de thi TS toan 10 chuyen tin quang nam 2021 2022

thuvienhoclieu.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2021-2022 Mơn thi: TỐN (Chun Tin) Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Khóa thi ngày: 03-05/6/2021 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (1,5 điểm) + x + x − (với x ≥ 0, x ≠ ) Cho biểu thức Rút gọn biểu thức P tìm tất giá trị x cho P = P= + x −2 Câu (1,0 điểm) Cho phương trình x − x + (m + 2) x − 2021x + m = (*) , với m tham số nguyên Chứng minh x = khơng phải nghiệm phương trình (*) phương trình có khơng q nghiệm ngun Câu (1,0 điểm) Cho parabol (P) : y = x đường thẳng (d) : y = x + m (m tham số) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt x1 x2 + y1 y2 = A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) thỏa mãn Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình x + = x +  x − y =  b) Giải hệ phương trình  xy − y = −1 Câu (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có E, F trung điểm AB AC Hai đường trung trực hai cạnh AB, AC cắt O Gọi ( I2 ) ( I1 ) OQ ( I ) tam giác ABO ( I1 ) đường tròn ngoại tiếp đường tròn ngoại tiếp tam giác ACO Kẻ đường kính OP a) Chứng minh tứ giác AEOF nội tiếp đường tròn b) Chứng minh hai tam giác OEF OQP đồng dạng c) Cạnh AC cắt đường tròn tuyến ( I2 ) ( I1 ) D (D khác A) Tiếp tuyến ( I1 ) P tiếp Q cắt T Chứng minh ba điểm O, D, T thẳng hàng Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn biểu thức P = ab + bc + ca a+b+c = 1 + + × a b c Tìm giá trị nhỏ - HẾT - thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Họ tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM NĂM HỌC 2021-2022 HDC CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN CHUN TIN (Bản hướng dẫn gồm 04 trang) * Lưu ý: Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định Câu Nội Dung 1 P= + + x −2 x + x − (với x ≥ 0, x ≠ ) Cho biểu thức Rút gọn biểu thức P tìm tất giá trị x cho P = 1 + x −2 Tính Câu Suy x +4 x−4 P= = Kết quả: x = x +2 x−4 ( P= ( x −2 x +2 )( 1,5 0,25 0,25 ) x +2 0,25 ) x −2 0,25 =1 ( x ≥ 0, x ≠ ) x −2 ⇔ x = ⇔ x = 16 P =1⇔ 0,25 0,25 Cho phương trình x − x + ( m + 2) x − 2021x + m = (*) , với m tham số nguyên Chứng minh x = khơng phải nghiệm phương trình (*) phương trình có khơng q nghiệm nguyên Đặt f ( x ) = x − x + (2 + m ) x − 2021x + m Câu Điểm Tính f (1) = 2m − 2025 Vì m số nguyên nên f (1) = 2m − 2025 ≠ Vậy x = nghiệm phương trình (*) 0,25 0,25 Giả sử x0 nghiệm ngun phương trình (*), ta có f ( x0 ) = Khi f ( x0 ) − f (1) = −2m + 2025 chia hết cho x0 − , suy ( x0 − ) số thuvienhoclieu.com 1,0 Trang 0,25 thuvienhoclieu.com lẻ, suy x0 số chẵn x1 , x2 Giả sử PT (*) có nghiệm nguyên phân biệt Suy ra: x1 , x2 số chẵn f ( x1 ) − f ( x2 ) = Ta có f ( x1 ) − f ( x2 ) = ⇔ ( x13 + x12 x2 + x1 x2 + x2 ) − 7( x12 + x1 x2 + x2 ) + ( m + 2)( x1 + x2 ) − 2021 = ( x1 ≠ x2 ) Do vế trái số lẻ nên mâu thuẩn Vậy toán chứng minh Cho parabol (P) : y = x đường thẳng (d) : y = x + m (m tham số) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) thỏa mãn x1 x2 + y1 y2 = Phương trình hoành độ giao điểm ( P ) d x = x + m Hay x − x − m = (1) Tính ∆ ' = + m suy ∆ ' > ⇔ m > −1 0,25 1,0 0,25 0,25 Câu Theo hệ thức Viet x1 x2 = −m Ta có: x1 x2 + y1 y2 = ⇔ x1 x2 + ( x1 x2 ) = 0,25 ⇔ m2 − m − = m = ⇔  m = −2 0,25 So điều kiện, suy m=3 a) Giải phương trình Câu ( 2,0 ) x + = x + 1,0 2 x + ≥ ⇔ x + = 2x +  x + = (2 x + 1)  x ≥ − ⇔  x + 3x − = (*) Giải PT (*) ta x = −1 x= x= 0,25 0,25 0,25 0,25 So điều kiện, kết luận ( HS bình phương thử lại)  x − y = (1)  b) Giải hệ phương trình  xy − y = −1 (2) thuvienhoclieu.com 1,0 Trang thuvienhoclieu.com Nhận thấy y = nghiệm (2) nên rút x= 3y2 −1 y  3y −   y ÷ −y =3  Thay vào phương trình (1) được:  Đưa phương trình: y − y + = ⇔ y = 1, y = 0,25 Với y = ⇒ x = ±2 , suy hai nghiệm ( −2; −1),(2;1) 0,25 5 ⇒x=± (− ; ), ( ;− ) 2 , suy hai nghiệm 2 2 2 2 Với ( Khơng lí luận y ≠ trừ 0,25 chấm tiếp) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có E, F trung điểm AB AC Hai đường trung trực hai cạnh AB, AC cắt O Gọi ( I1 ) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABO ( I ) đường tròn ngoại I I tiếp tam giác ACO Kẻ đường kính OP ( ) OQ ( ) Câu a) Chứng minh tứ giác AEOF nội tiếp đường tròn b) Chứng minh hai tam giác OEF OQP đồng dạng I c) Cạnh AC cắt đường tròn ( ) D (D khác A) Tiếp tuyến ( I1 ) P tiếp tuyến ( I ) Q cắt T Chứng minh ba điểm O, D, T thẳng hàng y2 = thuvienhoclieu.com 0,25 Trang 0,25 3.5 thuvienhoclieu.com 5a 5b a Chứng minh tứ giác AEOF nội tiếp đường trịn Hình vẽ phục vụ câu a Nêu OE ⊥ AB , OF ⊥ AC (mỗi ý cho 0,25) Suy tứ giác AEOF nội tiếp b Chứng minh ∆OFE đồng dạng với ∆OPQ Hình vẽ · · 0 1,0 0,25 0,5 0,25 1,5 0,25 Ta có OAP + OAQ = 90 + 90 = 180 Suy điểm P, A, Q thẳng hàng Xét hai tam giác ∆OFE ∆OPQ có: µ Góc O chung (1) 0,25 0,25 0,25 · · · OFE = OAE = ABO · · · QPO = APO = ABO · · OFE = QPO Suy (2) Từ (1) (2) suy hai tam giác ∆OFE ∆OPQ đồng dạng ( I1 ) ( I1 ) Cạnh AC cắt đường tròn tiếp tuyến 5c ( I2 ) D (D khác A) Tiếp tuyến 0,25 P Q cắt T Chứng minh O, D, T thẳng hàng · · · · Lập luận: DOQ = DOF = 90 − FDO = 90 − ABO (1) · · TOQ = TPQ · · · = PAB = 90 − APO = 90 − ABO 0,25 0,25 (2) · · Từ (1) (2) suy TOQ = DOQ kết luận O, D, T thẳng hàng Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c= thuvienhoclieu.com 1,0 0,25 (Tứ giác TPOQ nội tiếp) Câu 0,25 1 + + a b c Trang 0,25 1,0 thuvienhoclieu.com Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ab + bc + ca Cách 1: 1 abc ( + + ) 1 a b c P = ab + bc + ca = abc( + + ) = a b c a +b+c Có 1 1 1 abc ( + + ) + 2(a + b + c) abc( + + ) a b c a b c +2 = = a+b+c a+b+c 1 abc( + + ) ab bc ca + = + = ≥ a+b+c 0,25 0,25 0,25 Dấu xảy a = b = c = Vậy Min P=3 0,25 Cách 2: Biến đổi giả thiết CM BĐT Áp dụng: a + b + c= ( x + y + z) 1 + + ⇔ a bc + b2 ac + c ab = ab + bc + ca = P a b c ≥ ( xy + yz + zx ) x = ab, y = bc, z = ca thu 0,25 P ≥ 3P ⇔ P ≥ ( P > ) 0,25 Dấu xảy a=b=c=1 Vậy Min P=3 thuvienhoclieu.com 0,25 0,25 Trang ... Số báo danh: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM NĂM HỌC 2021- 2022 HDC CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN CHUN TIN (Bản hướng dẫn gồm 04 trang) * Lưu ý:... + ( m + 2) x − 2021x + m = (*) , với m tham số nguyên Chứng minh x = khơng phải nghiệm phương trình (*) phương trình có khơng q nghiệm ngun Đặt f ( x ) = x − x + (2 + m ) x − 2021x + m Câu Điểm... ) − f ( x2 ) = ⇔ ( x13 + x12 x2 + x1 x2 + x2 ) − 7( x12 + x1 x2 + x2 ) + ( m + 2)( x1 + x2 ) − 2021 = ( x1 ≠ x2 ) Do vế trái số lẻ nên mâu thuẩn Vậy toán chứng minh Cho parabol (P) : y = x đường