y = (m2 – 3m +2)x + m.e) y =(m2 – 2m – 3).x +m – 2.

f) y =(m2 + 2m +1).x +m.10) Hãy tìm m để 2 đường thẳng

(i) 2 đường thẳng song song với nhau.(ii) 2 đường thẳng cắt nhau.

(iii) 2 đường thẳng vuông góc nhau( a1.a2=-1)Phương pháp:

Giả sử ta có hàm số y = -2mx +3 và y = (m -1) x +2.(i) Để 2 đường thẳng song song với nhau:

 2 hệ số góc phải bằng nhau: -2m =m -1 => m =1/3 Vậy m =1/3 thì 2 đương thẳng trên song song nhau.(ii) Để 2 đường thẳng cắt nhau.

m= 1+√32

Vậy với m 1−2√3vàm=1+√3

2 thì2 đườngthẳng sẽ vuông góc

với nhau

a) y = 2m.x + 3m và y = (m+1).x + 2 b) y = (2m+1).x +3m – 2 và y = 3m.x - 2.c) y = (2m – 3).x - 2 và y = 4m.x +3.

d) y =( m2 - 2m + 3).x - 2 và y = 2.x -4

11) Xác định hàm số y = ax + b nếu.(tự suy luận).

a) Đường thẳng cắt trục tung tại có tung độ là 3 và đi qua trục hoành có hoành độ là 4.

b) Đường thẳng đi qua điểm M(2,4) và đi qua gốc tọa độ.c) Đường thẳng đi qua điểm N(5,6) và cắt trục tung tại tung

độ = 2.

d) Đường thẳng song song với hàm số y = 2x + 3 Và có tung độ là : 4.

e) Đường thẳng đi qua giao điểm của 2 đường thẳng

y = 2x + 3 và y = 4x -2 Và cắt trục tung tại tung độ là 2.f) Đường thẳng có hệ số góc là 3 và tung độ là 2

12) Vẽ đường thẳng trên đồ thị có hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.(tự suy luận)

a) y = |x| +2.b) y = |x|.

c) y = |-2x +1| + 2.

d) y = |2x + 2| +| 2x - 2|.

e) y = |3x – 2| + 2.f) y = |2x - 2| +|2x - 3|.g) y =|2x+1|.

13) Tìm m để 3 đường thẳng đồng quy.(tự suy luận)a) y = 3mx + 2 và y = (2m-1).x +3 và y = (m+1).x - 2.b) y = 2m.x – 2 và y = (2m−11 ¿.2 x−3 và y=(m−2) x+2.

VD: y = (3m + 1) x - 2. (x.3)m + (x – y -2) =0=> { 3 x=0

x− y−2=0=¿{ x=0

0− y=2=¿{x=0y=2

Vậy Hàm số y = (3m + 1).x – 2 luôn đi qua điểm (0,2)a) y = 3mx + 2

b) y = (2m-1).x +3 c) y = (m+1).x - 2.e) y = 2m.x – 2 f) y = (2m−11 ¿.2x−3

h) y = (2m – 1) x +2 i) y = m−11 x+2

j) y=(m−2).x

k) y = (2m – 3 ).x +2

l) y = x + 2m.

15) Chứng minh 4 điểm cùng nằm trên 1 đường thẳng.(tự suyluận)

a) (2,1) và (-0.5,6) và (1.5,2) và (-2,9).b) (3.5,1) và (-0.5,9) và (0,8) và (1,6).c) (5,1) và (0,8) và (2,2) và ( 8/3, 0).

Tổng hợp các hệ thức lượng trong tam giác:a)h2=b'.c'

b)tan∝= sin∝cos∝.

c)cot ∝= cos∝sin ∝

PHẦN 1: HỆ THỨCLƯỢNG.

MỘT SỐ DẠNGTOÁN THÔNGTHƯỜNG:

I) Dạng toán đặt x là ẩn đểtìm ra các cạnh còn lại.

VD: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết

AH = 2.4, BC = 5.

Ta có HB + HC = 5 đặt x = HC => HB + x = 5 => HB = 5 – x.

Ta có áp dụng Hệ thức lượng (a):  AH2=BH.CH

 2,42=x.(5-x)  x2 - 5x + 5,76 = 0 x2 - 2.52 x+(5

Vậy HC=1,8 thìHB=5−1,8=3,2(1)

Vậy HC=3,2thì HC=5−3,2=1,8.(2)

¿>(1) AC2=HC.BC=3,2.5=16(HTL (c)) AC = 4 vậy AB = 3(dùng Pytago).

1) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết AH=6013,

BC=13 Hãy tính các cạnh của tam giác.

2) Cho tam giác MNP vuông tại M, đường cao MK Biết MK=24, NP=50 Hãy tính các cạnh của tam giác.

3) Cho tam giác EFG vuông tại E, đường cao EH Biết EH=12, FG=25 Hãy tính các cạnh của tam giác.4) Cho tam giác vuông ABC tại A, có BC = 25 Và

AB+AC=35

I) Hãy tính AB và AC.

II) Hãy tính đường cao của tam giác kẻ từ A.

5) Cho tam giác vuông ABC tại A, Biết đường cao AH kẻ từA chia BC thành 2 đoạn có độ dài lần lượt là 32 và 18 Tínhcác cạnh của tam giác?

6) *Hình thang cân ABCD có đáy lớn CD = 15 Đáy nhỏ bằng đường cao của hình thang cân, đường chéo vuông góc với cạnh bên Tính hình cao của hình thang.

7) *Tính diễn tích một tam giác vuông có chu vi 72, hiệu giữa đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền là 7cm.

II) Dạng toán liên quan đến tỉ lệ thức.

VD: Trong một tam giác vuông ABC tại A, biết rằng tỉ số của AB và AC bằng 0,5 Hãy tìm tỉ số giữa A BBC22và A C2

B c2 .

Bài làm:Ta có ACAB=1

=¿ A B2

A C2= 14(1)Tỉ lệ thức (1): A CA B2+ A B2 2= 14+1=¿

2) Cho tam giác ABC vuông tại A, biết rằng tỉ số giữa AB và AC là 0,75.

a) Tính tỉ số giữa AB2 và BC2.

b) Biết AB = 3 Hãy tính BC dựa vào tỉ số trên.c) Gọi H là chân đường cao kẻ từ A Hãy tính AH.d) Hãy tính HB và HC.

3) Cho tam giác ABC vuông tại A, biết rằng tỉ số giữa AB và AC là 2,4.

e) Tính tỉ số giữa AB2 và BC2.

f) Biết AB = 12 Hãy tính BC dựa vào tỉ số trên.g) Gọi H là chân đường cao kẻ từ A Hãy tính AH.h) Hãy tính HB và HC.

4) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH a) Hãy chứng minh hăng thức sau: A B2

A C2= HBHC.

b) Hãy chứng minh: √BH BC √A B2+ A C2= AB AC

c) Hãy chứng minh: BC.HC=AH2 + HC2.

5) Cho hình chữ nhật ABCD Đường thẳng d vuông góc với ACtại C Đường thẳng AB cắt d tại E và đường thẳng AD cắt dtại F.

Chứng minh các hệ thức:

a) A EA F22= CECF b) BD3=BE.DF.EF.III) Dạng toán liên quan diện tích và chu vi.

VD: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

Biết Chu vi của hình là =12 và Hiệu giữa BC và AC là 2 Hãy tính diện tích của tam giác đó.

 (10 – 2AC)2+AC2=(2+AC)2.

 100 – 40AC + 4AC2 + AC2 = 4 + 4AC + AC2. 4AC2 – 44AC + 96 = 0

 AC2 – 11AC +24 = 0 AC2 – 2.112 AC+ (11

2 )2

−(112 )2

 (AC – 112 )2 – 254 = 0 (AC− 11

2 +52¿.( AC− 112− 52)=0

=>[ AC=3(nhận)AC=8(vì AC<BC).

=> BC = 2 + AC = 2 + 3 = 5.=> AB = 10 – 2.AC = 10 – 6 = 4.

Vì tam giác ABC vuông tại A => S = .AB.AC= ½ 3.4=6(đơn vị diện tích)

1) Cho tam giác ABC vuông tại A, Đường cao AH Biết chu vi của tam giác là 30 và BC - AC = 8 Tính Diện tích của tam giác đó.

2) Cho tam giác MNP vuông tại M Đường cao MK Biết chu vi của tam giác đó là 120, Tổng của MN và NP là 80 Tính các cạnh của tam giác đó

3) Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH Biết AH – HC = 8, và

AH = 12/25.BC Hãy tính Chu vi và diện tích của tam giác đó.

4) * Tính diện tích hình thanh ABCD có đường cao bằng 12cm, hai đường AC và BD vuông góc với nhau, BD =15.5) Một hình thang cân có đường chéo vuông góc với cạnh

bên Tính chu vi và diện tích hình thang biết rằng đáy nhỏ dài 14, đáy lớn dài 50.

6) Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD Tia phân giác của A cắt BD tại I Biết IB = 10√5 vàID = 5√5. Tính diện tích tam giác ABC.

1) Cho tam giác ABC có góc A = 90, AC =18cm , BC =30cm, kẻ đường cao AH Tính chu vi các tam giác ABC,

2) Cho hình chữ nhật ABCD có kích thước AB =15 , AD =8 Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại E Đường thẳng DE cắt AB tại F.

a) Tính tỉ số AE và CE b) Tính chu vi tam giác CDF.3) Cho tam giác ABC vuông tại A Cho BD là phân giác trong,

BE là phân giác ngoài của tam giác tại đỉnh B Tính chu vi tam giác BCE Biết rằng AD = 3, CD = 5.

4) Cho tam giác ABC vuông tại A Biết rằng tỉ lệ giữa AB và AC là 0,75.

a) Hãy tính tỉ lệ của A BBC22và A C2B C2 .

b) Hãy tính chu vi của tam giác ABC khi biết AB = 3.

5) Cho tam giác ABC vuông tại A, Đường cao AH chia BC thành 2 nữa có độ dài lần lượt là 3,6 và 6,4 Hãy tính tất cảcác đoạn trong tam giác.

6) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết AH =4,8 Và BC = 10 Tính tất cả các cạnh của tam giác.7) Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn CD = 30 Đường

chéo BD = 24, góc A =90 Đường chéo BD vuông góc với cạnh BC Tính diện tích hình thang.

8) Cho hình vuông ABCD Lấy điểm E nằm trên canh BC Đường thẳng AE cắt đường thẳng DC tại F Chứng minh :

a) Tính độ dài các đoạn thẳng DE, DG và DF.b) Chứng minh rằng: FD2=FE.FG.

11)Cho tam giác ABC có AB = 6, AC =8 Các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau Tính độ dài BC.

PHẦN 2: TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG TAMGIÁC VUÔNG.

f) 1 + cot2a = sin12a.

2) Hãy tính tan a,cot a,sin a,cos a. Biết.a)sin a=1.

b) Sin a =1/3.c) Sin a =0.3d) Sin a = 0.75.e) Sin a = 0.2

f) Cos a = 1 g) Cos a = 1/3.h) Cos a = 0.3.i) Cos a =0.75j) Cos a = 0.2

k) tan a = 2.l) Tan a =3m)Tan a = 4,5.

n) Tan a = 3,2o) Tan a = 0.5

p) Cot a = 2q) Cot a = 2,5r) Cot a =2,6s) Cot a = 7t) Cot a =7,8 Hướng dẫn:

VD1 : sin a = 0,5

Ta có sin2a + cos2a = 1 => cos2a = 1 – 0,52= => cos a ¾= √23.

tan a =cosasin a= 0,5.2

Mà sin2a + cos2a = 1 => sin a = √25.

Mà cot a tan a = 2 => cot a = .½3) Rút gọn các biểu thức sau.

a) A = sin220+sin230+sin240+sin250+sin260+sin270

b) B= cos280+cos270+cos260+cos250+cos240+cos230+cos220+Co s210.

c) C = tan 10 tan 20 tan 30 tan 40 tan 50 tan 60 tan 70 tan 80.

d) D = tan 1 tan 2 tan 87 tan 88 tan 89 e) E = 1+cot1220+

(hướng dẫn giải: dùng các công thức để rút gọn).4) Hãy tính biểu thức A = sin a+cos a−tan asina−cosa+tan abiết :

a) Sin a = 0,4.b) Cos a =0,6.c) Tan a = 4.d) Cot a =0,25.

5) Hãy tính biểu thức B = cosa+ sin acosb+tan b

cosb+ sinacosb+tan a biết: a) Nếu a + b =70 và sin a = 0,2.

b) Nếu a + b = 50 và cos b =0.7 c) Nếu a + b = 70 và tan a = 2.d) Nếu a + b = 50 và cot b = 2.6) So sánh các số sau.

a) Sin 20 , sin 40 , sin 57 , sin 2 , cos 45 , cos 8.

b) Tan 20 , cot 20, tan 30, cot 40 , tan 50, cot 70.c) Sin 40 , cos 40, cos 50 , sin 40 , cos 70, sin 2, cos

Dạng 2: Toán về hình học.

1) Cho tam giác ABC vuông tại A, Đường cao AH Biết góc B =20, và BH = 5 Hãy tính hết các cạnh và các góc trong tam giác

2) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết góc C = 25, Và AH= 15 Hãy tính hết các cạnh và các góc trong tam giác.

3) Cho tam giác ABC, góc A =90, AB =5 , góc C

=49.Tính tất cả các cạnh và góc trong tam giác ABC.4) Cho tam giác ABC có góc B =45 Các hình chiếu

vuông góc của AB, AC trên cạnh BC là 10 và 15 Tìm các cạnh các góc và diện tích tam giác.

5) Cho tam giác ABC có AB = 20, góc B =60, góc C =50.Tính các cạnh AC và BC của tam giác.

6) TÍnh diện tích của tam giác ABC, Biết BC = 10 cm , góc B =45, góc C =30.

7) *Xét tam giác ABC vuông tại A , AB<AC, góc C = a < 45 Đường trung tuyến AM, đường cao AH, MA = MB = MC =a Chứng minh các công thức sau.

a) Sin 2a = 2 sin a cos a.b) 1 + cos 2a = 2 cos2a.c) 1 – cos 2a = 2sin2a.

8) *Tính cos 15? Nhưng không dùng máy hình hoặc bản số.

9) Cho tam giác ABC các cạnh lần lượt là AB= c, AC =b và BC =a

Hãy chứng minh Diện tích tam giác = sin ½ ^ABC c a