(SKKN HAY NHẤT) phân tích một số sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm tích phân

GV: Vũ Thị Hiền Trường: THPT số Mường Khương MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài .2 II Mục đích nghiên cứu III Nhiệm vụ nghiên cứu IV Đối tượng nghiên cứu – Phạm vi nghiên cứu V Phương pháp nghiên cứu PHẦN II: NỘI DUNG I Cơ sở lý luận vấn đề II Thực trạng vấn đề III Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề IV Phân tích sai lầm thơng qua số ví dụ minh họa 10 V Hiệu từ sáng kiến đem lại .17 PHẦN III: KẾT LUẬN 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com GV: Vũ Thị Hiền Trường: THPT số Mường Khương PHẦN I: MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học nghiên cứu số, cấu trúc, khơng gian phép biến đổi Nói cách khác, người ta cho mơn học " hình số." Theo quan điểm thống, tốn học mơn học nghiên cứu cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ tiên đề, cách sử dụng Luận lý học (lôgic) ký hiệu toán học Toán học tảng cho tất ngành khoa học tự nhiên khác Có thể nói khơng có tốn học, khơng có ngành khoa học Do khả ứng dụng rộng rãi nhiều khoa học, toán học mệnh danh " ngơn ngữ vũ trụ" Mơn Tốn chia thành nhiều phân mơn nhỏ, có phân mơn: Giải tích tốn học cịn gọi đơn giản Giải tích Giải tích ngành tốn học nghiên cứu khái niệm: giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Phép tốn giải tích "phép lấy giới hạn"; Các yếu tố nghiên cứu giải tích thường mang tính chất "động" tính chất "tĩnh" Đại số Chính mà phần lớn học sinh THPT lúng túng gặp khó khăn học Giải tích nói chung Ngun hàm, Tích phân nói riêng Bên cạnh đó, đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN năm, tốn liên quan đến tích phân thiếu Trong thực tế, đa số học sinh tính tích phân cách máy móc là: tìm ngun hàm hàm số cần tính tích phân dùng định nghĩa tích phân phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân phần mà học sinh để ý đến ngun hàm hàm số tìm có phải nguyên hàm hàm số đoạn lấy tích phân hay khơng? Phép đặt biến phương pháp đổi biến số có nghĩa khơng? Phép biến đổi hàm số có tương đương khơng? Vì q trình tính tích phân học sinh thường mắc sai lầm dẫn đến lời giải sai Với hy vọng giúp học sinh khắc phục nhược điểm kể trên, nắm vững kiến thức Nguyên hàm – Tích phân, biết phân loại số dạng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com GV: Vũ Thị Hiền Trường: THPT số Mường Khương tốn tính tích phân, nắm phương pháp giải cho số dạng tập, từ giúp học sinh tính tích phân dễ dàng hơn, đạt kết cao giải tốn Ngun hàm – Tích phân nói riêng , đạt kết cao q trình học tập mơn Tốn nói chung, học sinh phát huy khả phân tích, tổng hợp, khái qt hóa qua tập nhỏ, mạnh dạn đề xuất sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số sai lầm thường gặp giải tốn Ngun hàm – Tích phân” II Mục đích nghiên cứu - Chỉ cho học sinh thấy sai lầm thường mắc phải Qua đó, học sinh hiểu chất vấn đề - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn Qua học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo III Nhiệm vụ nghiên cứu - Đánh giá thực tế q trình vận dụng giải tập tích phân (Chương trình Giải tích 12 – Ban bản) để có giải tốn hồn chỉnh xác IV Đối tượng nghiên cứu – Phạm vi nghiên cứu - Các tốn tính tích phân chương III, giải tích lớp 12 - Học sinh 02 lớp phụ trách 12A1, trường THPT số Mường Khương kinh nghiệm số năm học trước V Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra - Phương pháp đối chứng - Phương pháp nghiên cứu tài liệu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com GV: Vũ Thị Hiền Trường: THPT số Mường Khương PHẦN II: NỘI DUNG I Cơ sở lý luận vấn đề Định nghĩa nguyên hàm: F(x) nguyên hàm f(x)  F’(x) = f(x) * Định lí: + F(x) nguyên hàm f(x)  F(x) + C củng nguyên hàm với C số Kí hiệu: (đọc tích phân bất định f(x)) Như vậy: = F(x) + C + F(x) G(x) nguyên hàm f(x)  F(x) – G(x) = C (C: số) Các tính chất nguyên hàm: Bảng tóm tắc cơng thức ngun hàm: (Ta tạm hiểu hssc mở rộng từ hssc ta thay biến x ax + b) Nguyên hàm hssc Nguyên hàm hssc mở rộng thường gặp thường gặp Nguyên hàm hàm số hợp (với u = u(x) ) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com GV: Vũ Thị Hiền Trường: THPT số Mường Khương Tích phân a, Định nghĩa: F(x) = F(b) – F(a) b, Các tính chất: (SGK trang 124, Giải tích 12) ( Chốt kỹ tính chất lưu ý ví dụ phù hợp tính chất) Các phương pháp tính tích phân a, Phương pháp sử dụng định nghĩa tính chất tích phân: b, Phương pháp đổi biến: a Đổi biến dạng 1: x = (t), a = (), b = (), * Lưu ý: Đặt x hàm theo biến t, đổi dấu nhớ đổi cận Ví dụ: Tính tích phân sau: Giải: Đặt x = sint dx = cost.dt Với x [0;1] ta có t Đổi cận: x = t=0 Vậy = ; x= t= = I= LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com GV: Vũ Thị Hiền Trường: THPT số Mường Khương Giải : Đặt x= tan t Đổi cận : x= x=2 t=0 t= I= = = = b Đổi biến dạng 2: *Dấu hiệu sử dụng tích phân đổi biến dạng 2: Hàm số dấu tích phân thường có dạng tích hàm, hàm biểu thức hàm có đạo hàm gần hàm số lại ( sai khác số) Ta sử dụng phương pháp tích phân đổi biến dạng Ví dụ 1: Tính tích phân: Giải:  Với , ta đặt Đổi cận: x t Thay vào:  Với  Vậy, Ví dụ 2: Tính tích phân LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com GV: Vũ Thị Hiền Trường: THPT số Mường Khương Bài làm: : Đặt t = KQ : 38/15 Phương pháp tích phân phần: * Lưu ý: Thường ưu tiên đặt u theo thứ tự: Lôgarit, lũy thừa, mũ, lượng giác Ví dụ 1: Tính tích phân sau: Giải Ta có: Đặt Vậy: Ví dụ : Tính tích phân sau I= Giải: Đặt Vậy = - = = = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com GV: Vũ Thị Hiền Trường: THPT số Mường Khương * Ví dụ: Tính tích phân sau: II Thực trạng vấn đề Khi học sinh học chương III “Nguyên hàm, tích phân ứng dụng” thường gặp phải khó khăn sau: - Khơng nắm vững định nghĩa Ngun hàm, Tích phân - Không nắm vững phương pháp đổi biến số - Không nắm vững phương pháp nguyên hàm ( tích phân ) phần - Khơng nắm vững cơng thức tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay III Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, thực số giải pháp sau: Bổ sung, hệ thống kiến thức mà học sinh thiếu hụt - Phân tích, mổ xẻ khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm chất khái niệm, định nghĩa, định lí - Đưa ví dụ, phản ví dụ minh họa cho khái niệm, định nghĩa, định lí - So sánh khái niệm, quy tắc để học sinh thấy giống khác chúng - Chỉ sai lầm mà học sinh dễ mắc phải Rèn luyện cho học sinh mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp - Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, - Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải vấn đề - Phương pháp: phương pháp giải toán Đổi phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm ) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com GV: Vũ Thị Hiền Trường: THPT số Mường Khương - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế - Tạo hứng thú, đam mê, u thích mơn học cho học sinh - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho giảng sinh động hơn, bớt khô khan học sinh không cảm thấy nhàm chán Chẳng hạn sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, có điều kiện sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu để học sinh thấy hình động liên quan trực tiếp tới giảng (ví dụ ứng dụng tích phân để tính diện tích hình thang cong) Đổi việc kiểm tra, đánh giá - Kết hợp tự luận trắc nghiệm khách quan với mức độ nhận thức: nhận biết - thơng hiểu - vận dụng - phân tích - tổng hợp - đánh giá - Giáo viên đánh giá học sinh - Học sinh đánh giá học sinh Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học cho phù hợp với loại đối tượng học sinh, cho học sinh sai lầm thường mắc phải giải toán nguyên hàm, tích phân Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm tập Phân dạng tập phương pháp giải - Hệ thống kiến thức - Phân dạng tập phương pháp giải - Đưa tập tương tự, tập nâng cao - Sau lời giải cần có nhận xét, củng cố phát triển toán, suy kết mới, toán Như học sinh có tư linh hoạt sáng tạo IV Phân tích sai lầm thơng qua số ví dụ minh họa Sai lầm vận dụng định nghĩa nguyên hàm LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com GV: Vũ Thị Hiền Trường: THPT số Mường Khương a, Ví dụ 1: chứng minh nguyên hàm hàm R Từ tìm nguyên hàm hàm *Một học sinh giải sau: F’(x) = -e - x + (1+x)e- x =f(x) với x =>F(x) nguyên hàm hàm f(x) R * Phân tích: Học sinh viết chung số c cho phép tính nguyên hàm * Lời giải đúng: với c = c1 – c2 b, Ví dụ 2: Tính *Một học sinh giải sau: Đặt * Phân tích: học sinh viết chung số c cho phép tính nguyên hàm * Lời giải đúng: Sai lầm vận dụng bảng nguyên hàm Ví dụ 3: tính *Một học sinh giải sau: * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com GV: Vũ Thị Hiền Trường: THPT số Mường Khương Học sinh vận dụng công thức với n ≠ – * Lời giải đúng: Đặt 2x + = t Sai lầm vận dụng định nghĩa tích phân Ví dụ 4: Tính tích phân *Một học sinh giải sau: * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: hàm số * Lời giải đúng: Hàm số không liên tục không xác định không xác định suy hàm , tích phân không tồn * Chú ý học sinh: tính tích phân cần ý kiểm tra xem hàm số y = f(x) có liên tục đoạn [a, b] khơng? Nếu có áp dụng phương pháp học để tính tích phân cho, cịn khơng kết luận tích phân khơng tồn Một số tập tương tự: Tính tích phân sau: 1/ 2/ 3/ 4/ 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com GV: Vũ Thị Hiền Trường: THPT số Mường Khương Ví dụ 5: tính tích phân: I = * Sai lầm thường gặp : Đặt t = tan = = I= tan = dx = d(t+1) = = ; = +c - khơng tồn nên tích phân không tồn *Nguyên nhân sai lầm: Đặt t = tan x x = tan khơng có nghĩa * Lời giải đúng: I= = = tan Sai lầm biến đổi hàm số Ví dụ 6: Tính tích phân *Một học sinh giải sau: * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Phép biến đổi không tương đương * Lời giải đúng: 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com GV: Vũ Thị Hiền Trường: THPT số Mường Khương * Chú ý học sinh: ( n ≥ 1, n nguyên) , ta phải xét dấu hàm số f(x) đoan [a, b] dùng tính chất để bỏ dấu giá trị tuyệt đối Sai lầm vận dụng phương pháp đổi biến Ví dụ 7: Tính tích phân *Một học sinh giải sau: Đặt x = sint suy dx = costdt * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: học sinh đổi biến không đổi cận * Lời giải đúng: Đặt x = sint suy dx = cost.dt Đổi cận: * Chú ý học sinh: Khi gặp tích phân dạng , tích phân tồn thơng thường ta tính tích phân cách đặt x = c.sint( x = c.cost) đổi cận, chuyển tính tích phân theo t 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com GV: Vũ Thị Hiền Trường: THPT số Mường Khương Ví dụ 8: Tính tích phân *Một học sinh giải sau: Đặt x = sint suy dx = costdt Đổi cân: Đến học sinh thường lúng túng số lẻ, em khơng tìm đáp số * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: gặp tích phân hàm số có chứa biểu thức thông thường ta đặt x = sint ( x = cost); ví dụ 7, làm theo cách gặp khó khăn đổi cận Cụ thể x = 1/4 ta khơng tìm xác t * Lời giải đúng: Đặt t = Đổi cận: * Chú ý học sinh: gặp tích phân hàm số có chứa biểu thức , cân tích phân giá trị lượng giác góc đặc biệt ta tính tích phân cách đặt x =sint( x = cost) cịn khơng ta phải tìm phương pháp khác Sai lầm dùng cơng thức khơng có sách giáo khoa Ví dụ 9: Tính tích phân 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com GV: Vũ Thị Hiền *Một học sinh giải sau: Trường: THPT số Mường Khương * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: SGK hành không cung cấp công thức * Lời giải đúng: Đặt x + = tant Đổi cận: * Chú ý học sinh: gặp tích phân dạng , ta tính tích phân cách đặt x = c.tant (hoặc x = c.cott) Chú ý công thức Hiểu sai chất cơng thức Ví dụ 10: Tính tích phân *Một học sinh giải sau: Đặt * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: học sinh hiểu sai chất cơng thức lấy tích phân phần * Lời giải đúng: Đặt 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com GV: Vũ Thị Hiền Trường: THPT số Mường Khương Sử dụng sai cơng thức Ví dụ 11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = – x2; y = 0; x = 1; x = *Một học sinh giải sau: diện tích hình phẳng cần tìm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: học sinh vận dụng sai cơng thức tính diện tích hình phẳng * Lời giải đúng: diện tích hình phẳng cần tìm 2.Một số tập tương tự: Tính tích phân 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com GV: Vũ Thị Hiền Trường: THPT số Mường Khương V Hiệu từ sáng kiến đem lại Kết từ thực tiễn: Ban đàu học sinh gặp khó khăn định việc giải tốn tích phân nêu Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn tỉ mỉ cách phân tích tốn tích phân từ hàm số dấu tích phân, cận tích phân đẻ lựa chọn phương pháp phù hợp sở giáo viên đưa sai lầm mà học sinh thường mắc phải trình suy luận, bước tính tích phân từ hướng em đến lời giải Sau hướng dẫn học sinh yêu cầu học sinh giải số tập tích phân sách giáo khoa giải tích 12 số đề thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng năm em thận trọng tìm trình bày lời giải số lượng tập Kết thực nghiệm Sáng kiến áp dụng năm học 2013 - 2014 Bài kiểm tra hai đối tượng: Lớp 12A6 ( 27 hs) không áp dụng sáng kiến lớp 12A2 ( 39 hs) áp dụng sáng kiến sau: Xếp loại Giỏi Khá Tb Yếu 12A6 4% 15% 36% 45% 12A2 15% 25% 45% 15% Đối tượng Sau thực sáng kiến học sinh học tập tích cực hứng thú đặc biệt giải tốn tích phân em thận trọng hiểu chất vấn đè không rập khuôn máy móc trước, việc thể phát huy tính tích cực chủ động học sinh 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com GV: Vũ Thị Hiền Trường: THPT số Mường Khương PHẦN III: KẾT LUẬN Bài viết SKKN nhằm cung cấp tới thầy cô giáo em học sinh tài liệu tham khảo Với lượng kiến thức định nguyên hàm, tích phân kiến thức liên quan, học sinh có nhìn sâu sắc 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com GV: Vũ Thị Hiền Trường: THPT số Mường Khương sai lầm thường mắc phải giải toán Đồng thời, qua sai lầm mà rút cho kinh nghiệm phương pháp giải tốn cho riêng mình; học sinh quay trở lại để kiểm chứng lí thuyết trang bị để làm tốn Từ thấy lơgic tốn học nói chung ngun hàm, tích phân nói riêng.Nói riêng, với học sinh kiến thức nguyên hàm, tích phân tương đối khó, em có lực học trung bình trở xuống Các em thường quen với việc vận dụng hiểu rõ chất khái niệm, định nghĩa, định lí kiến thức liên quan học Đó chưa kể sách giáo khoa giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng chí mang tính hàn lâm ; nội dung học sinh tiếp cận thêm có hội học sâu (chủ yếu bậc Đại học) Ở cấp độ trường trung học phổ thông số Mường Khương, SKKN áp dụng để cải thiện phần chất lượng môn, củng cố phương pháp giải tốn, góp phần nâng cao chất lượng dạy học ; giúp học sinh hiểu rõ chất khái niệm, định nghĩa, định lí kiến thức liên quan học, giúp em tránh khỏi lúng túng trước toán đặt không mắc phải sai lầm thường gặp Bản thân giáo viên trực tiếp giảng dạy lớp 12 chưa nhiều năm song với thực tế lớp sâu nghiên cứu lĩnh vực Khi áp dụng SKKN vào giảng dạy nhận thấy kết nhận biết em tăng lên rõ rệt, em khơng cịn nỗi lo sợ làm tốn tích phân mà ngược lại cịn hứng thú loại toán TÀI LIỆU THAM KHẢO 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com GV: Vũ Thị Hiền Trường: THPT số Mường Khương Sách giáo khoa giải tích 12 ( Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên) – Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất) Phương pháp giải tốn Tích phân ( Trần Đức Huyên – Trần Chí Trung – NXB Giáo dục) Sách giáo khoa giải tích 12 Nâng cao ( Đoàn Quỳnh( Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) – Trần Phương Dung – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng) Phương pháp giải toán Tích phân ( Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội – 2005) Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán ( Trần Phương – Nguyễn Đức Tấn – NXB Hà Nội – 2004) Sai lầm phổ biến giải toán (Nguyễn Vĩnh Cận – Lê Thống Nhất – Phan Thanh Quang – NXB Giáo dục) 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com GV: Vũ Thị Hiền Trường: THPT số Mường Khương 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... n ≠ – * Lời giải đúng: Đặt 2x + = t Sai lầm vận dụng định nghĩa tích phân Ví dụ 4: Tính tích phân *Một học sinh giải sau: * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: hàm số * Lời giải đúng: Hàm số không liên... pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân phần mà học sinh để ý đến nguyên hàm hàm số tìm có phải nguyên hàm hàm số đoạn lấy tích phân hay khơng? Phép đặt biến phương pháp đổi biến số có nghĩa... thành nhiều phân mơn nhỏ, có phân mơn: Giải tích tốn học cịn gọi đơn giản Giải tích Giải tích ngành tốn học nghiên cứu khái niệm: giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Phép tốn giải tích "phép