LÊ QUANG MINH - NGUYỄN VĂN VƯỢNG
SỨC BỀN VẬT LIỆU
(Túi bản Lân thứ sáu)
Trang 3CHƯƠNG XII
TINH CHUYEN VI THEO PHUONG PHAP NANG LUONG
Trong các chương trước ta đã tính được chuyển vị mặt cắt ngang của thanh trong những trường hợp thanh chịu lực đơn giản như kéo nén đúng tâm, uốn ngang phẳng, xoán thuần túy Để tính chuyển vị cho hệ thanh khi chịu lực phức tạp thì ta phải sử dụng phương pháp năng lượng, Trong chương này ta sẽ đề cập đến phương
pháp đ +
§ 12-1 NGUYÊN LÍ CHUYỂN VỊ KHẢ DỊ
Người đầu tiên phát biểu nguyên lí này là Hécnuli, sau đó Lagorăng đã hoàn thiện và đã trình bày trong sách giáo khoa cơ giải tích Sách này được dịch từ tiếng Pháp sang tiếng Nga và xuất bán tai Matxcova năm 1950
Nguyên lÍ được phát biểu như sau :
Để một hệ có các liên kết lí tướng ở trạng thái côn bang tai mot vi tri nao dé, điều kién cin va dé la tổng công của tất cả các lực đặt lên hệ trong cóc chuyển vj
khả di uô cùng bé là bằng không `
Chuyển vị khả đi là chuyển vị vô cùng bé sao cho trong
các chuyển vị đó các liên kết của hệ thống không bị phá vỡ Một liên kết lí tưởng là một liên kết mà tổng công của
các phản lực trong tất cả mọi chuyển vị khả đi của hệ là „ bằng không Các trường hợp sau đây có thể xem là những liên kết lÍ tưởng : HH2 1 Một chất điểm hoặc một vật rắn luôn luôn tì lên một mật nhãn cố định Vì mặt nhẫn nên không có lực ma sát, de phan lực liên kết có phương theo pháp tuyến với bổ mặt Cáo aE
chuyển vị khả dĩ chỉ cớ thể xây rả trong mặt phẳng tiếp tuyến /l l2
với mặt tÌ và như vậy công của các phản lực trong các chuyển 4 2 An
vi dé la bang khong
8
2 Các liên kết là bất động, nghĩa là phản lực liên kết z
không gây nên công
3 Khớp nối giữa hai vật thể Khép nay tạo nên các phan
lực ngược chiều nên công của chúng trong các chuyển vj kha 2
di St ia bằng không (h 12-1),
Ta hay 4p dung nguyén li trén cho mật vật thể đàn hồi
Trang 4là một phân tố vô cùng bé tách ra bởi hai mặt cất (1-1) và (2-2) cách nhau một khoảng cách đs
Hệ được xem như một tập hợp các phần tử đàn hồi ds Dưới tác dụng của ngoại
lực P và các phản lực R tại A và B, trên các mặt cất (1-1) và (2-2) xuất hiện các
thành phần nội lực Bây giờ ta gây cho hệ một chuyển vị khả di Một chuyển vị như vậy chỉ có thể có được bằng cách đặt một hệ lực mới nào đó tạo cho hệ một trạng thái biến đạng mới hay làm cho hệ biến dạng bằng nhiệt độ Ta nhận thấy công khá di ở đây không phải chỉ có công ẢAng do ngoại lực tạo nên mà còn có công khả di A,
do nội lực tạo nên Do đó ta có :
Ag +A = 0 (1)
Do là biểu thức của nguyên lí chuyển vị khả đi áp dụng cho một hệ đàn hồi
§12-2 CƠNG THỨC MO ĐỂ XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ
Trước hết ta hãy để cập đến bài toán phẳng
Bài toán đặt ra như sau : cho khung phẳng chịu lực như hình 12-3 Dai hỏi ta
phải tính chuyển vị theo phương k của trọng tâm mặt cắt qua D
Gọi trạng thái chịu lực đã cho
là trạng thái ”m" Nghĩa là ngoại ds lực cũng như nội lực ở trạng thái s / này được dùng chỉ số m để đánh e 7 o/ B 2 / su ý
dấu Chuyển vị theo phương k do f
lực ở trạng thái "m" gây nên được 1 2
kí hiệu là Am Ngoại lực và phản Ay |v Mn Mn
luc - P,, va Ry, - cing gay nén Nm he
các chuyển vị cho một phân t6 ds 4 | WN,
bất kì nào đó của hệ Thực vậy, đn Nam”
goi Na» Qn va M,, 1a các thành Ẩ ds 7
phần nội lực trên các mặt cắt (1—1) 27772 '
và (2-2) cla ds (h 12-4) do P,, va HH2-3 Hữz-4
Tim gây nên, các thành phần nội
Trang 5?ạy là góc trượt tỉ đối trung bình Giá trị góc trượt đó tỈ lệ với ứng suất tiếp do Q, gây nên trên các mặt cất Ta có thể tính trị số ứng suất tiếp trung bình với công thức : Qin 1 trong đố là một hệ số điều chỉnh vÌ ứng suất tiếp do Q,, Bay nén là phân bố không đều trên mặt cắt VÍ dụ : với mặt cất hình chữ nhật = 1,2 Với mặt cất tròn 1= 2 Với mặt cất hình chữ I + = — ¡ F là diện tích toàn phần và Pin — điện tích Fiong của lòng chữ I Tu dé ta cd : T, Q ds
Bây giờ ta hãy tưởng tượng tạo nên một trạng thái "k" bằng cách bỏ tất cá các
ngơại lực ở trạng thái "m" và đặt vào
phương "k" một luc P, (h 12-7) P, ds Pe
và các phản lực Rạ gây nên các thành 1 fz phần nội luc N,, Q, va M, trén các
mặt cắt (1-1) và (2-2) (hình 12-8)
Vì hệ là một hệ cân bằng nên công của ngoại lực và nội lực của hệ trong bất kì một chuyển vị khả di nào cũng phải bằng không
Ta hãy chọn ngay trạng thái biến dạng của trạng thái "m" như là các
chuyển vị khả di Công của ngoại lực š =
khi đó là PyAy,, ; cdn công của nội H.12-7 H.12-8
lực thì ta chưa tith được nhưng ta
phải có :
PA + A, =0 (5)
Ở đây ta chú ý thấy rằng các phản lực lị tại A và B không sinh công vì các gối
tựa đó bất động
Để tính công A, ta để ý đến phân tố ds Các thành ph&n noi luc N,, Q, va My trên các mặt cất (I-1) và (2-2) đối với phân tố lại là ngoại lực Phân tố đó có các
chuyển vị khả di Adsm, 46,, va Adg,, Cong ngoại lực lúc này là :
aA,, = N,Ads,, + Q,A8,, + M,Adp,, Theo nguyên lí chuyển vị khả di ta phải có :
Trang 6Từ đó ta có ; : MMds NNids Q/Q,de qa, = — (—Ey— + aR +1 gE œ Vậy : công của nội lực của toàn hệ sẽ là : MM ds k NN.ds k ỐC QQ ds k A, = -(3J Br +sf oF +>Íh cr) @)
Dấu tổng Ö ở đây Wé chỉ tổng các đoạn thanh trong hệ và đấu tích phân là để chỉ
phép toán tích phân trên suốt chiều đài của mỗi đoạn thanh : Thay (8) vào (ð) ta có :
MM, ds N,N, ds QQ ds
PA = sf + sft ey GF 1 ®)
Nếu đem chia cả hai vế cho Pị hay nói một cách khác trong trạng thái "k" lấy lực
P, = 1 không có thứ nguyên thì từ đở ta có công thức của chuyển vị A¿m ƒ hề ƒWwh ƒ S9,„4s Am = 3J “B— + DI GER + DS a oF (12-1)
Trong dé M, , Q, va Ny la cdc thành phần nội lực trong hé do P, = 1 gay nén
Công thức đó được gọi là công thức Mo,
Đối với bài tốn khơng gian, khi trên các mặt cất ngang có đẩy dủ sáu thành phần nội lực thì công thức Mo sẽ có đạng như sau : ƒ MuMdz ƒ MM, dz f MM, dz Mm =D ES * > mt > EI, * NN dz Q nd? `8 đz + si + ví: Sunt? + xí, “ST (12-9) trong đó dz là độ dài của phân tố dz = ds và các thành phần nội lực được biểu dién như trên hình 12-9
Trên đây ta đã tìm chuyển vị thẳng theo
phương k Tất cả mọi điều ta vừa chứng
mình cũng sẽ hoàn toàn đúng khi ta cần
tìm góc Xoay của mặt cắt ngang tại một
nơi nào đó của hệ hay một cách Tộng hơn,
khi ta cẩn tÌm chuyển vị thẳng tương đổi hay góc xoay tương đối của hai mặt cát
tại hai điểm bất ki nao dé cha hệ Khi do
ta sẽ tạo nên trạng thái "k" bằng cách đặt
một mômen tập trung một hệ hai lực ngược chiều hay hai mômen ngược chiều không có thứ nguyên và có trị số bằng đơn vị,
Trang 7
Ký hiệu Ay„, tùy theo trường hợp, sẽ có nghĩa là góc xoay của mặt cắt ngang, độ
dịch gần hay chuyển xa của hai trọng tâm hai mặt cất và góc xoay tương đối của hai
mặt cất -
Ví dụ để tÌm góc xoay của mặt cắt D ta tạo nên trạng thái "k”, như trên hình 12-10
Để tính độ dịch gân giữa hai điểm D, H ta tạo nên trạng thái "k" như trên
hình 12-11 :
Dé tinh gớc xoay tương đối giữa hai mặt cắt ngang qua D và H ta tạo nên trạng
thải "k" như trên hình 12-12
` - H 12-11 H, 12-12
§12-8 MỘT SỐ ĐỊNH LÍ QUAN TRỌNG
1 Định lí về công tương hỗ (còn gọi là định lÍ Bét-ti)
Định lÍ phát biểu như sau :
Công của ngoại luc 6 trang thái "m` trên chuyển vi cia trạng thái "k" là bồng công của ngoại lực ở trạng thái *k" thực hiện trên chuyển vj của trạng thái "m`,
Thực vậy, từ biểu thức "9" ta luôn luôn có :
MM ds km NN ds km „Q9 ds ‘km
PA, ->A =Sƒ =" sƒ xf —gr—
EJ EF
2 Định lí về chuyển vị đơn vị Nếu hai trạng thái "m" và "k" đều là trạng thái do lực đơn vị tác dụng theo phương m và phương k gây nên, khí đó các chuyển vị Am và Am, là các chuyển vị đơn vị và được kí hiệu là 6,,, va doy
Ta dé dang thay
6 km = 6 mk (12-3)
MM ds N,N ds 18,4,
c=5J-g + SS 3S Ma
Do đó ta có thể phát biểu định lí như sau :
Chuyển vi’ don vi theo phuong k do luc don vi theo phương m gây nên là bằng chuyển uị theo phương m do lực dơn uị theo phương k gay nén
Trang 8vi dụ 1 Cho đầm chịu lực như hình 12-18 Xác định độ võng và góc xoay tei A
(bỏ qua ảnh hưởng của lực cất đối với chuyển vị của đầm) Độ cứng EJ, của dầm là hằng số Bài giải : Ta xem trạng thái đã 4
cho của dầm là trạng thái 4 Reet
"m" H6 truc toa dé duge 1 j | bt 4 chọn như hình vẽ Gọi z 3 { E A là hoành độ của mặt cắt j— gS +- #+— Ệ * (1-1) Mémen uén My, ` trên mặt cắt đó có trị số ⁄ H113 H.12-14 la: M =-qz> (a)
Để tính độ võng tại Á ta tạo nên trạng thái "k" như hình 12-14 Mômen uốn trên
mat cAt (1-1) la: M, = ~z (b) 6 đây ta bỏ qua ảnh hưởng của lực cất, còn lực đọc N; là bằng không, do đó chuyển vị thẳng đứng tại A sẽ có trị số là 1 MM, dz As = f—o,.= °o 2 1 —a-s-mt x EJ.” ote 8
Các kết qua nhận được trên đây là những trị số dương, điều đó có nghĩa là độ võng và góc xoay
cùng chiều với P¿ và Mụ
VÍ dụ 2 Cho giàn chịu lực như hình 12-16,
tìm chuyển vị thẳng đứng tại A Các thanh đều
cùng làm bằng một loại vật liệu và cùng có mặt H-2-16 cắt như nhau
Trang 9Đài giải : + Ta xem trạng thái đã cho của hệ là trạng thái "ra" Trị số lc doc trong các thanh như Sau : Ni = py ; WN = -P Nos 0; Ni = 2P NS = -PV2 ; Nố = -P
Để tìm chuyển vị thẳng đứng tại Á ta bô lực P đi và thay vào đó một lực PR, = 1 Trị số nội lực trong các thanh sẽ là : Ney: NWa-1; Ne Ny = V2 5 N=T1; N=0 ss ; Te No = - V2; Ne = -1 © day mơ men uốn và lực cắt bàng không nên chuyển vị thẳng đứng tại A sẽ là : - _ U NN, ds 4a = YQ = ° EF _ PY2.V2.a¥2 + Pa + 2PV2.2/2a + P{Z2 a2 + Pla Pa Ya EF EF EF EF EF 7 (10+4V2) 55
§ 12-4 PHƯƠNG PHÁP NHÂN BIỂU ĐỒ CỦA VÊRÊSAGHIN
Khi mặt cất ngang của thanh không thay đổi hay thay đổi trên từng đoạn, khi đó các tích phân trong công thức Mo (13-1) sẽ có dạng sau đây : 1 1= ƒ F(z).f(z)dz ` : (10) °
trong đó ta luôn luôn có một hàm số bậc nhất Thực vậy FG
vì các biểu đồ nội lực trong trạng thái "k" là do lực tập lô £03) trung hay momen tAp trung gây nên Trong trutng hop dé đe ⁄ phép tích phân có thể thực hiện một cách đơn giản như sau : +
Ta giả thiết trên một đoạn đài từ 0 đến l nào đó của ic} | |
thanh hàm số f(z) là một đường cong bất kì còn F(z) la một =O é
đường thẳng có phuong trinh : lý T
1
F(z) = az +b an 4 8 -
Các hàm số đó được biểu điễn như trên hình 12-7 7
Dem thay (11) vao (10) ta duge : 9 Leg)? /
I= f (az + b).f(z)dz (12)
Trang 10trong đớ tích f(z)dz là vi phân điện tích dO@ của biểu đồ f(z) Th cớ thể viết (12) lại dưới dạng : ¥ I = faz + bdQ = af zdQ + bf da (18) Q Q Q trong dé: f dQ la dién tich @ của biéu dé f(z) tix 0 dén 1 va f zdQ la momen tinh Q Q
của @ đối với trục tung
Trị số này có thể tính với biểu thức -:
ƒ z4o = 22
9
trong đó : % là hoành độ trong tam cla Q
Vậy biểu thức (13) có thể được viết lại dưới dạng :
T = az, Q + bQ = Q (az, + b) (14)
trong đó az, +b = fz) là tung độ của biểu đổ F(z) tai hoanh độ z, của biểu
dé f(z) Vậy :
I = QF@) , (12-4)
Vi dụ 3 Tìm độ võng tại B và góc xoay tại A.của dầm chịu lực như trên hình 12-18 (bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt), Bài giải :
Ta hay tim góc xoay tại Á Tạo nên trạng thái "k" A 1
(h 12-19) Vì bỏ qua ảnh hưởng của lực cất nên góc
Trang 11Kết quả mang dấu âm (vì hai biểu đồ cớ thớ căng khác:nhau) điều đó có nghĩa là góc xoay tại À có chiều ngược lại với chiều của Mẹạ đã chọn Để tìm độ võng tại B ta tạo nên trạng thái "k" (h 12-21) Biểu đồ mômen M, được biểu diễn trên hình 12-21b
Ở đây ta nhận thấy trong hai đoạn AB và BC biểu đồ M,được biểu diễn bằng các - đường thẳng khác nhạu, vì vậy để tính biểu thức tích phân ta cũng phải chia biểu đồ
M,, theo hai phần từ A đến B và từ B đến C May mắn ở đây biểu đồ là đối xứng
nên ta có thể tính một phía và đem nhân đôi để có nghiệm i o£ 6 qt 5 '8ˆ4 ' Bj - 384° EL, * x Ni -22 2 Aum = ¥—p =2 g1 g Vi du 4: Tim độ võng tại B của đầm chịu lực như trên hình 12-22a (bổ qua ảnh hưởng của lực cắt) 7 Ừ Cc , 8 - f je 5 asd ” 3p - PE T Mk wb Min ⁄ % % 2 4" H 12-22 H 12-23 Bài giải :
Biểu đổ mômen ở trạng thái "m" được biểu
diễn trên hình 12-22b Để tìm chuyển vị tại B, ta tạo ra trạng thái "k" (h.12-238), biểu đồ mômen
MỊ cũng được biểu diễn trên hình đớơ ' Ta nhận thấy ngay phép nhân biểu đổ Vẽrêsaghin giữa hai biểu đổ Mạ và Mỹ la rất
phức tạp vì khó xác định trọng tâm các diện
tích của Mạ; trong khoảng AC Để tránh sự phức tạp đó ta có thể xem biểu đồ Mụ„, trong khoảng
đó như tổng cộng của một biểu đồ bậc nhất và
một đường bậc hai (h.12-24a) Điểu đó cũng q
giống như chúng ta đã xem rằng trạng thái "m" A 8
Trang 12= 4P, gt
Ys ~ BIEJ ~ 72B, Ghi chi ; Tuong tự như trên, nếu gặp trường hợp
biểu đồ trong đó nếu AC là đường thẳng IK cắt qua trục hoành (h 12-2ð) thì ta có thể xem biểu đồ đó là tổng của các biểu đồ biểu diễn bởi các đường AI va KC Ake— — r te Tew | „se 2 g 4A e 8 Mt 4 # ™ gi DB H.12 - 26 H.12 - 25 Vi da B5 Tìm chuyển vị
ngang tại À và góc xoay tương
đối giữa hai mặt cắt tại gối tựa A va C cua khung chịu lực như
hình vẽ (h 12-26a) Giả thiết
bỏ qua ảnh hưởng của lực dọc và lực cất đến chuyển vị của khung
Bài giải :
Ta xem trạng thái chịu lực
Trang 13Để tìm góc xoay tương đối giữa hai mặt cất B và C ta tạo nên trạng thái "k" như hình 12-28
Th có : +
4 =% = 2 Ƒ
1 gi? 2
VÍ dụ 6 Với khung chịu lực trên đây,
hãy tìm chuyển vị ngang tại D là điểm giữa của AB
Đài giải :
Tạo nên trạng thái "k" như hình 12-29, ta
nhận thấy phép nhân biểu đồ Vêrêsaghin trong
đoạn AB trở nên phức tạp, vì ta phải chia
biểu đổ đó thành hai phần trên hai đoạn AD
va DB mA trong tâm mỗi phẩn ta đều chưa xác định Để tránh khó khăn đó ta xem biểu
Trang 14CHƯNG xu
GIẢI BÀI TOÁN SIÊU TĨNH BẰNG PHƯƠNG PHAP LUC § 13-1, MỘT SỐ KHÁI NIỆM CO BAN
Trong chương này ta chỉ xét bài toán phẳng Giả sử hệ thanh là một hệ phẳng Lực tác dụng cũng như chuyển vị của hệ chỉ xây ra trong mặt phẳng của hệ Nói một cách khác, ta xem như hệ chỉ có quyền di dong trong mat phẳng của hệ Như vậy hệ
có ba bậc tự do ; hai chuyển động tịnh tiến và một chuyển động quay trong mặt phẳng của hệ Để cố định hệ ta cẩn ba liên kết đơn như đã nơi trong chương VI Số phương trình cân bằng tinh hoc là vừa đủ để xác định các phản lực trong các liên kết đó Một bài toán như vậy được gọi là bài toán tỉnh định (h 13-1)
Nếu số liên kết nhiều hơn số liên kết cần thiết để giữ cho hệ cố định thì đó là một bài toán siêu tỉnh VÍ dụ với hệ trên hình 13-2 Để giữ cho hệ cố định ta chỉ cần có ngàm tại A Liên kết đơn tại D làm tăng thêm độ cứng của hệ song để xác
định các phân lực ta cẩn phải có bốn phương trình vì có bốn phản lực là ẩn số, nghĩa
là ngoài ba phương trình cân bằng tinh học ta phải tÌm cách thiết lập thêm phương trình thứ tư Không có cách nào khác là phải dựa vào điều kiện biến dạng và chuyển
vị của hệ để thiết lập phương trình này 8 c &B e 8 Cc (8) D A , 2 4 p (A) H 13-1 H 13-2 H, 13-3 H 13-4
Số liên kết thêm sẽ là số bậc siêu tỉnh của hệ Cơ bao nhiêu liên kết thêm thì phải có thêm bấy nhiêu phương trình để giải hệ Ví dụ với hệ trên hình 13-3 số bậc siêu
tỉnh là ba vÌ một ngàm tương đương với ba liên kết đơn :
Các liên kết ta vừa nơi trên đây là các liên kết ngoại Các liên kết đó nối hệ với
trái đất hay với một hệ cố định nào khác
Tương tự ta có thể xét các liên kết giữa các phần đối với nhau trong cùng một hệ Vi dụ xét hai hệ (A) và (B) trên hình 13-4
Xem (A) là cố định : (B) đối với (A) có ba bậc tự do Nếu nối (B) vào (A) bang khớp C (h 13-ð), khung (B) chỉ còn quay quanh € đối với (A) Vậy một khớp tương
Trang 15` _— 4 ® 4) (8 4) — (8) ovo HL3-S c H.13-6 H.13~7
đương với hai liên kết đơn ; vÌ nó hạn chế hai bậc tự do của hệ Để hạn chế nốt sự
quay của (B) đối với (A) ta chỉ cẩn đặt thêm một liên kết đơn tại D (h 13-6) theo như hình vẽ (A) (8) (4) — (8 a) D ) D A Wh 2 H.13-8 11-9
Vậy số liên kết cần thiết để gắn hệ này với hệ kia cũng là ba liên kết đơn (không cùng song song với nhau) Ta cũng cổ thể gắn khung (B) vào (A) bằng cách hàn cúng tai C (h 13-7) Như vậy một mối hàn cứng tương đương với ba liên kết đơn
Nếu bây giờ ta hàn thêm một mối hàn tại D (h 13-8a) bay đặt thêm một khớp
tại D (h.13-8b) hệ sẽ trở thành siéu tinh bậc ba hoặc bậc hai vì với các phương trình tinh hoe ta không thể xác định được các thành phần nội lực trong khung
Day là các liên kết giữa các thành phần của một hệ nên được gọi là siêu tỉnh nội Chú ý : Như vậy một chu vi khép kín (h 13-8a) cố ba bậc siêu tỉnh Nếu trong chu
vi đó ta đặt một khớp đơn nổi hai thanh (h.13-8b) thì bậc siêu tỉnh giảm đi một
Nếu đặt ba khớp đơn (h 13-6) thì giảm hết bậc siêu tỉnh (8 khớp đơn không thẳng hàng) Một hệ siêu tỉnh có thể vừa có siêu tỉnh nội vừa cớ siêu tĩnh ngoại (h 13-9), Bậc siêu tỉnh của hệ là bằng tổng bậc siêu tỉnh nội và siêu tỉnh ngoại
§13-2 TÍNH HỆ THANH SIÊU TÍNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC
`Giả sử ta có hệ siêu tỉnh chịu lực như trên hình 18-10, ic Ð B
đòi hỏi ta phải xác định các thành phần nội lực của khung ;
hay tính chuyển vị của khung tại một nơi nào đó Cách giải i
quyết bài toán là xây dựng một hệ tỉnh định tương đương 2
nghĩa là một hệ tỉnh định mà cách biến dang, cách làm việc ~ &F=C2
hoàn toàn giống như hệ siêu tỉnh Khi đó để xác định nội 4 ‡
luc hay tính chuyển vj eta hệ siêu tính thi ta tinh noi luc ⁄
Trang 16Như vậy tất cả vấn để của chúng ta là xây đựng một hệ tỉnh định tương đương Để xây dựng được một hệ tỉnh định tương đương ta thực hiện các bước sau đây :
a) Chọn một hệ cơ bản
Một hệ cơ bản là một hệ tỉnh định suy ra từ hệ siêu tĩnh bằng cách bỏ ướ¿ lien kết VÍ dụ với hệ siêu tỉnh đã cho (h 13-10) ta có thể chọn một trong các hệ cơ bản như trên hình 13-11 : € 8 6 8 e fi *% A b) ¢) H13-11
Hiệ a - ta đã bổ hai liên kết tại B ;
Hệ b - ta bổ một liên kết tại A và một liên kết tại B ;
Hệ c - ta đã bỏ một liên kết nội tại C và một liên kết ngoại tại B ; Hệ d ~ ta đã bỏ hai liên kết tại A ;
Hệ e - ta đã bỏ hai liên kết ndi tai A va C
Chú ý : Ta chỉ có quyền bỏ bớt liên kết chứ không được thêm vào Ví dụ với hệ
trên hình 13-12 không: phải là hệ cơ bản của hệ siêu tỉnh đã cho vì tại B ta đã thêm
vào một liên kết
DĨ nhiên khi bỏ bớt các liên kết ta phải tránh để cho hệ trở thành một hệ biến
hình hoặc biến hình tức thời Ví dụ hệ trên
hình 18-13 ta đã bô hai Hôn kết nội trên
đường CB và như vậy ta có một hộ có ba
khớp thẳng hàng, hệ đó là một hệ biến hình tức thời và không thể trở thành một
hệ cơ bản được H.H-12
b) Đạt các phản lực liên kết vio hệ cơ bản
Đặt các lực liên kết vào những nơi liên kết đã bị bỏ đi (h.18-14)
Trang 17
HI3-14
Hệ a : Liên kết B tạo nên hai thành phần phản lực theo hai phương Do đó khi bỏ liên kết ta phải đặt vào các phản lực theo hai phương để thay thế
Hệ b : Ta đã thay ngàm A bằng một gối tựa cố định, vậy ta phải thêm một mômen để liên kết tương đương với ngàm A Tại B phải đặt thêm một thành phần phản lực ngang để tương đương khớp cố định B
Hệ c : Tại © khi thay khớp vào có nghĩa là ta đã bỏ thành phần mômen uốn liên
kết giữa các thanh, vÌ vậy để tương đương như cũ ta phải đặt các mômen đó hai bên khớp C Tại B phải đặt thêm một thành phần phản lực ngang
Hệ đ : Tại A phải đặt thêm một mômen và một phản lực ngang thì liên kết đó
mới tương đương liên kết ngàm tại A
Hệ e : Ta phải đặt các mômen liên kết Xị và X¿ở A và Ơ
©) Thiết lập phương trình chính tốc để xác dịnh các phản lực liên kết
Đặt tải trọng lên hệ cơ bản đã chọn Trị số của các phản lực liên kết được xác
định từ điều kiện chuyển vj do tai trọng và do các phản lực
liên kết gây nên theo các phương của phân lực liên kết phải - BX: bằng điều kiện chuyển vị thực của hệ siêu tĩnh VÍ dụ chọn hệ
cơ bản a - đặt tải trọng lên hệ cơ bân đó (h 13-15) Như vậy tải trọng và các phản lực XỊ, ÄX¿ sẽ gây nên các chuyển vị theo phương thẳng đứng và phương ngang của B Để hệ tương đương với hệ siêu tĩnh thÌ ta phải xác định được trị số của Äị, Xạ sao cho các chuyển vị đơ là bằng không (Gối tựa cố định tại B của hệ siêu tính không cho phép khung cơ các chuyển vị theo phương
ngang và phương thẳng đứng) Hướng
fre
Sau khi đã xác định được trị số của Xị, X; thì ta đã có một hệ tỉnh định tương
đương và bài toán được xem như là đã giải xong
Trang 18Goi 441, 512, 621, dy "là các chuyển vị đơn vị theo các phương X, va X, do các
lực đơn giản gây ra Như vậy chuyển vị theo các phương X,, X2 do cde lic X,, X, và tải trọng gây nên được tính với các biểu thức : 1 A 4, = 6%, +4,%) + A, 5% + OX) + Ay Te diéu kién A, = A, = 0 ta cd he phương trình chính tác : 2X, + 5X; + App =0 5,X, + 5X, + A, = 0
Từ hệ phương trình đó ta để dàng xác định được Xị và X¿ Một cách tổng quát ta
ký hiệu ji là chuyển vị theo phương ¡ do lực don vi theo phương j gây nên
Tất cả những điều ta vừa nơi trên đây có thể suy rộng cho một hệ siêu tỉnh bậc n Khi đó hệ phương trình chính tắc sẽ có dạng : "II ° 5X, + 6:K, + + OK, + Ay, I © 5X: + ô„X, to FOX + Ay Các hệ số ð¡ được gọi là hệ số chính, Các hệ số ðy được gọi là hệ số phụ và Aip goi là các số hạng tự do
Phương pháp giải hệ siêu tỉnh như ta vừa trình bày, các ẩn số là các phản lực lên kết nên được gọi là phương pháp lực
VÍ dụ 1 Vẽ biểu đồ nội lực của hệ siêu tỉnh đã cho trên hình 13-10,
Bài giải :
Để xác định được hệ số phụ và các số hạng tự do ta tiến hành vẽ các biểu đồ nội lực do các đơn vị và đo tải trọng gây nên trên hệ cơ bản đã chọn Với khung chịu lực, biến dạng chủ yếu là do mômen uốn cho nên ta bỏ qua lực c 8 ? aT đọc và lực cát Nghĩa là ta ¡ rt chỉ cẩn vẽ các biểu đồ mômen , Kyl uốn S/ gần đúng này sẽ thục
hiện cho mọi phép loán dối
uới khung trong cóc uÍ dụ tiếp z
theo Các biểu đồ nội lực được
Trang 195 PP ee B " Ed 2 '58BD 8E ` ses fA ee 21 127 EJ 2° BJ 2E1 =.— `": Ip ~ EF 3° 24° BJ 8RJ ` sf“ 2p EJ eb) ae 3° 2° Ed 6EJ Nhu vậy một cách tổng quát ta có : ƒ MMs §, = 2) (8-1) -F j= MM pas
trong dé M, va M, là các biểu đổ mômen đơn vị và M, là biểu đồ do tải trọng gây
nên trên hệ cơ bản Từ đớ ta cớ hệ phương trình chính tác : = 3 2 8 x 1 4 ql mm : Sql Giải hệ phương trình dé ta được : cực Ð_ 8 X-Ý ~3¢@ y 2a \ gl X= op 1X = 28 1° oe
Dấu âm của X; chỉ rằng chiều thực của phản lực
ngược với chiều đã chọn A
Dat cde luc X,; va XK, cing véi tai trong lén hệ cơ Hy 13-17 bản ta được hệ tỉnh định tương đương (h 13-17)
Biểu đồ nội lực của hệ tỉnh định tương đương đó cũng là biểu đổ của hệ siêu tỉnh Riêng với biểu đồ mômen uốn ta có thể làm phép cộng như sau : Nhân trị số XỊ và Ä#;¿ vào các biểu đồ M, va Mạ xong cộng với Mp ta sẽ được biểu đổ mômen uốn của
hệ (h 13-18)
VÍ dụ 9 Tìm chuyển vị thang đứng tại D điểm giữa của thanh CB của hệ siêu
tinh (Œh 18-10)
Trang 20cả § Neer # 26 Were + H + = a H te La xe 5 728 y ⁄¬ 20 2 28 Mx H 13-18 Đài giải :
Tất nhiên là ta sẽ giải bài toán trên hệ tỉnh định tương đương (h 13-17) Ta tạo nên trạng thái "k" bằng cách bỏ tất cả ngoại lực lên hệ và đặt lực P, = 1 theo phuong
thẳng đứng (h 18-19) Chuyển vị thẳng đứng tại D sẽ được tính với biểu thức : M, M„ds
Aum = Yo = 2 f Ep
Song ta nhận thấy ngay phép nhân Vêrêsaghin giữa các biểu đồ ở hình 13-18 và hình 13-19 không đơn giản Th có thể làm một cách khác như sau :
Ta biết rằng đù ta chọn bất cứ một hệ cơ bản nào thì cuối cùng biểu đổ mômen
` M, (h 13-18) cũng phải như nhau vì với
bất cứ các hệ tĩnh định tương đương xây 7 1®?
dựng trên hệ cơ bản nào thì hệ đó cũng Zz Nim
phải làm việc như hệ siêu tĩnh D Vậy ta không nhất thiết phải xây dựng HT
trạng thái "k" trên hệ cơ bản đã chọn
Ta có thể xây dựng trạng thái "k" trên Mk
hệ cơ bản khác sao cho phép nhân đơn
giản nhất VÍ dụ ta sẽ chọn hệ cơ bản 2
b) hay c) để xây dựng trạng thái "k" khi H 13-19 H 13-20 tim chuyển vị thẳng đứng tại D
Phép nhân Vérésaghin giữa các biểu đồ mômen M, (h 13-20) và M, (bh 13-18) sẽ
rất dễ dâng như sau :
%D = ~ 448E,
Trang 21§13-8 SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA HỆ
Từ một hệ siêu tĩnh ta cớ thể cớ nhiều hệ cơ bản, trong số các hệ cơ bản đớ, ta có thể chọn được một hệ cơ bản hợp lí nhất nghĩa là đối với hệ cơ bản đó nhiều hệ số phụ và số hạng tự do triệt tiêu nhất Trong mục này ta đề cập đến cách chọn hệ
cơ bản khi hệ có tính chất đối xứng ˆ
Th gọi một hệ siêu tỉnh phẳng là một hệ đối xứng khi hệ cớ một trục đối xứng Một hệ đối xứng chịu tải trọng đối xứng là khi tải trọng đặt lên một phần nào đó của khung là ảnh của tải trọng đặt lên phần kia qua gương phẳng đặt vuông gớc với mặt phẳng của khung và đi qua trục đối xứng của hệ Ngược lại, nếu tải trọng của phần này là ảnh của phần
kia nhưng có chiều ngược M Art M |
lại thì ta gọi là hệ đối 1 Tu xứng chịu tải trọng phản | đối xứng Ví dụ khung siêu ! tỉnh (h 13-2la) là một PP | LP hệ đối xứng ¡ I Nếu hệ chịu tải trọng | [ Pp | như trên (h 138-21b) là ú ⁄ , hệ chịu tải trọng đối xứng và như trên hình (h 4) 13-21) là hệ chịu tải Ni trọng phản đối xứng # Tương tự, nếu ta xét các thành phần nội lực trên mặt cất ngang nào đó thì ta cũng có thể chia các thành phần nội lực thành các thành phần đối xứng và phản đối xứng Luc doc, mémen uén M,, M, là các thành phần nội lực đối xứng (h 18-29) Lực cất và mơmen xốn là các thành phần nội lực phân đối xứng, \ sw\ & "f H 13-22 Ta dễ dàng chứng minh được mệnh đề sau đây :
Nếu một hệ dối xúng chịu tóc dụng của tải trọng đối xứng thì nội lực phản dối
xứng trên một cắt trong mặt phẳng đối xúng của hệ là bằng không Ngược lại nếu tdi trong là phản đối xúng thì nội lực đối xứng phải bằng không
Để chứng minh mệnh đề đó chúng ta chú ý các nhận xét sau đây :
- Khi hệ là đối xứng chịu tải trọng đối xứng thì biểu đồ mômen là đối xứng Ngược
lại khi hệ là đối xứng, tải trọng phản đối xứng thì biểu đồ mômen là phân đối xứng — Phép nhân Vêrêsaghin giữa biểu đồ đối xứng và phân đối xứng là bằng không
Bây giờ, giả sử ta có hệ siêu tỉnh chịu lực phân đối xứng như trên hình 13-93a Ta chọn hệ cơ bản này bằng cách cất đôi khung như hình 13-28b Ta sẽ chứng minh
Trang 22rằng các thành phần nội lực : đối , xứng X, và X¿ (lực đọc và mômen le a2 Xz xy T uốn) trên mặt cắt đối xứng C là " bằng không , | 3 MX ở điều lúe P
/ Thực vậy, từ điểu kiện chuyển fl ot LẺ 4, |
vị tương đối giữa hai mặt cắt bằng không ta có hệ phương trình | chính tác : 772 7777 vee j7” 6X +6.X,+6.X%, UL 122 133 +A = Ip 0 @ 5X, + 6X, + 4,.X, + A, = 0 Han 64%, + 6,X, + lu: + Âm =0
Trang 23Trường hợp hệ là đối xứng nhưng tải trọng là bất kì thì ta có thể giải bài toán
bằng cách xem hệ như tổng tác dụng của một hệ tải trọng:đối xứng và hệ ti trọng phản đối xứng ‹h 13-24) : Ví dụ 3 Vẽ biểu đồ mômen của khung siêu tĩnh chịu lực é | như hình 18-2ða Bài giải : : Khung có trục đối xứng CD G và chịu tác dụng của tải trọng đổi xứng nên thành phần lực cắt trên mặt cắt qua trục CD ) yet phai bang khong Th cắt đôi khung và xét một
nửa khung (h 13-25b) vi tinh chất đối xứng nên mômen uốn
và lực dọc trên của mặt cắt ở t) )x«
các điểm của D phải bằng nhau H 11-25
Từ điều kiện cân bằng ta có :
P 2
Vậy ta chỉ còn phải tim tri số mômen uốn X, Từ điều kiện chuyển vị tương đối giữa
các mặt cắt tại C và D phải bằng không ta thiết lập được phương trình chính tác :
6,,X, + App = 0
Trang 24§138-4 DẦM LIÊN TỤC
Đầm liên tục là một dầm được đặt trên nhiều gối tựa tạo nên nhiều nhịp (h 18-27),
Đây là bài toán siêu tỉnh Bậc siêu tĩnh là số liên kết đơn thêm vào, nghĩa là bằng
số nhịp của đầm trừ đi một
H 13-27 H, 13-28
Hệ cơ bản hợp lí là đặt các khớp trên mỗi gối tựa để chia dầm thành nhiều dầm
đơn (h, 13-28) Như vậy lực đặt trên một nhịp nào đớ sẽ không ảnh hưởng đến các
nhịp bên cạnh Các phân lực liên kết ở đây là các mômen Điều kiện để hệ trở thành hệ tỉnh định tương đương là góc xoay tương đối giữa hai mặt cất hai phía của khớp là bằng không (vì đầm liên tục là một thanh liền nên tại đó các mặt cát không có góc xoay tương đối với nhau) Hệ phương trình chính tắc được
thiết lập từ điều kiện đó Mrs 1 Mo Ma{\ Maes Maer
Chúng ta nhận xét góc xoay tương đối giữa £ ot »
hai mặt cắt về hai phía của khớp chỉ do các eo 2 x ; ;
lực đật trên hai nhịp kế cận gay nên vỈ vậy < Ln Tt pret để tính chuyển vị tương đối của gối tựa thứ H 13-20
n thì ta chỉ cẩn xét tải trọng đặt trên hai
nhịp từ gối tựa n - 1 đến n + 1 (h 18-29), Mos 7 Mn xí Mnet Để tiện cho các kÍ hiệu sau này ta sẽ gọi : ỳ t ¥
- v
X,=M_4.3;X =M;xX =M ig
Or
mi mt? “np n? “nel ml Em Ly + boiz ay
và giả thiết trên hai nhịp đang xét có các tai Ra Rint
trong phân bố q nào đớ Phương trình chính tắc sẽ có đạng như sau : KG Tà ae) oe {baer 4, = Sno Met) + ban, + — 7 Ma-1= Mos + Sent ty Mine) +450 (a) LE 7 Z a i
Các biểu đổ mômen đơn vo va biểu đổ mômen do tải trọng gây nên trên hai nhịp đang xét được biểu diễn trên hình 18-30
Trang 252 5 -x'ƒ Mis 2 1 jin 2 1 4 nn i=n *% _ BỊ * 2'38 E1 x 2 8B * 58 * đàn — 5 _ J n M.yịds _ i, 1 J _ _ n1) ° Bd x _ 2'rt' 3° BI 7 6EJ x x đà — A -3'f M,M,ds Qa, + ¬—
np i=n o Eu, a dott Ed,
trong do 1 va Tu là độ đài cửa nhịp thứ n và (n + 1) ; 2,9 n+ 1) là điện tích của biểu đổ mômen do tải trọng gây nên trên hai nhịp thứ n và fa +1); a, va Dowd là khoảng cách từ trọng tam của các điện tích đớ đến gối tựa thứ (na - 1ƒ và (n + 1) (h 12-30) Đem thay các trị số đó vào phương trình (a) và ước lược 'cho EJ, ta cd : Qa nen 9 (ty ty) —- b, 4 TM +20 + Loney, + TM xi +6 ( i + _— =
Phương trình dé duge goi la phương trình ba mômen vì các ẩn số là ba mômen tại các gối tựa liên tiếp
Với mỗi gối tựa ta thiết lập được tột phương trình ba mômen và cùng cách như
vậy ta thiết lập được tất các phương trình của hệ chính tác
Ghi chú : Qạ và Qi) được xem là đương khi biểu đồ mômen do tải trọng gây nên là căng phía đưới
Vi dụ 4 Vẽ biểu đồ mômen uốn của đầm liên tục chịu lực như hình 18-81
Bai giải :
Biểu đổ mômen uốn Mẹ của tải trọng đặt trên hệ cơ bản được biểu diễn trên hình 18-32 Đánh số thứ tự của các gối tựa như hình vẽ
Trang 26@ Mot H 13-31 H 13-32 Giải hệ thống phương trình đó ta tìm thấy : q - 2 M, = ~p = -0,025q/ 8qi? 2 M, = — TÔ = -0,15q7 Vậy ta có hệ tỉnh định tương đương như hình 13-83a và biểu đồ mômen uốn được biểu dién 13-38b H 13~33 He 13-34
Trường hợp đầm liên tực có đẩu 4 mại
thừa và đầu ngàm (h 13-84a) thì để sử dụng được phương trình ba ụ g
2 ae
mômen ta biến hệ như trên hình ape 2 te / _* et
13-34b Mômen uốn thu gọn có thể “ q M Al=~ÿ xem là mômen liên kết của mặt cắt 1 9 M2 „ 3 z tại gối tựa cuối cùng Mômen đơ sẽ \ Ft 7
cổ trị số dương khi ngoại lực đặt n 1 đây Z 7 7 ú
lên đẩu thừa làm căng thớ đưới và „ý „ 2 3 +
nó sẽ có trị số âm khi ngoại lực làm ar căng thớ trên Ta cũng có thể xem là
ngoại lực tác động lên nhịp cuối của
đầm Liên kết ngàm được thay bằng Uy “
một nhịp với chiều đài của nhịp là © 3
bằng không H, 13-38
Trang 27VÍ dụ 5 Vẽ biểu đồ mômen uốn của dầm liên tục chịu lực như hình 18-85a, Bài giải : Ta có hệ cơ bản như trên hình 13-835b Biểư dé My được biểu diễn trên hình (h 13-35c) cư a Mômen Mạ có trị số là -r Hệ phương trỉnh chính tắc được viết như sau : 2 q2, 1 UM, + 2đ, + 09M, +/M, + 6.5.77 1.9 = 0 3 g2 1 EM, +2 + ĐM, TÌM, +6 5 =0 ¿M, +20 + DM, +/M, = 0 2 Hay rút gọn lại, với chú ý i¡ = 0 và Mạ = x ta có : q r q Pegi 2M, +M,+-7 = 0 7 qi? On bn , M,+4M,+M,+-7 = 0 2 gir _ M, + 4M, - 9 = 0 Giải hệ thống phương trình đó ta 4/662: được : M, = -0,0865p/? ; M¿ = -0,0769q/2 ; Mạ = 0,144q 4072/72 aise gl? H, 13-36
Biểu đổ mômen được biểu diễn như trên hinh 13-36
§13-5 CÁC BÀI TỐN SIÊU TÍNH TRONG
TRƯỜNG HỢP CHỊU LỰC ĐƠN GIẢN CỦA THANH
a) Trường hợp thanh chịu kéo nén đúng tâm
Ví dụ 6 Ta hãy xét trường hợp thanh chịu lực như hình 18-87
Xác định ứng suất trên các mat cắt ngang của thanh Bài giải : Dưới tác dụng của lực P, tại các ngàm ở hai đầu A và B phát a hp se 2 >N
sinh các phản lực VẠ và Vp Để có thể xác định được nội lực trong thanh ta đưa sang hệ tĨnh định tương đương bằng cách bỏ
Trang 28độ giãn toàn phần của thanh do P và Vp gây nên là bằng không vì ngàm tại B không cho phép thanh có độ giãn dài
6,,V, + App =0
E+
trong đó : ðn = = là độ co do lực đơn vị theo phương của Va gây nên và Ain là độ giãn do P gây nên trên hệ tỉnh định Phương trình biến dạng trên được viết lại dưới đạng : L+L 12 PL 2 ~ EF Ye + pF = ° Từ đó ta có : PL, Vv, = B 1 +h, Vậy ứng suất trên mặt cắt (1-1) là : gl to Og) Z1 = +h và ứng suất trên mặt cắt (2-9) là : o 2h 5 z2 + ith,
Vi dy 7 Cho hệ thanh chịu lực như hình 13-88 các thanh đều cùng làm bằng một loại vật liệu như nhau và kích thước mặt cắt ngang như nhau Tính lực đọc
trong mỗi thanh BÀI giải : Ta chuyển sang hệ tỉnh định tương đương bằng cách vứt bỏ thanh CA (h 13-39) Trị số của lực liên kết XỊ được xác định từ điều kiện biến đạng của hệ tỉnh định tương đương với biến dạng của hệ siêu tỉnh Nghĩa là chuyển vị của diém A do X, và P
gây nên theo phương thẳng đứng là
bang độ giãn của thanh ÁC do X, H, lìng8 gây nên Th có phương trình :
11
2X + An = - Fr
Dấu (-) cho biết lực tác động lên thanh ngược chiều với Xị
Trang 29Mặt khác ta cớ tương quan giữa ñị va ly la: Leosa = 1 iF :
Vay phương trình biến dạng được viết lại như sau : 1“ Ê|2eosz ˆ 1 2co#az P EF Từ đó ta tÌm thấy : = P 1 1 + 2cos’a Sau khi da cd X, ta dé dàng xác định nội lực trong các thanh Lue doc trong thanh P AC: N, = X, = ———- 1 cv 1+ 2co8e Trong các thanh AB và AD Peosa 1+ 2cosa 2
Bài toán cũng có thể suy luận một cách đơn giản như sau ; Dưới tác dụng của lực P điểm A của
hệ siêu tỉnh cớ một chuyển vị
thẳng đứng AA' = Al, Đó cũng |
chính là độ giãn của thanh AC ’ H 13-40 H 13-41
Từ Á hạ các đường thẳng vuông
góc xuống BA và DA (h 13-41) Gọi I, K là chân các, đường vuông góc này thì AI
và AK có thể xem là các biến dạng dọc của thanh AB va AD Tương quan giữa các biến dạng của các thanh như sau :
AT = Al, = AXcosa = Al cosa
vì biến đạng là bé nên ta xem các góc œ là không đổi sau khi hệ bị biến dạng Từ
đó ta có phương trình biến dạng như sau :
Nạ, _ NA
EF ~ EF 09
_ Hay : Ny = N,cos’a
Trang 30b) Trường hợp thanh chịu xoắn
Vị dụ 8 Giả sử có thanh chịu xoắn cơ liên kết ngàm ở bai đầu như hình 13-42
Xác định nội lực và ứng suất trên các mặt cắt
Bài giải :
Cũng như trên, ta chuyển sang hệ tỉnh định tương đương bằng cách tháo bỏ ngàm tại đầu B Thay vào đó phản lực liên kết 7p Trị số của 6n được xác định từ điều
kiện góc xoắn tại B đo 7⁄6 và 7u gây nên trên hệ tỉnh định là bằng không Ta có : 3%, (a+b) 6, T8 a 7° , 716.a ° fe 1t Vụ: %, = a @— fb ——| Nội lực trên các mặt cất (1-1) và (2-2) sẽ là : : = 1%, = 28 ot 8 M, ~ 1 „, a+b 5 %.b ?——x M, = 6 — 56, = Sap
Tu dé ta dé dang tính được ứng suất 1H 13-42
* Vi du 9 Cho hai lò xo hình trụ lồng vào nhau như trên hình 13-43, trục của hai lò xo là trùng nhau Gọi nụ, Dị, dị và nạ, Dạ, d; là số vòng làm việc, đường kính
trung bình và đường kính dây của lò xo bên trong và bên ngoài Hai lò xo cùng làm bằng vật liệu có Œ như nhau Chiểu cao ban đầu bằng nhau Hỏi lực tác dụng lên mỗi
lò xo cho biết lực tác dụng chung trên hai lò xo là P
Bài giải
Goi C, là độ cứng của lò xo bên trong và C¿ là của
Trang 31CHƯƠNG XIV
TẢI TRỌNG ĐỘNG §14-1 KHÁI NIỆM
Trong các chương trước đây chúng ta chỉ mới xét đến tải trọng tính nghĩa là tải ` trọng tác động lên hệ được tảng lên một cách từ từ để không xuất hiện lực quán tính
Trong thực tế nhiều khi tải trọng tăng lên đột ngột, như khi hệ bị va chạm, hay biến
đổi theo thời gian như trong hệ dao động hay trong các chuyển động có gia tốc Những trường hợp đó ta gọi là tải trọng động
Nhiều công trình hay chỉ tiết được tính với một hệ số an toàn rất cao đối với tải
trọng tỉnh nhưng vẫn bị phá hỏng vì tải trọng động Ngược lại cớ những kết cấu hay
chỉ tiết, thoạt nhìn tưởng rằng yếu ớt nhưng trong thực tế lại cớ khả năng làm việc lâu dài dưới tác dụng của tải trọng động Vì vậy đòi hỏi người thiết kế phải chú ý nghiên cứu về lĩnh vực nay
Trước hết ta hãy xét đến trường hợp dao động của hệ đân hồi
§14-2 BẬC TỰ DO
Ta có định nghĩa về bậc tự do của hệ đàn hồi khi dao động như sau :
Độc tự do của một hệ dàn hồi khi dào dộng là thông số độc lập dế xác định 0ị : #rí của hệ
VÍ dụ các hệ trên hình 14-1a, b, nếu bỏ qua trọng lượng bản thân của dầm hay của 1d xo, xem chúng là những liên kết đàn hồi không cớ khối lượng và xem bài toán
là phẳng thì đớ là những hệ có một bậc tự do vì để xác định vị trí của hệ ta chỉ cần
biết độ võng y hay hoành độ x của M Với các hệ trên hình 14-1e, d để xác định được
vị trí của hệ ta phải biết các độ võng yị, y„ của Mụ, Mạ và các góc xoay ø, ø; của
Trang 32tuy ta chỉ có một khối lượng M, nhưng để xác định được vị trí trọng tâm của M ta phải có hai tọa độ Nếu hư mômen quán tính của M đối với trọng tâm là không đáng kể thì đó là hệ có hai bậc tự do, nếu cồn phải để ý đến mômen quán tính của M đối với trọng tâm của M thì đó là 3 bậc tự do vì ngoài hai tọa độ thẳng ta còn phải để ý đến sự quay của M khi hệ dao động trong mặt phẳng của khung
Số bậc tự do là tùy thuộc vào sơ đồ lựa chọn để tính : ví dụ khi không thể bỏ qua
trọng lượng bản thân của đầm thi hệ sẽ trở thành vô số bậc tự do Cách giải là ln
ln tÌm cách đựa hệ về một hệ có bậc tự do ít hơn để tính dễ hơn DĨ nhiên với
cách đơ ta chỉ đạt được kết quả gần đúng,
§14-3 PHUONG TRINH VI PHAN DAO DONG
Giả sử xét với hệ đàn hồi có một bậc tự do VÍ dụ hệ trên hình 14-3 Ta xem dầm như một lên kết đàn hồi không có khối lượng
Độ võng y của M là do các lực sau đây gây nên :
— Ngoại lực P(t) gây nên đao động Ta gọi lực này là lực kích thích
— Lực quán tính F đo gia tốc ÿ của M gây nên Lực quán tính đớ luôn luôn ngược chiều với gia tốc Trị số của F là : F, = -Mỹ i => — Lực can F, do môi trường gây nên Một cách PY gần đúng ta có thể xem lực cản là tỉ lệ với vận ff -— Fz ng: tốc ÿ-của M ở = Tri sO cta F, la : H4-2 H.14~3 F, = -ÿ
trong đớ ổ là hệ số tÍ lệ Nếu gọi ð, là chuyển vị theo phương chuyển động của M
do lực đơn vị gây nên (h.14-3) thì y được tính với biểu thức : y= ð,[PŒ) - Mỹ - đ] Hay có thể viết lại dưới dạng : } ÿ + 2ay +ø2 y = Fo (14-1) 8 2 1 trong dé 2a = M là hệ số tượng trưng cho lực cản của môi trường ø“ = IM có một 11
ý nghỉa vật lý rõ rệt mà ta sẽ nơi trong mục tới
Nghiệm riêng của phương trình (14-1) tùy thudc dang ham P(t)
6 đây ta chỉ xét trường hợp hàm P(Œt) là một hàm số điều hòa dưới đạng :
P(t) = PsinQt (14-2)
Trang 33Pạ được gọi là biên độ của lực kích thích ;
© là số lần dao động của lực kích thích trong 2z giây Nên gọi là tần số vòng của
lực kích thích
Để giải hệ (14-1) ta phải tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân “thuần nhất không có vế phải vÌ vậy ta xét các trường hợp riêng sau đây :
§14-4 DAO ĐỘNG TY DO
Ta giả thiết sau khi P(t) kích thích cho hệ dao động xong thÌ bị triệt tiêu Nghĩa
là P(t) chỉ tồn tại một khoảnh khắc rất bé ban đầu, sau đó ta có thể xem P(t) = 0
Sự dao động của hệ là do lực đàn hồi sinh ra và được goi là dao động tự do
œ) Dao động tu do không có lực cản Xem lực cân của môi trường là bằng không, nghĩa là œ = 0 Phương trình vi phân dao động có đạng :
ÿ tu'y = 0 (14-3)
Nghiệm của phương trình là :
y(t) = Asin(wt + ø) (14-4)
A la bién độ cửa dao động, ø là pha ban đầu Các trị số đó được xác định từ điều
kiện ban đầu của dao động Từ phương trình (14-4) ta thấy rõ ý nghĩa của œ Trị số đó là tần số uòng của dao động Tu gọi nô là tần số uòng riêng của hệ Trị số của œ được xúc định tù biểu thức :
-—~ Mã,
hay w- ~ Vee = = (14-8)
trong đó : g là gia tốc trọng trường : Q là trọng lượng của M và At là độ võng tỉnh do Q gây nên đối với hệ đã cho
Trang 34œ; và ø¡ là tẩn số vòng riêng của hệ khi kể đến
lực cân và góc pha ban đẩu của đao động Tương quan giữa œ và œ¡ như sau :
a = No” — ø (14-8)
Ta thấy œ¡ bé hơn ø Biên độ của đao động là một hàm số phụ thuộc theo thời gian Ae “t nghĩa là biên
độ càng ngày càng nhỏ đi Sau mỗi chu kì biên độ đó
sẽ nhỏ đi với một hệ số là :
et
= “ es eet =e” = const
Th nhận thấy dao động tắt rất nhanh, Đồ thị của
đao động được biểu diễn như trên hình 14-4 H.14-4
§14-5 DAO ĐỘNG CUGNG BUC V6I P(t) = P,SENQt
Phuong trinh vi phan đao động có dang :
Po
ÿ +24 ÿ +uổy = iy sin ot (14-9)
Nghiệm tổng quát sẽ là tổng của một nghiệm riêng và nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất không có vế thứ hai Để hệ cớ dao động tạ chọn nghiệm
riêng dưới đạng :
yị = CsinQt + C,cosQt (14-10)
Trang 351 va thay 6 = ——\ thì biểu thức y, có dạng : H May ' Poy y, = A, sin (Qt - W) = ———— sỉn (Qt - V) , , A5) 1-2 yee 9242 4z2Q †z
Nghiệm toàn phần sẽ là : y = Áe “! sin (mịt + ø) +ựy
Nghiệm đó biểu diễn hai dao động 86 hạng đầu biểu diễn dao động tự đo tất dần Số hạng thứ hai biểu điễn dao động cưỡng bức gây ra do lực kích thích Dao động tự
do sẽ mất đi sau một thời gian nhất định, lúc đó sẽ dao động theo tẩn số của lực kích thích Biên độ dao động là : Pé oll ^ - 2 22 tin: @ ø
Tích số Puổy, biểu diễn chuyển vị do biên độ của lực kích thích đặt một cách tỉnh gây nên tại mặt cắt mang khối lượng M theo phương dao động Kí hiệu chuyển vị đó là y, va dat : k= — (14-11) 2 Ac?Q2 (oy w w ta có thể viết : ¥y = ¥Kq (14-12)
Vay : Dé véng dong bang dé vong tinh nhén vdi hé số hạ Hé sé déng phy thudc vao ti số 2 va hé s6 a
Mối tương quan đó được biểu diễn trên hình 14-5
Ẳ Khi 2 = 1 tức là khi tấn số của lực kích thích
trùng với tần số dao động riêng của hệ thì ta có $0
hiện tượng cộng hưởng Khi z = 0 thì kạ sẽ tiến tới vô cùng và khi œ œ 0 thì kạ sẽ có trị số cực 3Ø
đại hữu hạn Khi đó độ võng động lớn hơn rất nhiều
so với độ võng tỉnh và do đó kết cấu hay công trình đế bị phá hỏng Nhìn qua các đường biểu diễn chúng 2
ta nhận thấy hiện tượng cộng hưởng hình thành cả
một miền khi tần số lực kích thích không khác 40 nhiều so với tấn số dao động riêng của hệ Ngược
lai tl sé 2 tăng lên thì hệ số động còn nhỏ hon cả
Trang 36máy, một lúc nào đớ tần số của lực kích thích có thể trùng với tần số riêng, cần tăng nhanh tốc độ máy để làm tăng tần số của lực kích thích làm cho hiện tượng cộng hưởng không kịp xây ra
Người ta cũng thường dùng các bộ phận giảm chấn để tăng độ cân œ nếu như hệ phải
làm việc trong miến cộng hưởng lâu dài Th thấy tÌ số 2 có trị số lớn hon 2 thì những
đường cong k„ sẽ trùng nhau Lúc đó có thể xem ø = 0 và trị số của kạ sẽ là : _ 1 k= (14-18) pS Biết hệ số kạ ta có thể tim được ứng suất động bằng các biểu thức sau đây : os = ko, (14-14) Ts = kt,
trong đó ø, và 7, là ứng suất do tải trọng động gây nên, 6, và 7, là ứng suất do biên độ của lực kích thích gây nên với giả thiết lực này được ‘dat một cách tĩnh lên hệ
Nếu trên hệ còn có các tải trọng tỉnh khác tác dụng trước khi dao động thì ứng suất toàn phần trên mặt cắt nào đó là tổng ứng suất động và ứng suất do tải trọng tỉnh
đó gây nên
VÍ dụ 1: Một động cơ điện có trọng lượng Q = 12.000N đặt trên hai dầm chữ I1: No 24a, dầm dai 3m
Trang 372 Ta xem rằng mối vòng quay của động cơ lực quán tính li tâm của khối lượng lệch
tâm kích thích xuống dầm một lần Vậy tẩn số lực kích thích trong 2z giây sẽ là :
_ 2x 1200
8 60 = 125,6— 8 1 Q cũng đồng thời là tốc độ góc của động cơ
Cường độ của lực quán tính li tâm là : F, = mQ?r = 20° (125.6? 0,008 = 972N Hệ số động là Mômen uốn lớn nhất trên dầm do biên độ của lực kích thích Ÿị gây nên là ; i 972.3 M, =a 4 = 729Nm Ứng suất tĩnh là : M x _ 729.10 2 SA “wg=* 2317 = 115Ncm‘ Trị số ứng suất động sẽ là : = = = 2 6, = Ok, = 115.2,32 = 267N/em’ Ung suất do trọng lượng của môtơ gây nên là : + _ 12.000.3.107 2 °=—To 317 = 1400Nem‘ Vậy ứng suất toàn phần sẽ là : o = 6, +6" = 1667N/cm?
VÍ dụ 2 Một đĩa tròn gắn chặt trên một thanh tròn với một đầu { ngàm Gọi I là mômen quán tính của đĩa đối với trục của thanh (h 14-7), ~ thanh ed chiéu dai | va d6 cttng ch6ng xodn la GJ,, bd qua trong lượng | của thanh Xác định tần số vòng riêng đao động xoắn của hệ
Đài giải : _
Gọi ø là góc xoắn của hệ Ta bỏ qua lực cản và xem mômen
kích thích là bằng không thì ø gây nên là do mômen của lực quán
tính Mômen này luôn luôn ngược chiều với gia tốc góc : H 14-7
Trang 38
Từ đó ta có (a) ở đây : ố,, là góc xốn do mơmen đơn vị đặt trong mặt phẳng của đĩa gây nên : I on = 8g, p Phương trình (a) được viết lại dưới dạng : ap 2, =f 4 wp = 0 at? , 1 5 2 trong đố wo = ai Nghiệm tổng quát của (b) có đạng : £ = Asin(œt + ®) Vậy tần số vòng riêng dao động xoắn của hệ là : T GS, w= \ J = ye 5 I (b) (14-15)
§14-6 PHUONG PHAP THU GON KHOI LUGNG
Việc bỏ qua trọng lượng bản thân của các liên kết đàn hồi như trên trong nhiều
trường hợp cho ta những kết quả khá phù hợp với thực tế Song để có thể có được
những kết quả có độ chính xác cao hơn thì ta phải tÌìm cách tính với cả trọng lượng
bản thân của các liên kết đàn hồi Tất nhiên, trong thực
tế có những trường hợp không thể không kể đến trọng-
lượng bản thân của những liên kết này
Phương pháp đơn giản nhất là phương pháp thu gọn
khối lượng Ta tưởng tượng một hệ tương đương với hệ
đã cho có khối lượng tập trung ở một nơi nào đó (nghĩa
là hệ cớ một bậc tự do), sao cho năng lượng đao động
trong hệ tương đương bằng năng lượng dao động trong
hệ thực
Ví dụ xét dầm mang khối lượng như trên hình 14-8 Nếu phải kể đến trọng lượng bản thân của dầm thì ta tưởng tượng thu gọn khối lượng của dầm về ngay tại M Nghĩa là tại M có một khối lượng mới sao cho năng lượng đao động của hệ mới này bằng toàn bộ năng lượng
đao động của hệ cũ, cách làm như sau : Ta so sánh độ
38
M
*e3 Gy y Pn
Trang 39ese
võng tại mặt cất z nào đó đối với độ võng ngay tại M do lực P dat tai dé gay nên
Giả sử vị trí của M là điểm giữa của đầm
Với phép nhân Vêrêsaghin ta tìm thấy (h 14-9) : _ Pe TY = BES PÊ Pz, 1 vi = (8P = T8) er Vậy : z 2, v= ¥(87 ~ 45) Vận tốc của các chất điểm tại mặt cất này là - dy 3 cất GÌ 8)$ Gọi q là trọng lượng của dầm trên một đơn vị đài Động năng của một phân tố dz x tại mặt cắt đó sẽ là : 1 Zz z3 z,đdWw2 aT = omv = 2g (87 - 43) (3)
Động năng của toàn dầm sẽ là :
T=Jdr=2.[1./a2 =J41=2.15-g(87— %5) (ai) “z 5 Z2 3912 B) \at
_ 117 aay
T = 3-35: (at)
ắ s + 17 ql + es
Ta xem T như động năng của một khối lượng cớ trị số là Bg đặt tại giữa dầm Nơi một cách khác, hệ tương đương là hệ cớ khối lượng tập trung tại giữa nhịp với
trị số là :
M = M+ 35.7 17 ql 17
Trang 40Độ võng tỉnh khi kể đến trọng lượng của đầm là ; + qhẻ + 882)3? 10° at = @ 16) _ 2000 + 8623 10 _ 9 og5em i, 3 Hệ số động sẽ là : 1 1 T1 - 8i 1a J!-D|[ (258447 1,85 l!- Cñ) | Ứng suất động sẽ là : = = = 2 6, = Ok, = 115.1,85 = 213N/em
8o sánh với ví dụ 1 ta thay ky cd tri s6 nhé hon ; tng suất động cũng vậy Điều
đó cũng dễ hiểu vÌ năng lượng dao động còn phải đành một phẩn lớn để làm đao động
tồn thanh
§14-7 VA CHAM THANG ĐỨNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO
Vi dụ ta có dầm đặt trên hai gối tựa mang khối lượng M như trên hỉnh 14-10 gọi Q` là trọng lượng của M Giả dụ có một trọng lượng Q nào đó từ một độ cao h rơi tự do đập vào Q' Sự va chạm đó được gọi là va chạm thẳng đứng
Mong muốn của chúng ta là tính được độ võng lớn nhất
Yạ do va chạm gây nên 4@a
Ta nhận thấy vận tốc của các khối lượng trên hệ cớ x Q’ một sự thay đổi đột ngột, gia tốc sinh ra khá lớn va sự xxx
việc xây ra trong một khoảnh khác rất ngắn Để có thể q ⁄ giải được bài toán chúng ta hinh dung ra quá trình va
chạm thành các bước như sau :
1 Ngay trước khi va chạm Q có vận tốc vụ Nếu là sự rơi tự do thì trị số vạ này
là : vạ = V2gh Khi hai vật thể tiếp xúc nhau chúng sẽ có cùng vận tốc v nào đó và cùng chuyển động đi xuống Nếu không có một sự mất mát về năng lượng ta có thể
dùng định luật bảo toàn động lượng để tính ra v Thực vậy ta có : H 14-10 9„ _ f+, g° & 9 Vậy : Y= Qa q" (14-16)
Deo la giai đoạn thứ nhất -
Chúng ta cũng nhận thấy rằng trong thực tế quá trình này phức tạp hơn VÍ dụ