Nhập môn toán tài chính doc

Hanoi Center for Financial and Industrial Mathematics Trung Tâm Toán Tài Chính và Công Nghiệp Hà Nội NHẬP MÔN TOÁN TÀI CHÍNH QUYỂN 1 GS. Đỗ Đức Thái GS. Nguyễn Tiến Dũng Hà Nội – Toulouse, 2011 2 Bản thảo này: Ngày 19 tháng 1 năm 2011 c Hanoi Center for Financial and Industrial Mathematics Chương 1 Giải tích ngẫu nhiên Theo ngôn ngữ toán học, sự biến động theo thời gian của giá cả (như giá vàng, giá dầu hỏa, giá cổ phiếu của công ty Intel, v.v.), cũng như của các số liệu khác (ví dụ như mức tăng trưởng kinh tế, tỷ lệ thất nghiệp, v.v.) được gọi là các quá trình ngẫu nhiên (random process), bởi vì nói chung không ai có thể biết trước được một cách chính xác giá trị của chúng trong tương lai sẽ ra sao. Để nghiên cứu các quá trình ngẫu nhiên này, chúng ta sẽ cần dùng đến một bộ phận của toán học gọi là giải tích ngẫu nhiên (stochastic culculus). Giải tích ngẫu nhiên tức là giải tích toán học (các phép tính giới hạn, vi tích phân, v.v.) áp dụn vào các quá trình ngẫu nhiên, dựa trên cơ sở của lý thuyết xác suất thống kê. Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu sơ lược một số kiến thức quan trọng nhất về giải tích ngẫu nhiên, cần thiết cho toán tài chính. Bạn đọc muốn nghiên cứu sâu thêm về giải tích ngẫu nhiên có thể tìm đọc các sách chuyên khảo, ví dụ như quyển sách của Karatzas và Shreve [12] hoặc quyển sách của tác giả Nguyễn Duy Tiến [17]. 1.1 Một số mô hình biến động giá chứng khoán Ở phần này, chúng ta sẽ coi giá S của một cổ phiếu (hay nói một cách tổng quát hơn, của một chứng khoán có giá dương) như là một quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị trong tập hợp các số thực dương, và chúng ta sẽ xét một số mô hình hệ động lực ngẫu nhiên một chiều đơn giản mô tả chuyển động của S theo thời gian. Chú ý rằng, do chỉ có 1 chiều, nên các mô hình này tương đối thô: sự tương tác giữa các thành phần của thị trường không đưa được vào mô hình, và mô hình chỉ dựa trên các phương trình bậc 1, thay vì phương trình bậc 2 như trong vật lý. Tuy là các mô hình tương đối thô, nhưng 3 4 CHƯƠNG 1. GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN chúng vẫn rất quan trọng trong việc phân tích sự biến động giá của các cổ phiếu. Trước hết, chúng ta sẽ định nghĩa một cách hình thức toán học thế nào là một quá trình ngẫu nhiên. 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên Các quá trình biến đổi theo thời gian, ví dụ như giá cổ phiếu, lượng nước mưa trong tháng, số người mắc bệnh cúm, v.v., mà ta không thể dự đoán được trước một cách chính xác, thì được gọi là các quá trình ngẫu nhiên. Để mô tả một quá trình ngẫu nhiên theo ngôn ngữ toán học, ta cần các yếu tố sau: - Thời gian. Theo qui ước, có một mốc thời gian ban đầu, là 0. Thời gian t có thể là biến đổi liên tục, t ∈ R + , hoặc rời rạc, tức là ta chỉ xét một dãy các mốc thời điểm 0 = t 0 < t 1 < t 2 < . . . nào đó. Trong trường hợp rời rạc, để cho đơn giản, ta sẽ giả sử thêm là các bước thời gian là bằng nhau, tứ là t i − t i−1 = τ là một hằng số không phụ thuộc vào i. Nhiều khi, ta sẽ dùng dãy số nguyên không âm 0, 1, 2, . . . để ký hiệu các mốc thời gian, thay vì dùng các thời điểm t 0 , t 1 , t 2 , . . . - Không gian xác suất. Với mỗi mốc thời gian t, có một không gian Ω t tất cả các tình huống có thể xảy ra từ thời điểm ban đầu cho đến thời điểm t. Không gian này là không gian xác suất, với một độ đo xác suất P t đi kèm (tức là xác suất của các tình huống có thể xảy ra cho đến thời điểm t). Nếu s và t là hai mốc thời điểm nào đó với s ≤ t, thì ta có một phép chiếu tự nhiên π t,s : (Ω t , P t ) → (Ω s , P s ) (1.1) Khi ω t là một tình huống có thể xảy ra cho đến thời điểm t, thì π s,t ω t là tình huống đó nhưng chỉ tính đến thời điểm s, bỏ qua những gì xảy ra sau thời điểm s. Các phép chiếu π s,t thỏa mãn các tính chất tự nhiên sau: a) Toàn ánh (surjective), tức là mọi tình huống có thể xảy ra cho đến thời điểm s thì phải có thể tiếp diễn để trở thành tình huống có thể xảy ra cho đến thời điểm t. b) π t,t là ánh xạ đồng nhất trên Ω t . c) Bắc cầu: π r,s ◦ π s,t = π r,t với mọi r ≤ s ≤ t. d) Bảo toàn xác suất, có nghĩa là là nếu A ∈ (Ω s , P s ) là tập đo được (tức là tồn tại xác suất P s (A)), thì ảnh ngược của nó trong (Ω t , P t ) có cùng xác suất với nó: P t (π −1 s,t (A)) = P s (A). (1.2) Một dãy các không gian xác suất (Ω t , P t ) với các phép chiếu π s,t thỏa mãn các tính 1.1. MỘT SỐ MÔ HÌNH BIẾN ĐỘNG GIÁ CHỨNG KHOÁN 5 chất phía trên sẽ được gọi là một họ lọc các không gian xác suất (filtered family of probability spaces). Các không gian xác suất (Ω t , P t ) có thể được gộp chung lại thành một không gian xác suất (Ω, P ) tất cả các tình huống có thể xảy ra (cho mọi thời gian): mỗi phần tử ω ∈ Ω ứng với một họ các phần tử ω t ∈ Ω t thích hợp với nhau, có nghĩa là π s,t ω t = ω s với mọi s < t. Ta có thể viết: (Ω, P) = lim t→∞ (Ω t , P t ), (1.3) với các phép chiếu tự nhiên π t : (Ω, P) → (Ω t , P t ), (1.4) cũng thỏa mãn các tính chất toàn ánh, bắc cầu, và bảo toàn xác suất như phía trên. Nhắc lại rằng (xem Chương 1 của [5]), đi kèm với mỗi một không gian xác suất là một sigma-đại số các tập con đo được của nó, tức là các tập con mà định nghĩa được xác suất của nó. Sigma-đại số các tập đo được trên (Ω, P ) là F =  t F t (1.5) trong đó F t là ảnh ngược của sigma-đại số trên (Ω t , P t ) qua phép chiếu π t : một phần tử của F t là một tập con của Ω có dạng π −1 t (A t ) trong đó A t ⊂ Ω t sao cho tồn tại P t (A t ), và khi đó ta có P (π −1 t (A t )) = P t (A t ), (1.6) có nghĩa là các ánh xạ π t bảo toàn xác suất. Từ các tính chất trên của họ lọc (Ω t , P t ), dễ thấy rằng F s ⊂ F t với mọi s ≤ t. Họ F t các sigma-đại số con của F với tính chất này và tính chất F =  t F t được gọi là một lọc (filtration) của F. Bộ ba (Ω, F t , P), trong đó (Ω, P ) là một không gian xác suất và (F t ) là một lọc của sigma-đại số của P , được gọi là một không gian xác suất có lọc (filtered probability space). - Biến ngẫu nhiên thay đổi theo thời gian. Nếu ta có một quá trình lọc các không gian xác suất (Ω t , P t ), và với mỗi mốc thời gian t ta có một biến ngẫu nhiên S t thực với không gian xác suất tương ứng là (Ω t , P t ), có nghĩa là một hàm đo được S t : Ω t → R, (1.7) (xem Chương 2 của [5] về các khái niệm cơ bản về biến ngẫu nhiên), thì ta nói rằng ta có một quá trình ngẫu nhiên (stochastic process) S trên mô hình xác suất (Ω t , P t ). Hàm S t : S t : Ω t → R chính là hàm giá trị của quá trình ngẫu nhiên S tại thời điểm t. 6 CHƯƠNG 1. GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN Ta có thể coi S t như là biến ngẫu nhiên trên Ω qua các phép chiếu π t : S t ◦ π t : Ω → R. (1.8) Để cho tiện, ta cũng sẽ ký hiệu S t ◦π t là S t , khi đó nó là hàm số trên Ω t và đo được theo sigma-đại số F t . Từ đó, ta có định nghĩa sau về quá trình ngẫu nhiên, là định nghĩa được dùng trong các tài liệu toán: Định nghĩa 1.1. Giả sử ta có một không gian xác suất có lọc (Ω, F t , P), và một họ các hàm số S t : Ω → R, sao cho S t là đo được theo sigma-đại số F t với mọt t (trong tập các mốc thời gian của lọc). Khi đó họ S t được gọi là một quá trình ngẫu nhiên với mô hình xác suất (Ω, F t , P) và tương thích (compatible) với lọc F t . Trong định nghĩa 1.1, các không gian (Ω t , P t ) bị bỏ qua. Nhưng để cho tiện, trong quyển sách này, khi xét các quá trình ngẫu nhiên, ta sẽ luôn coi là không gian xác xuất lọc (Ω, F t , P) được sinh bởi một họ lọc các không gian xác suất (Ω t , P t ), và mỗi quá trình ngẫu nhiên S đều được định nghĩa qua một họ các biến ngẫu nhiên S t : (Ω t , P t ) → R. Các quá trình ngẫu nhiên như vậy tất nhiên đều là các quá trình ngẫu nhiên tương thích với lọc F t . Khi ta giả sử rằng tình huống ω xảy ra, thì quá trình ngẫu nhiên S trở thành một hàm số xác định theo biến thời gian: t → S t (ω). Hàm số S ω (t) := S t (ω) này được gọi là một đường đi (sample path) của S, ứng với tình huống ω. Nếu s < t, và ta biết là tình huống ω s xảy ra cho đến thời điểm s, thì ta biết giá trị S(s) = S s (ω s ) của quá trình ngẫu nhiên tại thời điểm s (và các thời điểm trước đó), nhưng chưa đủ thông tin để biết giá trị của S tại thời điểm t. Nói các khác, nếu t > s thì S t cũng là biến ngẫu nhiên tại thời điểm s, tuy đã biết tình huống nào xảy ra cho đến thời điểm s. Nhưng khi đã biết ω s , thì không gian xác suất của S t không còn là không gian (Ω t , p t ), mà là không gian xác suất có điều kiện (Ω t | ω s := {ω t ∈ Ω t | π s,t (ω t ) = ω s }, P t | ω s ) (1.9) với xác suất có điều kiện P t | ω s . Trong trường hợp mà P s (ω s ) > 0 thì xác suất có điều kiện P t | ω s có thể được định nghĩa theo công thức thông thường: P t | ω s (A) = P t (A|ω s ) = P t (A) P s (ω s ) (1.10) với mọi A đo được trong Ω t | ω s . Trong trường hợp mà P s (ω s ) > 0 thì định nghĩa xác suất có điều kiện phức tạp hơn, phải thông qua các giới hạn; chúng ta sẽ coi rằng các xác suất 1.1. MỘT SỐ MÔ HÌNH BIẾN ĐỘNG GIÁ CHỨNG KHOÁN 7 có điều kiện này tồn tại và thỏa mãn các tính chất thường dùng (xem [5] về xác suất có điều kiện cho biến ngẫu nhiên). Hoàn toàn tương tự như trên, ta có thể định nghĩa quá trình ngẫu nhiên với giá trị là vector, hoặc tổng quát hơn, quá trình ngẫu nhiên trên một đa tạp hay một không gian metric nào đó. 1.1.2 Mô hình một bước thời gian Trong mô hình một bước thời gian, ta chỉ quan tâm đến giá cổ phiếu S T tại một thời điểm T trong tương lai, và ta muốn dự đoán S T . Vì S T có tính ngẫu nhiên, nên việc dự đoán S T không có nghĩa là dự đoán 1 con số duy nhất cho S T , mà là dự đoán theo nghĩa xác suất: Cái mà chúng ta có thể làm là, dựa trên các thông tin có được, xây dựng một không gian xác suất (Ω T , P T ) các tình huống có thể xảy ra đến thời điểm T, và biểu diễn S T như là một biến ngẫu nhiên, với mô hình không gian xác suất là (Ω T , P T ): S T : (Ω T , P T ) → R + (1.11) Nhắc lại rằng (xem Chương 2 của [5]), mỗi biến ngẫu nhiên Y : (Ω, P ) → R trên một mô hình không gian xác suất (Ω, P) cho một phân bố xác suất P Y trên R theo công thức push-forward: P Y (A) = P (Y −1 (A)) (1.12) cho mọi đoạn thẳng A ⊂ R, và ta có thể định nghĩa các đại lượng đặc trưng của Y , ví dụ như các moment bậc k: M k (Y ) =  Ω Y k dP =  R y k dP Y (y). (1.13) Tuy rằng Y là ngẫu nhiên, nhưng một khi ta đã biết phân bố xác suất của nó, thì các đại lượng đặc trưng của nó là không ngẫu nhiên, được xác định, và cho ta các thông tin về Y . Trong các đại lượng đặc trưng, có hai đại lượng quan trọng nhất, là kỳ vọng và phương sai. Kỳ vọng E(Y ) của Y là: E(Y ) =  R ydP Y (y), (1.14) và phương sai σ 2 (Y ) của Y là: σ 2 (Y ) =  R (y − E(Y )) 2 dP Y (y) = E(Y 2 ) −(E(Y )) 2 . (1.15) 8 CHƯƠNG 1. GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN Căn bậc hai của phương sai, σ(Y ), được gọi là độ lệch chuẩn của Y. Khi mà phương sai càng nhỏ, thì tức là các giá trị của Y càng gần giá trị kỳ vọng của nó, có nghĩa là độ ngẫu nhiên (bất xác định) của Y càng nhỏ. Bởi vậy phương sai (hay độ lệch chuẩn) chính là một thước đo độ ngẫu nhiên, bất xác định. Trong trường hợp mà biến ngẫu nhiên là giá cổ phiếu S T , đại lượng µ = E(S T ) −S 0 S 0 , (1.16) trong đó S 0 là giá cổ phiếu tại thời điểm 0, chính là mức lợi nhuận kỳ vọng của cổ phiếu S cho khoảng thời gian từ 0 đến T , còn σ = σ(S T ) S 0 , (1.17) là một đại lượng đo độ bất xác định của giá cổ phiếu, theo mô hình dự đoán. Ta có thể coi S như là một quá trình ngẫu nhiên với chỉ có 2 mốc thời gian 0 và T, và không gian xác suất chính là (Ω T , P T ). Hệ động lực ngẫu nhiên mô tả chuyển động của S sau 1 bước thời gian, từ 0 đến T, có thể được viết dưới dạng phương trình sai phân: ∆S = µS + σSE, (1.18) trong đó: • S = S 0 là giá cổ phiếu tại thời điểm 0, • ∆S = S T − S 0 là độ thay đổi giá cổ phiếu từ thời điểm 0 đến thời điểm T, • µ là mức lợi nhuận kỳ vọng, còn được gọi là hệ số drift (độ chuyển dịch) của mô hình, • σ là hệ số đo độ bất xác định của giá S T , hay còn gọi là hệ số volatility (độ dễ giao động) của mô hình, • E = (S T −E(S T ))/σS 0 là phần ngẫu nhiên đã chuẩn hóa của mô hình: kỳ vọng của E bằng 0 và độ lệch chuẩn của E bằng 1. Ví dụ 1.1. Giả sử một công ty công nghệ sinh học nhỏ, đang tập trung nghiên cứu một loại thuốc chống ung thư, có giá cổ phiếu ngày hôm nay là 10$. Sau giờ đóng cửa thị trường ngày hôm nay, công ty sẽ công bố kết quả nghiên cứu loại thuốc chống ung thư đó. Giả sử ta biết rằng sẽ có một trong hai tình huống xảy ra: 1.1. MỘT SỐ MÔ HÌNH BIẾN ĐỘNG GIÁ CHỨNG KHOÁN 9 a) Tình huống thuốc có tác dụng, với xác suất xảy ra là 60%, và nếu xảy ra thì giá của phiếu ngày hôm sau sẽ tăng lên thành 16$. b) Tình huống thuốc không có tác dụng, với xác suất xảy ra là 40%, và nếu xảy ra thì giá của phiếu ngày hôm sau sẽ giảm còn 5$. Kỳ vọng giá cổ phiếu của ngày hôm sau của công ty bằng 60% × 16 + 40% × 5 = 11.6 đô la, phương sai bằng 60% ×(16 −11.6) 2 + 40% ×(5 −11.6) 2 = 29.04, và độ lệch chuẩn bằng √ 29.04 ≈ 5.4. Ta có mô hình chuyển động giá cổ phiếu 1 bước ∆S = µS + σSE, (1.19) với các tham số sau: S 0 = 10, µ = (E(S 1 ) − S 0 )/S 0 = 0.16, σ = σ(S 1 )/S 0 = 0.54, và E là một biến ngẫu nhiên chỉ nhận hai giá trị, và có kỳ vọng bằng 0 và độ lệch chuẩn bằng 1. Ví dụ 1.2. Cổ phiếu Coca-Cola (mã chứng khoán: KO) đạt giá 80$ vào đầu năm 1998. Với các công thức ước lượng giá trị thực của cổ phiếu dựa trên lợi nhuận và tăng trưởng, vào thờii điểm đầu năm 1998, có thể ước lượng là giá trị của KO vào thời điểm đầu năm 2003 sẽ không quá 50$/cổ phiếu. (Xem Ví dụ ??). Tạm coi nó là 50$. Vì yếu tố “con cưng của thị trường” sẽ mất dần đi theo thời gian khi mà công ty Coca-Cola không còn phát triển nhanh được nữa nên ta giả thiết là giá cổ phiếu sẽ đi về giá trị thực sau 5 năm, trong giai đoạn 1998-2003. Khi đó, vào đầu năm 1998, mô hình dự đoán giá KO cho thời điểm đầu năm 2003 của ta sẽ là: KO 2003 = 50 + σ.KO 1998 .E, (1.20) trong đó KO 1998 = 80, E là một biến ngẫu nhiên nào đó đã chuẩn hóa (kỳ vọng bằng 0, phương sai bằng 1), σ là một số nào đó cần ước lượng. Theo mô hình này thì mức lợi nhuận kỳ vọng cho 5 năm sẽ bằng (50 −80)/80 ≈ −38%, tức là kỳ vọng là giá cổ phiếu sẽ giảm gần 40% sau 5 năm. Ta sẽ tạm thời bỏ qua việc chọn E và σ ở đây. (Có thể tạm coi là E có phân bố normal chuẩn tắc N(0, 1) dựa trên định lý giới hạn trung tâm trong xác suất, và ước lượng σ dựa trên độ giao động lịch sử (historical volatility) của KO). Thực tế xảy ra là KO 2003 = 40, khá gần với dự báo của mô hình. 1.1.3 Mô hình với thời gian rời rạc Tương tự như là trong mô hình với một bước thời gian, trong các mô hình với thời gian rời rạc (hệ động lực với thời gian rời rạc) cho giá cổ phiếu, với giả sử là giá cổ phiếu luôn luôn dương, ta có thể viết chuyển động của quá trình ngẫu nhiên S theo phương 10 CHƯƠNG 1. GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN trình sai phân S n − S n−1 S n−1 = µ n + σ n E n , (1.21) trong đó • S n là giá cổ phiếu tại thời điểm thứ n trong tập các mốc thời gian (S 0 > 0 là giá tại thời điểm ban đầu). • µ n là mức lợi nhuận kỳ vọng tại thời điểm thứ n −1 cho một bước chuyển động của giá, còn gọi là hệ số drift (độ chuyển dịch) của mô hình, • σ n là hệ số volatility (độ giao động) của mô hình, • E n là phần ngẫu nhiên đã chuẩn hóa của mô hình: kỳ vọng của E n bằng 0 và phương sai của E n bằng 1 (hoặc là đặt bằng τ, trong đó τ là bước thời gian). Mức lợi nhuận µ n được xác định tại thời điểm n−1 khi đã biết tình huống ω n−1 ∈ Ω n−1 nào xảy ra, trong đó Ω n−1 là ký hiệu không gian tất cả các tình huống có thể xảy ra cho đến thời điểm thứ n − 1. Bản thân µ n cũng có thể coi là một quá trình ngẫu nhiên (vì không biết trước được µ n tại thời điểm 0), nhưng được gọi là một quá trình dự đoán được (predictable) vì biết được µ n tại thời điểm thứ n − 1, tức là biết trước một bước thời gian. Phân bố xác suất của phần sai số ngẫu nhiên σ n E n cũng được biết tại thời điểm n −1, và do đó σ n cũng là một quá trình dự đoán được. Tùy tình huống, mà ta có thể đưa thêm các giả thiết và điều kiện về mô hình. Ví dụ, để đơn giản hóa mô hình, ta có thể giả sử là các sai số là độc lập với nhau và có cùng phân bố xác suất: các biến ngẫu nhiên σ n E n là một họ các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố xác suất. Hoặc ít ra có thể giả sử là các biến ngẫu nhiên E n là độc lập với nhau và có cùng phân bố xác suất (còn đại lượng volatility σ n có thể thay đổi theo thời gian). Một giả thiết khác hay được dùng, là µ và σ là các hàm số theo 2 biến n và S: µ n = µ(n, S n−1 ), σ n = σ(n, S n−1 ). Nói cách khác, µ n và σ n không phụ thuộc vào toàn bộ tình huống σ n−1 , mà chỉ phụ thuộc vào giá S n−1 tại thời điểm n − 1 (nhiều tình huống khác nhau có thể dẫn đến cùng 1 giá tại thời điểm n −1). Ở phía dưới, chúng ta sẽ xét mô hình cây nhị thức, là một trường hợp đơn giản của mô hình thời gian rời rạc. Chính vì đơn giản, dễ tính toán, nên mô hình cây nhị thức này rất quan trọng trong thực tế. (Nhiều chương trình tính giá option trên các thị trường chứng khoán thế giới là dựa trên mô hình cây nhị thức). [...]... liên tục (mỗi khi va đập phải các phân tử khác thì lại đổi hướng) Nó còn được gọi là quá trình Wiener, theo tên nhà toán học Robert Wiener (1894–1964), người có nhiều công trình nghiên cứu về các quá trình ngẫu nhiên và nhiễu(2) Từ năm 1900, ông Louis Bachelier đã đặt cơ sở cho toán tài chính hiện đại bằng việc dùng chuyển động Brown để mô hình hóa các quá trình biến động giá chứng khoán trong luận... nhiên tương thích St nào đó Thật vậy, ta có thể xây dựng ví dụ như sau: đặt không gian các tình huống Ω bằng chính RT với phân bố xác suất này, đặt lọc Ft các sigma-đại số con bằng chính lọc Borel Bt , và đặt St (ω) = ω(t), tức là khi tình huống ω xảy ra thì quĩ đạo của quá trình ngẫu nhiên St chính là hàm số ω Khẳng định này được gọi là định lý Kolmogorov về sự tồn tại của các quá trình ngẫu nhiên với... với các biến ngẫu nhiên hay các vector ngẫu nhiên để ra các con số có ý nghĩa, thì mô hình không gian xác suất ban đầu nói chung không quan trọng, mà cái quan trọng chính là phân bố xác suất của nó trên R hay Rn Tương tự như vậy, khi tính toán với một quá trình ngẫu nhiên St , thì mô hình phân bố xác suất ban đầu (Ω, Ft , P ) không quan trọng trọng bằng phân bố xác suất PS trên RT , nhận được từ phân... thức bất biến (invariant binary tree model), để phân biệt với mô hình cây nhị thức tổng quát Mô hình cây nhị thức bất biến tất nhiên là tính toán dễ hơn so với mô hình nhị thức tổng quát vì có ít tham số hơn, và bởi vậy hay được dùng, nhưng bù lại nó không được chính xác bằng mô hình tổng quát Hình 1.2: Cây nhị thức bất biến 3 bước Bài tập 1.1 Viết lại phương trình chuyển động (1.22) của mô hình cây... increments) Dễ thấy rằng điều kiện iii’) là hệ quả của điều kiện iii) Trong trường hợp mà lọc Ft trong mô hình xác suất chính là lọc sinh bởi quá trình ngẫu nhiên, thì điều kiện iii’) tương đương với điều kiện iii) 1.2.3 Đi dạo ngẫu nhiên Chuyển động Brown được dùng nhiều trong thực tế, chính là vì nó là giới hạn (liên tục hóa) của các quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc có dạng gọi là đi dạo ngẫu... Lévy (1886–1971) là nhà toán học Pháp nổi tiếng về các công trình về xác suất, xem: http://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Pierre_Lévy (4) Một quá trình St được gọi là martingale nếu E(|St |) < ∞ với mọi t, và thỏa mãn tính chất martingale E(St |Fs ) = Ss Điều kiện E(|St |) < ∞ là “hiển nhiên” đối với các quá trình thực tế, được cho thêm vào trong định nghĩa cho chặt chẽ về mặt toán học 28 CHƯƠNG 1 GIẢI... t < tn+1 ) Ta có thể coi quá trình ngẫu nhiên St như là một ánh xạ S : Ω → RT (1.32) từ không gian các tình huống Ω vào không gian RT các hàm số thực trên T : ảnh của một tình huống ω theo ánh xạ này chính là quĩ đạo Sω (.) = S (ω) của S trong tình huống ω Quá trình ngẫu nhiên St cũng sẽ được ký hiệu là S hay S(t), nếu ký hiệu như thế tiện hơn Nếu X là một biến ngẫu nhiên (hay một vector ngẫu nhiên... phần là dự đoán được tại thời điểm t, và một phần là không dự đoán được Phần dự đoán được xấp xỉ bằng µ(t, St ).St ∆t, còn phần không dự đoán được xấp xỉ bằng σ(t, St ).St (Bt − Bt ) Chúng ta sẽ nghĩa chính xác chuyển động Brown, và nghiên cứu phương trình vi phân ngẫu nhiên , trong các phần phía sau của chương này Các tính chất quan trọng nhất của một chuyển động Brown Bt là: • Bước chuyển động Bt... phân bố xác suất tương tự nhau Theo định lý giới hạn trung tâm (xem Chương 4 của [5]) thì một tổng như vậy, khi N tiến tới vô cùng, phải tiến tới một biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất là phân bố normal Chính bởi vậy mà phần không dự đoán được Bt − Bt trong mô hình có phân bố normal • Để xác định một phân bố xác suất normal, ta chỉ cần biết kỳ vọng và phương sai của nó Ở đây ta đã biết kỳ vọng bằng 0... bố xác suất của chuyển động Brown là: 1 PS (CtA, ,tm ) = √ 1 ( 2π)n 2 2 /2 e−x1 /2 e−(x2 −x1 ) A 2 /2 e−(xn −xn−1 ) dx1 dxn (1.37) 20 CHƯƠNG 1 GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN Để chứng tỏ sự tồn tại về mặt toán học của chuyển động Brown, ta có thể xây dựng ví dụ hoàn toàn tương tự như trong trường hợp tổng quát Chỉ có điều khác là, là thay vì đặt Ω = RR+ là không gian tất cả các hàm số thực trên nửa đường . for Financial and Industrial Mathematics Trung Tâm Toán Tài Chính và Công Nghiệp Hà Nội NHẬP MÔN TOÁN TÀI CHÍNH QUYỂN 1 GS. Đỗ Đức Thái GS. Nguyễn Tiến Dũng Hà. một số kiến thức quan trọng nhất về giải tích ngẫu nhiên, cần thiết cho toán tài chính. Bạn đọc muốn nghiên cứu sâu thêm về giải tích ngẫu nhiên có thể