ĐỀ KSCL HSG môn TOÁN

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2021-2022 TRƯỜNG THPT ĐƠNG SƠN Mơn thi : TỐN – LỚP 12 THPT Thời gian:90 phút (không kể thời gian giao đề) D Câu Tập xác định A hàm số ìï p ü D = ¡ \ í k , k ẻ Âùý ùợù ùùỵ Cõu Cho dãy số A 10 ( un ) , B biết D B I = 5+ A π D = Ă \ { kp, k ẻ Â } D " nẻ Ơ * vi Giỏ tr C y = ( 1− x) 1  D=¡ \  2 D = ¡ \ { k2p , k ẻ Â } C u6 - u1 bng 30 D 20 −1 C 1  D =  ; +∞ ÷ 2  D D = ( 0; +∞ ) π ∫ f ( x ) dx = 15 hàm số π Câu Cho ìï p ü D = ¡ \ í k , k Ỵ Â ùý ùợù ùùỵ ùỡù u1 = ïïỵ un+1 = un + n B Câu Tìm tập xác định 1  D =  −∞; ÷ 2  A y = tan x - cot2x I = ∫  f ( x ) + sin x dx Tính B I =7 C I = 5+π y = log 2021 ( x − 1) + log 2020 ( − x ) D I =3 Câu Tìm tập xác định D = ( −2; ) \ { 1} A D hàm số D = ( 1; ) B C D = ( −2;1) D D = [ −2; 2] Oxyz AB = 1, AD = M, N ABCD Câu Trong khơng gian , cho hình chữ nhật có Gọi trung BC ABCD MN AD điểm Quay hình chữ nhật xung quanh trục ta hình trụ Diện tích tồn phần hình trụ 2π 6π 10π 4π A B C D Câu Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau: Tổng số đường tiệm cận ngang đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho A B Câu Cho số thực dương T = a+b giản Tổng A 29 x C x x =x thỏa mãn B 13 a b , với C D a, b 31 a b số nguyên dương D 10 phân số tối ( P) ( S) ( P) mặt phẳng , biết khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng ( P) ( S) 3π a a Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến đường trịn có chu vi Diện tích mặt cầu ( S) bao nhiêu? Câu Cho mặt cầu A 12π a ( S) B Câu 10 Biết 2a + b A Câu 11 16π a C log ( 3) = a;log ( ) = b Cho hàm số B 2b + a Tính 4π a log 45 ( ) C y = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) D theo 2a + b a b 8π a D 2ab có đồ thị hình bên Khẳng định sau đúng? A C a < 0, b < 0, c < 0, d < a > 0, b > 0, c < 0, d > Câu 12 hình nón B D Cho hình nón có bán kính đáy a < 0, b > 0, c > 0, d < a < 0, b < 0, c > 0, d < chiều cao 12 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp R= A 169 24 R= B 125 24 R= C S ABC ABC 81 24 R= D 121 24 · A BAC = 30° AB = a cân , , Cạnh bên Câu 13 Cho khối chóp có đáy tam giác SA SA = 2a vng góc với mặt đáy, Thể tích khối chóp cho A a3 12 B C F ( x ) = ( ax + bx − c ) e2 x Câu 14 khoảng A a3 Cho ( −∞; +∞ ) Tính T = 1004 Câu 15 Có T = a − 2b + 4c B 20 T = 1018 A B Câu 16 ( AB′C ) A D f ( x ) = ( 2020 x + 2022 x − 1) e2x tập đến tập 20 T = −2012 D Có cách xếp 20 sách không đặt cạnh nhau? C ABCD A′B′C ′D′ T = 1012 20!- 2!´ 19! có cạnh a D 20!- 19! B Tính khoảng từ điểm đến mặt phẳng a B ∫e Câu 17 Cho S =0 A Câu 18 C 2!´ 19! Cho hình lập phương a3 2 sách đánh số từ tập 20! nguyên hàm hàm số giá thành hàng ngang cho tập a3 a C dx e +1 = a + b ln +1 x Cho hai số B a, c S = −2 , với a, b a 3 số nguyên.Tính S =1 C dương khác Các hàm số a D S = a3 + b3 D y = a x , y = x b , y = log c x S =2 có đồ thị hình vẽ Khẳng định sau đúng? A c ) f ′ ( x ) = x − > ∀x ∈ ( 2;5 ) , Do ( Hàm số ∀x ∈ ( 2;5) ) f ′ ( x ) 12a12 ( f ( x ) ) + 10a10 ( f ( x ) ) + + 2a2 > ∀x ∈ ( 2;5) 10 g ( f ( x) ) đồng biến ( 2;5) ,  g ( f ( x ) ) ′ ≥   , ∀x ∈ ( 2;5) ⇒ f ( x ) ≥ m ≤ ( x − x ) = [ 2;5) ⇔ x3 − x − m ≥ ∀x ∈ ( 2;5) ⇔ m ≤ x3 − x ∀x ∈ ( 2;5) ⇒ , , Vì Câu 45 Cho Hàm số A m ∈ [ −2020; 2020] f ( x) m∈¢ hàm bậc bốn thỏa mãn nên có 2021 giá trị thỏa mãn f ( 0) = g ( x ) = f ( x + x ) − x − x3 + x + x B Hàm số f '( x) m có đồ thị hình vẽ có điểm cực trị? C D Lời giải Chọn D h ( x ) = f ( x + x ) − x − x3 + x + x = f ( x + x ) − ( x + x ) + ( x + x ) Gọi ⇒ h ' ( x ) = ( x + 1) f ' ( x + x ) − ( x + 1) ( x + x ) + ( x + 1) 2 x + = ⇒ h '( x) = ⇔  2  f ' ( x + x ) − ( x + x ) + = ( *) , Đặt t = x2 + x f '( t ) − t +1 = Khi phương trình (*) trở thành ⇔ f ' ( t ) = t −1 Ta vẽ đồ thị hai hàm số Dựa vào đồ thị ta thấy Khi đó: y = f '( t ) y = t −1  −2 < t < f '( t ) > t −1 ⇔  t > −2 < x + x <  −1 < x < ⇔   x < −2 ∨ < x  x +x>2 Bảng biến thiên: Vậy hàm số hệ trục tọa độ g ( x) = h ( x) có điểm cực trị y = f ( x) Câu 46 Cho hàm số y= đứng đồ thị hàm số A ¡ có đạo hàm liên tục x2 + x − f ( x) − f ( x) B Đồ thị y = f ( x) hình vẽ Số đường tiệm cận C D Lời giải Chọn A y= Xét hàm số ( x − 1) ( x + ) x2 + x − = f ( x ) − f ( x ) f ( x )  f ( x ) − 1 Xét phương trình Với  f ( x) = f ( x )  f ( x ) − 1 = ⇔   f ( x ) =  x = 1( kep ) ⇔ f ( x) =  x = −2 ( don ) ⇒ x = TCĐ, x = −2 không TCĐ x =  f ( x ) = ⇔  x = x1 ∈ ( 0;1)  x = x ∈ −2; −1 ( ) ⇒ x = x = x1 x = x2  Với , , đường TCĐ Vậy đồ thị hàm số có đường TCĐ Câu 47 Cho hàm số x − 2m( m + 1) x + 2m3 + m + y= x−m thỏa mãn vừa điểm cực đại ( Cm ) có đồ thị a=3 B ( m tham số thực) Gọi A điểm ứng với giá trị m vừa điểm cực tiểu khác m Giá trị a để khoảng cách từ A đến đường thẳng A ( Cm ) a= a = −3 C ( Cm ) ( d ) : x − ( a + 1) y + a = 10 đạt giá trị lớn a=− D ứng với giá trị 10 Lời giải Chọn D x − 2m(m + 1) x + 2m3 + m + ( x − m ) − 2m ( x − m ) + y= = x−m x−m y = f ( x) = x − m + ⇒ y ' = 1− ( Điều kiện x≠m ) − 2m x−m = ⇔ ( x − m) = ( x − m)  x = m + ⇒ y ( m + 1) = + − 2m = − 2m x − m = ⇔ ⇔ 2  x − m = −1  x = m − ⇒ y ( m − 1) = −1 − − 2m = −2 − 2m Khi A ( x0 , y0 ) thỏa hệ phương trình m1 − m2 = −2 m − m2 = −2  x0 = m1 + = m2 − m1 − m2 = −2 ⇔ ⇔ ⇔    2 2 m1 + m2 = −1 m1 − m2 =  y0 = − 2m1 = −2 − 2m2 ( m1 − m2 ) ( m1 + m2 ) =    m1 = −  x0 = −  5 ⇔ ⇒ ⇒ A − , − ÷  2 m = y = −  2  Với ( d ) : x − ( a + 1) y + a = a + 2a +  a=−  ( 7a + ) ⇒ g ' a = ⇔ g ( a) = ( )  10 a + 2a + a = −  Xét hàm d ( A; ( d ) ) = − + ( a + 1) + a 2 = a+2 a + 2a + Bảng biến thiên x − −∞ f ′( x) + 10 − − +∞ + 58 49 f ( x) 49 g ( x ) max a=− 10 nên d ( A, ( d ) ) max a=− 10 M = max f ( x ) f ( x ) = x3 − 15 x + 2m + 12 x − m Câu 48 Cho hàm số A 36 Giá trị nhỏ nhấtcủa B C 25 Lời giải Chọn D a = max f ( x ) [ −2;3] Đặt Ta có f ( x ) ≤ a, ∀x ∈ [ −2;3] điều kiện a + m − 12 x ≥ 0, ∀x ∈ [ −2;3] ⇔ x3 − 15 x + 2m + 12 x − m ≤ a, ∀x ∈ [ −2;3] ⇔ x3 − 15 x + 2m ≤ a + m − 12 x, ∀x ∈ [ −2;3] ⇔ −a − m + 12 x ≤ x − 15 x + 2m ≤ a + m − 12 x, ∀x ∈ [ −2;3] a ≥ − x + 27 x − 3m  ⇔ a ≥ x3 − 3x + m , ∀x ∈ [ −2;3] a ≥ −m + 12 x  Xét hàm Ta có g ( x ) = − x + 27 x − 3m g ' ( x ) = −3x + 27 BBT hàm g ( x) ( *) đoạn [ −2;3] [ −2;3] D 27 Xét hàm Ta có h ( x ) = x3 − 3x + m [ −2;3] h ' ( x ) = 3x − BBT hàm Hệ đoạn h( x) a ≥ 54 − 3m ( *) ⇔ a ≥ m + 18 a ≥ 36 − m  Trường hợp 1: Trường hợp 2: Trường hợp 3: a = m + 18 a = 36 − m nếu a = 54 − 3m  m + 18 ≤ 54 − 3m  4m ≤ 36 ⇔ ⇔m≤9  m + 18 ≤ 36 − m m ≤ 18   36 − m ≤ 54 − 3m  2m ≤ 18 ⇔ ⇔m=9  36 − m ≤ m + 18  2m ≥ 18 54 − 3m ≤ 36 − m m ≥ ⇔ ⇔m≥9  54 − 3m ≤ m + 18 m ≥ M = max f ( x ) Vậy giá trị nhỏ nhấtcủa [ −2;3] 27 Câu 49 Cho hàm số xf ( x ) − A ( f ( x) = x + + x 1+ x + m −1 f −1 − x + m − ) Số giá trị nguyên tham số m để phương trình =0 có hai nghiệm phân biệt B C D Lời giải Chọn D f ( x) = x + + x ⇒ f '( x ) = + Ta có: Suy hàm số f ( x) = x + + x x > 0, ∀x ∈ ¡ + x2 ¡ đồng biến f (− x) = − x + + x = Mặt khác, ta lại có: x + 1+ x xf ( x) − Nên phương trình tương đương với: ( ) ( ) ( ) ( ) = f ( x) ( + x + m −1 f −1 − x + m − ) =0 ⇔ xf ( x) − + x + m − f + x + m − = ⇔ xf ( x) = + x + m − f + x + m − ) ( y = g (t ) = tf (t ) = t t + t + = t + t t + Đến ta xét hàm đặc trưng g '(t ) = 2t + t + + Có ( t2 t +1 > 0, ∀t ∈ ¡ nên suy g (t ) đồng biến ) ⇒ g ( x) = g + x + m − ⇔ x = + x + m − ⇔ x + m − = x − Do 4x + m −1 ≥ Xét hàm nên suy  x − ≥ x ≥ ⇔   2 m = x − x + 4 x + m − = ( x − 1) y = p ( x) = x − x + 2, ∀x ≥ ⇒ p′( x) = x − = ⇔ x = (nhận) ¡ Ta có BBT hàm p( x) sau: Dựa vào BBT để phương trình có hai nghiệm phân biệt m ∈ ( p (3); p (1) ] ⇔ m ∈ ( −7; −3] Như vậy, ta kết luận có tất giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu đề Câu 50 Cho số thực không âm trị nhỏ biểu thức A 2809 500 a, b, c thoả mãn S = a + 2b + 3c B 4096 729 2a + 4b + 8c = Gọi M,m + log M m giá trị lớn nhất, giá M Giá trị biểu thức C 281 50 D 14 25 Lời giải Chọn B Đặt a = log x, 2b = log y,3c = log z Ta có Mà S = a + 2b + 3c = log x + log y + log z = log ( xyz ) 2a + 4b + 8c = ⇔ x + y + z = Suy Do 4 4  4 = x + y + z ≥ 3 xyz ⇒ xyz ≤  ÷ ⇒ S = log ( xyz ) ≤ log  ÷ = 3log  ÷ 3 3  3 4 M = max S = 3log  ÷ 3 Mặt khác, ta có Suy S ≥1 x= y=z= ( x − 1) ( y − 1) ≥ ⇒ xy ≥ x + y + = − z ⇒ xyz ≥ z ( − z ) ≥ , m = S = x = z = 1, y = (vì  4 z ∈ 1;   3 ) Vậy M + log M m =4 4 3log  ÷ 3  log2  43 ÷   6 4096 + log   =    ÷ =  ÷ =  ÷ 3 3log  ÷ 729  3   ... B C D Lời giải Chọn D 1 f ( x ) + xf  ÷ = x ( 1) x  Ta có  Đặt 1 =t⇒ x= x t điều kiện đề cho trở thành 1 f  ÷+ f ( t ) = ⇔ 2t f t t  t  Từ ( 1) ( 2) ta có: 1  ÷+ f ( t ) = (... ∈ ( p (3); p (1) ] ⇔ m ∈ ( −7; −3] Như vậy, ta kết luận có tất giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu đề Câu 50 Cho số thực không âm trị nhỏ biểu thức A 2809 500 a, b, c thoả mãn S = a + 2b + 3c B