SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT ĐỢT TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN TOANMATH.com Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 07/10/2022 Câu (3,0 điểm) 2 x − y + x + y = y −1 − x Giải hệ phương trình: 2 x − 11y + 32 = y − ( x, y ) Câu (2,0 điểm) Cho dãy số ( un ) u1 = 2023 xác định sau: 2022un3 + 2022un u = n+1 2022u − u + 2022 , n n n n ui2 n →+ 2n + i =1 + ui Tính lim * Câu (5,0 điểm) Cho đường tròn ( O ) hai điểm A, B cố định nằm đường tròn ( O ) cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng Xét điểm C đường trịn ( O ) cho tam giác ABC khơng cân C Gọi ( O1 ) đường tròn qua A tiếp xúc với BC C; ( O2 ) đường tròn qua B tiếp xúc với AC C Hai đường tròn ( O1 ) ( O2 ) cắt điểm thứ hai D (D khác C) a) Tiếp tuyến đường tròn ( O ) C cắt đường thẳng OD S Chứng minh OA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADS b) Chứng minh đường thẳng CD qua điểm cố định điểm C di động đường tròn ( O ) (tam giác ABC không cân C) Câu (2,0 điểm) a) Cho k số nguyên lớn Chứng minh 2k −1 + không chia hết cho k b) Tìm tất cặp số nguyên tố p q thỏa mãn p + 2q chia hết cho p.q Câu (3,0 điểm) Tìm tất hàm số f : → y thỏa mãn: xf ( y ) − yf ( x ) = f với x, y x x Câu (2,0 điểm) Cho tập hợp X có 2023 phần tử Hỏi có tất cách chọn hai tập hợp khác X cho giao hai tập hợp tập hợp có phần tử? Câu (3,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện y2 zx , z xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= z y 2022 z 2023 + + 2023 2023 z+ y y+x z +x HẾT