Thông tin tài liệu
CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ A Phương pháp giải a ,y m Với x x a m y Với x b m a ;y b a c b d x.y b a,b,m Z,m m a b ;x m ta có: a m y b m a b m c ta có: d ac ;x : y bd a c : b d a.d (với y b.c ) Các phép toán Q có tính chất giao hốn, kết hợp phân phối phép nhân phép cộng tập hợp Z Ngoài quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế tập hợp Z B Một số ví dụ Ví dụ Thực phép tính: a) 18 ; b) 23 ; Giải Tìm cách giải Khi thực phép tính có phép cộng trừ, ta thực ngoặc trước, thực từ trái qua phải Tuy nhiên có nhiều dấu (-) ta giảm bớt dấu (-) cách bỏ ngoặc Ngồi dùng tính chất giao hốn kết hợp nhằm giải tốn nhanh Trình bày lời giải a) 18 b) 23 18 23 18 2 18 18 b) 18 23 12 18 ; 23 1 23 Ví dụ Thực phép tính a) 13 : 14 21 : ; 7 : 13 : 13 Giải Trang Tìm cách giải Vì phép chia phép nhân số bị chia với số nghịch đảo số chia nên ta vận dụng tính chất phân phối: a:m b:m a b :m a:m b:m a b :m Trình bày lời giải a) 13 14 b) 21 13 : 7 10 21 : 13 7 Ví dụ Tìm x x ; 65 x 9 :x a) x c) x 2015 x 2014 x 2013 x 2012 x 2011 d) x 338 x 337 x 336 x 335 x b) 0; 5; 360 Giải Tìm cách giải Khi tìm x ta vận dụng tính chất sau: ax bx k a k A.B a b x k nên a a A k b k c k B a b c Trình bày lời giải a) x x x x 65 11 x 10 65 x 11 : 65 10 143 x b) 65 x 9 :x 4 :x x x hoặc x :x suy 12 Trang Vậy x c) 2; x 2015 x 2015 x 2013 2020 2014 2015 2014 x 2012 x 2020 2013 2014 2013 2013 2012 x x 2011 2020 2012 2012 2011 x 2020 2011 2011 nên x 0 2020 2020 x 338 Mà x 2020 x d) x 2014 2020 2015 x Vì 12 x 337 x 340 338 x 340 338 x 340 337 338 337 x 336 x 337 336 340 336 336 335 x 335 x 340 335 335 5 x x y 360 340 0 0 Suy x Ví dụ Tìm số ngun x, y biết: x 340 Giải Tìm cách giải Đối với dạng tốn này, ý ab k a,b Z,b a Ư(k), b Ư(k) Do quy đồng mẫu số, chuyển x, y vế, vế lại số nguyên Trình bày lời giải x y x Vì x; y Z y x 2y 2y x 40 2y ước lẻ 40 mà ước lẻ 40 là: 1; 5; -1; -5 nên ta có bảng giá trị: 2y -1 -5 y 40 -40 -8 Trang Từ suy x; y 40;0 , 8; , 40;1 , 8;3 Ví dụ Rút gọn biểu thức: a) A 5 13 19 27 11 11 11 11 19 27 b) B 101 11 101 39 52 123 11 123 134 ; 11 134 51 68 Giải Tìm cách giải Những biểu thức phức tạp, thực theo thứ tự dài dẫn đến sai lầm Quan sát kĩ, ta thấy có phần giống số dấu ta nên vận dụng tính chất phân phối k a k b k c k a b để rút gọn c Trình bày lời giải 5 13 19 27 11 11 11 11 19 27 101 11 101 a) Ta có: A 13 11 19 19 51 A 11 b) Ta có: B 27 27 123 11 123 134 11 134 1 101 123 134 1 11 101 123 134 6 11 39 52 51 68 2 13 13 17 17 1 : 4 Ví dụ Cho 2021 số nguyên dương a1;a ; a 2021 thỏa mãn: Trang a1 a2 1011 Chứng minh tồn số 2021 số nguyên a 2021 dương cho Giải Tìm cách giải Dạng tốn không cụ thể tường minh hai giá trị nào, mà cần tồn hai số số cho mà thơi Đối với dạng tốn thông thường dùng phương pháp phản chứng: Bước Phủ định kết luận Tức giả sử khơng có hai số ngun dương Bước Lập luận logic, chứng tỏ mâu thuẫn với đề cho điều hiển nhiên Bước Chứng tỏ giả sử sai Vậy kết luận đề Trình bày lời giải Giả sử 2021 số nguyên dương a1;a ; a 2021 thỏa mãn: khơng có hai số Khi 1 a1 a2 a 2021 1 2021 1010 1011 mâu thuẫn với đề Vậy có số 2021 số nguyên dương cho Nhận xét Trong lời giải toán trên, sau giả sử 2021 số nguyên dương khác so sánh chúng với 2021 số nguyên dương nhỏ Từ nhận thấy 2021 số nguyên dương nhỏ không thỏa mãn đầu Suy 2021 số khơng thỏa mãn đề dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết Ví dụ Cho a Tính giá trị: S b c 2070 a b b c c a b b c c a 90 c a a b Giải Trang Tìm cách giải Với điều kiện đề bài, khơng thể tính giá trị a, b, c Do cần biến đổi S nhằm xuất a + b + c Quan sát kỹ thấy phần kết luận tổng tử mẫu a a b b b c c a c a a b b b c c a , phân số có c Do cộng phân số với 1, có lời giải sau: Trình bày lời giải a Ta có S S S S b c b c a b a b c a c b 2070 c c 90 a b c a a a b c 23 c b c b a b c 1 a a b 20 Ví dụ Tìm x, biết: a) x x 0; b) 2x 3x Giải Tìm cách giải Đối với dạng toán ý kiến thức sau: A.B A B dấu A.B A B khác dấu Trình bày lời giải a) x x mà x Vậy với x b) 2x x x x nên suy ra: x 2 dấu x x x x x x 3x dấu, nên ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: 2x 3x 2x 3x x x ; Trường hợp 2: 2x 3x x 3x x x loại Trang Vậy với 2x x 3x Nhận xét Ngoài cách giải câu b, lập luận theo cách sau: 2x 3x x x Mà x x Vậy với x x x x 3 khác dấu nên suy ra: x 2x x x 3x 199 x x Ví dụ Chứng tỏ rằng: 1 199 200 101 102 200 Giải Xét vế trái, ta có: 1 199 1 199 200 1 199 1 200 101 102 199 2 200 200 100 200 Vế trái vế phải; Điều phải chứng minh Nhận xét Nếu vận dụng so sánh số hữu tỷ, ta có: 101 102 199 200 200 200 200 200 Từ bạn giải toán sau: Chứng tỏ rằng: 1 199 C Bài tập vận dụng 2.1 Viết số hữu tỉ 14 thành: 45 a) tích hai số hữu tỉ theo sáu cách khác b) thương hai số hữu tỉ theo sáu cách khác 2.2 Thực phép tính (tính nhanh có thể) Trang a) 5 3 b) 5 c) : 15 e) 13 35 36 ; 15 1 64 67 d) 23 13 30 6 14 ; 18 ; 1 : ; 15 13 18 13 2.3 Thực phép tính sau: 54 64 a) D 81 : : : ; 27 128 193 17 193 b) E 2.4 Rút gọn: A 386 11 : 34 1931 11 1931 3862 25 3 : 10 12 (Đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn, lớp 7, tỉnh Bắc Giang, năm học 2012 - 2013) 2.5 Tìm x, biết: a) ; 13 x c) 4x 2,5 x 0; b) d) x 2015 x ; x 2014 x 2013 x 2012 2.6 Tính: P 1 2 1 3 1 4 2.7 Tìm giá trị nguyên dương x y , cho: 1 16 x y y 16 2.8 Tìm số nguyên x, y biết: a) x y ; b) x y ; c) x Trang 2.9 Tính tổng M 19 x y 19 y z x 19 z z , biết: y 7x y z x 7y z x 7z x 2.10 Tìm số hữu tỉ x, y,z thỏa mãn: x 1.2 2.11 Cho biểu thức A a) A 51 52 53 3.4 99 5.6 133 10 y ;y y x Chứng minh rằng: 99.100 ; 100 ;z z b) 12 A 2.12 Cho 100 số hữu tỉ, tích số số âm Chứng minh rằng: a) Tích 100 số số dương b) Tất 100 số số âm 2.13 Cho 20 số nguyên khác 0: a1,a ,a , ,a 20 có tính chất sau: + a1 số dương + Tổng ba số viết liền số dương + Tổng 20 số số âm Chứng minh rằng: a1.a14 a14a12 a1.a12 2.14 Đặt A 1 1011 2019 B 1 1010 2020 So sánh A B 2.15 Cho 100 số tự nhiên a1;a ; ;a100 thỏa mãn a1 a2 a100 101 Chứng minh hai 100 số tự nhiên (Thi học sinh giỏi toán 7, huyện Yên Lạc, Vĩnh Phúc 2012 - 2013) 2.16 Cho ba số a, b, c thỏa mãn: a b c a b c Tìm giá trị nhỏ c HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 2.1 Trang a) 17 60 30 20 b) 17 60 c) 17 60 20 15 60 20 d) 17 60 60 12 30 20 30 11 30 12 13 60 2.2 a) b) 23 23 1 3 3 15 c) 13 30 13 30 : 30 e) 13 : 5 13 36 18 13 23 15 36 1 67 18 18 22 23 5 d) 35 35 64 67 64 14 64 1 64 14 67 67 30 13 30 7 ( 5) 5 13 2.3 a) D 27 32 27 81 : : 128 Trang 10 D 27 32 D 27 32 3 128 81 128 81 27 36 128 32 81 D 193 17 193 b) E 386 E 17 34 E 17 14 : 17 50 E : 17 15 10 A 11 : 34 25 11 50 11 50 11 1931 3862 25 9 :5 17 : 10 10 11 : 34 1931 2.4 A 128 32 81 17 18 : 10 12 12 12 12 12 11 : 10 12 12 11 72 55 2.5 13 a) x b) x c) 4x suy 4x x 5 2,5 hoặc x Vậy x 35 65 x x : 39 65 74 65 x x 27 18 15 18 16 18 26 18 13 2,5 15 14 15 ; 14 Trang 11 d) x 2015 Mà x 2014 x 2013 x 2012 1 x 2020 2015 x 2020 2014 x 2020 2013 x 2020 2012 x 2020 2015 x 2020 2014 x 2020 2013 x 2020 2012 x 2020 2014 2013 2015 2015 2014 2013 2012 2.6 Theo công thức: Suy ra: P 2.3 2 nên x 3.4 2012 n 4.5 0 2020 hay x 2020 n n 16.17 16 17 P P 1 2 17 P 17.18 2 2 76 2.7 Vì x y có vai trị nhau, khơng giảm tính tổng qt, giả sử x x y 1 y x y y y 10 Mặt khác x y y y 5 + Với y x x 30 + Với y x x loại 35 + Với y x x loại 40 + Với y x x loại 45 y 10 x y 6;7;8;9;10 30 Trang 12 + Với y x 10 10 x 10 x 10 Vậy cặp x; y 30;6 ; 6;30 ; 10;10 2.8 a) x 2y x1 2y 2y ước lẻ mà ước lẻ là: 1; 3; -1; -3 nên ta có bảng giá trị x; y Z 2y x -1 -3 -6 -2 Từ suy x; y b) 6;0 , 2;1 , x y 6; , x y x x y ước 6, mà Ư(6) 2; y x y 1;2;3;6; 1; 2; 3; Từ ta có bảng sau: x y -1 -2 -3 -6 -6 -3 -2 -1 Từ suy x; y c) y 4;6 , 5;3 , 6;2 , 9;1 , 2; , 1; , 0; , x 4 x y ước 4, mà Ư(4) x x y y -1 -2 -4 -4 -2 -1 4;4 , 5;2 , 7;1 , 2; , 1; , x y y z x y z y z z x x y z 1;2;4; 1; 2; nên ta có bảng giá trị: Từ đề bài, ta có: z 2.9 Từ đề suy ra: y y Từ suy x; y x x y z z x x 3; y x 133 :19 10 1; 17 10 133 :7 10 19 10 Trang 13 x y z x y z z y x y y x y 10 y x 19 10 y x z z x z z y z x z x x y z 49 10 y 49 10 z z x x y 49 10 x y z hay M 2.10 Ta có: x y y Suy ra: z z z x z mà: y z x y z 1 y ;z 3 100 x x y z x 1 ; ;0 Vậy x; y;z 2.11 a) Xét biểu thức ta có: 1.2 A 3.4 5.6 99.100 1 100 1 1 100 53 100 51 52 99 75 75 100 50 Vế trái vế phải Điều phải chứng minh b) Ta có: 51 52 53 100 50 50 50 25 ph©n sè Hay A 25 50 25 75 A 75 25 ph©n sè (1) Trang 14 51 52 53 100 75 75 75 100 100 25 ph©n sè Hay A 25 75 25 100 12 Từ (1) (2), suy ra: 12 100 25 ph©n sè (2) 12 A Điều phải chứng minh A 2.12 Đặt 100 số hữu tỉ a1;a ;a ; ;a100 a) Theo đề ta có: a1.a a Giả sử a1 ba số a1;a ;a tồn số âm 0 Xét a1;a ;a ; ;a100 a1 a a 3.a a 5.a a a 98.a 99.a100 theo đề bài: a 2a 3a Ta có: a1 0;a 5a 6a 0; ;a 98a 99a100 (có 33 nhóm) nên a1 a a 3.a a 5.a a a 98.a 99 a100 b) Theo đề ta có a 2a 3a Giả sử a mà a1a Xét a1.a a Xét a1.a a k với k 0 ba số a ;a ;a tồn số âm nên a 4,100 mà a1a ak 0 Vậy tất 100 số số âm 2.13 Ta có: a1 a2 a3 a4 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a 20 a4 0; ;a11 a12 a13 0;a15 a16 a17 0;a18 a19 a 20 a14 a10 a11 a12 a13 a14 a12 0;a14 a1.a14 ; 2019 Mà a1 0;a a3 Cũng vậy: a1 a2 a3 Mặt khác a12 Từ điều kiện a1 0;a12 a13 2.14 Đặt C 1011.A 1 D 2020 1010.B a14 a15 a14 a12 a16 a17 a18 a19 a 20 a1.a12 (điều phải chứng minh) Trang 15 a13 a Ta có C 1 C 2020 2 2 2020 D (1) Mặt khác D D 1010 2020 1010 (2) Từ (1) (2) D 1010 C D 1011.D 1010 C 1011 D hay A 1010 B 2.15 Giả sử 100 số nguyên dương a1;a ; ;a100 thỏa mãn: Khơng có hai số Khi 1 a1 a2 a100 1 1 99 2 100 101 mâu thuẫn với giả thiết Vậy có số 100 số nguyên dương cho 2.16 Vì 3c a nên a b c (vì a b c Vậy giá trị nhỏ c là: b 1) hay 3c a c c c ;b c c 3 Trang 16
Ngày đăng: 17/10/2022, 14:30
Xem thêm:
