(SKKN HAY NHẤT) một số vấn đề về phương trình đường tròn trong mặt phẳng

BM 01-Bia SKKN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƢỜNG THPT XUÂN HƢNG Mã số: (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG TRỊN TRONG MẶT PHẲNG Người thực hiện: Nguyễn Thị Thu Phƣơng Lĩnh vực nghiên cứu: Toán 10 - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học mơn: Tốn  (Ghi rõ tên môn) - Lĩnh vực khác:  (Ghi rõ tên lĩnh vực) Có đính kèm: Các sản phẩm in SKKN  Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác (các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm) Năm học: 2015- 2016 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com BM02-LLKHSKKN SƠ LƢỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC –––––––––––––––––– I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: Nguyễn Thị Thu Phương Ngày tháng năm sinh: 16/10/1987 Nam, nữ: Nữ Địa chỉ: Xuân Hưng- Xuân Lộc- Đồng Nai Điện thoại: 0982 177 624 E-mail: nphuonggv@Gmail.com Chức vụ: Giáo viên Nhiệm vụ giao: Giảng dạy mơn Tốn Đơn vị cơng tác: Trường THPT Xn Hưng II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chun mơn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân - Năm nhận bằng: 2011 - Chun ngành đào tạo: Giảng dạy mơn Tốn III KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chun mơn có kinh nghiệm: năm Số năm có kinh nghiệm: năm - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG TRỊN TRONG MẶT PHẲNG I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Mơn tốn trường phổ thơng giữ vai trị, vị trí quan trọng mơn học hỗ trợ đắc lực cho hầu hết môn học khác trường phổ thơng như: Lý, Hố, Sinh, Văn Như vậy, học tốt mơn Tốn tri thức Toán với phương pháp làm việc Tốn trở thành cơng cụ để học tốt mơn học khác Mơn Tốn góp phần phát triển nhân cách, việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kỹ tốn học cần thiết, mơn Tốn cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ Thực tế nhà trường THPT nay, đặc biệt trường vùng nông thôn trường THPT Xuân Hưng chất lượng học tập mơn Tốn học sinh cịn thấp, hầu hết em sợ học mơn Tốn Qua năm giảng dạy nhận thấy học sinh khối 10 học phương trình đường trịn, đặc biệt phần tập v phương trình đường trịn em khó tiếp thu áp dụng Mà tập v phương trình đường trịn lại ln có mặt đ thi học kì, đ thi THPT quốc gia Vì để gi p học sinh khối 10 học tốt phần tập phương trình đường trịn tơi chọn đ tài ‘‘Một số vấn đ v phương trình đường trịn mặt ph ng II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Dựa kiến thức học v phương trình đường trịn mặt ph ng Từ hướng dẫn em vận dụng kiến thức học vào việc giải tập Thông qua ví dụ đưa gi p em cố lý thuyết biết vận dụng vào giải số tập tương tự III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP Chuyển thể từ kiến thức phức tạp thành thực hành đơn giản, dễ hiểu Giáo viên đưa li u lượng kiến thức vừa phải, thích hợp với lực u kiện học sinh Giáo viên tạo môi trường thân thiện thầy trị Ln cho học sinh cảm giác gần gũi, dạy thật, học thật từ đầu Dạy theo u kiện thực tế không áp đặt chủ quan Đưa vấn đ liên quan đến phương trình đường trịn mặt ph ng: Vấn đề 1: Nhận dạng phương trình đường trịn tìm u kiện để phương trình phương trình đường trịn Vấn đề 2: Lập phương trình đường trịn Vấn đề 3: Sự tương giao đường th ng đường tròn Vấn đề 4: Sự tương giao hai đường tròn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vấn đề 5: Các toán liên quan đến họ đường tròn Vấn đề 6: Một số cách lập khác phương trình đường trịn Từ vấn đ vấn đ đưa phương pháp giải số dạng tốn cụ thể, số ví dụ áp dụng từ đơn giản đến phức tạp Sau em biết lý thuyết ví dụ áp dụng giải số tập tương tự LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com VẤN ĐỀ 1: NHẬN DẠNG PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG TRỊN TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT PHƢƠNG TRÌNH LÀ PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG TRỊN Phƣơng pháp: Cách 1: Đưa phương trình cho v dạng x2 + y2 - 2ax - 2by + c = Xét dấu biểu thức: T = a2 + b2 - c (1) * Nếu T > (1) phương trình đường trịn tâm I(a ;b) bán kính R= a2 + b2 - c * Nếu T  (1) khơng phải phương trình đường trịn Cách : Đưa phương trình v dạng : (x - a)2 + (y - b)2 = T (2) * Nếu T > phương trình (2) phương trình đường trịn tâm I(a ;b), bán kính R = T * Nếu T  phương trình (2) khơng phải phương trình đường trịn Các ví dụ : Ví dụ 1: Trong phương trình sau đây, phương trình phương trình đường trịn ? Tìm tâm bán kính có : a) x2 + y2 + 2x - 4y + = (1) b) x2 + y2 - 6x + 4y + 13 = (2) c) x2 + y2 + 4x - 6y - 12 = (3) d) 2x2 + 2y2 - 4x + 8y - = (4) e) 4x2 + 3y2 - 6x - 3y - = (5) Giải: a) (1) có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0, với a = -1, b = 2, c = Ta có : a2 + b2 - c = (-1)2 + 22 - = -4 < Vậy (1) phương trình đường trịn b) (2) có dạng : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = với a = 3, b = -2, c = 13 Ta có : a2 + b2 - c = 32 + (-2)2 - 13 = Vậy (2) khơng phải phương trình đường trịn c) (3) có dạng : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0, với a = -2, b = c = -12 Ta có : a2 + b2 - c = (-2)2 + 32 - (-12) = 25 > Vậy (3) phương trình đường trịn tâm O(-2 ;3), bán kính R = a2 + b2 - c = 25 =5 d) Ta có : (4)  x2 + y2 - 2x + 4y - =  (x -1)2 + (y + 2)2 = Vậy (4) phương trình đường trịn tâm O(1 ; -2), bán kính R = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com e) Phương trình (5) khơng phải phương trình đường trịn hệ số x y2 khác Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 + y2 - 2mx + 6my + 9m + = (1) a) Với giá trị m (1) phương trình đường trịn? b) Nếu (1) phương trình đường trịn tìm toạ độ tâm bán kính đường trịn theo m Giải: a) (1) có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = với a = m, b = -3m c = 9m + (1) phương trình đường trịn khi: a2 + b2 - c > mà a2 + b2 - c >  m2 + (-3m)2 - 9m - >  10m2 - 9m - >  m > m < -1  10 -1 (1) phương trình đường trịn tâm I(m, -3m) 10 có bán kính R = 10m2 - 9m - b) Khi m > m < Một số tập ứng dụng: Bài 1: Tìm toạ độ tâm bán kính đường trịn sau: a) (x + 4)2 + (y - 2)2 = d) x2 + y2 - 6x - 4y + c = 36 b) (x - 5)2 + (y + 7)2 = 16 e) x2 + y2 + 8x - 6y - = c) x2 + y2 = g) 4x2 + 4y2 - 8x - 12y - = Bài 2: Trong phương trình sau, phương trình biểu diễn đường trịn ? Tìm tâm bán kính có a) x2 + y2 + 2x + 3y + 10 = c) x2 + y2 - 2x - 6y - 10 = b) 3x2 + y2 - 2x - 5y - = d) 2x2 + 2y2 - 6x - 4y - = Bài 3: Cho phương trình : x2 + y2 - 6mx + 8my + 23m + = (2) a) Với giá trị m (2) phương trình đường trịn b) Nếu (2) phương trình đường trịn tìm toạ độ tâm bán kính đường trịn VẤN ĐỀ 2: LẬP PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG TRỊN Một số d ng tốn ập phƣơng tr nh đƣờng tr n: D ng 1: Lập phương trình đường trịn qua điểm cho trước Cách 1: * Tìm toạ độ tâm I(a;b) đường trịn (C) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com * Tìm bán kính R đường trịn (C) * Viết phương trình (C) theo dạng: (x - a)2 + (y - b2) = R2 Cách 2: * Giả sử phương trình đường trịn (C) là: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = * Từ u kiện đ đưa đến hệ phương trình với ẩn số a, b, c Giải hệ phương trình tìm a, b, c từ tìm phương trình đường trịn (C) Chú ý: Đường trịn (C) qua ,  IA2 = IB2 = R2 Trong dạng có tốn hay gặp “viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác C tốn tốn viết phương trình đường trịn qua ba điểm , , C khơng th ng hàng cho trước Ta thường giải toán theo cách Ví dụ 3: Lập phương trình đường trịn (C) trường hợp sau: a) (C) có tâm I(2; -3) qua M(-2; 3) b) (C) có đường kính với (1;1) (7;5) Giải: a) Ta có: IM = (-2 - 2)2 + (3 + 3)2 = 52 Vậy phương trình (C) là: (x - 2)2 + (y + 3)2 = 52 b) Tâm I (C) trung điểm Ta có: xI =  yI = Do đó: R = I = xA + xB 1+7 = =4 2 yA + yB 1+5 = =3 2 (1 - 4)2 + (1- 3)2 = 13 Vậy phương trình (C) là: (x - 4)2 + (y - 3)2 = 13 Ví dụ 4: Lập phương trình đường trịn (C) qua ba điểm (-2; 4), B(5; 5), C(6; -2) Giải: Giả sử phương trình đường trịn (C) là: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = (a2 + b2 - c > 0) (C) qua ba điểm , , C khi: 4 + 16 + 4a - 16b + c = 4a - 16b + c = -20 25 + 25 - 10a - 10b + c =  10a + 10b - c = 50  36 + - 12a + 4b + c = 12a - 4b - c = 40 a = -2 -1 b = c = - 20 Vậy phương trình đường trịn có dạng: x2 + y2 + 4x + y -20 = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com D ng 2: Lập phương trình đường trịn tiếp x c với đường th ng: Chú ý: * Đường tròn (C) tiếp x c với đường th ng   d(I, ) = R tiếp x c với đường th ng  * Đường tròn (C) qua  d(I, ) = IA * Đường tròn (C) tiếp x c với hai đường th ng 1 2  d(I,1) = d(I, 2) = R Ví dụ 5: Lập phương trình đường trịn (C) trường hợp sau: a) (C) có tâm I(1;3) tiếp x c Ox b) (C) có tâm I(1;1) tiếp x c với đường th ng : 3x + 4y -1 = Giải: a) Đường th ng Ox có phương trình: y = () Ta có: R = d(I, ) = |1| = Vậy phương trình đường trịn (C) có dạng: (x -1)2 + (y - 3)2 = b) Ta có: R = d(I, ) = |3.1+4.1-1| 2 +4 = Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x - 1)2 + (y - 1)2 = 36 25 Ví dụ 6: Lập phương trình đường trịn tiếp x c với hai trục toạ độ Ox, Oy qua M(1;2) Giải: Vì đường tròn tiếp x c Ox, Oy qua M(1;2) thuộc góc phần tư thứ nên đường trịn cần tìm thuộc góc phần tư thứ Do tâm đường trịn có toạ độ I(R;R), R > 0, R bán kính đường trịn Ta có: IM = R  (R - 1)2 + (R - 1)2 = R2 R =  R2 - 6R + =  R =  Vậy có hai đường trịn thỗ mãn u kiện toán là: (x - 1)2 + (y - 1)2 = (x - 1)2 + (y - 1)2 = 25 Ví dụ 7: Cho hai đường th ng 1: 4x - 3y + = 2: 3x + 4y - = Viết phương trình đường trịn có tâm nằm đường th ng : x - y - = tiếp xúc với 1 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giải: Đường trịn cần tìm có tâm nằm đường th ng  suy toạ độ tâm I có dạng (a +1; a) Ta có: d(I;1) = |4(a+1) - 3a + 1| 2 + (-3) = |a + 5| |3(a + 1) + 4a - 4| |7a - 1| d(I;2) = 32 + 42 = Vì đường trịn tiếp x c với 1 2 nên ta có: |a + 5| = |7a - 1| 7a - = a +  |a + 5| = |7a - 1|  7a - = - a -  6a =  8a = -   a = a = -1  36 Với a =  I(2;1) R =  phương trình đường trịn: (x - 2)2 + (y - 1)2 = 25 Với a = -1 -1  I( ; ) , R = 2 10 12  12 81  x y +      phương trình đường trịn: 2 +  2 = 100  Ví dụ 8: Lập phương trình đường trịn qua hai điểm (-1;0), (1;2) tiếp x c với đường th ng : x - y - = Giải: Gọi I(a;b) R bán kính đường trịn (C) cần tìm suy phương trình (C) là: (x - a)2 + (y - b)2 = R2 (C) tiếp x c : x - y - =  d(I,) = R  |a - b - 1| =R A, B  (C)  (-1 - a)2 + b2 = R2  2 (a - 1) + (b - 2) = R2  (a - 1)2 + b2 = (a - b - 1) (1)  (a - b - 1)2 2 (a - 1) + (b - 2) = (2) Từ (1) (2) suy ra: (a + 1)2 + b2 = (a - 1)2 + (b-2)2  a = - b Thay a = - b vào (2) ta có: b2 + (b - 2)2 = 2b2  b =  a = , R = Phương trình (C) là: x2 + (y - 1)2 = Ví dụ 9: Viết phương trình đường trịn (C) tiếp x c với trục hoành điểm (2;0) qua (5;1) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giải: Đường tròn (C) tiếp x c với Ox (6;0) nên a = 6, |b| = R Khi đó: Đường trịn (C) có tâm I(a;b), bán kính R có phương trình: (x - a)2 + (y - b)2 = R2 (1) (1)  (x - 6)2 + (y - b)2 = b2 B(5;1)  (C)  (5 - 2)2 + (1 - b)2 = b2  2b = 10  b =  R = Phương trình (C) là: (x - 2)2 + (y - 5)2 = 25 D ng 3: Lập phương trình đường trịn nội tiếp tam giác C Cách 1: * Viết phương trình đường phân giác hai góc tam giác * Tìm giao điểm hai đường phân giác ta toạ độ tâm I * Tính khoảng cách từ tâm I đến cạnh tam giác ta đường tròn nội tiếp Cách 2: *Tính diện tích  đường trịn nội tiếp : r = C độ dài cạnh tam giác để suy bán kính S p * Gọi I(x,y) tâm đường tròn nội tiếp tam giác, suy khoảng cách từ tâm I đến ba cạnh r Từ thành lập hệ phương trình ẩn x y * Giải hệ phương trình tìm x, y từ có phương trình đường trịn phải tìm Ví dụ 10: Cho tam giác C có phương trình cạnh : 2x + y - = BC: x + 2y + = 0; AC: 2x - y + = Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC Giải: Phương trình đường phân giác góc : 2x + y - 2x - y + = 5 x - = (1) x + = (2)   Ta có: (- - 7).((1 - 7) >  C nằm v phía (1)  (1) đường phân giác ngồi góc Vậy phân giác góc đường th ng (2) Các đường phân giác góc là: x - y - = (3) 2x + y - x + 2y + =  x + y - = (4)  5 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com d(I1,) = R1   d(I2,) = R2 Giải hệ ta tìm a, b Ví dụ 20: Cho hai đường trịn (C1): x2 + y2 - 6x + = (C2): x2 + y2 - 12x - 6y + 44 = a) Tìm tâm bán kính (C1) (C2) b) Lập phương trình tiếp tuyến chung (C1) (C2 Giải: a) (C1) có tâm I1(3 ;0) có bán kính R1 = (C2) có tâm I2(6 ;3) có bán kính R2 = b) Xét đường th ng  có phương trình : x = m  x - m = Đường th ng  tiếp x c (C1) (C2): |3 - m| = d(I1,) = R1     d(I2,) = R2 |6 - m| = m = m =  m =  m = m=5 Vậy ta có (C1) (C2) có tiếp tuyến chung thứ 1: x - = Xét đường th ng  có phương trình : y = ax + b  ax - y + b =  tiếp tuyến chung hai đường th ng d(I1,) = R1  d(I2,) = R2  |3a2+ b| = (1) a +1 6a - + b  a2 + = (2) Từ (1) (2)  |3a + b| = 2|6a - + b| Trƣờng hợp 1: 3a + b = 2(6a - + b)  b = - 9a (3) Thay vào (2) ta được: |6a - + - 9a| = a2 +  |3 - 3a| = a2 +  - 18a + 9a2 = a2 +  4a2 - 9a + =  a1 =  a = 2 + 17 - 17 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Thay giá trị k vào (3) ta tính được: b1 =  b = 2 -35 - 17 -35 + 17 Vậy ta tiếp tuyến 1: y = + 17 -35 - 17 x+ 8 Vậy ta tiếp tuyến 2: y = - 17 -35 + x+ 8 Trường hợp : 3a + b = -2(6a - + b)  3b = - 15a  m = - 5a (4) Thay vào (2) ta được: |6a - + - 5a| = a2 + |a - 1| = a2 +  (a - 1)2 = a2 +  a2 - 2a + = a2 +  a = Thay giá trị a vào (4) ta b = Vậy ta tiếp tuyến 4: y = VẤN ĐỀ : CÁC ÀI TOÁN LI N QUAN ĐẾN HỌ ĐƢỜNG TRÒN Trong vấn đ ta thường gặp số toán liên quan đến họ đường tròn sau: Cho họ đường tròn (Cm): f(x,y,m) = Bài tốn 1: Tìm tập hợp tâm đường trịn (Cm) Phƣơng pháp giải: - Tìm u kiện để phương trình cho phương trình đường trịn - Tìm toạ độ tâm I đường tròn cho (theo m) xI  yI = f(m) = g(m) - Từ hệ khử m để tìm mối liên hệ xI yI - Kết hợp với u kiện tìm để giới hạn quỹ tích tìm Bài tốn 2: Tìm điểm cố định mà họ đường trịn ln qua với m Phƣơng pháp giải: * Giả sử A(x0 ;y0) điểm cố định mà họ đường trịn ln qua với m  phương trình f(x,y,m) = đ ng với m * Viết phương trình dạng phương trình ẩn m sau cho tất hệ số m kể hệ số tự * Giải hệ ta tìm x0 y0 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài tốn 3: Tìm điểm mà họ đường trịn khơng qua với m Phƣơng pháp giải: * Giả sử (x0 ;y0) điểm mà họ đường trịn khơng qua với m  phương trình f(x,y,m) = vơ nghiệm với m * Viết phương trình dạng phương trình ẩn m sau cho tất hệ số m hệ số tự khác * Giải hệ ta tìm u kiện x0 y0 Ví dụ 21 : Cho đường cong (Cm) có phương trình : x2 + y2 + (m + 2)x - (m + 4)y + m + = a) Chứng minh (Cm) ln đường trịn với giá trị m b) Tìm tập hợp tâm đường tròn (Cm) m thay đổi c) Chứng minh m thay đổi, họ đường trịn (Cm) ln qua hai điểm cố định d) Tìm điểm mặt ph ng toạ độ mà họ (Cm) không qua dù m lấy giá trị Giải: a) Phương trình (Cm) có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = với a = - m+2 m+4 ,b= ,c=m+1 2  m + 22 m + 42 m2 + 4m +  +  - (m + 1) = > với m     Ta có: a2 + b2 - c = - Vậy (Cm) đường tròn với giá trị m b) Toạ độ tâm Im đường tròn (Cm) là: x = - m + 2  m+4 y = 2x = -(m +2) (1)  2y = m + (2)  Cộng vế (1) với (2), ta được: 2x + 2y = hay x + y - = Vậy tập hợp tâm đường trịn (C) đường th ng có phương trình: x + y - = c) Gọi M(x0;y0) điểm cố định mà họ (Cm) qua ta có: x02 + y02 +(m + 2)x0 - (m + 4) y0 + m + = 0, m  (x0 - y0 + 1)m + x02 + y02+ 2x0 - 4y0 + m + = 0, m x - y + = (1) 0  x + y 2+ 2x - 4y + = (2)  0 0 Từ (1) suy : x0 = y0 - 1, thay vào (2) ta được: y0 = (y0 -1) + y02 + 2(y0 - 1) - 4y0 + =  2y02 - 4y02 =  y =  22 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Với y0 = x0 = -1 Ta điểm M1(-1;0) Với y0 = x0 = Ta điểm M2(1;2) Vậy họ đường trịn (Cm) ln qua hai điểm cố định M1(-1;0) M2(1;2) d) (Cm) không qua điểm (x1 ;y1) với m  phương trình ẩn m (x1 - y1 + 1)m + x12 + y12 + 2x1 - 4y1 + = vô nghiệm x1 - y1 + = y1 = x1 +     x1 + y1 + 2x1 - 4y1 + ≠ x1 ≠ 1 Vậy tập hợp điểm mặt ph ng toạ độ mà họ (Cm) không qua với giá trị m đường th ng  có phương trình : y = x + bỏ hai điểm M1(-1;0) M2(1;2) Một số tập áp dụng: Bài 1) Cho họ đường tròn (Cm) có phương trình : x2 + y2 - 4mx - 2my + m2 - m - = 2 Tìm tập hợp tâm (Cm) m thay đổi Bài 2) Cho hai đường tròn: (C1) x2 + y2 + 6x - 4y - = (C2) x2 + y2 - 10x - 6y + 30 = Chứng minh (C1) tiếp x c (C2) Bài 3) Cho họ đường trịn (Cm) có phương trình: x2 + y2 - 7mx + 2my + m - = Tìm m để họ (Cm) tiếp x c với đường tròn : x2 + y2 - 6x +7 = Bài 4) Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 - 2x + 4y - = (C2): x2 + y2 + 2x - 4y - 14 = a) Xác định giao điểm (C1) (C2) b) Viết phương trình đường trịn qua hai giao điểm điểm (0 ;1) Bài 5) Cho họ đường tròn : x2 + y2 - 2mx - 2(m + 1)y + 2m - = a) Chứng minh m thay đổi, họ đường trịn ln qua hai điểm cố định b) Chứng minh với m, họ đường trịn ln ln cắt trục tung hai điểm phân biệt Bài 6) Cho hai đường tròn (C1): (x - 1)2 + (y - 2)2 = (C2): (x - 2)2 + (y - 1)2 = Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đường trịn Bài 7) Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 - 4x - 8y + 11 = (C2): x2 + y2 - 2x - 2y - = 23 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com a) Xét vị trí tương đối hai đường trịn (C1) (C2) b) Viết phương trình tiếp tuyến chung (C1) (C2) Bài 8) Cho đường cong (Cm) có phương trình: x2 + y2 + 2mx - 2(m + 1)y - = a) Chứng minh (Cm) đường trịn với giá trị m b) Tìm tập hợp tâm đường tròn m thay đổi c) Chứng minh m thay đổi, họ đường trịn ln qua hai điểm cố định d) Tìm điểm mặt ph ng toạ độ mà họ không qua dù m lấy giá trị VẤN ĐỀ 6: MỘT SỐ CÁCH LẬP KHÁC PHƢƠNG TRÌNH DƢỜNG TRỊN Đây cách lập phương trình đường trịn khơng theo vấn đ cụ thể năm vấn đ Những cách lập phương trình theo cách ngẫu hứng Lời giải đưa dựa kiến thức có với lối suy diễn đơn giản Trong vấn đê đưa số ví dụ hay sử dụng đ thi Ví dụ 22: Cho hai điểm (2 ;0), (6 ;0) Viết phương trình (C) tiếp x c Ox khoảng cách từ tâm (C) tới Giải: Gọi I, R tâm bán kính (C): Vì (C) tiếp x c Ox  toạ độ I(2;b) IB =  (6 - 2)2 + (4 - b)2 =  (4 - b)2 = 4 - b = b = I(2;1), R = IA =  4 - b = -3  b =  I(2;7), R = IA =    2 (C): (x - 2) + (y - 1) = Vậy có hai đường tròn: (C): (x - 2)2 + (y - 7)2 = 49  Ví dụ 23: Trong mặt ph ng toạ độ Oxy cho hai đường th ng d: x - 7y + 10 = : 2x + y = Viết phương trình đường trịn (C) có tâm nằm , tiếp x c d A(4;2) Giải: Gọi I, R tâm bán kính (C) Vì I   : y = -2x  toạ độ I(t; -2t) Vì d tiếp x c (C) nên ta có: I  d    IA  Ud  IA.Ud =  (4 - t ;2 + 2t)(7 ;1) =  7(4 - t) + 1(2 + 2t) =  5t = 30  t = 24 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  I(6 ;-12), R = IA = 200  (C) có phương trình : (x - 6)2 + (y + 12)2 = 200 Ví dụ 24 : (ĐHKA 2010) Cho hai đường th ng d1 : 3x + y = 0, d2 : 3x - y = Viết phương trình đường trịn (T) tiếp x c d1 cắt d2 , C cho ABC vng diện tích  C , xA > Giải: Gọi I, R tâm bán kính (T) Theo giả thiết  I trung điểm C, R = I A  d1 : y = - 3x  toạ độ A(t ;- 3t) Đường th ng qua A(t ;- 3t)   C: vectơ pháp tuyến n = U d = (-1,  3)  C có phương trình: -1(x - t) + 3(y + 3t) =  x - 3y - 4t =  3x - y = x = -2t   y = -2 3t x - 3y - 4t = C = AC  d2  toạ độ C nghiệm hệ :  Đường th ng  : qua A(t ;- 3t)  vectơ pháp tuyến  n = Ud = (1,  3) có phương trình : 1(x - t) + 3(y + 3t) =  x + 3y + 2t = B = AB  d2  toạ độ x + 3y + 2t =   3x - y = SABC = nghiệm hệ :  x = - t  3t y = -  t 3  B- , - t  2 3  AB BC =  3t2 9t2 = 2 t4 = 1  t2 =    A    -2   ; - 1 ; C t =  t =   -1 (loại) xA >  -3 , R = AI =  2 ; 2  I ; 25 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  (T) có phương trình : x +  2  32  + y +  = 2 3  Ví dụ 25: Cho ba đường th ng d1: x + y + = 0, d2: 7x - y + = 0, : 4x + 3y - = Viết phương trình (C) có tâm nằm , đồng thời tiếp x c d1, d2 Giải: Gọi I, R tâm bán kính (C) : : 4x + 3y - =  y = - 4x  - 4t Vì I    toạ độ It;    Vì (C) tiếp x c d1 , d2 nên ta có: d(I,d1) = I(I,d2) = R    - 4t   + 4 t +   1+1 |14 - t| = = - 4t   + 4 7t   72 + (-1)2 14 - t = 5t + t = 25t + 10  |14 - t| = |5t + 2|  14 - t = -5t -  t = -   15 I(2;-2), R =  I(-4;6), R =   có hai phương trình đường trịn là: 2 (C): (x - 2) + (y + 2) =  2 (C): (x + 4) + (y - 6) = 18 Ví dụ 26: Trong mặt ph ng toạ độ Oxy cho phương trình đường trịn (C): (x - 2)2 + y2 = hai đường th ng 1: x - y = 0, 2: x - 7y = Tìm tâm K bán kính (C1) biết (C1) tiếp x c với 1, 2 tâm K nằm (C) Giải: Gọi K(a;b) tâm R bán kính (C1) Vì K  (C)  (a - 2)2 + b2 = (1) 26 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vì (C1) tiếp x c 1 , 2 nên ta có: d(I,) = d(I,2)  |a - b| = |a - 7b| 2 + (-7)  |a - b| |a - 7b| = 50 5(a - b) = a - 7b b = -2a  5|a - b| = |a - 7b|  5(a - b) = -a + 7b  a = 2b   Với b = -2a thay vào (1) ta có: 25a2 - 20a + 16 = (vô nghiệm) Với a = 2b thay vào (1) ta có: (5b - 4)2 =  b = 8 4  a =  K5; 5 , R =   5 Ví dụ 27: Viết phương trình đường trịn (C) qua hai điểm M(1;1), N(2;4) đồng thời tiếp x c với : 2x - y - = Giải: IM = IN Gọi I(a,b), R tâm bán kính (C) Theo giả thiết ta có:  IM = d(I,) 2 2 (a b) + (b 1) = (a 2) + (b 4) 2  IM = IN |2a - b + 9|2    2 2  IM = d (I,) (a - b) + (b - 1) =      a = 3b  (a - 1)2 + (b - 1)2 = a = 3, b =   (2a - b + 9) a = -357, b = 122  I(-357;122) , R = IM 2 (C): (x -3) + (y- 2) =  (C): (x + 357)2 + (y - 122)2 = 142805  Ví dụ 28: Cho đường tròn (C): (x - 1)2 + (y - 2)2 = đường th ng có phương trình x - y - = Viết phương trình đường tròn (T) đối xứng với (C) qua d Giải: (C) có tâm I(1;2), bán kính R = Gọi I’, R’ tâm bán kính đường trịn (T) Khi ta có: R’ = R = I’ đối xứng với I qua d Lấy H  d: y = x -  toạ độ H(t; t - 1)   HI  Ud =  (1 - t ;3 - t)(1 ;1) =  -2t + =  t =  H(2 ;1) Vì I’ đối xứng với I qua d nên H trung điểm II’  toạ độ I’(3;0)  phương trình (T): (x - 3)2 + y2 = 27 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ 29: (ĐHKA 2007) Cho tam giác ABC, A(0 ;2), B(-2 ;-2), C(4 ;-2) Gọi H chân đường cao k từ Hai điểm M,N trung điểm , C Viết phương trình đường tròn qua H, M, N Giải: M, N trung điểm , C nên toạ độ M, N : M(-1 ;0), N(1 ;-2)   AC(4 ;-4)  véc tơ pháp tuyến C n (1 ;1)  phương trình tổng quát C : x + y - =  H qua B(-2 ;-2) có véc tơ pháp tuyến AC (1 ;-1)  BH có phương trình: (x+ 2) - (y + 2) =  x - y = Ta có H = AC  BH  Toạ độ H nghiệm hệ : x  y =1 =  H(1 ;1) Giả sử đường trịn (C) qua M, N, H có phương trình : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = (a2 + b2 - c > 0) Vì H, M, N  (C) nên ta có : a = -1   b= c = -22 2 (-1) + - 2a.1 - 2b.0 + c = 2a - c - = 2 1 + (-2) - 2a.1 - 2b.(-2) + c =  2a - 4b -c - = 12 + 12 - 2a.1 - 2b.1 + c = 2a + 2b - c - = Vậy phương trình đường trịn (C): x2 + y2 - x + y - = 28 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI K t từ thực tiễn: an đầu học sinh gặp khó khăn định việc phân loại giải dạng tập nêu Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích tốn v phương trình đường trịn mặt ph ng để lựa chọn phương pháp phù hợp Sau hướng dẫn học sinh yêu cầu học sinh giải số tập phương trình đường trịn sách giáo khoa Hình học lớp 10 số đ thi tuyển sinh vào đại học, cao đ ng trung học chuyên nghiệp năm trước em thận trọng tìm trình bày lời giải giải lượng lớn tập K t thực nghiệm: Sáng kiến áp dụng năm học 2015- 2016 ài kiểm tra lớp 10 (năm học 2014-2015) không áp dụng sáng kiến lớp 10A10 ( năm học 2015- 2016) áp dụng sáng kiến kinh nghiệm sau: Xếp loại Giỏi Khá Tb yếu 10B5 12,5% 25% 55% 7,5% 10A10 22,5% 35% 40% 2,5% Đối tượng Sau thực sáng kiến học sinh học tập tích cực hứng th đặc biệt giải tốn phương trình đường trịn thận trọng hiểu chất vấn đ không theo tính rập khn cách máy móc trước, việc thể việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Nghiên cứu, phân tích số vấn đ v phương trình mặt ph ng có nghĩa lớn q trình dạy học áp dụng sáng kiến gi p học sinh nhìn thấy điểm yếu hiểu biết chưa thật thấu đáo v vấn đ này, từ phát huy học sinh tư độc lập, lực suy nghĩ tích cực chủ động củng cố trau dồi thêm kiến thức v phương trình đường trịn từ làm chủ kiến thức, đạt kết cao trình học tập kỳ thi THPT quốc gia 29 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com VI TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) - Nguyễn Mộng Hy (chủ biên) - Nguyễn Văn Đoành - Trần Đức Huyên Nhà xuất giáo dục, Sách giáo khoa Hình học lớp 10 Đồn Quỳnh (tổng chủ biên) - Văn Như Cương (chủ biên) - Phạm Vũ Khuê- Bùi Văn Nghị Nhà xuất giáo dục, Sách giáo khoa Hình học lớp 10 nâng cao Nguyễn Mộng Hy (chủ biên) - Nguyễn Văn Đoành - Trần Đức Huyên Nhà xuất giáo dục, Sách tập Hình học lớp 10 Văn Như Cương (chủ biên) - Phạm Vũ Khuê - Trần Hữu Nam Nhà xuất giáo dục, Sách tập Hình học lớp 10 nâng cao NGƢỜI THỰC HIỆN Nguyễn Thị Thu Phƣơng 30 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỤC LỤC I Lí chọn đ tài……………………………………………………………… II Cơ sở lí luận thực tiễn………………………………………………………3 III Tổ chức thực giải pháp………………………………………………3 Vấn đ 1: Nhận dạng phương trình đường trịn tìm u kiện để phương trình phương trình đường trịn.……………………………………………………….5 Vấn đ 2: Lập phương trình đường trịn………………………………………… Vấn đ 3: Sự tương giao đường th ng đường tròn………………………12 Vấn đ 4: Sự tương giao hai đường trịn……………………………………18 Vấn đ 5: Các tốn liên quan đến họ đường tròn…………………………… 21 Vấn đ 6: Một số cách lập khác phương trình đường trịn………………… 24 IV Hiệu đ tài………………………………………………………… 29 V Đ xuất, khuyến nghị khả áp dụng……………………………………….29 VI Tài liệu tham khảo………………………………………………………… 29 31 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com BM01b-CĐCN SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI TRƢỜNG THPT XUÂN HƢNG ––––––––––– CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc ập - Tự - H nh phúc –––––––––––––––––––––––– Xuân Hưng, ngày 12 tháng 04 năm 2016 PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2015-2016 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Một số vấn đ v phương trình đường trịn mặt ph ng Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Thu Phương, Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường THPT Xuân Hưng Họ tên giám khảo 1: Chức vụ: Đơn vị: Số điện thoại giám khảo: * Nhận xét, đánh giá, cho điểm x p o i sáng ki n kinh nghiệm: Tính Điểm: …………./6,0 Hiệu Điểm: …………./8,0 Khả áp dụng Điểm: …………./6,0 Nhận xét khác (nếu có): Tổng số điểm: /20 X p o i: Phiếu giám khảo đơn vị đánh giá, chấm điểm, xếp loại theo quy định Sở Giáo dục Đào tạo; ghi đầy đủ, rõ ràng thông tin, có ký tên xác nhận giám khảo đóng kèm vào sáng kiến kinh nghiệm liền trước Phiếu nhận xét, đánh giá sáng kiến kinh nghiệm đơn vị GIÁM KHẢO (Ký tên, ghi rõ họ tên) 32 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com BM01b-CĐCN SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI TRƢỜNG THPT XUÂN HƢNG ––––––––––– CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc ập - Tự - H nh phúc –––––––––––––––––––––––– Xuân Hưng, ngày 12 tháng 04 năm 2016 PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2015-2016 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Một số vấn đ v phương trình đường trịn mặt ph ng Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Thu Phương, Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường THPT Xuân Hưng Họ tên giám khảo 2: Chức vụ: Đơn vị: Số điện thoại giám khảo: * Nhận xét, đánh giá, cho điểm x p o i sáng ki n kinh nghiệm: Tính Điểm: …………./6,0 Hiệu Điểm: …………./8,0 Khả áp dụng Điểm: …………./6,0 Nhận xét khác (nếu có): Tổng số điểm: /20 X p o i: Phiếu giám khảo đơn vị đánh giá, chấm điểm, xếp loại theo quy định Sở Giáo dục Đào tạo; ghi đầy đủ, rõ ràng thơng tin, có ký tên xác nhận giám khảo đóng kèm vào sáng kiến kinh nghiệm liền trước Phiếu nhận xét, đánh giá sáng kiến kinh nghiệm đơn vị GIÁM KHẢO (Ký tên, ghi rõ họ tên) 33 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com BM04-NXĐGSKKN SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI TRƢỜNG THPT XUÂN HƢNG ––––––––––– CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc ập - Tự - H nh phúc –––––––––––––––––––––––– Xuân Hưng, ngày 12 tháng 04 năm 2016 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2015-2016 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Một số vấn đ v phương trình đường trịn mặt ph ng Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Thu Phương, Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường THPT Xuân Hưng Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào ô tương ứng, ghi rõ tên môn lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học môn:  - Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác:  Sáng kiến kinh nghiệm triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành  Tính (Đánh dấu X vào ô đây) - Đ giải pháp thay hồn tồn mới, bảo đảm tính khoa học, đ ng đắn  - Đ giải pháp thay phần giải pháp có, bảo đảm tính khoa học, đ ng đắn  - Giải pháp gần áp dụng đơn vị khác chưa áp dụng đơn vị mình, tác giả tổ chức thực có hiệu cho đơn vị  Hiệu (Đánh dấu X vào ô đây) - Giải pháp thay hoàn toàn mới, thực tồn ngành có hiệu cao  - Giải pháp thay phần giải pháp có, thực tồn ngành có hiệu cao  - Giải pháp thay hoàn toàn mới, thực đơn vị có hiệu cao  - Giải pháp thay phần giải pháp có, thực đơn vị có hiệu  - Giải pháp gần áp dụng đơn vị khác chưa áp dụng đơn vị mình, tác giả tổ chức thực có hiệu cho đơn vị  Khả áp dụng (Đánh dấu X vào dịng đây) - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách: Trong Tổ/Phịng/ an  Trong quan, đơn vị, sở GD&ĐT  Trong ngành  - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống: Trong Tổ/Phòng/ an  Trong quan, đơn vị, sở GD&ĐT  Trong ngành  - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Trong Tổ/Phòng/ an  Trong quan, đơn vị, sở GD&ĐT  Trong ngành  X p o i chung: Xuất sắc  Khá  Đạt  Không xếp loại  Cá nhân viết sáng kiến kinh nghiệm cam kết không chép tài liệu người khác chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ Tổ trưởng Thủ trưởng đơn vị xác nhận sáng kiến kinh nghiệm tổ chức thực đơn vị, Hội đồng khoa học, sáng kiến đơn vị xem xét, đánh giá, cho điểm, xếp loại theo quy định Phiếu đánh dấu X đầy đủ ô tương ứng, có ký tên xác nhận tác giả người có thẩm quyền, đóng dấu đơn vị đóng kèm vào cuối sáng kiến kinh nghiệm NGƢỜI THỰC HIỆN SKKN (Ký tên ghi rõ họ tên) XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN (Ký tên ghi rõ họ tên) THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên, ghi rõ họ tên đóng dấu đơn vị) 34 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... Đưa vấn đ liên quan đến phương trình đường tròn mặt ph ng: Vấn đề 1: Nhận dạng phương trình đường trịn tìm u kiện để phương trình phương trình đường trịn Vấn đề 2: Lập phương trình đường trịn Vấn. .. (2) phương trình đường trịn tâm I(a ;b), bán kính R = T * Nếu T  phương trình (2) khơng phải phương trình đường trịn Các ví dụ : Ví dụ 1: Trong phương trình sau đây, phương trình phương trình đường. .. tốt phần tập phương trình đường trịn tơi chọn đ tài ‘? ?Một số vấn đ v phương trình đường trịn mặt ph ng II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Dựa kiến thức học v phương trình đường trịn mặt ph ng Từ