Thông tin tài liệu
Hớng dẫn học sinh giải tập cực trj – To¸n líp tr PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI TRƯỜNG THCS THANH THÙY SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TẬP VỀ CỰC TRỊ Lĩnh vực: Toán lớp Tác giả: VŨ BÁ NAM Chức vụ: Phó hiệu trưởng Năm học 2012 – 2013 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vị B¸ Nam - THCS Thanh Thïy Híng dÉn học sinh giải tập cực trj Toán líp A PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận: Học tốn gì? Dạy tốn gì? Đó người học tốn phải biết giải tập toán Người dạy toán phải dạy cho người học biết giải dạng tập tốn Các dạng tập tốn lại phong phú đa dạng, mơn tốn lớp lớp cuối cấp bậc học THCS phong phú đa dạng hơn, mà trí dạng có nhiều cách giải khiến cho người dạy người học không ngừng tư sáng tạo để ngày đạt hiệu học tập giảng dạy mơn tốn, chẳng hạn dạng tập “ Tìm cực trị ” (bài tốn tìm giá trị lớn (max), tốn tìm giá trị nhỏ (min) ) biểu thức Các tốn dạng phong phú thể loại, cánh giải Nó địi hỏi học sinh phải biết vận dụng tổng hợp nhiều kiến thức vận dụng cách khéo léo, hợp lý nhiều phải độc đáo giải toán Như thực dạng tốn khó Qua theo dõi thi học sinh giỏi lớp thi vào lớp 10 tơi thấy năm có tập cực trị, đặc biệt thi học sinh giỏi lớp cấp tỷ lệ điểm tìm cực trị chiếm tỷ lệ điểm đáng kể Tại kỳ thi học sinh giỏi lớp năm học 2012 -2013 cấp huyện vòng huyện Thanh Oai có ba ý cực trị đề thi Do việc giúp học sinh giải dạng tập cực trị cần thiết vào quan trọng, đặc biệt đội tuyển Cơ sở thực tiễn Do thân nhiều năm dạy toán lớp tham gia dạy đội tuyển, năm tơi dạy tốn lớp đội tuyển tốn nhà trường, tơi thấy em thường hay bị lúng túng dạng tốn tìm cực trị, qua dự trao đội với đồng nghiệp thấy số giáo viên cịn hạn chế dạng tốn Giải toán cực trị thực giải tốn tìm GTNN GTLN GTLN GTNN biểu thức Nghĩa phải : * f ( x) ≥ K1 ; ∀x ∈ TXĐ ( K1 = Const ) Tồn f ( xo ) = K1 mim f ( x ) = K1 x = x0 * f ( x) ≤ K ; ∀x ∈ TXĐ ( K2 = Const ) Tồn f ( xo ) = K max f ( x) = K x = x0 Nhưng để điều khó khăn, đị hỏi nhiều kiến thức, kỹ sử dụng kiến thức Để giúp em học sinh học toán tốt, giải tập cực trị, đặc biệt em học sinh lớp đội tuyển thi cấp phải thành thạo Nên tơi chọn đề tài sáng kiến nghiệm “Hướng dẫn học sinh giải tập cực trị” Giới hạn đề tài a Về kiến thức Tìn cực trị biểu thức đại số, học sinh cấp THCS sửa dụng định nghĩa cực trị : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vị B¸ Nam - THCS Thanh Thïy Hớng dẫn học sinh giải tập cực trj – To¸n líp * f ( x) ≥ K1 ; ∀x ∈ TXĐ ( K1 = Const ) f ( xo ) = K1 mim f ( x ) = K1 x = x0 * f ( x) ≤ K ; ∀x ∈ TXĐ ( K2 = Const ) f ( xo ) = K max f ( x) = K x = x0 b Về đối tượng áp dụng Trang bị cho học sinh có học lực khá, giỏi, đội tuyển ơn tập cho học sinh lớp 9, đồng thời dùng làm tài liệu tham khảo cho đồng chí giáo viên giảng dạy mơn tốn c Thời gian thực Sau học sinh lớp học hết chương I, thực buổi B PHẦN THỨ HAI QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI I Khảo sát thực tế Qua thực tế giảng dạy, ôn tập cho học sinh lớp nhiều năm qua tham khảo số tài liệu bồi dưỡng mơn tốn 9, tích lũy đề thi học sinh giỏi mơn tốn lớp cấp, thấy : Các tập cực trị thường khó học, trị khó với số giáo viên chưa đầu tư thời gian để nghiên cứu, có tới 90% em học sinh không làm tập cực trị giao viên giao cho đề thi học sinh giỏi, thi vào lớp 10, lẽ dạng tập phong phú cách giải, phải sửa dụng nhiều kiến thức phức tạp, em hay mắc sai lầm ngộ nhận giải tốn, tơi thống kê 50% số em hay bị ngộ nhận giải tập cực trị Dạng tập tìm cực trị thường em khó khăn từ điểm suất phát đâu, hai chưa rõ chất cơng việc giải tốn cực trị, chưa có kỹ sử dụng bất đẳng thức bản, tỷ lệ chiếm 70% Đối với 9A trực tiếp giảng dạy năm học 2012 - 2013, kết kiểm tra 45 phút đại số có câu tìm cực trị ghi lại sau: Sĩ số 34 Số em làm câu cực trị Số em làm bị ngộ nhận II Phương pháp thực đề tài - Nghiên cứu kỹ số tài liệu: 1) Sách giáo khoa Đại số 8; 1) Sách nâng cao Đại số 2) Sách nâng cao Đại số Số em không làm câu cực trị 24 Tỷ lệ %làm 15% Nhà xuất giáo dục Vũ Hữu Bình Vũ Hữu Bình LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vị B¸ Nam - THCS Thanh Thùy Hớng dẫn học sinh giải tập vỊ cùc trj – To¸n líp 3) Sách nâng cao Đại số Võ Đại Mau 4) Sách nâng cao Đại số Võ Đại Mau 5) Tuyển tập tốn sơ cấp Vũ Hữu Bình 6) Tuyển tập toán sơ cấp Võ Đại Mau 7) 36 đề ôn thi tốt nghiệp THCS Võ Đại Mau - Hưỡng dẫn học sinh cách đọc sách - Xây dựng lại cho học sinh hiểu chất lý thuyết việc giải toán cực trị, đưa số phương pháp giải toán cực trị - Xây dựng hệ thống tập, trực tiếp trao đổi với học sinh lớp khoảng thời gian buổi C PHẦN THỨ BA NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI I Cơ sở lý thuyết - Định nghĩa giá trị lớn (GTLN) biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định miền D : M gọi GTLN f(x,y, ) miền |D điều kiện sau đồng thời thoả mãn : f(x,y, ) ≤ M ∀(x,y, ) ∈ |D ∃ (x0, y0, ) ∈ |D cho f(x0, y0 ) = M Ký hiệu : max f(x,y, ) = M ⇔ (x = xo, y = yo , ) ∈ |D - Định nghĩa giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định miền |D : M gọi GTNN f(x,y, ) miền |D điều kiện sau đồng thời thoả mãn : f(x,y, ) ≥ M ∀(x,y, ) ∈ |D ∃ (x0, y0, ) ∈ |D cho f(x0, y0 ) = M Ký hiệu : M = f(x,y, ) ⇔ (x = xo, y = yo , ) ∈ |D - Các kiến thức thường dùng * Luỹ thừa : a) x2 ≥ ∀x ∈ |R ⇒ x2k ≥ ∀x ∈ |R, k ∈ z ⇒ - x2k ≤ Tổng quát : [f (x)]2k ≥ ∀x ∈ |R, k ∈ z ⇒ - [f (x)]2k ≤ Từ suy : [f (x)]2k + m ≥ m ∀x ∈ |R, k ∈ z 2k m - [f (x)] ≤ m b) x ≥ ∀x ≥ ⇒ ( x )2k ≥ ∀x≥0 ; k ∈z 2k Tổng quát : ( A ) ≥ ∀ A ≥ (A biểu thức) * Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối : a) |x| ≥ ∀ x∈|R b) |x+y| ≤ |x| + |y| ; "=" xảy ⇔ x.y ≥ c) |x-y| ≥ |x| - |y| ; "=" xảy ⇔ x.y ≥ |x| ≥ |y| LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vị B¸ Nam - THCS Thanh Thïy Híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c tËp vỊ cùc trj – To¸n líp * Bất đẳng thức côsi : ∀ai ≥ ; i = 1, n : a1 + a + + a n ≥ n n a1 a .a n ∀n∈N, n ≥2 dấu "=" xảy ⇔ a1 = a2 = = an * Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với n cặp số a1,a2, ,an ; b1, b2, ,bn ta có : 2 2 2 (a1b1+ a2b2 + +anbn)2 ≤ ( a1 + a + + a n ).(b1 + b2 + + bn ) Dấu "=" xảy ⇔ b = Const (i = 1, n ) i Nếu bi = xem = * Một số Bất đẳng thức đơn giản thường gặp suy từ bất đẳng thức (A+B)2 ≥ a a2 + b2 ≥ 2ab b (a + b)2 ≥ 4ab c 2(a a2 b+ b2 ) ≥ (a + b)2 + ≥2 d b a 1 + ≥ e b a a + b II Một số phương pháp giải toán cực trị Sử dụng phép biến đổi đồng nhất: Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách hạng tử cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức cho tổng biểu thức không âm (hoặc không dương) số Từ tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức + Các vi dụ minh hoạ : Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ A = x2 + 4x + Giải : Ta có : A = x2 + 4x + = x2 + 4x + 4x + = (x + 2)2 + ≥ (x + 2)2 ≥ với ∀x ⇒ A = ⇔ x + = ⇔ x = -2 Vậy A = ⇔ x = -2 Ví dụ : Tìm giá trị lớn B = - x2 + 6x - 15 Giải : 2 Ta có : B = -x + 6x - 15 = - (x - 6x + 9) - B = - (x - 3)2 - ≤ - - (x - 3)2 ≤ ∀x ∈|R ⇒ max B = - ⇔ x - = ⇔ x = Vậy max B = - ⇔ x = Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ C = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002 Giải : Ta có : C = (x-1)(x- 4)(x - 5)(x- 8) + 2002 = (x-1) (x - 8) (x - 4) (x-5) + 2002 = (x2- 9x + 8) (x2 - 9x + 20) + 2002 = {(x2 - 9x + 14) - 6}.{(x2 - 9x + 14) + 6} + 2002 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vị B¸ Nam - THCS Thanh Thïy Híng dẫn học sinh giải tập cực trj To¸n líp = (x2- 9x + 14)2 - 36 + 2002 = (x2- 9x + 14)2 + 1966 ≥ 1966 (x2- 9x + 14)2 ≥ ∀x ⇒ C = 1966 ⇔ x2- 9x + 14 = x = x = ⇔ x = Vậy C = 1966 ⇔ x = x − 10 x − ( x ≠ 1) Ví dụ : Tìm giá trị lớn biểu thức D = x − 2x + Giải : 2( x − x + 1) − 6( x − 1) − x − 10 x − = = 2− − 2 x − ( x − 1) x − 2x + ( x − 1) 2 Ta có: D = 2 + 1 + ≤ - + 1 ≤ ∀x =- x −1 x −1 + = ⇔ x = -2 ⇒ max D = ⇔ x −1 Vậy : max D = ⇔ x = -2 x Ví dụ : Tìm giá trị lớn E = y + y x − x− y với x, y > Giải : y x x x+y y−x y−y x x( x − y ) − y ( x − y ) = Ta có: E = y + x − x − y = xy xy E= ( x − y ).( x − y ) xy = ( x − y )2 ( x + y ) xy ≥0 ∀x,y > ⇒ E = ⇔ x − y = ⇔ x = y Vậy : E = ⇔ x = y > Ví dụ : Cho x, y ≥ x + y = Tìm giá trị nhỏ lớn F = x2 + y2 Giải : Do x; y ≥ x + y = ⇒ ≤ x;y ≤ ⇒ x2 ≤ x, y2 ≤ y x = x = ⇒ F = x2 + y2 ≤ x + y = ⇒ Max F = ⇔ y = y = 2 Mặt khác : x + y = ⇒ (x + y) = ⇒ = x + 2xy + y ⇒ x2 + y2 = - 2xy 1 ( x + y) 1 Hay x + y = − xy + = - 2xy + = + ( x − y )2 2 2 2 1 ⇒ F = x2 + y2 = + ( x − y ) ≥ (x - y)2 ≥ với ∀x,y 2 1 ⇒ F = ⇔ x - y = ⇔ x = y = 2 x = x = 1 ∨ Vậy : max F = ⇔ ; F = y =1 y = 2 ⇔x=y= LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vị B¸ Nam - THCS Thanh Thïy Híng dẫn học sinh giải tập cực trj To¸n líp Ví dụ : Tìm giá trị lớn P = xy + yz + zx - x2- y2- z2 Giải : Ta có : P = xy + yz + zx - x2-y2-z2 = - (2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2xz) P = - {(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2} ≤ ∀x,y,z ⇒ max P = ⇔ x = y = z Vậy : max P = ⇔ x = y = z Nhận xét : Phương pháp giải toán cực trị đại số cách sử dụng phép biến đổi đồng áp dụng cho nhiều tập, nhiều dạng tập khác Song đơi học sinh thường gặp khó khăn cơng việc biến đổi để đạt mục đích, khó tìm điểm xuất phát Để nhanh chóng tìm điểm xuất phát em phải nhớ vận dụng thành thạo đẳng thức kỹ tách để tạo đẳn thức.Muốn em phải làm nhiều tập xếp chúng vào nhóm Các tập tự luyện : Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : a A = x2 - 10x + 20 b B = (x-1)2 + (x-3)2 3x − x + c C = (x ≠1) x − 2x + d D = x3 + y3 + xy biết x + y = Tìm giá trị lớn biểu thức : A = - x4 + 2x3 - 3x2 + 4x + 2002 x2 + B= x +1 ; C= − x + 74 x − 196 x − 10 x + 25 x2 + 4x + Tìm cực trị A = x + 2x + Sử dụng bất đẳng thức bản: Ta biết : Từ bất đẳng thức, cách chuyển ta đưa bất đẳng thức phép biến đổi tương đương mà vế số Vì : Sử dụng bất đẳng thức phép biến đổi tương đương ta tìm cực trị biểu thức Các ví dụ minh họa : Ví dụ : Cho a > b > Tìm GTNN A = a + b(a − b) Giải : 1 b(a − b) Ta có : A = a + b(a − b) = b + (a - b) + b(a − b) ≥ 3 (theo Côsi cho số b.(a − b) dương) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vị B¸ Nam - THCS Thanh Thïy Hớng dẫn học sinh giải tập cực trj – To¸n líp a = A ≥ ⇒ A = ⇔ b = a- b = b(a − b) ⇔ b = a = Vậy : A = ⇔ b = Ví dụ : Cho a, b > a + b = Tìm GTNN B = 1 + a2 + b2 ab Giải : 1 Theo bất đẳng thức Côsi : (x + y)( x + y ) ≥ x y 1 ⇒ x + y ≥ x+ y Ta có : ab ≤ ( = (với x, y > 0) xy (1) a+b 1 ) = ⇒ ≥4 ab (2) a + b = ; a, b > Áp dụng bất đẳng thức (1) kết (2) ta có : 1 1 1 4 + = + = +( + )≥ + 2 ab a + b 2ab a + b 2ab 2ab a + b 2ab + a + b B ≥ + (a + b) = a + b = ⇒ B = ⇔ a = b = Vậy : B = ⇔ a = b = B= Ví dụ : Cho xy + xz + yz = Tìm GTNN C = x4 + y4 + z4 Giải : Do xy + xz + yz = ⇒ 16 = (xy + xz + yz)2 ≤ (x2+y2+z2) (x2+y2+z2) ⇔ 16 ≤ (x2+y2+z2)2 ≤ (x4 + y4 + z4) (12+12+12) (Bunhiacôpxki) 16 16 ⇒ C = ⇔x=y=z=± 3 16 Vậy : C = ⇔x=y=z=± 3 ⇒ C = x + y4 + z4 ≥ Ví dụ : Cho |a| ≤1; |b| ≤1 | a+ b| = Tìm GTLN D = − a + − b Giải : a2 + b2 a + b ≥ Ta có : (a - b) ≥ ∀a;b ⇒ (1) áp dụng (1) ta có : − a2 + − b2 − a2 + − b2 − (a + b ) a2 + b2 ≤ = = 1− 2 2 3 a2 + b2 a + b = ≥ Do = − a + − b2 ⇒ (do | a + b| = ) ≤ - = ⇒ ( − a + − b ≤1 ) 4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vị B¸ Nam - THCS Thanh Thùy Hớng dẫn học sinh giải tập cùc trj – To¸n líp ⇒ D = − a + − b ≤ ⇒ max D = ⇔ a = b = Vậy : max D = ⇔ a = b = 3 Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ E = | x + 7| + | x - 1995| Giải : Ta có : |x| + |y| ≥ | x + y| dấu "=" xảy ⇔ x,y ≥ Do : E = | x + 7| + | x - 1995| = | x + 7| + | 1995 - x | ≥ |x+7 + 1995 - x| = 2002 ⇒ E = 2002 ⇔ (x + 7) (1995 - x) ≥ ⇔ -7 ≤ x ≤ 1995 Vậy : E = 2002 ⇔ -7 ≤ x ≤ 1995 Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ F = (1 + x2y + xy2)2001 - 2001 xy (x+y) + 2001 với x2y + xy2 ≥ Giải : Theo BĐT Becnully ta có : (1 + x y + xy2)2001 ≥ + 2001 (x2y + xy2) ⇒ (1 + x2y + xy2)2001- 2001 xy (x+y) + 2001 ≥ 1+2001.xy(x+y) - 2001xy(x+y) + 2001 x = ⇔ F ≥ 2002 ⇔ F = 2002 ⇔ xy(x+y) = ⇔ y = x = − y x = Vậy : F = 2002 ⇔ y = x = − y Ví dụ : Cho xyz = x + y + z = Tìm GTNN P = x16 + y16 + z16 Giải : Cách : Ta có : (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ≥ ∀a,b,c ⇔ a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc (1) áp dụng bất đẳng thức (1) ta có : P = x16 + y16 + z16 = (x8)2 + (y8)2 + (z8)2 ≥ x8y8 + y8z8 + z8x8 ⇔ P≥ x8y8 + y8z8 + z8x8 ⇔ P ≥ (x4y4)2 + (y4z4)2 + (z4x4)2 ≥ x4y4 y4z4+ x4y4 z4x4 + y4z4 z4x4 ⇔ P ≥ x4y8z4 + x8y4z4 + x4y4z8 ⇔ P ≥ (x2y4z2)2 + (x4y2z2)2 + (x2y2z4)2 ≥ x6y6z4 + x6y4z6 + x4y6z6 ⇔ P ≥ (x3y3z2)2 + (x2y3z3)2 + (x3y2z3)2 ≥ x5y6z5 + x6y5z5 + x5y5z6 ⇔ P ≥ (xyz)5.x + (xyz)5.y + (xyz)5.z = x + y + z = (do xyz = x + y + z = 3) ⇒ P = ⇔ x = y = z = Cách : (Không sử dụng giả thiết xyz = 1) Áp dụng bất đẳng thức bunhiacơpxki nhiều lần ta có : = x + y + z ⇒ = (x+ y + z)2 ≤ (x2 + y2 + z2).3 ⇔ ≤ (x2 + y2 + z2) ⇔ ≤ (x2 + y2 + z2)2 ≤ (x4 + y4 + z4).3 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vị B¸ Nam - THCS Thanh Thïy Híng dÉn häc sinh giải tập cực trj Toán lớp ⇔ ≤ x4 + y4 + z4 ⇔ ≤ (x4 + y4 + z4)2 ≤ (x8 + y8 + z8).3 ⇔ ≤ x8 + y8 + z8 ⇔ ≤ (x8 + y8 + z8)2 ≤ (x16 + y16 + z16).3 ⇔ P = x16 + y16 + z16 ≥ ⇒ P = ⇔ x = y = z = Vậy : P = ⇔ x = y = z = Nhận xét : Rõ ràng áp dụng số bất đẳng thức bản, toán giải nhanh Song việc vận dụng bất đẳng thức thuận lợi tuỳ thuộc vào giả thiết toán vận dụng linh hoạt bất đẳng thức Một vấn đề đặt : Hai phương pháp vừa nêu chưa đủ để giải hết toán cực trị đại số THCS Chính lẽ nhu cầu phải có phương pháp khác tối ưu thực yêu cầu toán Một số tập tự luyện : Cho a,b,c > a + b + c = 1 a b c Tìm GTNN A = (1+ ) (1+ ) (1+ ) Cho a,b, > a + b = Tìm GTNN B = + ab a + b2 Cho a,b,c > a b c + + b+c c+a a+b a b c b+c c+a a+b + + + + + b) Tìm GTNN D = b+c c+a a+b a b c Cho x,y,z ≥ − x + y + z = Tìm GTLN E = 4x + + y + + 4z + a) Tìm GTNN C = Cho a,b,c ≥ a + b + c = Tìm GTLN F = a + b + a + c + b + c Cho ≤ x ≤ Tìm GTLN G = 4x2 - 3x3 Cho ≤ x ≤ ; Cho ≤ y ≤4 Tìm GTLN H = (3-x).(4-y).(2x+3y) Cho x,y,z,t ≥ 2x + xy + z + yzt = Tìm GTLN I = x2y2z2.t Cho x,y,z,t ≥ xt + xy + z + yzt = Tìm GTLN K = xyzt 10 Tìm GTNN M = | x-2 | + | y-3 | + | x+y-2007 | Sử dụng phương pháp đặt biến phụ: Bằng cách đặt biến phụ sử dụng phép biến đối tương đương Sử dụng bất đẳng thức ta chuyển biến thức cho biểu thức đơn giản hơn, dễ xác định cực trị Các ví dụ minh họa : Ví dụ : Tìm GTNN A = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12 Giải : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vị B¸ Nam - THCS Thanh Thùy 10 Hớng dẫn học sinh giải tập vỊ cùc trj – To¸n líp Ví dụ : Cho x, y > 7x + 9y = 63 Tìm GTLN E = x.y Giải : Đặt : P = 63.E ta có : 7x + y (theo côsi) P = 63xy = 7x.9y ≤ 3969 3969 63 P ≤ = ⇒ Max P = 4 2 x= 63 Dấu "=" xảy ⇔ 7x = 9y = ⇔ y = x = 4,5 3969 63 ⇒ Max E = : 63 = ⇔ y = 3,5 4 Ví dụ : Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN F = 2x + 3y Giải : Xét : P1 = |F| P1 = |2x + 3y| Đặt : P2 = P12 P2 = (2x + 3y)2 Theo Bunhiacôpxky : P2 ≤ (4 + 9) (x2 + y2) = 13.13.4 x = x = −4 ⇒ max P2 = 13.13.4 ⇔ y = y = −6 ⇒ max P1 = 26 x = Do F ≤ |F| = P1 ⇒ max F = 26 ⇔ y = x = Vậy max F = 26 ⇔ y = Ví dụ : Cho x,y > y x4 y4 x2 y2 x Tìm GTNN G = + − − + + y x y x y x Giải : Đặt : P = G - ta có : y x4 y4 x2 y2 x P = + − − + + -2 y x y x y x x4 y4 x2 x2 y2 x y y2 x P = − 2 + 1 + − 2 + 1 + − + + − + y x x y y x y x y 2 y x x2 y2 x y ( x − y) ≥0 P = − 1 + − 1 + − + xy y x y x ⇒ P = ⇔ x = y > Vậy G = ⇔ x = y > LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vị B¸ Nam - THCS Thanh Thùy 15 Hớng dẫn học sinh giải tËp vỊ cùc trj – To¸n líp Các tập tự luyện : Cho x,y, z > x2 + y2 + z2 = xy yz zx Tìm GTNN A = z + x + y Cho x ≠ Tìm GTNN B = x8 + x + x4 Cho x ≠ Tìm GTLN C = x8 x 16 + x + Cho a2 + b2 + c2 = Tìm GTLN D = a + 2b + 3c Cho a,b > a + b = Tìm GTNN E = 1 − Cho a, b, c, d > Tìm GTNN F = 1− a b a+b b+c c+d d +a = + + b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c Cho a,b ∈ |R Tìm GTNN G = a + (1 − b) + b + (1 − a) Phương pháp miền giá trị: Trong số trường hợp đặc biệt, biểu thức đại số cho có hai biến số đưa dạng tam thức bậc ta sử dụng kiến thức miền già trị hàm số để giải thấy hiệu Đường lối chung : Giải sử ta phải tìm cực trị hàm số f(x) có miền giá trị D Gọi y giá trị f(x) với x ∈ D Điều có nghĩa điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm Sau giải điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm (x biến, coi y tham số) Thường đưa đến biểu thức sau : m ≤ y ≤M Từ ⇒ f(x) = m với x ∈ D ⇒ max f(x) = M với x ∈ D Các ví dụ minh hoạ : Ví dụ : Tìm GTNN f(x) = x2 + 4x + Giải : Gọi y giá trị f(x) Ta có : y = x2 + 4x + ⇔ x2 + 4x + - y = (có nghiệm) ⇔ ∆' = - + y ≥ ⇔ y≥1 Vậy f(x) = ⇔ x = -2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vị B¸ Nam - THCS Thanh Thïy 16 Hớng dẫn học sinh giải tập cực trj – To¸n líp Ví dụ : Tìm GTLN f(x) = - x2 + 2x - Giải : Gọi y giá trị f(x) Ta có : y = - x2 + 2x - ⇔ x2 - 2x + y + = (có nghiệm) ⇔ ∆' = - y - ≥ ⇔ y≤-6 Vậy f(x) = - ⇔ x = x + 4x + Ví dụ : Tìm cực trị f(x) = x + 2x + Giải : Ta thấy f(x) xác định với x Gọi y giá trị f(x) Ta có : y = x + 4x + ⇔ yx2 + 2yx + 3y - x2 - 4x - = x + 2x + ⇔ (y - 1)x2 + (y - 2).x + 3y - = (có nghiệm) * Nếu y = ⇒ x = - * Nếu y ≠ ⇒ ∆' = (y - 2)2 + (3y - 6)(1 - y) ≥ ⇔ y2 - 4y + - 3y2 + 3y + 6y - ≥ ⇔ - 2y2 + 5y + ≥ ≤y≤2 Vậy : f(x) = ⇔ x = -3 ⇔ Ví dụ : Tìm GTNN f(x) = max f(x) = ⇔ x = x + 2x + x − 2x + Giải : Gọi y giá trị f(x) x + 2x + y= x − 2x + Ta có : ⇔ yx2 + 2yx + y - x2 - 2x - = ⇔ (y - 1)x2 - 2(y + 1)x + y - = (có nghiệm) * Nếu y = ⇒ x = * Nếu y ≠ ⇒ ∆' = (y + 1)2 - (y - 1)(y - 6) ≥ ⇔ y2 + 2y + - y2 + 6y + y - ≥ ⇔ 9y - ≥ ⇔y≥ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vị B¸ Nam - THCS Thanh Thùy 17 Hớng dẫn học sinh giải tập cùc trj – To¸n líp 5 < nên ta có y = ⇔x=9 Vậy f(x) = ⇔ x = x2 + Ví dụ : Tìm GTLN f(x) = x +1 Do Giải : Do f(x) xác định với x Gọi y giá trị f(x) Ta có : x2 + y= x +1 ⇔ yx2 + y - x2 - = ⇔ (y - 1)x2 + y - = ⇔ (y - 1)x2 = - y * Nếu y = ⇒ Phương trình vơ nghiệm (có nghiệm) 2− y * Nếu y ≠ ⇒ x2 = y − (1) 2− y (1) có nghiệm ⇔ y − ≥ ⇔ < y < ⇒ max y = ⇔ x = Vậy max f(x) = ⇔ x = x2 + 2x + Ví dụ : Tìm cực trị f ( x) = x2 + Giải: f(x) xác định với x Gọi y giá trị f(x) suy phương trình x2 + 2x + y0 = có nghiệm x2 + ⇔ x (1 − y0 ) + x + − y0 = có nghiệm ⇔ ∆ ' = − (1 − y0 )(3 − y0 ) ≥ ⇔ y02 − y0 + ≤ Giải bpt ≤ y0 ≤ 2 - Xét y0 = suy x = - Xét y0 = 1/2 suy x = -2 Vậy max f(x) = x = ; f(x) = 1/2 x = - Chú ý : Nếu 1- y0 = suy y0 = phương trình cho có nghiệm, 1/2 < y0 = < nên kết tốn khơng thay đổi 3x − x + Ví dụ 7: Tìm cực trị f ( x) = x + x2 + Giải: f(x) xác định với x Đặt x = m ≥ Gọi y0 giá trị f(x) suy phương trình LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vị B¸ Nam - THCS Thanh Thïy 18 Hớng dẫn học sinh giải tập cực trj – To¸n líp 3m − 2m + y0 = (*) phải có nghiệm khơng âm (I) m2 + m + (*) ⇔ m (3 − y0 ) − m(2 + y0 ) + − y0 = có ∆ = −3( y0 − 2)( y0 − + y0 − y0 P= ; − y0 − y0 Hoặc P ≤ ⇔ < y0 ≤ S= 34 ) Do điều kiện (I) xảy khi: (1) 34 ≤ y0 ≤ ∆ ≥ Hoặc S ≥ ⇔ y0 ≥ 6; y0 < P ≥ −2 ≤ y < ⇔ ≤ y0 < (2) Kết hợp (1) (2) suy để phương trình có nghiệm khơng âm ≤ y0 ≤ + Với y0 = suy m = hay x = ± m = ⇒ x = + Với y0 = suy m = − ⇒ ∃x Vậy f(x) = x = ± ; max f(x) = x = Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy cách giải có hiệu việc tìm cực trị ax + bx + c ax + bx + c hàm bậc hai, hàm phân thức dạng: ' ' ' ' ' cách đặt a x + b x + c' a x +b x +c ẩn phụ Ví dụ 8: Tìm max f ( x) = − x + x + TXĐ : −2 ≤ x ≤ Đặt − x = u; u ≥ ; Giải: x + = v; v ≥ y0 = u + v Gọi y0 giá trị f(x) / y0 ≥ , tức u = y0 − v không âm ⇔ 2 u + v = có nghiệm (u ; v) (*) có nghiệm không âm ( y0 − v ) + v − = (*) ⇔ 2v − 2vy0 + y02 − = có nghiệm khơng âm ⇔ ∆ = − y02 + 16 ≥ ⇔ y02 ≤ 16 ⇔ −4 ≤ y0 ≤ Vì y0 ≥ nên ≤ y0 ≤ Với y0 = v = suy x = ( thoả mãn) Vậy max f(x) = với x = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vị B¸ Nam - THCS Thanh Thùy 19 Hớng dẫn học sinh giải tËp vỊ cùc trj – To¸n líp Chú ý: ví dụ ta tìm f(x) cách tìm điều kiện để hệ (*) có nghiệm khơng âm ta tìm điều kiện y0 2 ≤ y0 ≤ Do f(x) = 2 với x = x = -2 Nhận xét: Với dạng f ( x) = ax ± b ± a ' x ± b' cách đặt ẩn phụ u = ax ± b ; v = a ' x ± b ' xây dựng u ± v = const để đưa dạng quen biết biết cách giải Các tập tự luyện : Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất,( nhỏ nhất) a/ f ( x) = x − x + b/ f ( x) = −8 x + x − c/ f ( x) = x − x + Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức a/ f ( x) = x2 + x + x2 − x + ax + bx + c Bài 3: Cho f ( x) = x2 + b/ f ( x) = 3x + x + x4 + x + , Tìm a, b để Max f(x) = 9; Min f(x) = -1 Bài 4: Tìm giá trị nguyên m cho giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức sau nguyên f ( x) = 12 x − 12mx x2 + Bài 5: Tìm giá trị lớn ( nhỏ ) : f ( x) = − x + x + Bài 6: Tìm giá trị lớn f(x; y) = x − y với x; y thoả mãn x + y = Bài 7: Xác định giá trị m để giá trị nhỏ hàm số f ( x) = x + ( 2m + 1) x + m − m − đoạn [ −1; 2] ĐÁP SỐ, HƯỚNG DẪN Bài 1: Đưa ví dụ 11 , x = 36 18 47 b/ max f(x) = , x = 32 16 95 c/ f(x) = , x = 24 12 a/ f(x) = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vị B¸ Nam - THCS Thanh Thùy 20 Hớng dẫn học sinh giải tập vỊ cùc trj – To¸n líp Bài 2: Xem ví dụ 2; ví dụ a/ max f(x) = x = 1; f(x) = 1/3 x = - b/ max f(x) = x = 0; f(x) = 5/2 x = - 1; x = Bài 3: Đưa ví dụ kết hợp điều kiện Max f(x) = 9, Min f(x) = -1 Giải a = 8, b =7 a = - 8, b = Bài 4: Tương tự 3, giải m = 8, m= - Bài 5: Như ví dụ 4, tìm max f(x) = với x = -1 2 ;− ÷ với với ÷ Bài 6: Như ví dụ 5, giải max f(x, y) = 2 ; − ÷ ÷ Bài 7: m = -9/8 Phương pháp xét khoảng giá trị: Có nhiều tốn ta sử dụng phép biến đổi tương đương, bất đẳng thức phương pháp đổi biến hay biểu thức phụ, chí sử dụng phương pháp miền giá trị hàm số, việc tìm cực trị gặp nhiều khó khăn có khơng thể tìm Những ta biết cách xét khoảng hợp lý (có dự đốn) việc tìm cực trị trở nên đơn giản Các ví dụ minh họa: Ví dụ : Cho m, n ∈ N* Tìm GTNN A = |36m – 5n| Giải : m m ∈ N* ⇒ 36 có chữ số tận n ∈ N* ⇒ 5n có chữ số tận Vì : Nếu 36m > 5n A có chữ số tận Nếu 5n > 36m A có chữ số tận Vậy Min A 1, 9, 11 a) Xét A = ta có : 36m – 5n = (khơng xảy ra) (36m - 1) M7 cịn 5n khơng chia hết cho b) Xét A = ta có : 5n - 36m = (khơng xảy ra) (5n - 36m) khơng chia hết cho cịn M9 c) Xét A = 11 , xảy , chẳng hạn m = 1, n = Vậy A = 11 ⇔ m = 1; n = Ví dụ : Cho m ∈ N* Tìm giá trị lớn B = n2 2n LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vị B¸ Nam - THCS Thanh Thïy 21 Híng dÉn häc sinh giải tập cực trj Toán lớp Giải : 1 25 (đúng n ≥ 5) n2 Kết luận : B = n < Vậy max B = ⇔ n=3 ∀ n ≥5, n ∈N* Các tập tự luyện : Tìm GTNN A = |11m – 5n| với m,n ∈ N* Cho a, b, c, d ∈ N* a + b = c + d = 1000 Tìm GTLN B = a b + c d Cho m, n ∈ N ≤ m ; n ≤ 1981 (n2 - mn - m2)2 = Tìm GTLN C = m2 + n2 Một số sai lầm thường gặp giải toán cực trị a Sai lầm sử dụng nhiều bất đẳng thức khác Ví dụ 1: cho x, y số dương thỏa mãn x + y =1 Tìm GTNN biểu thức : A = x + y 4 Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số khơng âm x , y ta có: x + y ≥ xy (1) Lại có: x+ y = ≥ xy (2 ) 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vị B¸ Nam - THCS Thanh Thùy 22 Hớng dẫn học sinh giải tập cùc trj – To¸n líp Từ (1) (2) suy : A= 4 + ≥ ≥ =8 Vậy A = x y xy Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy (1) x = y ⇔ x = y Đẳng thức sảy (2) x = y Từ suy x = y = ( Loại x + y = 1) Có bạn đến kết luận khơng có giá trị nhỏ kết luận sai 1 4 4x y Giải đúng: Vì x + y = nên A = ( x+y ) + ÷ = + + y x x y 4x y 4x y 4x y + ≥2 =4 Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm y , x Ta có : y x y x 4x y x = y = 2x = ⇔ Dấu “=” xẩy y x ⇔ x + y = x + y = y = Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác tốn ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời sảy dấu khơng Có hướng giải tốn b Sai lầm khơng sử dụng hết điều kiện tốn: Ví dụ 2: Cho x, y số dương thỏa mãn x + y= Tìm GTNN : 2 1 1 A = x+ ÷ + y + ÷ y x 1 Giải sai: Ta có: x+ ≥ x = x x 1 y+ ≥ y = y y Từ (1) (2) =>A ≥ => A = (1) (2) Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy (1) 1 = x ⇔ x2 = x Đẳng thức sảy (2) y = y ⇔ y = Từ suy x = y = ( Loại x + y = 1) Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có : x+y 1 ≥ xy ⇒ xy ≤ ⇒ xy ≤ 2 2 1 1 1 Ta có : A = + x +y + ÷ + ÷ Khi đó: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy ≥ - = 2 x y 1 + ≥2 2 = ≥8 x y x y xy 25 25 Từ (1) (2) =>A ≥ + +4 = => A = x = y = 2 2 2 (1) (2) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vị B¸ Nam - THCS Thanh Thùy 23 Hớng dẫn học sinh giải tập cùc trj – To¸n líp Lưu ý: Khi giải tốn mà khơng sử dụng hết điều kiện đầu cần kiểm tra lại giả thiết Có hướng giải tốn c Sai lầm chứng minh điều kiện 1: Ví dụ 1: Tìm GTLN bt: A = x − x + 17 Lời giải sai: A đạt max x − x + 17 đạt Ta có : x − x + 17 = ( x − 3) + ≥ 2 Do ( x − x + 17 ) = ⇔ x = Vậy max A = ⇔ x=3 Phân tích sai lầm: Kết lập luận sai chỗ cho “ A có tử khơng đổi nên đạt GTLN mẫu đạt GTNN” mà chưa đưa nhận xét tử mẫu số dương Lời giải đúng: Bổ xung thêm nhận xét x − x + 17 = ( x − 3) + ≥ nên tử mẫu A dương Ví dụ 2: Tìm GTNN cuả A = x2 + y2 biết : x + y = x + y = xy ⇔ ⇔ x= y=2 ≥ Ta có : A = x + y 2xy => A đạt GTNN x + y = 2 Khi minA = Phân tích sai lầm: Đáp số khơng sai lập luân sai lầm chỗ ta c/m f(x,y) ≥ g(x,y) chưa c/m f(x,y) ≥ m với m hắng số Chẳng hạn: Từ x2 ≥ 4x – => x2 đạt nhỏ ⇔ x2 = 4x – ⇔ (x – )2 = ⇔ x =2 Đi đến x2 = ⇔ x = Dễ thấy kết phải x2 = ⇔ x = Lời giải đúng: Ta có x + y = ⇔ ( x + y ) =16 (1) Ta lại có : ( x - y) ≥ ⇒ x -2xy+y ≥ (2) Từ (1) (2) => 2( x2 + y2 ) ≥ 16 => A = x2 + y2 ≥ Vậy A = x = y = Lưu ý: Cần nắm vững t/c BĐT cụ thể trường hợp so sánh hai phân số có tử mẫu số tự nhiên, số nguyên … Có hướng giải tốn d Sai lầm chứng minh điều kiện Ví dụ 1: Tìm GTNN A = x + x Lời giải sai : x + x = ( x) 2 1 1 1 1 +2 x + − = x − ÷ − ≥ − Vậy: A = − 4 2 4 4 P/tích sai lầm: sau c/m f(x) ≥ − chưa trường hợp xảy f(x) = − ⇔ x =− (vơ lí) Lời giải đúng: ĐKTT x x ≥ : A = x + x ≥ => A = ⇔ x = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vị B¸ Nam - THCS Thanh Thùy 24 Hớng dẫn học sinh giải tập cùc trj – To¸n líp Ví dụ 2: Tìm GTLN A = xyx ( z+y ) ( y+z ) ( z+x ) với x, y , z số không âm x +y+ z =1 4x ( z+y ) ≤ ( x+y+z ) = Lời giải sai: Áp dụng BĐT 4xy ≤ ( x + y ) ta có : 4y ( z+x ) ≤ ( x+y+z ) = 2 4z ( x+y ) ≤ ( x+y+z ) = => 64xyx ( z+y ) ( y+z ) ( z+x ) ≤ =>xyx ( z+y ) ( y+z ) ( z+x ) ≤ 1 Vậy max A = 64 64 Phân tích sai lầm: Sai lầm chỗ chưa chi khả xảy dấu “=” z+y = x y+x = z x = y = z = ⇔ x + z + y = ( vơ lí ) ĐK để max A = : x+z = y 64 x + z + y = x, y, z ≥ x, y, z ≥ Lời giải đúng: Ta có : = x +y+ z ≥ 3 x.y.z (1) = ( x +y ) + ( z+x ) + ( y+ z ) ≥ 3 ( x +y ) ( z+x ) ( y+ z ) (2) 2 Từ (1) (2) => ≥ 3 x y.z ( x +y ) ( z+x ) ( y+ z ) hay: ≥ 3 A => A ≤ ÷ 9 ( x +y ) = ( z+x ) = ( y+ z ) 2 ⇔x= y=z= max A = ÷ x + y + z = 9 x, y , z ≥ Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ A = x + a ≥ ax Lời giải sai: Ta có: x + b ≥ bx (x + a)(x + b) với x > 0, a, b số dương x ⇒ ( x + a ) ( x + b ) ≥ ax.2 bx = x ab (x + a)(x + b) 4x ab ≥ = ab A = ab ⇔ x = a = b x x Phân tích sai lầm: Nếu a ≠ b khơng có: A = ab (x + a)(x + b) x + ax + bx + ab ab A = = = x + ÷+ (a + b) Lời giải : Ta có x x x ab Theo bất đẳng thức Cauchy : x + ≥ ab nên A ≥ ab + a + b = a + b x Do đó: A = ( A = ( a+ b ) ⇔ ) x = ab PHẦN THỨ TƯ KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI CĨ SO SÁNH ĐỐI CHỨNG Như sau tơi thực đề tài em lớp vững cách giải tốn tìm cực trị , từ em ham thích học mơn toán xay mê LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vị B¸ Nam - THCS Thanh Thïy 25 Hớng dẫn học sinh giải tập cực trj – To¸n líp giải tốn nhiều hơn, tăng khả tư em nhiều hơn, tự tin bước vào kỳ thi môn tốn Đổi tuyển tơi em đỗ học sinh giỏi cấp huyện, em Vũ Bá Sang vào vòng em lại tiếp tục đỗ vòng hai vào đội tuyến toán lớp huyện tham gia thi thành phố, đặc biệt em Sang chiến thắng tuyệt đối tập cực trị đề thi vòng 1và vòng huyện Thanh Oai năm học 2012 2013 Kết cụ thể qua kiểm tra lớp sau: Sĩ số 34 Số em làm câu cực trị 30 Số em làm bị ngộ nhận Số em không làm câu cực trị Tỷ lệ % làm 88 % PHẦN THỨ NĂM NHỮNG KHUYẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT Với số kinh nghiệm việc hướng dẫn học sinh giải toán cực trị lớp mong hội đồng khoa học bạn đọc có nhận xét quý báu bổ sung phần cịn thiếu, góp ý điều chưa hay, chưa sáng tạo để tơi hồn thiên góp phần nhỏ cơng sức trí tuệ giúp học sinh ngày u thích mơn tốn đam mê giải tốn hơn, từ em cảm thấy tự tin bước vào kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp, đặc biệt kỳ thi vào lớp 10 tới Bên cạnh mong cấp có thẩm quyền quan tâm vật chất tinh thần để động viên kịp thời đồng chí tham gia nghiên cứu khoa học, để tạo điều kiện cho phong trào thi đua nhà phát triển./ Thanh Thùy, ngày22 tháng3 năm 2013 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép người khác Vũ Bá Nam Đánh giá hội đồng khoa học cấp trường ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vị B¸ Nam - THCS Thanh Thùy 26 Hớng dẫn học sinh giải tËp vỊ cùc trj – To¸n líp …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………….…………………………………………………………………………… Đánh giá hội đồng khoa học cấp huyện ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vị B¸ Nam - THCS Thanh Thïy 27 Híng dẫn học sinh giải tập cực trj To¸n líp …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… … …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vị B¸ Nam - THCS Thanh Thïy 28 Híng dÉn học sinh giải tập cực trj Toán líp …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… … …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… … …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………….………… LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vị B¸ Nam - THCS Thanh Thïy 29 ... Để giúp em học sinh học toán tốt, giải tập cực trị, đặc biệt em học sinh lớp đội tuyển thi cấp phải thành thạo Nên tơi chọn đề tài sáng kiến nghiệm ? ?Hướng dẫn học sinh giải tập cực trị? ?? Giới hạn...Hớng dẫn học sinh giải tập cực trj – To¸n líp A PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận: Học toán gì? Dạy tốn gì? Đó người học toán phải biết giải tập toán Người dạy toán phải dạy cho người học. .. tập cực trị, đặc biệt thi học sinh giỏi lớp cấp tỷ lệ điểm tìm cực trị chiếm tỷ lệ điểm đáng kể Tại kỳ thi học sinh giỏi lớp năm học 2012 -2013 cấp huyện vòng huyện Thanh Oai có ba ý cực trị
Ngày đăng: 10/10/2022, 08:48
Xem thêm:
