(SKKN HAY NHẤT) hướng dẫn học sinh giải một số bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ" LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com A ĐẶT VẤN ĐỀ Căn vào chủ trương đường lối, sách pháp luật Đảng nhà nước Căn vào phương hướng, nhiệm vụ kế hoạch chun mơn trường THPT Hồng Lệ Kha năm học 2012 – 2013 Trong trình giảng dạy, nhà trường tin tưởng giao cho dạy lớp mũi nhọn, đối tượng học sinh chủ yếu học sinh khá, giỏi Chính ngồi việc giúp em nắm kiến thức tơi cịn phải bồi dưỡng em tham gia kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh đặc biệt coi việc bồi dưỡng cho em ôn thi đại học nhiệm vụ quan trọng số Trong nội dung thi Đại học – Cao đẳng phần hàm số đóng vai trị quan trọng hàng đầu Phần hàm số phần nhiều vấn đề nhiều tập phong phú điển hình tốn đồ thị hàm số, đề tài tơi chọn vấn đề quan trọng đồ thị hàm số số toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số Từ lý chọn đề tài, từ thực tiễn giảng dạy bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học, với kinh nghiệm trình giảng dạy Tơi tổng hợp, khai thác thành chuyên đề: ‘‘Hướng dẫn học sinh giải số toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số’’ Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh số phương pháp kỹ để học sinh giải toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số, tránh tình trạng em gặp phải toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số thường làm phức tạp vấn đề hay không giải Hy vọng đề tài nhỏ đời giúp bạn đồng nghiệp học sinh có nhìn linh hoạt chủ động gặp toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số II Thực trạng vấn đề nghiên cứu Thực trạng vấn đề Hiện gặp toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số, số học sinh chưa tìm cách giải có tìm cách giải thường làm phức tạp hóa tốn nên khó kết thúc tốn, em chưa biết lựa chọn kiến thức hình học phù hợp với toán Hệ thực trạng Khi gặp toán vấn đề trên, học sinh nhiều thời gian để biến đổi toán Một số học sinh lực tư hạn chế chưa biết cách phối hợp LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com hình học tốn đồ thị hàm số Chính người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc toán B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Các giải pháp thực Khi tiếp cận toán, giáo viên phải giúp học sinh biết phải sử dụng kiến thức hình học phù hợp Sau giúp học sinh xây dựng phương pháp giải phù hợp II Biện pháp tổ chức thực Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập kiến thức hình học khoảng cách kiến thức hàm số Sau giáo viên chọn số tốn điển hình cho hàm số để học sinh vận dụng Trong đề tài này, xin đưa số toán tương đối đầy đủ toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số Kiến thức tốn có liên quan - Khoảng cách hai điểm - Công thức khoảng cách từ điểm đến đưòng thẳng - Kỹ tính nhanh cực trị hàm đa thức bậc ba, hàm phân thức bậc 2: bậc - Sử dụng bảng biến thiên hàm số Một số tốn thường gặp phương pháp giải Ví dụ 1: Tìm m để đồ thị hàm số có khoảng cách điểm cực đại cực tiểu nhỏ Phân tích tốn: Bài tốn giải theo ba bước Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu Bước 2: Sử dụng kỹ tính nhanh cực trị để đưa toạ độ điểm cực trị Bước 3: Tính khoảng cách hai điểm cực trị sử dụng hàm số bất đẳng thức đưa giá trị nhỏ khoảng cách từ tìm m Bài giải: Ta có: đạt cực trị có có hai nghiệm phân biệt gọi các điểm cực trị đồ thị hàm số hàm số LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com A( ), B( ) Theo Viét ta có: Thực phép chia Do cho ta có: nên Ta có: Vậy m=0 giá trị nhỏ điểm cực đại cực tiểu là: Ví dụ 2: Cho hàm số cực đại, cực tiểu cách O Tìm m để đồ thị hàm số có điểm Phân tích tốn: Bài tốn ta làm theo hai bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm tìm cực trị Bước 2: Cho hai khoảng cách ta giá trị m cần tìm Bài giải: Ta có: Hàm số đạt cực đại cự tiểu phương trình có hai nghiệm phân biệt Ta có: Ta cần có Với điều kiện hàm số có cực trị LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Gọi hai điểm cực trị là: Khi đó: Đối chiếu điều kiện Ví dụ 3: Cho hàm số Chứng minh với m khoảng cách hai điểm cực đại cực tiểu không đổi Phân tích tốn: Bài tốn đơn giản ta làm theo hai bước Bước 1: Tính đạo hàm tìm cực trị Bước 2: Tính khoảng cách đưa điều phải chứng minh Bài giải: Ta có: hàm số có hai điểm cực trị A(0;-m), B(2;4-m) Khoảng cách hai điểm cực trị là: Từ ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: Cho hàm số Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khoảng cách từ hai điểm đến đường thẳng (d): Phân tích tốn: Bài tốn ta giải theo bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại cưc tiểu Bước 2: Sử dụng kỹ tính nhanh cực trị để đư toạ độ hai điểm cực trị Bước 3: Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ta suy m Bài giải: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có: Đặt: Hàm số có cực đại cực tiểu có hai nghiệm phân biệt nghiệm phân biệt khác -1 có hai Sử dụng kỹ tính nhanh cực trị ta có: Với hai nghiệm , áp dụng viét ta có Ta có: Khi đó: Đối chiếu (*) thoả mãn Ngồi cách làm ta cịn dùng hình học để giải dựa vào sở hai điểm A, B cách (d) AB song song với d trung điểm AB thuộc (d) Ví dụ 5: Cho hàm số Tìm m để hàm số có cực trị khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số 10 Phân tích tốn: Bài tốn làm theo ba bước: Bước 1: Tìm điều kiện m để hàm số có cực đại, cực tiểu Bước 2: Sử dụng kỹ tính nhanh cực trị để tìm toạ độ điểm cực đại, điểm cực tiểu Bước 3: Tính khoảng cách áp dụng viét ta có m LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài giải: Ta có: Đặt: Hàm số có cực đại, cực tiểu có hai nghiệm phân biệt khác Khi sử dụng kỹ tính nhanh cực trị ta có hai điểm cực trị là: Với Theo viét: nghiệm phương trình Ta có: Đối chiếu (*) m=4 thoả mãn Ví dụ 6: Cho hàm số có đồ thị (H) Tìm (H) điểm M để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận (H) nhỏ Phân tích tốn: Bước 1: Tìm tiệm cận đứng ngang Bước 2: Tính tổng khoảng cách, áp dụng bất đẳng thức cơsi tìm giá trị nhỏ Từ tìm điểm M Bài giải: Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang Gọi toạ độ , tiệm cận đứng Khi tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Dấu xẩy khi: Từ ta có M(1;2) M(3;4) Ví dụ 7: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm M thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ Phân tích tốn: Bước 1: Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên đồ thị hàm số Bước 2: Gọi toạ độ M tính tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận sau áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có giá trị nhỏ từ tìm M Bài giải: Ta dễ tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số là: hàm số Gọi M( ; Tiệm cận xiên đồ thị ) thuộc (C) Tổng khoảng cách từ M đên hai tiệm cận : Theo bất đẳng thức cơsi ta có: Tức giá trị nhỏ d(M) Vậy toạ độ M( Ví dụ 8: Cho hàm số ) hay M( ) có đồ thị (C) Tìm M thuộc (C) cho khoảng cách từ M đến trục hoành hai lần khoảng cách từ M đến trục tung Phân tích tốn: Bước 1: Gọi toạ độ M LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bước 2: Tính khoảng cách từ M đến trục hồnh d1, khoảng cách từ M đến trục tung d2 Ta có phương trình d1=2d2 từ tìm M Bài giải: Gọi toạ độ M( ) Khoảng cách từ M đến trục hoành là: Khoảng cách từ M đến trục tung là: Ta có: Xét hai trường hợp: + Trường hợp 1: Khi toạ độ M là: + Trường hợp 2: phương trình vơ nghiệm Vậy toạ độ M là: Ví dụ 9: Cho hàm số có đồ thị (H) Tìm M thuộc (H) cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ nhỏ Phân tích tốn: Bước 1: Gọi toạ độ M sau tính tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ Bước 2: Ta tìm cách hạn chế miền tìm giá trị nhỏ để thuận lợi cho việc tìm giá trị nhỏ Bài làm: Gọi toạ độ M( ) thuộc (H) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là: Để ý với M(1;0) d(M)=1 để tìm giá trị nhỏ d(M) ta cần xét khi: Với Áp dụng cơsi ta có: Khi giá trị d(M) nhỏ khi: Vậy toạ độ M( ) Ví dụ 10: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) cho tổng khoảng cách M đến hai trục toạ độ nhỏ Phân tích tốn: Bước 1: Gọi toạ độ M( ) hay M( ) Bước 2: Tính tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ, giới hạn miền lấy giá trị nhỏ nhất, sử dụng hàm số tìm giá trị nhỏ Bài giải: Gọi toạ độ M( ) hay M( ) Tổng khoảng cách từ M đến trục hoành trục tung là: Do M(2;0)thuộc (C) nên tìm giá trị nhỏ d(M) ta cần xét với năng: , xét hai khả LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com *) Nếu suy giá trị nhỏ [-2;0] g(0)=2 *) Nếu Lập bảng biến thiên ta có giá trị nhỏ d(M) [0;2] p(0)=p(2)=2 Vậy toạ độ M(2;0) M(0;2) Ví dụ 11: Cho hàm số có đồ thị (H) Tìm nhánh (H) hai điểm A, B cho khoảng cách hai điểm nhỏ Phân tích tốn: Bước 1: Nhận thấy đồ thị hàm số gồm hai nhánh ứng với hoành độ lớn hoành độ nhỏ 3, ta gọi toạ độ A( ); B( ) với hai số dương Bước 2: Tính khoảng cách AB theo nhỏ AB từ ta có A, B sử dụng linh hoạt bất đẳng thức cơsi ta có giá trị Bài giải: Gọi toạ độ A( Ta có: ); B( ) với hai số dương áp dụng côsi Dấu xẩy khi: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vậy toạ độ A( ); B( Ví dụ 12: Cho hàm số ) có đồ thị (C) Tìm nhánh đồ thị (C) hai điểm A, B cho khoảng cách chúng nhỏ Phân tích toán: Bước 1: Nhận thấy đồ thị hàm số gồm hai nhánh ứng với hoành độ lớn hoành độ nhỏ 1, ta gọi toạ độ A( ); B( ) với hai số dương Bước 2: Tính khoảng cách AB theo nhỏ AB từ ta có A, B sử dụng linh hoạt bất đẳng thức cơsi ta có giá trị Bài giải: Gọi toạ độ A( ); B( ) với hai số dương Ta có: Áp dụng cơsi ta có: Dấu xẩy ra: Vậy toạ độ hai điểm A, B là: A( Ví dụ 13: Cho hàm số từ M đến đường thẳng ); B( ) có đồ thị (C) Tìm M thuộc (C) để khoảng cách : nhỏ Phân tích tốn: Bước 1: Gọi toạ độ M thuộc (C) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bước 2: Tính khoảng cách từ M đến dụng bất đẳng thức côsi cho hai số : , sau xử lý khéo giá trị tuyệt đối để áp Bài giải: Gọi điểm M( ) hay M( ) thuộc (C) Khoảng cách từ M đến : Khoảng cách từ M đến là: : nhỏ , xẩy Vậy toạ độ M là: Ví dụ 14: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến tiệm cận xiên đạt giá trị lớn Phân tích tốn: Bước 1: Ta tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm số Bước 2: Tính khoảng cách từ O đến tiệm cận xiên, sử dụng bất đẳng thức Buanhiacopski để đư giá trị lớn nhất, từ tìm Bài giải: Ta có: Từ ta dễ có tiệm cân xiên đồ thị hàm số là: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Khoảng cách từ O(0;0) đến tiệm cân xiên là: Áp dụng bất đẳng thức Buanhiacopski ta có: Khoảng cách lớn từ O(0;0) đến tiệm cân xiên Khi Vậy Ví dụ 15: Giả sử tiếp tuyến M(0;1) đồ thị hàm số (C) điểm có hồnh độ lớn mà khoảng cách từ điểm đến (C) Tìm nhỏ Phân tích tốn: Bước 1: Tìm phương trình tiếp tuyến Bước 2: Dùng phương pháp tiếp tuyến để tìm khoảng cách nhỏ miền Bài giải: Ta có: Phương trình tiếp tuyến Gọi Thế là: có khoảng cách tới nhỏ nghiệm phương trình: Vậy toạ độ điểm cần tìm N(2;-5) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho hàm số cực tiểu cách trục Oy Bài 2: Cho hàm số Tìm để đồ thị hàm số có điểm cực đại có đồ thị (C) Tìm toạ độ M (C) cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận nhỏ Bài 3: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm M (C) để tổng khoảng cách từ M đến đường tiệm cận nhỏ Bài 4: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm M (C) cho tổng khoảng cách hai trục toạ độ nhỏ Bài 5: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm nhánh (C) điểm A, B cho khoảng cách hai điểm nhỏ Bài 6: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm M (C) cách hai trục toạ độ Bài 7: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm M (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ nhỏ Bài 8: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm M (C) cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang Bài 9: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm M thuộc (C) cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ Bài 10: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm M thuộc (C) cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm cận nhỏ Bài 11: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm M thuộc (C) cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm cận nhỏ Bài 12: Cho hàm số có đồ thị (C) Chứng minh tích khoảng cách từ M (C) đến tiệm cận số LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài 13: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm nhánh (C) điểm A, B cho khoảng cách chúng nhỏ Bài 14: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm nhánh (C) điểm A, B cho khoảng cách chúng đạt giá trị nhỏ Bài 15: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm nhánh (C) Các điểm A, B cho khoảng cách hai điểm nhỏ Bài 16: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm nhánh đồ thị (C) điểm A, B cho khoảng cách chung nhỏ Bài 17: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm M (C) để khoảng cách từ M đến trục hoành gấp lần khoảng cách từ M đến trục tung Bài 18: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm M (C) cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận nhỏ Bài 19: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm M (C) để tổng khoảng cách từ M đến trục hoành trục tung lớn Bài 20: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến tiệm cận xiên lớn Bài 21: Cho hàm số Tìm để khoảng cách từ A(-1;0) đến tiệm cận xiên lớn C KẾT QUẢ I Kết nghiên cứu Thơng qua hệ thống tốn khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số trên, ta thấy gặp vấn đề trở nên đơn giản nhiều, dễ vận dụng, không phức tạp với học sinh LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trong q trình giảng dạy, tơi nhận thấy rằng: sau đưa hệ thống tập trên, học sinh biết vận dụng cách linh hoạt, vào toán khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp Học sinh khơng cịn tâm lý e ngại gặp toán Mặt khác, hiệu áp dụng tương đối cao, giải trở nên sáng sủa, ngắn gọn Hầu hết em vận dụng tốt II Kiến nghị Hằng năm, sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tiễn, thiết thực phục vụ cho nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục đào tạo, sáng kiến đổi phương pháp giảng dạy cần tập hợp kỷ yếu khoa học Sở GD& ĐT tạo điều kiện cho giáo viên, học sinh phụ huynh tham khảo LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... ‘? ?Hướng dẫn học sinh giải số toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số? ??’ Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh số phương pháp kỹ để học sinh giải toán khoảng cách liên quan đến. .. gặp toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số II Thực trạng vấn đề nghiên cứu Thực trạng vấn đề Hiện gặp toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số, số học sinh chưa tìm cách giải có tìm cách. .. tốn đồ thị hàm số, đề tài tơi chọn vấn đề quan trọng đồ thị hàm số số toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số Từ lý chọn đề tài, từ thực tiễn giảng dạy bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học,