Cơ sở tính toán
Các bước trong phân tích phần tử hữu hạn
Bước 1: Rời rạc miền tính toán thành một số hữu hạn các phần tử, trong đó:
Các phần tử có thể có hình dạng và kích thước đa dạng, nhưng cần được phân chia sao cho các miền tính toán có hình dạng đơn giản và hợp lý.
Để đảm bảo kết quả tính toán hội tụ, cần chia số lượng phần tử một cách hợp lý Quá trình chia lưới từ thô đến mịn giúp khảo sát sự hội tụ, trong đó lưới sau sẽ mịn hơn dựa trên lưới trước Các điểm nút của lưới trước phải được giữ lại trong tập hợp nút của lưới sau, đồng thời kích thước của các phần tử phải nhỏ hơn nhưng vẫn giữ nguyên hình dạng geometrical như lưới cũ.
+ Các phần tử phải được đánh số nút, số phần tử và số bậc tự do để thuận lợi khi ghép nối lại
Bước 2: Chọn hàm xấp xỉ thích hợp (đơn giản và thỏa mãn tiêu chuẩn hội tụ)
Bước 3: Thiết lập ma trận độ cứng và vectơ tải phần tử
Bước 4: Ghép nối các phần tử trên cơ sở mô hình tương thích nhận được:
+ Ma trận độ cứng tổng thể�
+ Vectơ chuyển vị nút tổng thể�
Phương trình hệ thống (hệ phương trình): � = ��
Bước 5: Đưa các điều kiện biên của bài toán vào phương trình hệ thống.
Bước 6: Giải hệ phương trình đại số tìm được các chuyển vị của các nút.
Bước 7: Hoàn thiện, trong đó từ vị trí nút đã xác định, tiến hành tính toán các giá trị quan trọng khác như biến dạng, ứng suất và nội lực của tất cả các phần tử.
Cơ sở lý thuyết
1.2.1 Các phương trình cơ bản
Trường chuyển vị của các phần tử � � theo các chuyển vị nút của phần tử � �
+ Với [N]là ma trận các hàm dạng
+ Với [B]là ma trận tính biến dạng
Phương trình liên hệ giữa ứng suất � � và biến dạng � �
� � = � � � � � �� � = � � � � + Với[D]là ma trận đàn hồi
+ Với[T] = [D][B]là ma trận tính ứng suất
1.2.2 Tính toán các ma trận
Ma trận tính biến dạng:
+ Hoặc ma trân tính biến dạng có thể tính theo công thức sau:
� −� là ma trận nghịch đảo của ma trận vuông � chứa tọa độ các điểm nút phần tử
Ma trận các hàm dạng trong hệ tọa độ tự nhiên
Ma trận tính biến dạng trong hệ tọa độ tự nhiên:
Ma trận độ cứng phần tử:
+ Tích phân số - phép cầu phương Gauss:
Các bước xây dựng chương trình phân tích phần tử hữu hạn
Bước 1: Nhập các thông số đầu vào:
+ Đặc trưng cơ lý của vật liệu
Bước 2: Tiến hành rời rạc kết cấu, tạo vòng lặp:
+ Đánh số thứ tự nút
+ Nhập tọa độ các nút
+ Đánh số bậc tự do của nút
+ Tính ma trận đàn hồi[D]
Bước 3: Khai báo Gauss Point và trọng số Gauss (�, �)
Bước 4: Khai báo tính toán các ma trận
+ Ma trận các hàm dạng[N]
+ Ma trận tính biến dạng[B]
Bước 5: Tính ma trận độ cứng
+ Ma trận độ cứng trong hệ tọa độ địa phương
+ Tạo vòng lặp tính ma trận độ cứng tổng thể
Bước 6: Đưa điều kiện biên của bài toán vào
Bước 7: Gán tải trọng tác dụng lên kết cấu
Bước 8: Phân tích tính toán chuyển vị các nút
Bước 9: Tính toán biến dạng, ứng suất, nội lực từ chuyển vị các nút
STRUCTURE A
Xử lý thông tin đầu vào
Bước 1: Rời rạc hóa các phần tử (Lấy đại diện phần tử 15x5 như đề bài):
Image 2.1: Rời rạc hóa phần tử
Bước 2 : Đánh số thứ tự nút (Từ trái sang phải, từ dưới lên trên):
Image 2.2: Đánh số thứ tự nút
Bước 3: Đánh tọa độ nút:
Image 2.3: Đánh tọa độ nút
Bước 4: Đánh số bậc tự do của các nút (xét một nút có 2 bậc tự do):
Image 2.4: Đánh số bậc tự do của các nút
Điều kiện biên
Dựa trên dữ liệu được cung cấp trong bài toán, sau khi phân tích kết cấu, các bậc tự do của một số nút sẽ có các điều kiện biên nhất định.
= [] (ngăn cản chuyển vị các bậc tư do này)
Chương trình code Matlab
Kết quả Matlab
a Chuyển vị: Vào mục Workspace→ chọn giá trịG →Chọn Uđể thấy được các giá trị của chuyển vị Structure A Thống kê với đại diện phần tử 15x5, ta có:
Chấm xám biểu thị vị trí ban đầu, trong khi chấm vàng thể hiện vị trí của nút khi chịu lực b Để thống kê hội tụ hệ số α, cần tăng số lượng mesh lưới khác nhau và điều chỉnh số liệu ne.
Kiểm tra cấp số nhân của 15 và 5 cho đến khi bộ nhớ máy tính không đủ để tiếp tục lưu trữ mã Để xem các giá trị của α, hãy vào mục Workspace, chọn giá trị G và sau đó chọn α.
Khi giá trị của mesh lưới phần tử được tăng dần, phần mềm sẽ thông báo tình trạng bộ nhớ không đủ để tiếp tục thực hiện khi đạt đến giá trị 210x70.
Ta được biểu đồ phân tích của hệ số α như sau:
Nếu số lượt mesh lưới tiếp tục tăng, đường biểu thị sẽ dần hội tụ về một đường thẳng Vì vậy, hệ số α được chọn là 0,2478103.
Image 1.2.6: Mô tả ứng suất von Mises của Structure A
STRUCTURE B
Xử lý thông tin đầu vào
Bước 1:Rời rạc hóa các phần tử (Lấy đại diện phần tử 8×4 như đề bài)
Hình 3.1.1 – Rời rạc hóa phần tử
Bước 2:Đánh số thứ tự nút (Từ trái sang phải, từ dưới lên trên)
Hình 3.1.2 – Đánh số thứ tự nút Bước 3:Đánh tọa độ nút
Hình 3.1.3 – Đánh tọa độ nút Bước 4:Đánh số bậc tự do các nút
Điều kiện biên
Dựa theo dữ liệu mà bài toán đã đưa ra, sau khi rời rạc phần tử ta có các điều kiện biên như sau:
72, 55, 73, 89, 90] = [] (ngăn cản chuyển vị các bậc tư do này)
Chương trình code Matlab
Kết quả Matlab
Chuyển vị là quá trình quan trọng trong thống kê hội tụ hệ số α Để tối ưu hóa kết quả, cần tăng số lượng mesh lưới khác nhau và điều chỉnh số liệu theo cấp số nhân của 8 và 4, cho đến khi bộ nhớ máy tính không đủ để tiếp tục lưu trữ phân code Để kiểm tra các giá trị của α, người dùng có thể truy cập vào mục Workspace, chọn giá trị G và sau đó chọn α để xem các giá trị tương ứng.
Sau khi thực hiện 10 lần thay đổi số lượng mesh lưới phần tử, phần mềm gặp phải vấn đề về bộ nhớ không đủ để tiếp tục quá trình thực hiện.
Hình 3.4a – Mô tả chuyển vị các nút Structure B
Hình 3.4b – Biểu đồ phân tích hệ số α
Nếu tiếp tục gia tăng số lượng mesh lưới, đường đồ thị sẽ dần trở nên thẳng Vì lý do này, hệ số α được chọn là 1.2389799 c.
STRUCTURE C
Điều kiện biên
Dựa trên đề bài và các bậc tự do sau khi rời rạc phần tử, chúng ta cần gán điều kiện biên cho các bậc tự do tại khớp nhằm ngăn cản chuyển vị của những bậc tự do này.
