Mặt phẳng SAI và SCI cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD.. Cho góc giữa hai mặt phẳng SAC và ABCD bằng 60.. PHẦN RIÊNG 3,0 điểm: Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng phần A hoặc
Trang 1LỚP HỌC THÊM NÂNG CAO KIẾN THỨC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013
Môn: TOÁN; Khối: B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
“Đề thi bám sát với lối ra đề của Bộ Giáo Dục & Đào Tạo”
( Ngày thi: 16 – 06 – 2013)
I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm )
Câu 1 ( 2 điểm) ( Sưu tầm!) Cho hàm số: 2x 1
y
x 1
−
=
− (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Tìm trên đồ thị (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M tạo với hai đường tiệm cận một tam
giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2
Câu 2 ( 1 điểm) ( Sưu tầm!) Giải phương trình sau: (1 cos x cot x− ) +cos 2x+sin x=sin 2x
Câu 3 ( 1 điểm) ( Sưu tầm!) Giải hệ phương trình sau:
2
x xy x 3 0
x 1 3 y 1 2 xy x y 2y 0
Câu 4 ( 1 điểm) Tính tích phân sau: 1 3 ( )
0
1
ln x 1 x.dx
1 x
+
∫
Câu 5 ( 1 điểm) ( Sưu tầm!) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc
0
ABC= 120 , O là giao điểm của AC và BD, I và E là trung điểm OB và AB tương ứng Mặt phẳng (SAI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Cho góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) bằng 60 Tính thể tích khối chóp S.ACE và khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và CE 0
Câu 6 ( 1 điểm) ( Sưu tầm!) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x+ + =y z 1 Chứng minh rằng:
xy z + yz x + zx y ≤ y z+z x+ x y
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7a ( 1 điểm) ( Sưu tầm!) Trong mặt phẳng Oxy; cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I
là giao điểm của hai đường thẳng d , d1 2lần lượt có phương trình: x− − =y 3 0 và x+ − =y 6 0.Trung điểm
M của cạnh AD là giao điểm của d1với trục Ox Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
Câu 8a ( 1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt cầu (S): x2+y2+ −z2 4x−4y+ =5 0
và hai điểm A(2 ; 3 ; 1) ; B(1 ; 2 ; 2) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm C(1 ; -1 ; 0) song song
với AB và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi là 2
3π
Câu 9a ( 1 điểm) Tính tổng sau: A=C02013+2 C2 22013+2 C4 42013+ + 22012C20122013
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7b ( 1 điểm) ( Sưu tầm!) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy; cho đường tròn ( )C :
( ) (2 )2
x 1− + +y 1 =2 và hai điểm A(0; - 4), B(4; 0) Tìm tọa độ hai điểm C, D sao cho ABCD là hình thang (AB // CD) và đường tròn (C) nội tiếp trong hình thang đó
Câu 8b ( 1 điểm) ( Sưu tầm!) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0),
C(0; 3; 2) và (P): x + 2y + 2 = 0 Tìm tọa độ điểm M sao cho M cách đều A, B, C và mặt phẳng (P)
Câu 9b ( 1 điểm) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z, biết z thỏa mãn: z− + =z 1 2z 1−
- HẾT -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC CỦA LỚP HỌC THÊM
Tập Xác Định: D = ℝ { }1
Sự biến thiên:
Ta có:
( )2
1
y '
x 1
−
=
−
Tại: x = 1 hàm số đã cho không xác định
Trên các khoảng (−∞;1) và ( )1;∞ thì f ' x( )<0 nên hàm số nghịch biến
0,25
Cực trị:
Hàm số đã cho không có cực trị
Giới hạn và đường tiệm cận:
Ta có:
x 1
lim y
−
xlim y1+
→ = +∞ ; Vậy: x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho
Ta có:
xlim y 2
xlim y 2
→+∞ = ; Vậy: y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho
0,25
Bảng biến thiên:
x −∞ 1 +∞
f’(x) - - f(x)
2 −∞
+∞
2
0,25
Đồ thị:
0,25
b) Gọi 0
0 0
0
2x 1
M x ;
x 1
−
là tiếp điểm ⇒ PTTT tại M là 0 d : y=f ' x( )(0 x−x0)+yo
( )2( 0) 0
0 0
2x 1 1
x 1
x 1
−
−
2
0 0
2x 2x 1 x
d : y
0,25
1
Gọi I là giao điểm của 2 tiệm cận⇒I 1; 2( ) ; Gọi A là giao điểm của d và tiệm cận đứng
Xét hệ phương trình: ( ) ( )
2
0 0
0
0 0
2x 2x 1
A 1;
2x
x 1
x 1
NGƯỜI GIẢI ĐỀ: Nguyễn Thanh Phong - TRANG - 1 TEL: 01674.633.603
a) Giao điểm của đồ thị với
các trục tọa độ
+ Giao điểm của đồ thị với
trục Ox
y = 0 <=> x = 1/2
+ Giao điểm của đồ thị với
trục Oy
x = 0 <=> y = 1
b) Nhận xét
+ Đồ thị hàm số nhận giao
điểm B(1 ; 2) của hai tiệm
cận làm tâm đối xứng
Trang 3Câu Nội Dung Điểm
Gọi B là giao điểm của d và tiệm cận ngang Xét hệ phương trình:
2
0 0
0
2x 2x 1 x
B 2x 1; 2
y 2
y 2
=
=
0,25
Vì IAB∆ vuông tại I⇒ABlà đường kính⇒AB=2 2
0
0
2x
x 1
−
2
0
1
x 1
−
0
0
x 0
x 1 1
x 2
=
=
( thõa mãn điều kiện x0 ≠1)
0,25
1
+) Với x0 =0⇒M0( )0;1 ; +) Vớix0 =2⇒M0( )2;3 0,25
Điều kiện: sin x 0 x k (k )
2
π
Phương trình đã cho tương đương với phương trình sau:
(1 cos x cos x)
cos 2x sin x 2sin x.cos x sin x
−
cos x cos x sin x.cos 2x sin x 2sin x.cos x 0
cos x 2sin x cos x sin x cos x sin x cos 2x 0
cos x.cos 2x cos 2x sin x.cos 2x 0
⇔ − + = ⇔cos 2x sin x( +cos x 1− =) 0
cos 2x 0 sin x cos x 1 0
=
0,25
+) Với: cos 2x= ⇔0 2x =k2π ⇔ = πx k (k∈ℤ ) 0,25
2
sin x cos x 1 0 sin x cos x 1 sin x
π
x k2
4 4
k
4 4
π π
ℤ
Vậy: x= πk ; x=k2π là nghiệm của phương trình đã cho
0,25
( )
2
x xy x 3 0 1
x 1 3 y 1 2 xy x y 2y 0
; Điều kiện: 2 x R
x y 2y 0
y 0
∈
≥
2 ⇔ x +2x 1 3y+ + + −3 2x −2x− −6 2 x y+2y =0
x 3y 2 2 y x 2 0
3
x 2 2 y x 2 3y 0
2
3 y
x 2
2 0
+ (*)
Đặt:
2
x 2 t
y
+
t x 2
+ ; t≥0 ; ( ) 2
( )
t 1
t 3 loai
=
= −
0,25
Trang 43
t = ⇔1 x + =2 y ⇔ =y x +2
y 3
= −
⇒
=
là nghiệm của phương trình đã cho
0,25
0
1
1 x
+
x
I dx x ln x 1 dx
x 1
+
Đặt:
1
1 3 0
x
x 1
=
+
∫ ; 2 1 ( )
0
I =∫x ln x 1 dx+
t= x 1+ ⇒ t = +x 1⇒3t dt=dx ; x=0⇒t =1 ; x=1⇒t = 3 2
( )
3 2 3
2 1
1
t 1
t
−
4
1
∫
0,25
u ln x 1 du dx
x 1
+ ;
2
1
dv xdx v x
2
2
1
0
2 1 1 ln x 1 1
+
0,25
4
3
1 2
6 4 3 4 1 9 13 3
5 2 4 10 20 10
−
A B
C
D
D' E
I
O S
x
y
z
120 0
0,25
Vì: ABC=1200 ⇒∆BCD đều a a
SI IO.tan 60
4
2
CEA E ; AC B; AC
S d AC d AC a 3
S.ACE ACE
1 1 a 3 a 3 a
0,25
5
Gọi D’ là điểm đối xứng của E qua A ⇒ CE//DD’ ( CE ;SD ) ( CE ; SDD ' ( ) ) E.SDD '
SDD '
3V
S∆
NGƯỜI GIẢI ĐỀ: Nguyễn Thanh Phong - TRANG - 3 TEL: 01674.633.603
Ta có:
SAC ABCD AC
SI ABCD
SO Ac
⊥
∩
0
SOI 60
Trang 5S.EDD '
SDD '
3V
S∆
3
S.EDD ' EDD '
1 1 a 3 a 3 1 a
8
Ta có:
2 2
2 2 3a 9a a 3
SD SI ID
16 16 2
DD ' ED D 'E
2
2
D 'I Bi D 'B 2 cos IBD '.BI.BD '
16
SD ' SI D 'I
2
SD D 'S D 'D 5 cos DSD '
2SD.SD ' 6 3
6 3
2
SDD '
S sin DSD '.SD.SD '
∆
83
0,25
*) Tính khoảng cách giữa CE và SD ta có thể giải bằng phương pháp tọa đô như sau:
Chon hệ trục tọa độ như hình vẽ: O( 0; 0 ; 0) ; a 3
C ;0;0 2
a 3
A ;0;0
2
−
a
D 0 ; ;0
2
;
a
B 0; ;0
2
−
a
I 0; ;0
4
−
a a 3
S 0; ;
4 4
−
a 3 a
0,25
5
( CE ;SD )
CE ;SD CD 6a d
83
CE ;SD
0,25
Ta có:
xy
xy z ≤ xy 1 x y ≤ xy 2 xy 1≤1 xy
x y xy
x y
xy z 1 xy 1 2 x y 1 z
2
+
( Dựa vào bất đẳng thức phụ: Nếu 0< ≤a b thì: a b
1 a ≤1 b
Tương tự: yz 1 x
yz x 1 x
−
≤ + + ;
zx 1 y
zx y 1 y
−
≤
0,25
Vậy: Vế trái 1 x 1 y 1 z
1 x 1 y 1 z
+ + + ; ta cần chứng minh BĐT:
1 x 1 y 1 z x y z
1 x 1 y 1 z y z z x x y
1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z
3x 1 3y 1 3z 1
0
1 x 1 y 1 z
− − − (1)
0,25
6
Ta đi chứng minh (1): Ta có: 3x 12 27 1
x
− (*)
( Sử dụng phương pháp : “viết phương trình tiếp tuyến” thì mới tìm được BĐT (*) )
Thật vậy: ( ) ( ) (2 )
* ⇔ − 3x 1− 1 3x+ ≤0 ( luôn đúng) Tương tự: 3y 12 27 1
y
− ; 2 ( )
3z 1 27
z 1
1 z− ≥ 8 −
−
0,25
Trang 66
3x 1 3y 1 3z 1 27 27
1 x 1 y 1 z x y z
1 x 1 y 1 z y z z x x y
y z z x x y
+ + + (đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 1
x y z
3
= = =
0,25
A Theo chương trình Chuẩn
C D
M
d
1
2
( )
x 3
M 3;0
y 0
=
=
0,25
Vì M∈d1 ; I∈d1 nên d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với AD1 ⇒ud 1( )1;1 là
VTCP của d1
1
d
u
⇒ là VTPT của AD⇒PTTQ AD: x+ − =y 3 0 0,25
1
A A; d
2
( C; AD ) A A
9 x x 3 6
= = = = ; Vì SABCD =12⇔ 2 2xA −6 3 2 =12
A A
A
x 4
x 3 1
x 2
=
=
0,25
7a
+) Với: xA =4⇒A 4;1( ) ; C(5 ; 4) ; D(2 ; -1) ; B(7 ; 4)
+) Với: xA =2⇒A 2;1( ) ; C(7 ; 1) ; D(4 ; -1) ; B(5 ; 4) 0,25
Ta có: ( ) ( ) (2 )2 2 ( )
S : x−2 + −y 2 +z =3⇒I 2; 2;0 là tâm và R= 3 là bán kính Gọi (P): ax + by + cz + d = 0 là mặt phẳng đi qua C⇔ − + =a b d 0 (1)
a b c 0
0,25
Gọi r là bán kính đường tròn là giao tuyến của (P) và (S) 2
2 r
3
3
⇔ =
Ta có: (2I ; p ( ) ) 2 2
8
3
2
2 2 2
2a 2b d 8
a b c 3
3 2a 2b d 8 a b c
⇔ + + = + + (3)
0,25
8a
(3) ta được: −24bd 13d+ 2 =0
d 0 24b d
13
=
=
0,25
NGƯỜI GIẢI ĐỀ: Nguyễn Thanh Phong - TRANG - 5 TEL: 01674.633.603
Xét hệ phương trình:
9 x
y 2
=
− − =
⇔
+ − =
9 3
I ;
2 2
Xét hệ phương trình: x y 3 0
y 0
− − =
=
Trang 78a
+) Với: d = 0⇒a=b ; c=2b⇒( )P : bx+by+2bz+ = ⇔0 0 ( )P : x+ +y 2z=0
+) Với: 24b 11b 2b ( ) 11b 2b 24b
( )P : 11x 13y 2z 24 0
0,25
2013 2013 2013
A=C +2 C + + 2 C Xét: ( )2013 0 1 2 2 2013 2013
2013 2013 2013 2013
Xét: ( )2013 0 1 2 2 2013 2013
2013 2013 2013 2013
( )2013 ( )2013 ( 0 2 2 2012 2012)
2013 2013 2013
1 2 1 2 2 C 2 C 2 C
9a
2013
2A 3 1 A
2
+
B Theo chương trình Nâng cao
I H
D
PTTQ
⇒ HK: x + y = 0 Xét hệ phương trình:
H 2; 2 K 0;0
x y 4 0 y 2
0,25
Gọi AD: y = kx + b; Vì A∈AD ⇔ − =4 k.0+ ⇔ = −b b 4⇒AD : y=kx−4
( I ; AD ) 2
k 1
k 3
k 7
k 1
=
= − + ; Với k = 1⇒AD : y= −x 4 ( loại) Với k = - 7⇒AD : y= − −7x 4
Gọi AD: x + a = 0 ; Vì A∈AD⇔ =a 0⇒AD : x=0; mà d( I ; AD ) = ≠1 2 nên AD: x= 0
không thỏa mãn
0,25
Lập luận tương tự thì phương trình BC: 1 4
7 7
7b
Xét hệ phương trình:
1 x
D ;
y 2
−
=
− =
Xét hệ phương trình:
1
1 1 2
C ;
1 4
y
7 7
2
0,25
8b Gọi M(x ; y ; z) Theo bài ra:
( )
2 2
MA MB
MA MC
MA d
=
0,25
Ta có: I(1 ; -1) là tâm và R = 2 là bán kính
của (C) ; ta có: AB=( )4; 4 ⇒nAB =(1; 1− ) là
VTPT của AB⇒PTTQ AB: x – y – 4 = 0
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên AB
Gọi K là điểm đối xứng của H qua I⇒K∈DC
Ta có: AB là VTPT của HK
Trang 8( ) ( ) ( )
2
2 2 2
x 2y 2
5
Từ ( )1 và ( )2 2x 2y 0
2x 6y 4z 12
y x
z x 3
=
= − +
0,25
( ) ( )2 2 ( ) (2 x 2x 2)2
5
23 x 3
x 1
=
=
0,25
8b
+) Với: 23 23 23 14
; +) Với: x=1⇒M 1;1; 2( ) 0,25
Gọi số phức z= +x yi ; (x, y∈R) ; ⇒ z = −x yi
Theo bài ra: x+ − + + =yi x yi 1 2x+2yi 1+ 0,25
1 2yi 2x 1 2yi 1 4y 2x 1 4y
2x 1 1
x 1
=
= −
9b
Vậy: tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x = 0 hoặc x = 1 0,25
Chú ý: “Nếu thí sinh làm bài khác với cách giải trong đáp án, nhưng vẫn
đúng với kết quả thì được tính điểm như bình thường”
NGƯỜI GIẢI ĐỀ: Nguyễn Thanh Phong - TRANG - 7 TEL: 01674.633.603
