Bài tập logarit

41 LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN DẠNG 41 LÔGARIT KIẾN THỨC CẦN NHỚ a) Định nghĩa logarit: Cho hai số thực dương a, b với a = 1, α = loga b ⇔ aα = b b) Các tính chất logarit: Cho ba số thực dương a, b, c với < a, b, c = loga b loga c loga b + loga c = loga bc; loga b − loga c = loga b = logc b ; loga b · logb c = loga c· loga a Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA c) Phương trình mũ ax = b ⇔ x = loga b (0 < a = 1; b > 0) d) Cách giải phương trình mũ có dạng α1 a2x + α2 (ab)x + α3 b2x = αi (i = 1, 2, 3) hệ số, số < a, b = a b B1: Biến đổi phương trình dạng: 2α1 B2: Đặt ẩn phụ a b x + α2 a b x + α3 = (∗) = t, t > 0, phương trình (∗) trở thành α1 t2 + α2 t + α3 = B3: Giải tìm t thỏa mãn t > B4: Giải phương trình mũ 2x a b x = t Tìm x BÀI TẬP MẪU Ví dụ Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn log9 x = log6 y = log4 (2x + y) Giá trị A B C log2 x y D log 2 Lời giải Phân tích hướng dẫn giải PHÂN TÍCH ĐỀ: Đây dạng tính tốn liên quan đến logarit dùng định nghĩa, đẳng thức Tìm ẩn cho phương trình XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH GIẢI B1: Đặt m = log9 x = log6 y = log4 (2x + y), biểu thị x, y, 2x + y theo m B2: Lập phương trình ẩn m Giải phương trình tìm m x x B3: Lập tỉ số Từ suy giá trị y y LỜI GIẢI CHI TIẾT 41 LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN log9 x = log6 y = log4 (2x + y) = m ⇒  m  x = y = 6m   2x + y = 4m 2m + m −1 = m = 9m x Ta có: = m = y 0⇒ ⇒ · 9m + 6m = 4m ⇔ · m ⇒ x = y Chọn phương án B BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu Cho a, b > thỏa mãn log4 a = log6 b = log9 (a + b) Giá trị √ −1 − C √ √ 1+ D Lời giải log4 a = log6 b = log9 (a + b) = m ⇒ m  m  a = b = 6m ⇒ 4m + 6m = 9m ⇔   √ −1 + = ⇔ m a + b = 9m √ √ −1 + a −1 + = ⇔ = b 2 2m + m −1 = ⇒ Chọn phương án B 2a − b a Tính tỉ số T = b C T= DT= Câu Cho a, b > thỏa mãn log16 a = log20 b = log25 AT= B T= Lời giải log16 a = log20 b = log25  a = 16m    m 2a − b = m ⇒ b = 20   2a − b  0⇒ m = ⇔ 16 20 m 3 a = ⇔T = = b ⇒ 2·16m −20m = 3·25m ⇔ 2m − m −3 = = 25m Chọn phương án C Câu Cho x, y > thỏa mãn log√10 x = log√15 y = log5 (x + y) Tính tỉ số A y = x B y = x Lời giải log√10 x = log√15 y = log5 (x + y) = m ⇒ C √ m  x = ( 10)   √ y = ( 15)m   y = x y x D y = x √ √ ⇒ ( 10)m + ( 15)m = 5m ⇔ x + y = 5m m + m 1(1) Xét hàm số f (t) = t + t ⇒ f (t) = t ln + 5 t ln < 0, ∀t ⇒ f (t) đồng biến R = 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN −1 + B A a b 41 LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Nên phương trình f (t) = có nghiệm Từ (1) ta có f (m) = f (2) nên m = nghiệm (1) nên (1) có nghiệm m = Å √ ã2 y 15 Do = √ = x 10 Chọn phương án A a 4b − a Tính giá trị ? b √ √ a a 3− C = + D = b b Câu Cho a, b số dương thỏa mãn log4 a = log25 b = log √ a A = − b √ a 3+ B = b Lời giải Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Đặt log4 a = log25 b = log  a = 4t    t 4b − a = t, ta có: 10 t t b = 25 =2· ⇒ · 25t − 4t = · 10t ⇔ − 25 25    4b − a = 10t 2 2t t ⇔ +2· − = 5 √ ñ √ y = −1 − t Đặt = y > 0, ta có y + 2y − = ⇔ √ ⇒ y = −1 + 5 y = −1 + t t √ √ √ a = −1 + ⇔ t = ( − 1)2 ⇒ = − Từ 25 b Chọn phương án A Câu Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn loga20 = logb8 = log125 (5a + 12b) Tính P = A P = B P = Lời giải Đặtloga20 = logb8 = log125 (5a + 12b) = x  x x  a = 20 a = (1) Có b = 8x ⇒ b    · 20x + 12 · 8x = 125x x 5a + 12b = 125 3x x (2) ⇔ · + 12 = ⇔ 2 x ⇔ = a Khi (1) ⇔ = b a+b a Suy P = = + = b b 3x −5· C P = D P = (2) x − 12 = Chọn phương án B Câu Cho số a, b > thỏa mãn log3 a = log6 b = log2 (a + b) Giá trị A 18 Lời giải B 45 C 27 1 + a b D 36 a+b b 41 LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Đặt t = log3 a = log6 b = log2 (a + b) ⇒  t  a = b = 6t ⇒ 3t + 6t = 2t ⇔   a + b = 2t t t + 3t R, có f (t) = · ln Xét hàm số f (t) = 2 1 R (1) ⇔ f (t) = f (−1) ⇔ t = −1 ⇒ a = , b = ⇒ t + 3t = (1) + 3t · ln > 0, ∀t ∈ R ⇒ f (t) đồng biến 1 + = 45 a b Chọn phương án B Câu Cho log27 = a; log8 = b; log2 = c Giá trị log12 35 A 3b + 2ac c+3 B 3b + 2ac c+2 C 3b + 3ac c+1 D 3b + 3ac c+2 Lời giải Ta có: log27 = a ⇒ log3 = 3a, log8 = b ⇒ log2 = 3b 1 3b + 3ac = + = 1 c 1 c+2 + 2· + 2· + log2 log3 3b 3b 3ac 3a + 1 + 2· log2 log3 Chọn phương án D Câu Cho a, b, c ba số thực dương, khác abc = Biết loga = 2, logb = Khi đó, giá trị logc bao nhiêu? A logc = B logc = C logc = logabc = 15 D logc = Lời giải 1 Ta có loga = ⇒ log3 a = , logb = ⇒ log3 b = 4 2 Khi ta có logabc = ⇔ = 15 log3 a + log3 b + log3 c 15 2 ⇔ = ⇔ log3 c + 18 = 30 ⇔ log3 c = ⇔ logc = + log3 c 15 Vậy logc = Chọn phương án D Câu Cho log3 a = log4 b = log12 c = log13 (a + b + c) Giá trị logabc 144 thuộc khoảng khoảng sau đây? A (−1; 0) B (0; 1) C (1; 2) D (2; 3) Lời giải Giả sử: log3 a = log4 b = log12 = log13 (a + b + c) = x 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN log2 3b = log2 c 1 1 + = + = log12 35 = log12 + log12 = log7 12 log5 12 log7 + log7 log5 + log5 log2 = log2 · log3 = 3ac, log3 = 41 LƠGARIT Khi ta có: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN  a = 3x     b = 4x ⇒ 3x + 4x + 12x = 13x ⇔  c = 12x     13 x + 13 x + 12 13 x = (∗) a + b + c = 13x x x 12 x Ta thấy + + hàm liên tục nghịch biến R f (2) = nên (*) có nghiệm 13 13 13 ∈ (0; 1) x = hay a = 9; b = 16, c = 144 ⇒ logabc 144 = log9.16·144 144 = log144 144 · 16 · Chọn phương án B Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Câu 10 Cho x, y, z số thực dương tùy ý khác xyz khác Đặt a = logx y, b = logz y Mệnh đề sau đúng? 3ab + 2b ab + a + b 3ab + 2a = ab + a + b 3ab + 2a a+b+1 3ab + 2b = a+b+1 A logxyz y z = B logxyz y z = C logxyz y z D logxyz y z Lời giải Ta có: logxyz y z = logxyz y + logxyz z + · logy (xyz) logz (xyz) = + · logy x + logy z + logz x + logz y + = + logy x + logy z + logz y · logy x + logz y + 3ab 2a 3ab + 2a = + = + = 1 b ab + a + b ab + a + b ab + a + b + +1 +b+1 a b a = Chọn phương án C Câu 11 Cho số dương a, b, c khác thỏa mãn loga (bc) = 2, logb (ca) = Tính giá trị biểu thức logc (ab) A B C 10 D Lời giải loga (bc) = ⇔ bc = a2 logb (ca) = ⇔ ac = b4  ®  bc = a b = a 53 a = b b4 ⇒ ac ⇔ ⇔ (do a, b, c > 0)  c = a 75 c = ab abc = a b 8 Khi đó: logc (ab) = log a · a = log a = a5 a5 Chọn phương án B Å Câu 12 Biết x1 ; x2 (x1 < x2 ) hai nghiệm phương trình log2 4x2 − 4x + x √ x1 + 2x2 = (a + b) với a, b số nguyên dương Giá trị P = a + b ã = 6x − 4x2 41 LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN A P = 14 Lời giải B P = 13 C P = 15 D P = 16 4x2 − 4x + (2x − 1)2 >0⇔ > ⇔ x > 0, x = x x 4x2 − 4x + log2 = 6x − 4x2 ⇔ log2 (2x − 1)2 − log2 x = −(2x − 1)2 + 2x + x ⇔ log2 (2x − 1)2 + (2x − 1)2 = log2 (2x) + 2x(1) Xét hàm số f (t) = log2 t + t với t > Ta có f (t) = + > với t > suy f (t) = log3 t + t đồng biến (0; +∞) ln · t Xét x ∈ 0; , từ (1) ta có f (2x − 1)2 = f (2x) ⇔ (2x − 1)2 = 2x ⇔ 4x2 − 6x + = ⇔ √  3+ (l) x = √  3− x= Xét x ∈ ; +∞ , từ (1) ta có f (2x − 1)2 = f (2x) ⇔ (2x − 1)2 = 2x ⇔ 4x2 − 6x + = ⇔ √  3+ x = 4√  3− (l) x= √ Å ã 4x − 4x + 3− Do đó, phương trình log2 = 6x − 4x có hai nghiệm phân biệt x1 = ; x2 = x √ 3+ √ Suy x1 + 2x2 = (9 + 5) Suy a = 9, b = ⇒ P = a + b = 14 Điều kiện Câu 13 Biết a = log30 10, b = log30 150 log2000 15000 = số nguyên, tính S = AS= x1 x2 B S = x1 a + y1 b + z1 với x1 ; y1 ; z1 ; x2 ; y2 ; z2 x2 a + y2 b + z2 C S= D S = Lời giải log30 15000 log30 150 + log30 10 = (1) log30 2000 log30 + log30 10 Ta có a = log30 10 = log30 + log30 ⇒ log30 = a − log30 (2) b = log30 150 = + log30 ⇒ log30 = b − thay vào (2) ta log30 = a − b + b + 2a 2a + b Ta có log2000 1500 = = a − b + + 3a 4a − b + x Suy S = = = x2 Ta có log2000 15000 = Chọn phương án A ® Câu 14 Cho số thực dương x, y khác thỏa mãn Giá trị x2 + xy − y logx y = logy x logx (x − y) = logy (x + y) 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Chọn phương án A 41 LÔGARIT A Lời giải ĐK: x > y ® Ta có PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN B logx y = logy x logx (x − y) = logy (x + y) C ⇔   logx y =  D logx y ⇔ logx (x − y) = logy (x + y)    y = (n)   x x = y(l)     log (x − y) = log x ⇔  y =  y = ® x x ⇔ ⇔  log (x − y) + log (x + y) =  log x2 − y = x x x xy = 2 x −y =1 x−1 (x + y) ⇒ x2 + xy − y = Chọn phương án D Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA √ √ √ √ Câu 15 Cho số thực dương a, b thỏa mãn log a + log b + log a + log b = 100 √ √ √ log b, log a, log b số nguyên dương Tính P = ab A 10164 B 10100 C 10200 D 10144 Lời giải √ √ √ √ Ta có: log a + log b + log a + log b = 100 √ √ √ √ 2 ⇔ log a + log b + log a + log b = 200 ⇔ log a + + log b + = 202 = 81 + 121(∗) √ √ √ √ Mà log a, log b, log a, log b số nguyên dương nên  ® ® 64 log a + =   (∗) ⇔    log a = 64 √ log a, a = 10    log b = 100  b = 10100 log b + = 11  ⇔ ® ⇔ ® log a = 100 log a + = 11   a = 10100 log b = 64 log b + = Vậy: P = ab = 1064 · 10100 = 10164 b = 1064 Chọn phương án A Câu 16 Cho log9 = a; log4 = b; log2 = c Biết log24 175 = A 27 B 25 Lời giải Ta có log24 175 = log24 · 52 = log24 + log24 = C 23 mb + nac Tính A = m+2n+3p+4q pc + q D 29 + = log7 24 log5 24 1 + = + = 3 3 log7 + log7 log5 + log5 + + log3 log2 log3 log2 2 + = + = 3 3 + + + + log2 · log3 log2 log3 log2 · log3 2b 2a c · 2a 2b · c 2b 4ac 2b + 4ac + = + = c c c+3 c+3 c+3 + + 2b 2b 2ac 2ac A = m + 2n + 3p + 4q = + + + 12 = 25 Chọn phương án B 41 LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu 17 Cho x, y số thực lớn thoả mãn x2 − 6y = xy Tính M = AM= B M = C M= + log12 x + log12 y log12 (x + 3y) DM= Lời giải Ta có x2 − 6y = xy ⇔ x2 − xy − 6y = (∗) Do x, y số thực dương lớn nên ta chia vế (∗) cho y ta x ñ Å ã2 =3 x = 3y(n) x x y − − = ⇔ x ⇔ Vậy x = 3y (1) y y y x = −2y(l) = −2 log12 12xy + log12 x + log12 y = (2) log12 (x + 3y) log12 (x + 3y)2 log12 36y = Thay (1) vào (2) ta có M = log12 36y Mặt khác M = √ Câu 18 Cho f (x) = a ln x + x2 + + b sin x + với a, b ∈ R Biết f (log(log e)) = Tính f (log(ln 10)) A B 10 C D Lời giải Đặt x0 = log(logÄe) ä Có: f (x0 ) = a ln x0 + x20 + + b sin x0 + = Å Å ãã Ta có f (log(ln 10)) = f log = f (− log(log e)) = f (−x0 ) ä log e Ä Ä ä f (−x0 ) = a ln x20 + − x0 + b sin(−x0 ) + = −a ln x0 + x20 + − b sin x0 + ỵ Ä ä ó = − a ln x0 + x20 + + b sin x0 + + 12 = −f (x0 ) + 12 = 10 Chọn phương án B Câu 19 Cho 9x + 9−x A P = 10 Lời giải Ta có a a + 3(3x + 3−x ) = với phân số tối giản Tính P = a · b = 14 x+1 1−x 2−3 −3 b b B P = −45 C P = −10 D P = 45 9x + 9−x = 14 ⇔ 32x + · 32x ·3−2x + 3−2x = 16 ⇔ 3x + 3−x = 16 ⇔ 3x + 3−x = 4· + 3(3x + 3−x ) + 3(3x + 3−x ) + 3(3x + 3−x ) = = − 3x+1 − 31−x − · 3x − · 3−x − · (3x + 3−x ) 6+3·4 18 a = = − ⇒ = − ⇒ ab = −45· 2−3·4 10 b Chọn phương án B Câu 20 Biết phương trình 27x − 271−x − 16 3x − x = log3 c với a ∈ Z, b > c > Tỉ số 3x + = có nghiệm x = a, x = log3 b b thuộc khoảng sau đây? c 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Chọn phương án B 41 LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN A (3; +∞) B ; 2 C 1; D ;3 Lời giải Ta có + = ⇔ 33x − 27 · 3−3x − 16 3x − · 3−x + = 0(1) 3x Đặt t = 3x − · 3−x ⇒ t3 = 33x − 27 · 3−3x − 33x − · 3−3x · 33x · · 3−3x = 33x − 27 · 3−3x − 33x − · 3−3x   x  2x t=1 − · 3−x = − 3x − = 27x − 271−x − 16 3x −    Khi (1) ⇒ t3 − 7t + = ⇒ t = −3 ⇒ 3x − · 3−x = −3 ⇔ 32x + · 3x − = t=2 3x − · 3−x = √ √  13 + 13 + x x = log3 3 =  √ √ √   b 13 +  ⇔ 3x = 21 − ⇔ x = log3 21 − ⇒ c = √21 − ≈ ·   2 x =3 x=1 32x − · 3x − = Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA  Chọn phương án D a b Câu 21 Cho hai số thực dương a, b thỏa log4 a = log6 b = log9 (a + b) Tính √ 1+ B A −1 − C Lời giải Đặt t = log4 a = log6 b = log9 (a + b)  t  a = ⇒ b = 6t   ⇒ 4t + 6t = 9t ⇔ t a+b=9 √ 4t t −1 + a = t = = b √ 2 t 2t  + −1=0⇔ 3  t t −1 + D √ √ −1 + = 2√ −1 − = (L) Chọn phương án D Câu 22 Gọi a nghiệm phương trình 4.22 log x − 6log x − 18 · 32 log x = Khẳng định sau đánh giá a? A (a − 10)2 = B a = 102 C a2 + a + = D a= 100 Lời giải Điều kiện x > Chia hai vế phương trình cho 32 log x ta Đặt t = Ta có 4t2 log x , t >  − t − 18 = ⇔  t = −2(L) t= log x − log x − 18 = 41 LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN log x Với t = ⇒ Vậy a = 100 = ⇔ log x = −2 ⇔ x = 100 Chọn phương án D Câu 23 Tổng nghiệm phương trình sau 7x−1 = log7 (6x − 5) + A B C D 10 Lời giải Điều kiện: x > Đặt y − = log7 (6x − 5) ta có hệ phương trình ® x−1 ® x−1 = 6(y − 1) + y − = log7 (6x − 5) ⇔ = 6y − y−1 ⇒ 7x−1 + 6x = 7y−1 + 6y (2) Chọn phương án B Câu 24 Bất phương trình 9x − 2(x + 5)3x + 9(2x + 1) ≥ có tập nghiệm S = [a; b] ∪ [c; +∞) Tính tổng a + b + c? A B C D Lời giải Đặt t = 3x , t > Bất phương trình cho trở thành: t2 − 2(x + 5)t + 9(2x + 1) ≥ ⇔ (t − 9)(t − 2x − 1) ≥ ® ® ® TH1: t−9≥0 t − 2x − ≥ ⇔ t≥9 t − 2x − ≥ ⇔ 3x ≥ 9(1) 3x − 2x − ≥ 0(2) Xét bất phương trình (2): Đặt g(x) = 3x − 2x − R g(x) = 3x ln − Gọi x0 nghiệm phương trình g(x) = 0, x0 > Khi đó, g(x) = có nhiều hai nghiệm Xét thấy, g(x) = có hai nghiệm x = x = Ta có bảng biến thiên 50 DẠNG TỐN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN = 6x − 5 Xét hàm số f (t) = 7t−1 + 6t với t > f (t) = 7t−1 ln + > 0, ∀t > ⇒ f (t) đồng biến nên 6 (2) ⇔ f (x) = f (y) ⇔ x = y ta có phương trình 7x−1 − 6x + = (3) 5 Xét hàm số g(x) = 7x−1 −6x+5 với x > g (x) = 7x−1 (ln 7)−6 ⇒ g”(x) = 7x−1 (ln 7)2 > 0, ∀x > 6 nên suy phương trình g(x) = có không hai nghiệm Mặt khác g(1) = g(2) = nên x = x = nghiệm phương trình (3) Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = Suy tổng nghiệm phương trình + = 41 LÔGARIT x −∞ g (x) PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN x0 − +∞ + +∞ +∞ g(x) g(x0 ) ñ Từ bảng biến thiên ta có, (2) ⇔ x≤0 x ≥ Ta lại có, (1) ⇔ x ≥ Kết hợp ® (1) (2) suy ra,® x ≥ (∗) Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA TH2: t−9≤0 t − 2x − ≤ ⇔ t≤9 t − 2x − ≤ ® ⇔ 3x ≤ 9(3) 3x − 2x − ≤ 0(4) Xét bất phương trình (4): Đặt g(x) = 3x − 2x − R g(x) = 3x ln − Gọi x0 nghiệm phương trình g(x) = 0, x0 > Khi đó, g(x) = có nhiều hai nghiệm Xét thấy, g(x) = có hai nghiệm x = x = Ta có bảng biến thiên x −∞ g (x) x0 − + +∞ g(x) +∞ +∞ 0 g(x0 ) Từ bảng biến thiên ta có, (4) ⇔ ≤ x ≤ Ta lại có, (3) ⇔ x ≤ Kết hợp (3) (4) suy ra, ≤ x ≤ (∗∗) Kết hợp (∗) (∗∗) ta tập nghiệm BPT cho S = [0; 1] ∪ [2; +∞) Chọn phương án D 2 Câu 25 Phương trình 2sin x + 3cos x = · 3sin x có nghiệm thuộc [−2017; 2017] A 1284 B 4034 C 1285 D 4035 Lời giải 2 2 2 Ta có 2sin x + 3cos x = · 3sin x ⇔ 2sin x + 31−sin x = · 3sin x Đặt sin2 x = t với t ∈ [0; 1], ta có phương trình t t +3· nghịch biến với t ∈ [0; 1] nên phương trình có nghiệm t = Do sin x = ⇔ x = kπ , k ∈ Z −2017 2017 Vì x ∈ [−2017; 2017] nên ta có −2017 ≤ kπ ≤ 2017 ⇔ ≤k≤ nên có 1285 giá trị nguyên π π k thỏa mãn Vậy có 1285 nghiệm 2t + = · 3t ⇔ 3t t +3· t = Vì hàm số f (t) = 41 LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Chọn phương án C Câu 26 Cho số thực dương x, y thỏa mãn log6 x = log9 y = log4 (2x + 2y) Tính tỉ số A x = y B x =√ y 3−1 C x =√ y 3+1 D x ? y x = y Lời giải Giả sử log6 x = log9 y = log4 (2x + 2y) = t Ta có:  t  x = t y=9 (1) (2)   2x + 2y = 4t Khi 6t x = t = y (3) t > Lấy (1), (2) thay vào (3) ta có  t t √ 3= √ (thảo mãn) 3−1 √ = − (loại) =1+ Chọn phương án B Câu 27 Số nghiệm phương trình 2log5 (x+3) = x A B C Lời giải Đk: x > −3 Đặt t = log5 (x + 3) ⇒ x = 5t − 3, phương trình cho trở thành 2t = 5t −3⇔ 2t +3= 5t Dễ thấy hàm số f (t) = ⇔ 5 t D t t +3· = (1) t +3· nghịch biến R f (1) = nên phương trình (1) có nghiệm t = Với t = 1, ta có log5 (x + 3) = ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = Chọn phương án B Câu 28 Phương trình 33+3x + 33−3x + 34+x + 34−x = 103 có tổng nghiệm A B C D Lời giải 33+3x + 33−3x + 34+x + 34−x = 103 (7) 27 81 1 + 81 · 3x + x = 103 ⇔ 27 · 33x + 3x + 81 · 3x + x = 103 3x 3 3 … Cosi 1 Đặt t = 3x + x ≥ 3x · x = 3 1 1 ⇒ t3 = 3x + x = 33x + · 32x · x + · 3x · 2x + 3x ⇔ 33x + 3x = t3 − 3t 3 3 3 10 10 Khi đó: (7) ⇔ 27 t3 − 3t + 81t = 103 ⇔ t3 = ⇔t= > 2(N ) 27 10 10 Với t = ⇒ 3x + x = (7) 3 (7) ⇔ 27 · 33x + (7) 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 2.6t + · 9t = 4t ⇔ 2t t  2 −2· −2=0⇔  3 41 LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN  Đặt y = 3x > Khi đó: (7) ⇔ y + y = 3(N ) 10 = ⇔ 3y − 10y + = ⇔  y y = (N ) Với y = ⇒ 3x = ⇔ x = 1 Với y = ⇒ 3x = ⇔ x = −1 3 Suy tổng nghiệm phương trình + (−1) = Chọn phương án A Câu 29 Tìm tập nghiệm S bất phương trình √ A (−∞; 0) ∪ [log3 2; +∞) B [0; log3 2) C D (0; +∞) √ 2; +∞ 0; ∪ Lời giải x √ Ta có bất phương trình: 3x + ≤ + √ x Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA +1 3x (3x + 1) + √ 3x + ⇔ 3x + ≤ 3x (3x + 1) + (*) Đặt t = 3x + > ⇒ 3x = t − Từ bất phương trình (*) ⇔  t≤ ® Trường hợp (t − 1)t ≥ ® Trường hợp 1 ® Å √ ãt 1009 t ⇒ 1+x =2 x2018 = 3t ⇒ 2t − √ √ = 3t ⇔ 2t − = ( 3)t ⇔ ( 3)t + = 2t ⇔ Å √ ãt + + t = (*) t nghịch biến liên tục (0; +∞) f (2) = nên phương trình (*) có nghiệm t = ⇒ x1009 = hay x0 = 1009 1 Mà < < nên < x0 < 1008 1009 1008 Chọn phương án C Câu 32 Phương trình log3 (cot x) = log2 (cos x) có nghiệm khoảng (0; 2018π)? A 2018 nghiệm B 1008 nghiệm C 2017 nghiệm D 1009 nghiệm Lời ® giải Đk: sin x > cosx > log3 (cot x) = log2 (cos x) ⇔ log3 (cot x)2 = log2 (cos x) ⇔ log3 cos2 x − log3 sin2 x = log2 (cos x) ⇔ log3 cos2 x − log3 − cos2 x = log2 (cos x) Đặt t = log2 cos x ⇒ cos x = 2t 22t Phương trình trở thành ⇔ log3 = t ⇔ 4t = 3t − 12t hay − 22t t Hàm số f (t) = + 4t đồng biến R Mặt khác f (−1) = nên x = −1 nghiệm phương trình Do phương trình có nghiệm t = −1 π log2 cos x = −1 ⇔ cos x = ⇔ x = ± + k · 2π  6053 − PT ⇔ · 32·log(10x) + · 22·log(10x) = 13 · 6log(10x) ⇔ · Đặt t = log(10x) 2 log(10x) − 13 · log(10x) + = > phương trình trở thành:  t=1   4t2 − 13t + = ⇔  ⇒ t= Suy tích nghiệm  log(10x) =1 log(10x) = ñ ⇔ 10 ⇔ log(10x) = x = 10 log(10x) =  x= Chọn phương án C √ Câu 37 Tập nghiệm bất phương trình 2.7x+2 + · 2x+2 ≤ 351 · 14x có dạng đoạn S = [a; b] Giá trị b − 2a thuộc khoảng đây? 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN log2x 41 LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN √ A 3; 10 B (−4; 2) C √ √ 7; 10 D 49 ; Lời giải Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA √ 2.7x+2 + · 2x+2 ≤ 351 · 14x √ ⇔ 49 · … 7x + 28 · 2x ≤… 351 · 14x 72x 22x ⇔ 49 · + 28 · ≤ 351 x x … 14 … 14 7x 2x + 28 · ≤ 351 ⇔ 49 · 2x 7x … 7x 28 ≤ 351 Đặt t = , t > bpt trở thành: 49t + x t … 7x 7 ⇔ ≤t≤ ⇒ ≤ ≤ ⇔ −4 ≤ x ≤ x 49 49 2 Khi S = [−4; 2] √ √ Giá trị b − 2a = 10 ∈ 7; 10 Chọn phương án C √ Câu 38 Tập nghiệm bất phương trình (2x − 2)2 < (2x + 2) − 2x − A S = (−∞; 0) B S = [1; +∞) C S = [0; 1) D S = [−3; +∞) Lời giải Điều kiện xác định: 2x − ≥ ⇔ 2x ≥ ⇔ x ≥ √ Đặt 2x − = t, (t ≥ 0) ⇒ 2x − = t2 ⇔ 2x = t2 + Bất phương trình trở thành: t2 + − < t2 + + (1 − t)2 ⇔ t2 − ® 2 2 ⇔ (t − 1) (t + 1) < t + (t − 1) ⇔ < t2 + (1 − t)2 (t + 1)2 < t2 + t=1 ® ⇔ t2 + 2t + < t2 + ® ⇔ t0 Đặt √ , x−1 v=2 điều kiện v > 41 LÔGARIT PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Bất phương trình trở thành uv + ≤ 2u + 2v ⇔ (uv − 2u) + (4 − 2v) ≤ ⇔ u(v − 2) − 2(v − 2) ≤ ⇔ (u − 2)(v − 2) ≤ ® ® u≥2 u−2≥0    v≤2  v−2≤0 ® ⇔ ⇔ ®    u≤2  u−2≤0 v≥2 v−2≥0 ® Kết hợp với điều kiện  ® u>0 v>0 ta 2x ≥ u≥2 x2 ≥  √  x−1≤1 ® ® x ≤ −1 ∨ x ≥   x−1≤1 ⇔ ®  −1≤x≤1 x ≤ −1 ∨ x ≥   x≤2 ⇔ ®  −1≤x≤1 x≥2 v≥2 x−1≥1 x−1≥1 x−1 ≥ ⇔ x ∈ (−∞; −1] ∪ [1; 2] Kết hợp điều kiện x ≥ 1, ta suy tập nghiệm bất phương trình cho S = [1; 2] Chọn phương án B √ √ x Câu 40 Tập nghiệm bất phương trình + 21 + − 21 A S = (−2; 1) B S = [−1; 1] C S = (1; 5] Lời giải √ x Ta có: + 21 √ ãx Å 5− 21 Å Đặt 5+ √ + − 21 x ≤ 2x+log2 ⇔ 5+ 21 ãx Å √ + − 21 D S = (1; +∞) x ≤ 2x √ ãx = , (t > 0), bất phương trình trở thành: t √ √ − 21 + 21 t + ≤ ⇔ t − 5t + ≤ ⇔ ≤t≤ t 2 =t⇒ 5+ √ 5− 21 √ 21 ≤ ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ 2 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [−1; 1] 21 21 x ≤ 2x+log2 ≤ √ Do √ ta có: Å 5− √ x 21 Chọn phương án B ãx 5+ Å ·5 ⇔ 5+ √ 21 ãx + 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN √    < x−1 ≤  0 thỏa mãn log4 a = log6 b = log9 (a + b) Giá trị √ −1... Kết hợp điều kiện: ≤ x < Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [0; 1) Chọn phương án C √ √ Câu 39 Bất phương trình 2x + x−1−1 + ≤ 2x + x−1 có tập nghiệm S = [a; b] Khi a + b A B C D 10 Lời giải... x−1 ≥ ⇔ x ∈ (−∞; −1] ∪ [1; 2] Kết hợp điều kiện x ≥ 1, ta suy tập nghiệm bất phương trình cho S = [1; 2] Chọn phương án B √ √ x Câu 40 Tập nghiệm bất phương trình + 21 + − 21 A S = (−2; 1) B S =