Thông tin tài liệu
THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG CÁC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Học sinh chuyên Toán trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 15/ 9/ 2014 đến ngày 5/ 5/ 2015 Tác giả: Họ tên : Trần Xuân Đáng Năm sinh : 1955 Nơi thường trú : Số nhà ngách ngõ 136 Phan Đình Phùng - Phường Phan Đình Phùng - TP Nam Định Trình độ chuyên mơn: Thạc sĩ Tốn học Chức vụ cơng tác: Giáo viên chuyên Toán Nơi làm việc: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định Địa liên hệ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định Điện thoại: 0942350265 Đồng tác giả: Không Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định Địa chỉ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định Điện thoại: 0350.3640297 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com I ĐIỀU KIỆN HỒN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN: Hình học phẳng lĩnh vực quan trọng toán sơ cấp bậc trung học phổ thông Chúng ta gặp tốn hình học phẳng nhiều kì thi quan trọng: thi học sinh giỏi tỉnh, thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Tuy nhiên để làm tốn khơng đơn giản, địi hỏi phải có vốn kiến thức phong phú tư linh hoạt Bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm trình bày phương pháp giải tốn hình học phẳng phương pháp tọa độ Trong nhiều tốn hình học đưa phương pháp tọa độ làm sáng sủa rõ ràng cách mà dùng tính chất hình học túy Ta thấy phương pháp tọa độ không đơn áp dụng cho tốn liên quan đến hình vng, hình chữ nhật mà cịn áp dụng cho tốn liên quan đến tam giác, đến đường trịn… II THỰC TRẠNG TRƢỚC KHI TẠO RA SÁNG KIẾN: Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2007có toán sau: Bài toán 16: Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định đỉnh A thay đổi Gọi H, G trực tâm trọng tâm tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm A biết trung điểm K HG thuộc đường thẳng BC Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2008 có tốn sau: Bài toán 17: Cho tam giác ABC Gọi D trung điểm cạnh BC Cho đường thẳng d vng góc với AD Xét điểm M nằm d Gọi E , F trung điểm MB MC Đường thẳng qua E vng góc với d cắt đường thẳng AB P Đường thẳng qua F vuông góc với d cắt đường thẳng AC Q Chứng minh đường thẳng qua M vuông góc với đường thẳng PQ ln qua điểm cố định điểm M di động đường thẳng d Trong kì thi Olympic Tốn học Quốc tế (IMO) năm 1995 có tốn sau đây: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài toán 18: Cho A, B, C , D bốn điểm phân biệt đường thẳng xếp theo thứ tự Các đường trịn đường kính AC BD cắt điểm X Y Đường thẳng XY cắt BC Z Cho P điểm nằm đường thẳng XY ( P Z ) Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC C , M Đường thẳng BP cắt đường trịn đường kính BD B, N Chứng minh đường thẳng AM , DN , XY đồng quy Trong kì thi Olympic Tốn học Quốc tế (IMO) năm 2013 Colombia có tốn sau đây: Bài toán 19: Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H Cho W điểm tùy ý cạnh BC , khác với điểm B C Các điểm M N tương ứng chân đường cao hạ từ B C Kí hiệu 1 đường trịn ngoại tiếp tam giác BWN gọi X điểm 1 cho WX đường kính 1 Tương tự , kí hiệu 2 đường trịn ngoại tiếp tam giác CWM gọi Y điểm 2 cho WY đường kính 2 Chứng minh điểm X , Y H thẳng hàng III CÁC GIẢI PHÁP TRỌNG TÂM: a) Phƣơng pháp: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp tùy theo tốn cho việc tính tốn đơn giản Tìm tọa độ đối tượng cho đối tượng liên quan theo hệ trục tọa độ chọn Chuyển tính chất hình học giả thiết điều cần chứng minh theo công thức tọa độ Chứng minh toán theo phương pháp tọa độ Đối với tốn liên quan đến hình vng lấy gốc tọa độ bốn đỉnh hình vng tâm hình vng Với tốn liên quan đến tam giác vng ta thường chọn hệ trục tọa độ có LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com hai trục tọa độ chứa hai cạnh góc vng, Với tốn liên quan đến tam giác thường ta thường kẻ thêm đường cao chọn hệ trục tọa độ có trục chứa đường cao, trục chứa cạnh tương ứng tam giác b) Nội dung: Bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm gồm phần: Phần thứ nhất: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải số tốn hình học Phần thứ hai: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải số tốn hình học tạp chí Tốn Phần thứ ba: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải số toán thi chọn học sinh giỏi Quốc gia Phần thứ tư: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải số toán thi Olympic Toán Quốc tế Phần thứ năm: Một số tốn hình học dùng để luyện tập 1) Phần thứ nhất: Sử dụng phƣơng pháp tọa độ để giải số tốn hình học Bài tốn 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB AC Gọi M trung điểm cạnh BC Gọi E , F chân đường cao tam giác ABC hạ từ B C Gọi K giao điểm đường thẳng EF BC Gọi H làtrực tâm tam giác ABC Chứng minh HK vng góc với AM Lời giải: Gọi O chân đường vng góc hạ từ A đến đường thẳng BC Chọn hệ trục tọa độ Oxy có điểm gốc O cho điểm A thuộc tia Oy , điểm C thuộc tia Ox điểm B thuộc tia đối tia Ox Giả sử A(0; a), B(b;0), C (c;0) Ta có AC (c; a) n (a; c) vec tơ pháp tuyến đường thẳng AC LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Suy phương trình đường thẳng AC a( x c) cy ax cy ac Ta có AC (c; a) vec tơ pháp tuyến đường thẳng BE Khi phương trình đường thẳng BE c( x b) ay cx ay bc a 2c bc ac abc Từ suy E 2 ; 2 a c a c a 2b cb ab abc bc Tương tự ta có F 2 ; 2 Ta có H 0; a a b a b (a bc)(a bc)(b c) a(a bc)(b c)(b c) ; 2 2 ( a b )( a c ) (a b2 )(a c ) EF Suy n1 (ab ac; bc a ) véc tơ pháp tuyến EF Suy phương trình đường thẳng EF (ab ac) x a 2c bc ac abc ( bc a ) y 0 2 a c a c (ab ac)(a c ) x (bc a )(a c ) y (ab ac)(a 2c bc2 ) (ac2 abc)(bc a ) 2bc 2bc bc ; ;0 HK Suy K bc a bc bc ; a Mặt khác AM HK AM HK AM Bài toán 2: Cho tam giác ABC cân A Điểm P di động cạnh BC ( P khác B C ) Đường thẳng qua P song song với AC cắt AB R Đường thẳng qua P song song với AB cắt AC Q Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác ARQ ln qua điểm cố định khác A LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời giải: Gọi O chân đường vng góc hạ từ A đến đường thẳng BC Chọn hệ trục tọa độ Oxy có điểm gốc O cho điểm A thuộc tia Oy , điểm C thuộc tia Ox điểm B thuộc tia đối tia Ox Giả sử : A(0; a), C(c;0), B(b;0), P( p;0) (a 0, c 0, b 0, b p c) Khi b c Ta có AB (b; a) n1 (a; b) vectơ pháp tuyến đường thẳng AB Suy phương trình đường thẳng AB là: a( x b) by ax by ab Tương tự n2 (a; c) véc tơ pháp tuyến đường thẳng AC n2 (a; c) véc tơ pháp tuyến đường thẳng PR Suy phương trình đường thẳng PR a( x p) cy ax cy ap Suy R( b( p c) a(b p) ; ) bc bc b( p c) a(2b p c) ; Gọi E trung điểm AR Ta có E 2(b c) 2(b c) Gọi d1 đường trung trực đoạn thẳng AR d đường trung trực đoạn thẳng AQ Khi phương trình d1 b x b( p c ) a(2b p c) a y 0 2(b c) 2(b c) p(a2 b2 ) b2c a (2b c) 0 2(b c) 2(b c) p(a c2 ) c2b a (2c b) Tương tự phương trình d cx ay 2(c b) 2(c b) bx ay LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Gọi I giao điểm d1 d p(a c ) 3a c2 Khi I ; I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ARQ 4a c Suy I thuộc đường thẳng d cố định có phương trình y 3a c Hiển nhiên 4a A d Gọi K điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d Khi điểm K thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác ARQ K điểm cố định K Oy Mặt khác K A (vì A d ) Vậy đường trịn ngoại tiếp tam giác ARQ qua điểm cố định khác A Bài tốn : Cho hình vng ABCD Gọi E giao điểm AC BD Một đường thẳng qua A cắt cạnh BC M ( M khác B C ) cắt đường thẳng CD N Gọi K giao điểm EM BN Chứng minh CK vng góc với BN Lời giải: Chọn hệ tọa độ Oxy có O A ; B thuộc tia Ox ; D thuộc tia Oy Đặt OA a(a 0) a a Khi A(0,0), B(a,0), C (a, a), D(0, a) , E ( , ) 2 Giả sử M (a, m)(m ) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có AM (a, m) Suy n1 (m, a) vec tơ pháp tuyến đường thẳng AM Phương trình đường thẳng AM mx ay Phương trình đường thẳng CD y a Suy N ( a2 , a) m a ma Suy BN , a m Suy n2 (m, m a) vec tơ pháp tuyến đường thẳng BN Suy phương trình đường thẳng BN : m( x a) (m a) y mx (m a) y am a a Ta có EM ( , m ) 2 Suy n3 a 2m, a vec tơ pháp tuyến đường thẳng EM Suy phương trình đường thẳng EM là: (a 2m)( x a) a( y m) (a 2m) x ay a am Suy K ( a(a m am) am , ) a 2m2 2am a 2m 2am a(am m2 ) a(2am m2 a ) , 2 a m am a m am Suy CK Suy CK BN Suy CK BN Bài toán 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Điểm M di động đường thẳng BC ( M khác B C ) Đường trung trực đoạn thẳng MB cắt đường thẳng AB E Đường trung trực đoạn thẳng MC cắt đường thẳng AC F Chứng minh đường thẳng qua M vuông góc với đường thẳng EF ln qua điểm cố định LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời giải: Kẻ AO BC (O BC ) Chọn hệ trục tọa độ tọa độ Oxy có điểm gốc O , điểm C thuộc tia Ox Đặt OA a(a 0) , OC c, OB b(a 0, c 0, b 0) Khi A(0, a), C (c,0), B(b,0) Gọi d đường thẳng qua M vng góc với EF Ta có AC (c, a) Suy n1 (a, c) vec tơ pháp tuyến đường thẳng AC Suy phương trình đường thẳng AC a( x c) cy ax cy ac Gọi K trung điểm đoạn thẳng MC Khi K ( mc ,0) Phương trình đường thẳng FK x Suy F ( mc m c a(c m) , ) 2c m b a(b m) , ) 2b c b am(c b) , Suy EF 2bc am Suy n2 (1, ) bc Tương tự E ( Suy phương trình đường thẳng d x m Điểm I ( am y bc bc ,0) d a Mặt khác I điểm cố định Vậy đường thẳng d qua điểm cố định Bài toán 5: Cho tam giác ABC cân A Gọi H trung điểm BC Gọi D hình chiếu H AC Gọi M trung điểm HD Chứng minh AM vng góc với BD LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho O H , C thuộc tia Ox ; A thuộc tia Oy Đặt OA a(a 0), OC c(c 0) ta có A(0, a), C (c,0), B(c,0) Ta có AC (c, a) Suy n (a, c) vec tơ pháp tuyến đường thẳng AC Suy phương trình đường thẳng AC : a( x c) c( y 0) ax cy ac AC (c, a) vec tơ pháp tuyến đường thẳng HD Suy phương trình đường thẳng HD cx ay Tọa độ D nghiệm hệ phương trình cx ay Suy ax cy ac a 2c ac D 2 , 2 Vì M trung điểm HD nên a c a c a 2c ac a 2c 2a3 ac , AM , Suy 2 2 2(a c ) 2(a c ) 2( a c ) 2( a c ) M c 2a c BD 2 a c , ac Suy AM BD a c Suy AM vng góc với BD Bài tốn 6: Cho đường trịn (O, R) điểm A cố định nằm (O, R) Một đường trịn thay đổi ln qua O, A cắt đường tròn (O, R) điểm C , D Chứng minh đường thẳng CD qua điểm cố định 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Suy phương trình đường thẳng ID là: c a c2 a2 c( x ) a( y ) cx ay 2 2 a2 c2 c c2 Ta có IH , Suy IH CD Suy IH CD 2a Bài toán 13: Cho tam giác ABC vuông B Điểm D thuộc cạnh AC ( D A, D C ) Suy I 0, cho AC AD Điểm E đối xứng với A qua BD Gọi Y giao điểm BC AE Đường thẳng qua E vng góc với BC cắt DY , DA H , I Chứng minh H trung điểm IE Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho O A ; B thuộc tia Ox ; C thuộc tia Oy Đặt OB b, OC c(b, c 0) Khi B(b,0), C (0, c) Giả sử D(0, d )(0 d c) Ta có BC (b, c) Suy n1 (c, b) vec tơ pháp tuyến BC Suy phương trình BC là: c( x b) by cx by bc Ta có BD (b, d ) vec tơ pháp tuyến đường thẳng AE Suy phương trình đường thẳng AE b( x 0) d ( y 0) y bx d 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có n2 (d , b) vec tơ pháp tuyến đường thẳng BD Suy phương trình bd đường thẳng BD d ( x b) by dx by bd Suy K b d 2bd Suy E b d , , b2d b2 d 2b2 d Ta có BC vec tơ pháp tuyến IE Suy phương b2 d trình IE b( x 2bd 2b2 d 2b2 d (c d ) ) c ( y ) bx cy 0 b2 d b2 d b2 d 2b d (c d ) bcd b 2c Y ( , ) Suy I 0, Ta có 2 2 b cd b d c ( b d ) bcd b2c b d cd , Suy DY b cd b cd Suy n3 (cd b2d b2c, bcd ) vec tơ pháp tuyến DY Suy phương trình DY (cd b2d b2c)( x 0) bcd ( y d ) y bcd (b2c b2d cd ) x bcd Hồnh độ điểm H nghiệm phương trình: b 2b2cd 2b2d b2c b2d cd x d x c bcd c(b2 d ) b2c b d cd b 2b 2cd 2b 2d x d 2 bcd c c ( b d ) b2c 2b2d cd b2cd 2b2d cd x bcd c(b2 d ) bd x c(b2 d ) (vì b2c 2b2d cd b2 (c 2d ) cd ) bd 2b2cd b2 d , 2 2 ( b d ) c ( b d ) Suy H Suy H trung điểm IE 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2) Phần thứ hai: Sử dụng phƣơng pháp tọa độ để giải số tốn hình học tạp chí Tốn Trong tạp chí “Tốn tuổi thơ” số 78+79 (tháng 8+9 năm 2009) có tốn sau: Bài tốn 14: Cho tam giác ABC Điểm M di động cạnh BC ( M khác B C ) Đường thẳng qua M song song với AC cắt AB P Đường thẳng qua M song song với AB cắt AC Q Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác APQ ln qua điểm cố định khác A Lời giải: Kẻ AO BC (O BC ) Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho B, C Ox A thuộc tia Oy Giả sử B(b,0), C (c,0), A(0, a)(a 0, b c) Giả sử M (m,0) Ta có AB (b, a) Suy phương trình AB ax by ab Ta có AC (c, a) Suy phương trình AC ax cy ac Ta có n1 (a, c) vec tơ pháp tuyến MP Suy phương trình MP a( x m) cy ax cy am ax cy am Tọa độ P nghiệm hệ phương trình ax by ab Suy P( b(m c) a(b m) , ) bc bc 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Gọi E trung điểm AP Khi E ( b(m c) 2ab ac am , ) 2(b c) 2(b c) Gọi d1 đường trung trực AP b( m c ) 2ab ac am Khi phương trình d1 b x a y 0 2(b c) 2(b c) 2a2b a2c b2c a 2m b2m bx ay 0 2(b c) Gọi d đường trung trực AQ Khi phương trình d c x c(m b) 2ac ab am a y 0 2(c b) 2(c b) 2a2c a2b c2b a2m c2m cx ay 0 2(c b) Gọi I giao điểm d1 d Khi I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác APQ Ta có m(a b2 ) 2(b c)(bxI ayI ) 2a 2b a 2c b2c m(a c2 ) 2(c b)(cxI ayI ) 2a 2c a 2b c 2b Suy 2(b c)(a c )(bxI ayI ) (2a 2b a 2c b2c)(a c ) 2(c b)(a b2 )(cxI ayI ) (2a 2c a 2b c 2b)(a b2 ) Suy xI (b c)(a bc) 2ayI (2a b2 c ) 3a a 2b2 a 2c b2c Suy I thuộc đường thẳng d cố định có phương trình: x(b c)(a bc) 2ay(2a b2 c ) 3a a 2b2 a 2c b2c Ta có A d Gọi K điểm đối xứng với A qua d Khi K thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác APQ , K A K điểm cố định Vậy đường trịn ngoại tiếp tam giác APQ ln qua điểm cố định khác A 22 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trong tạp chí “Toán học tuổi trẻ” số 455 (tháng năm 2015) có tốn sau: Bài tốn 15: Trên đường trịn ( I ) cho trước lấy hai điểm B, C cố định cho BC không qua I Điểm A chuyển động đường tròn ( I ) cho tam giác ABC có ba góc nhọn Trên cạnh AC lấy điểm M cho MA 3MC Gọi H hình chiếu M AB Chứng minh điểm H thuộc đường tròn cố định Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho O B ; C thuộc tia Ox Giả sử C (2c,0)(c 0) Gọi D giao điểm Oy đường tròn ( I ) Vì tam giác ABC có ba góc nhọn nên A thuộc cung CD (không chứa B ) đường tròn ( I ) ( A D) Giả sử I (c, d )(c, d 0) Phương trình đường trịn ( I ) ( x c)2 ( y d )2 c d x y 2cx 2dy Giả sử phương trình đường thẳng OA y kx(k 0) 2(dk ck ) 2k (c dk ) 2c 2dk 2k (c dk ) , CA , Suy 2 1 k k k 1 k Suy A dk ck k (c dk ) dk ck k (c kd ) , M 2c, Suy CM Suy 2 2(1 k ) 2(1 k ) 2(1 k ) 2(1 k ) 23 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com OA (1, k ) vec tơ pháp tuyến đường thẳng MH Suy phương trình đường thẳng MH là: x k (c dk ) dk ck c k y 0 2(1 k ) 2(1 k ) x ky 2c ck dk k (c dk ) dk x ky 2c 2 2(1 k ) 2(1 k ) Suy xH kyH 2c y dk Mặt khác k H (vì H O ) xH Suy xH2 yH2 2cxH dyH d Suy H ln thuộc đường trịn cố định ( x c)2 ( y )2 c2 d2 16 3) Phần thứ ba: Sử dụng phƣơng pháp tọa độ để giải số toán thi chọn học sinh giỏi Quốc gia Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2007 có tốn sau: Bài tốn 16: Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định đỉnh A thay đổi Gọi H, G trực tâm trọng tâm tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm A biết trung điểm K HG thuộc đường thẳng BC Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxy với O trung điểm BC ; C thuộc tia Ox 24 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đặt BC 2a(a 0) Khi B(a,0), C (a,0) Giả sử A( x0 , y0 )( y0 0) Khi tọa độ trực tâm H tam giác ABC nghiệm hệ phương trình x xo a xo H xo ; yo ( x a)(a xo ) yo y x 3a 3xo2 yo2 x y Tọa độ trọng tâm G G o ; o , suy K o ; y 3 o K thuộc đường thẳng BC 3a 3xo2 yo2 Vậy quỹ tích điểm A Hyperbol xo2 yo2 1( yo 0) a 3a x2 y trừ hai điểm B, C a 3a Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2008 có tốn sau: Bài tốn 17: Cho tam giác ABC Gọi D trung điểm cạnh BC Cho đường thẳng d vng góc với AD Xét điểm M nằm d Gọi E , F trung điểm MB MC Đường thẳng qua E vng góc với d cắt đường thẳng AB P Đường thẳng qua F vng góc với d cắt đường thẳng AC Q Chứng minh đường thẳng qua M vng góc với đường thẳng PQ qua điểm cố định điểm M di động đường thẳng d Lời giải: y P A x E M F B D C Q Chọn hệ trục Oxy hình vẽ cho O D ; A thuộc tia Oy Đặt OA a(a 0) 25 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Khi A(0, a) Giả sử B(b, c) Khi b C (b, c) Ta có AB (b, c a) ; AC (b, c a) Phương trình đường thẳng AB (a c) x b( y a) (a c) x by ab Phương trình đường thẳng AC (a c) x b( y a) (a c) x by ab Vì d song song với Ox d Ox nên M có tung độ khơng đổi Giả sử M ( xM , h) h số khơng đổi Khi E ( b xM c h x b h c , ), F ( M , ) 2 2 Gọi d1 đường thẳng qua A vng góc với d Gọi d đường thẳng qua A vuông góc với d Phương trình d1 x b xM Phương trình d x xM b b xM Suy P ,a Suy PQ (b, xM b (a c)( xM b) (a c)(b xM ) ,a ) , Q( 2b axM bc ) b Đường thẳng qua M vng góc với PQ có phương trình: b( x xM ) axM bc bc b2 ( y h) b2 ( x ) (axM bc)( y h ) b a a Suy đường thẳng qua điểm cố định I ( bc b2 ,h ) a a 26 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 4) Phần thứ tư: Sử dụng phƣơng pháp tọa độ để giải số toán thi Olympic Toán Quốc tế Trong kì thi Olympic Tốn học Quốc tế (IMO) năm 1995 có tốn sau đây: Bài tốn 18: Cho A, B, C , D bốn điểm phân biệt đường thẳng xếp theo thứ tự Các đường trịn đường kính AC BD cắt điểm X Y Đường thẳng XY cắt BC Z Cho P điểm nằm đường thẳng XY ( P Z ) Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC C , M Đường thẳng BP cắt đường trịn đường kính BD B, N Chứng minh đường thẳng AM , DN , XY đồng quy Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho O Z , điểm A, B, C , D nằm trục Ox điểm X , Y thuộc trục Oy Giả sử A(a,0), B(b,0), C (c,0), D(d ,0) cho a b c d ac ,0) ; AC c a Phương trình đường trịn đường kính AC là: Gọi I trung điểm AC Khi I ( 2 ac a c 2 x y x y (a c) x ac Giả sử P(0, p)( p 0) Suy CP (c, p) 27 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Suy n ( p, c) vec tơ pháp tuyến đường thẳng CP Suy phương trình CP p( x c) c( y 0) px cy cp Tọa độ M nghiệm hệ phương trình: cp px y px cy cp c 2 x y (a c) x ac x cp px (a c) x ac c (1) (1) (c p ) x c(2 p ac c ) x ac3 c p ( x c) c p x c x (ac2 cp2 ) 0 ac cp x c2 p2 Vì M C nên xM ac cp cp(c a) Suy yM 2 c p c p2 p (c a) cp(c a) , Suy AM n1 (c, p) vec tơ pháp tuyến AM c p c p Suy phương trình AM c( x a) py cx py ca Gọi Q1 giao điểm AM Oy Khi Q1 (0, ac ) p Gọi Q2 giao điểm DN Oy Khi Q2 (0, bd ) Ta có OC.OA OX OY OB.OD Suy ac bd p Suy Q1 Q2 Suy đường thẳng AM , DN , XY đồng quy Trong kì thi Olympic Tốn học Quốc tế (IMO) năm 2013 Colombia có toán sau đây: Bài toán 19: Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H Cho W điểm tùy ý cạnh BC , khác với điểm B C Các điểm M N tương ứng chân đường cao hạ từ B C Kí hiệu 1 đường trịn ngoại tiếp tam giác BWN gọi X điểm 1 cho WX đường kính 1 28 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tương tự ,kí hiệu 2 đường trịn ngoại tiếp tam giác CWM gọi Y điểm 2 cho WY đường kính 2 Chứng minh điểm X , Y H thẳng hàng Đây toán đề thi IMO năm 2013 Lời giải: Gọi O chân đường cao tam giác ABC kẻ từ A Chọn hệ trục tọa độ Oxy có điểm gốc O ; điểm A thuộc tia Oy , điểm C thuộc tia Ox điểm B thuộc tia đối tia Ox Giả sử A(0; a), B(b;0), C (c;0) , W(m;0) (a 0, c 0, b 0, b m c) Ta có AC (c; a) vec tơ phương cùa đường thẳng AC Suy n = (a; c) vec tơ pháp tuyến AC Suy phương trình đường thẳng AC là: a( x c) cy ax cy ac Vì AC vec tơ pháp tuyến đường thẳng BM nên phương trình đường thẳng BM c( x b) ay cx ay bc Từ suy H (0; a 2c bc ac abc bc ) M 2 ; 2 Giả sử Y ( x1; y1) Vì WY đường kính a a c a c đường tròn 2 nên WCY 90 YMW 90 Suy CY WC MY MW x1 c Ta có: c3 bc y (a c ) ac abc m(a c ) a 2c bc abc ac MY 2 ; M W ; 2 , a c a2 c2 a2 c2 a c Vì MY MW nên MY MW Suy (c3 bc ) m(a c ) a 2c bc (abc ac ) y1 (a c ) ac abc 29 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Suy y1(a c2 )a(b c) (b c)(mc bc)(a c2 ) y1 Suy Y (c; mc bc a mc bc ) a mb bc ) a mc mb c Suy HY (c; ), HX (b; ) HY HX a a b Tương tự X (b; Suy điểm X , Y H thẳng hàng 5) Phần thứ năm: Một số toán hình học dùng để luyện tập Bài tốn 20: Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BC; G điểm cạnh AB cho GB=2GA Các đường thẳng GM CA cắt D Đường thẳng qua M vng góc với CG E cắt AC K Gọi P giao điểm DE GK Chứng minh DE = BC PG = PE Bài toán 21: Cho hình vng ABCD Gọi E trung điểm BC Điểm M tùy ý thuộc cạnh AB; P giao điểm AE CM; N giao điểm MD AE; H giao điểm DP CN; I giao điểm đường trung trực DH đường thẳng vng góc với AH H Chứng minh I thuộc đường cố định Bài tốn 22: Cho tam giác ABC có đường cao CH Gọi I, K trung điểm đoạn AB, CH Một đường thẳng d di động song song với cạnh AB cắt cạnh AC M cắt cạnh BC N Dựng hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q nằm cạnh AB Gọi J tâm hình chữ nhật MNPQ Chứng minh I, J, K thẳng hàng Bài toán 23: Cho tam giác ABC vng A có AB AC Gọi I trung điểm AC Qua I kẻ đường thẳng vng góc với BC , qua C kẻ đường thẳng vng góc với AC , chúng cắt E Chứng minh AE vng góc với BI 30 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài toán 24: Cho đường trịn (O) đường kính AB ; M điểm tùy ý nằm (O) Đường phân giác AMB cắt (O) N Đường phân giác AMB cắt NA, NB P, Q ; AM cắt đường trịn đưởng kính NQ điểm thứ hai R ; BM cắt đường trịn đường kính NP điểm thứ hai S Chứng minh đường trung tuyến kẻ từ N tam giác NSR ln qua điểm cố định Bài tốn 25: Cho đường tròn ( I ),( J ) (có tâm tương ứng I J ) cắt M N Tiếp tuyến chung ( I ) ( J ) gần M so với M tiếp xúc với ( I ) A tiếp xúc với ( J ) B Đường thẳng qua B vng góc với AM cắt IJ D Điểm E đối xứng với B qua J Chứng minh điểm M , D, E thẳng hàng IV HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI: Bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm nhằm phục vụ cho việc học tập học sinh lớp chuyên Toán trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định đạt hiệu tốt Đó kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm học 2014-2015, đội tuyển Toán Nam Định đoạt giải Quốc gia, có giải nhì, giải ba 01 giải khuyến khích Học sinh Vũ Ngọc Đào -Thành viên đội tuyển Tốn Nam Định tham dự kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm học 2007-2008 giải tốn kì thi (bài tốn 11 báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này) cách sử dụng phương pháp tọa độ , đoạt giải nhì với số điểm cao tồn quốc dự thi vòng chọn đội tuyển Việt Nam thi Olympic Toán Quốc tế năm 2008 31 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com V ĐỀ XUẤT, KIẾN NGHỊ: Để hoàn thành báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ Sở Giáo dục - Đào tạo Nam Định, Ban giám hiệu trường THPT chuyên Lê Hồng Phong đồng nghiệp tổ Toán - Tin trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Tác giả xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ quý báu Bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm chuẩn bị chu đáo, song khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp thầy giáo để báo cáo sáng kiến kinh nghiệm hoàn thiện Tác giả sáng kiến Trần Xuân Đáng CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (Xác nhận, đánh giá, xếp loại) 32 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com CÁC PHỤ LỤC 1) Danh sách tài liệu tham khảo: - Các thi Olympic Tốn trung học phổ thơng Việt Nam - Đề thi Olympic 30/4 mơn tốn - Tạp chí Tốn học tuổi trẻ - Trang Website: http://www.mathscope.org 33 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... hai: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải số toán hình học tạp chí Tốn Phần thứ ba: Sử dụng phương pháp tọa độ để giải số toán thi chọn học sinh giỏi Quốc gia Phần thứ tư: Sử dụng phương pháp tọa độ. .. phương pháp tọa độ để giải số toán thi Olympic Toán Quốc tế Phần thứ năm: Một số tốn hình học dùng để luyện tập 1) Phần thứ nhất: Sử dụng phƣơng pháp tọa độ để giải số tốn hình học Bài tốn 1: Cho... c2 d2 16 3) Phần thứ ba: Sử dụng phƣơng pháp tọa độ để giải số toán thi chọn học sinh giỏi Quốc gia Trong kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2007 có tốn sau: Bài tốn 16: Cho tam giác ABC
Ngày đăng: 10/10/2022, 16:07
Xem thêm:
