PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN [Document title] Tốn Họa HÌNH BÌNH HÀNH I KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: Hình bình hành tứ giác có cặp cạnh đối song song AB //CD AD //BC Tứ giác ABCD hình bình hành Tính chất: Trong hình bình hành: - Các cạnh đối - Các góc đối - Hai đường chéo cắt trung điểm đường Dấu hiệu nhận biết: - Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành - Tứ giác có cạnh đối hình bình hành - Tứ giác có hai cạnh đối song song hình bình hành - Tứ giác có góc đối hình bình hành - Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình bình hành III BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giác ABC, trực tâm H Gọi M trung điểm BC, N trung điểm AC Đường vng góc với BC M đường vng góc với AC N cắt O a) Trên tia đối tia OC, lấy điểm K cho OK OC Chứng minh AHBK hình bình hành b) Chứng minh OM AH Bài 2: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD, AB < CD) Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho CB = CE Chứng minh AECD hình bình hành Bài 3: Cho hình bình hành ABCD Gọi H K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ A từ C đến BD a) Chứng minh AHCK hình bình hành Bồi dưỡng lực học mơn Tốn [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN Tốn Họa b) Gọi M giao điểm AK BC , gọi N giao điểm CH AD Chứng minh AN CM c) Gọi O trung điểm HK Chứng minh O, M , N thẳng hàng µ Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có A = 120° , phân giác góc D qua trung điểm cạnh AB Gọi E trung điểm CD Chứng minh: a) AB = 2AD b) D ADE đều, D AEC cân c) AC ^ AD Bài 5: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm E, F lấy BC, AD 1 BE = BC DF = DA 3 cho , EF cắt AB, CD G, H Chứng minh rằng: a) GE = EF = FH b) Tứ giác AECF hình bình hành Bài 6: Cho tam giác ABC, đường cao BH CK cắt E Đường thẳng qua B vng góc với AB đường thẳng qua C vng góc với AC cắt D Gọi M trung điểm BC a) Tứ giác BDCE hình gì? Vì sao? b) Chứng minh M trung điểm DE Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện DE qua A? c) Chứng minh · · BAC + BDC = 180° Bài 7: Cho tam giác ABC, đường cao AK BD cắt G Vẽ đường trung trực HE, HF cạnh AC, BC Đường thẳng qua A song song với BG cắt đường thẳng qua B song song với AK I Chứng minh rằng: a) BG = AI b) BG = 2HE c) AG = 2HF Bài 8*: Cho tam giác ABC cân A Lấy điểm D cạnh AB , điểm E AC cho AD CE Gọi O trung điểm DE , gọi K giao điểm AO BC Chứng minh ADKE hình bình hành Tự luyện Bài 9: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm AB, AC, CD, BD a) Tứ giác EFGH hình gì? b) Tính chu vi tứ giác EFGH biết AD a,BC b Bài 10: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD CE Vẽ điểm H K cho E trung điểm CH, D trung điểm BK Chứng minh A trung điểm HK Bồi dưỡng lực học mơn Tốn [Document title] Tốn Họa Bài 11: DE PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN Cho hình bình hành ABCD Lấy điểm E cạnh CD cho 1 DC DK DB Gọi K giao điểm AE BD Chứng minh KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ Bài 1: a) Tam giác KBC có KO OC,BM MC nên OM đường trung bình D K BC OM//KB,OM KB Suy Ta lại có OM//AH (cùng vng góc với BC) Suy KB//AH Chứng minh tương tự ta có: KA //BH Tứ giác AHBK có KB//AH ,KA //BH nên hình bình hành b) AHBK hình bình hành nên KB A H 1 OM KB OM AH 2 Ta lại có nên · · Bài 2: Dễ thấy tam giác BCE cân C suy CBE = CEB · · Ta lại có CBA = DAB · · · · Mà CBA = DAB Nên CEB + DAB = 180° Suy AC / / ED (2 góc phía bù nhau) Suy AECD hình bình hành Bồi dưỡng lực học mơn Tốn PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN [Document title] Tốn Họa Bài 3: a) Cách Xét AHD CKB Hµ Kµ 90 : AD BC ả (cnh i hình bình hành); D1 B1 (so le trong, AD //BC ) Vậy AHD CKB (trường hợp cạnh huyền góc nhọn), suy AH CK Ta lại có AH //CK (cùng vng góc với BD ) Tứ giác AHCK có AH CK , AH //CK nên hình bình hành Cách Chứng minh tứ giác AHCK có đường chéo cắt trung điểm đường b) Tứ giác AHCK hình bình hành (câu a) nên AH //CK , tức AM //CN Ta lại có AN //CM Tứ giác ANCM hình bình hành (theo định nghĩa) nên AN CM c) Hình bình hành AHCK có O trung điểm HK nên O trung điểm AC (tính chất đường chéo hình bình hành) Hình bình hành ANCM có O trung điểm AC nên O trung điểm MN Vậy M , N , O thẳng hàng Bài 4: a) Gọi M trung điểm cạnh AB, ta có · · AMD = CDM (1) (so le trong) · · Mặt khác, DM phân giác góc D nên ADM = CDM (2) · · (1), (2) Þ AMD = ADM , tam giác ADM cân A AD = AM = AB Vậy AD = DE = CD µ µ ° ° b) Trong hình bình hành ABCD, A = 120 Þ D = 60 Tam giác ADE cân có góc 60 , nên tam giác ADE Theo trên, tâm giác ADE nên AE = ED = EC , suy tam giác AEC cân E Bồi dưỡng lực học mơn Tốn PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN [Document title] Toán Họa 1· · EAC = AED = 30° c) Vì ADE ACE cân E nên (góc ngồi AEC) · · Mặt khác EAD = 60° , suy CAD = 90° Vậy AC ^ AD Bài 5: a) Trong D AGF , B cạnh AG, E BE = 1 BC = AF cạnh FG Ta có BE / / AF suy BE đường trung bình D AGF Do E trung điểm GF (1) Chứng minh tương tự, DF đường trung bình D CHE , nên F trung điểm HE (2) Từ (1) (2) suy GE = EF = FH 2 AF = AD EC = BC 3 b) Ta có , suy AF = CE Mặt khác AF/ / CE , tứ giác AECF hình bình hành Bài 6: a) Ta có: ìï BE ^ AC ï Þ BE/ / DC í ïï DC ^ AC (1) ỵ ìï CE ^ AB ï Þ CE/ / BD í ïï BC ^ AB (2) ỵ Từ (1) (2) suy BDCE hình bình hành b) Vì BDCE hình bình hành M trung điểm BC nên M trung điểm DE DE qua A A, E, M thẳng hàng Vì E giao điểm hai đường cao BH CK nên AE đường cao tam giác ABC Vậy AE qua M đường cao đường trung tuyến kẻ từ A trùng nhau, hay tam giác ABC cân A µ µ µ µ µ µ µ µ c) Trong tứ giác ABDC: A + B + C + D = 360° , mà B = C = 90° nên A + D = 180° · · Vậy BAC + BDC = 180° Bài 7: a) Ta có AG / / BI BG / / AI nên tứ giác AIBG hình bình hành, suy BG / / AI ; BG = AI Bồi dưỡng lực học mơn Tốn [Document title] Tốn Họa PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MƠN TỐN b) IB / / AG Þ IB ^ BC , mà HF ^ BC , IB / / HF Lại có F trung điểm BC nên HF qua trung điểm IC Chứng minh tương tự, HE qua trung điểm IC Từ ta H trung điểm IC Trong D AIC , HE đường trung bình, 1 HE = AI = BG 2 Vậy BG = 2HE c) Theo chứng minh trên, HF đường trung bình CBI 1 HF = BI = AG 2 Suy (Vì AIBG hình bình hành) Vậy AG = 2HF Bài 8*: µ · µ · Kẻ DH / / BC , OI / / BC ta có: ADH B , ACH C mà µ C µ · · B nên ADH ACH ADH cân => AH AD EC Chứng minh tiếp HI IE để suy AI IC , AO OK Từ suy ADKE hình bình hành Bồi dưỡng lực học mơn Tốn