Thông tin tài liệu
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "GIÚP HỌC SINH KHAI THÁC VÀ TÌM CÁC CÁCH GIẢI CHO MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG KHƠNG GIAN TỌA ĐỘ" LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.Cơ sở lý luận: Khi dạy phần hình học khơng gian tọa độ đặc biệt tốn cực trị khơng gian tọa độ nhận thấy : Hầu hết học sinh ngại chí bỏ qua khơng làm tự em làm em làm Bởi dùng cách nhìn hình học khơng gian trực tiếp địi hỏi em có tư sáng tạo vẽ thêm hình nhận biết yếu tố cần tìm đánh giá với yếu tố khơng đổi Với cách đại số hóa hồn tồn tốn chất tốn bất đẳng thức nhiều biến khiến em lúng túng tốn bất đẳng thức phần kiến thức khó tốn phổ thơng 2.Thực trạng vấn đề nghiên cứu: Thực tế đa số học sinh bế tắc phương pháp cho loại tốn sách giáo khoa hay sách tập khơng có nhiều tập loại lại có đề thi đại học năm gần tập ôn luyện đại học khiến cho học sinh bối rối phương pháp Trong tài liệu hầu hết chọn lựa cách dùng cách nhìn hình học khơng gian trực tiếp làm học sinh khó hiểu khơng tự nhiên Các em bị động cách giải với loại toán Điều thúc chọn đề tài để giúp học sinh gặp loại tốn khơng cịn thấy khó khăn mà cịn thấy thực thích thú muốn làm nhiều Qua năm gần dạy lớp 12 ôn thi đại học nhận thấy mảng kiến thức phần cực trị không gian tọa độ loại toán thú vị Trong trình tơi thấy hứng thú lựa chọn đề tài để nghiên cứu trình bày Bởi việc giúp em tìm cách giải cho loại tốn giúp em tốt q trình học tập, luyện thi đại học rèn luyện tư giải toán II ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Rèn luyện cho học sinh biết cách khai thác tìm cách giải khác cho số dạng tốn cực trị khơng gian tọa độ chương trình tốn phổ thơng Phân loại tập thường gặp cách giải cho dạng III NHIỆM VỤ CỦA NGHIÊN CỨU : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trình bày số dạng tốn cực trị khơng gian tọa độ Hướng dẫn học sinh giải toán số tình cụ thể Từ bồi dưỡng cho học hoc sinh kỹ giải toán khả tư sáng tạo IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa tập ,sách tài liệu đề thi Phương pháp điều tra thực tiễn : Dự ,quan sát việc dạy học phần tập Phương pháp thực nghiệm sư phạm Phương pháp thống kê B PHẦN NỘI DUNG I GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Sáng kiến kinh nghiệm đưa dạng tập lớn tốn cực trị khơng gian Ở dạng hầu hết hướng dẫn song hành hai cách cho học sinh để học sinh khai thác có so sánh Đó : Cách 1: Chủ yếu liên tưởng thực tế ,qua hình vẽ, biến đổi véc tơ tính chất đường xiên hình chiếu Cách 2: Cách đại số hóa hồn toàn sử dụng bất đẳng thức phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhỏ Trong số dạng có tập nhỏ, dạng mở rộng tương ứng số trường hợp đặc biệt với phương pháp cho dạng đặc biệt Tơi đặc biệt ý cho học sinh đến cách đại số hóa dễ tiếp cận mang lại kết mà cách nhìn hình trực tiếp khơng làm khó làm Ở có số ví dụ tơi hướng cho học sinh cách giải sáng tạo dùng bất đẳng thức Cô si Buhiakôpxki để có lời giải ngắn gọn thú vị mà tài liệu chưa trình bày theo cách Kiến thức cần nhắc cho học sinh : - Tính chất đường xiên hình chiếu - Bất đẳng thức độ dài véc tơ - Bất đẳng thức: Cô si Buhiakơpxki - Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ phương pháp hàm số… LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Dạng : KHOẢNG CÁCH LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT Đưa ví dụ Ví dụ 1.1 : Cho A(10; 2; -1) đường thẳng d có phương trình : Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A , song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn Lúc đầu hầu hết em thấy ngại khơng biết giả tồn kiểu Nên hướng dẫn học sinh giải cách cách gợi ý vẽ hình để học sinh đánh giá yếu tố yêu cầu so sánh với đối tượng không đổi ? thông qua lý thuyết đường xiên hình chiếu H d Cách 1: Gọi H hình chiếu A d, mặt phẳng (P)đi qua A (P)//d nên A P I d (d,(P)) = d (H, (P)) = HI ( Với I hình chiếu H lên (P)) Ta có : HI AH = const HI lớn A I Khi (P) qua A nhận làm véc tơ pháp tuyến Gọi H( 1+2t ; t ; 1+3t) d Vì H hình chiếu A d nên với ( ;1 ; 3) véc tơ phương d Ta có Do : 5) =0 ( 2t-9)2+ t-2 + (3t+2) = (2t-9; t-2; 3t+2) t=1 H (3 ; 1; ) (-7 ; -1 ; Vậy phương trình (P) : -7( x -10) - ( y - 2) + 5( z + 1) = 7x + y - 5z – 77 = Hướng dẫn học sinh giải cách đưa tồn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ phương pháp hàm số Cách : Gọi phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = ( Theo đề ta có : Vec tơ pháp tuyến (VTPT) (P) : ( ;1; 3) vng góc với nên: ) (1) véc tơ phương (VTCP) d (2) Lại có lấy I (1; 0; 1) thuộc d ta có : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com d= max Từ (1) (2) ta có d max + Xét c = d = + Xét c d (nếu đặt x = Ta có d2 = x = f (x) - y =0 -7/5 y’ + 8/5 Max f(x) = ) - 375/61 + + nên max d = Kết hợp hai trường hợp ta có > Nên d max x = -7/5 hay = Chọn a = c = -5 b = , d = -77 nên Phương trình (P) : 7x + y -5z -77 = Tôi đặt thêm câu hỏi tốn hỏi ngược lại tìm em kết luận nào?(mở rộng toán khác để thấy rõ ưu cách 2) Yêu cầu học sinh đưa nhận xét cho cách để tìm ưu nhược cách để phát huy khắc phục Đưa học sinh ví dụ để học sinh tự chọn làm với hai cách tương tự Ví dụ : Cho điểm phẳng (P) chứa đường thẳng cho khoảng cách từ đến Viết phương trình mặt lớn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đa phần học sinh có phần hào hứng làm cách làm tốt ,số học sinh làm theo cách giỏi lúng túnghơn Với cách có phần đánh giá khác chút, cách tương tự ví dụ Cách 1: Gọi K hình chiếu A d ,điểm H A hình chiếu A lên (P) Khi đó: d ( A, (P) ) = AH AK = const H ( Vì A , K xác định ) P d K Nên AH max AH = AK hay K H, VTPT (P) Vì K hình chiếu A d véc tơ phương d ) (2t-1; t-5; 2t-1 ) Vậy (P) qua M(1; 0; 2) d nhận ( x - 1) - 4( y – ) +( z - ) = làm véc tơ pháp tuyến nên (P) : x – 4y +z - = Cách 2: Gọi phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = ( ) Theo đề ta có : Vec tơ pháp tuyến (P) : vng góc với nên: véc tơ phương (VTCP) d d= (2;1;2) max + Xét c = d = 9/ + X ét c Ta có d d2 (nếu đặt x = = = ) f (x) =0 Tương tự ví dụ 1.1 ta có LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Max f(x) = x = Vậy phương trình (P) : x - 4y +z -3 = Đưa tiếp ví dụ yêu cầu nháp cách 1( dạng sơ lược).Cách nhà tự làm Ví dụ 1.3 : Cho đường thẳng (D) có phương trình tham số Gọi đường thẳng qua điểm A(4;0;-1) song song với (D) I(-2;0;2) hình chiếu vng góc A (D) Trong mặt phẳng qua , viết phương trình mặt phẳng có khoảng cách đến (d) lớn Cách 1: Theo đề (P) // (D) Gọi H hình chiếu vng góc I (P) Ta có d((D),(P)) =d (I,(P)) = IH HA = const Do max IH = IA H A Khi vng góc với IA A.Vectơ pháp tuyến (P) = 3( 2; 0; 1) Phương trình mặt phẳng (P) là: ( x – ) –( z + ) = x – z – = Ví dụ : Cho (S) : (P) : 2x – y + 2z -14 = Tìm điểm M thuộc (S) cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhỏ Một số học sinh (HS) nghĩ cách dùng hình giáo viên yêu cầu liên tưởng thực tế Và cho HS phát biểu đưa lý thuyết thi em hiểu làm theo cách B Cách 1: Dựng đường thẳng (d) qua tâm I (1; -2; -1) (S) vng góc với (P) cắt (P) A,B (d) lấy VTPT của(P) làm VTCP nên (d) có phương trình : A Khi giao điểm (d) (S) là: A(3;-3;1) B(-1;-1;-3) P d(A, (P)) = ; d(B,(P)) = Vậy điểm A (3;-3;1) B(-1;-1;-3) điểm thuộc (S) có khoang cách đến (P) nhỏ lớn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đây ví dụ tơi mạnh dạn đưa việc áp dụng bất đẳng thức Buhiakôpxki mà tài liệu HS khơng trình bày theo cách Tôi hướng dẫn em biểu thức ràng buộc biến biểu thức cần đánh giá ,max nhắc lại cho em bấtt đẳng thức Buhiakôpxki Hướng dẫn em tách ghép phù hợp Tơi lầy thêm ví dụ tương tự để xem em thật biết tách ghép chưa Kết học sinh giỏi biết làm thích thú Nhưng cá nhân tơi thấy cách không bắt em phải chưng minh kết khỏang cách nhỏ ,lớn đoạn mà dùng bất đẳng thức để tim ,max Tuy thật làm khó cho em yếu bất đẳng thức tự nhiên rèn luyện tư cho HS không phần mà phần kỹ vận dụng bất đẳng thức Cách 2: Gọi M(a;b;c) (S) : Ta có d = d(M,(P)) = Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopxki ta có: ( 2a-b+2c - )2 = [2.(a-1)- 1.(b+2) +2.(c+1)]2 -9 2a-b+2c - d [ -21 ] [ 2a-b+2c - 14 -3 ] =81 21 Do max d = M(-1;-1;-3) ; d = M (3;-3;1) Sau tơi hỏi học sinh đưa nhận xét cho cách hầu hết HS thích làm cách số em HS giỏi muốn làm cách rèn luyện cho em vận dụng bất đẳng thức Bài tập : Cho đường thẳng (d) (d’) có phương trình Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) cho khoảng cách (d’) đến (P) lớn 2.Cho A(1;0;0) ,B(2;-1;2) C(-1;1;3) d : Viết phương trình mặt cầu tâm nằm d, qua A cắt (ABC) theo đường trịn có bán kính nhỏ 3.Cho điểm A(1;2;4) đường thẳng (d ) : x 1 y z Viết 1 phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) cho khoảng cách từ A đến (P) lớn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 4.Cho ba điểm , , với a, b, c ba số dương, thay đổi thỏa mãn Xác định a, b, c cho khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (ABC) đạt giá trị lớn nhất.( bất đẳng thứ cô si ) Trên sở dạng học sinh hình thành dần cách khai thác toán kiểu ta sang dạng Với cách em quen dần thật ví dụ khác cách đánh giá khác nhiều áp dụng tính chất đương xiên hình chiếu Cách HS tự làm tốt Nên hướng dẫn cách chủ yếu Dạng : GĨC LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT Ví dụ 2.1 : Cho đường thẳng x t ( d ) : y 2 t z t Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) tạo với trục Oy góc lớn Cách 1: Qua điểm A d dựng đường thẳng d’ song song với Oy Lấy điểm M d’ ; gọi I hình chiếu M d K hình chiếu vng góc M (P).Khi ta có : MAK (d, Oy) Mặt khác từ cách lấy A nên d’ xác định lấy M cố định nên K,H cố định Do MH, AM khơng đổi Khi : = const ( MK O MI) lớn sin Điều tương đương I M Do hàm số sin đồng biến nên d y K I lớn A K Vậy mặt P phẳng (P) cần tìm vng góc với MI I Lấy A(1;-2;0) thuộc d Đường thẳng Oy có véctơ phương Oy d’ có phương trình x y 2 t z M d I ( 1- t; -2 +t ;2t ) j (0;1;0) ; nên d’ qua A song song với Lấy M(1;-1;0) thuộc d’ hình chiếu vng góc (-t ;-1+t ; 2t) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mà véc tơ phương d ) nên ( ) Chọn véctơ pháp tuyếncủa (P) phẳng (P): 1( x ) 5( y I( n (1;5;2) Phương ) trình mặt 11 ) 2(z ) x + 5y - 2z + 9= Cách 2: Lấy M(1;-2;0) d ; N(0;-1;2) d Đặt (P): ax+by+cz+d=0 ( N thuộc (P) nên: a -2b+d = -b+2c+d = )Do M a - b - 2c = (*) Vec tơ pháp tuyến (P) : véc tơ phương (VTCP) Oy 0) Khi : D = sin (Oy, (P)) = cos( )= (0 ;1 ; (**) Góc Oy (P) lớn sin (Oy, (P)) max Tương tự toán Vậy phương trình cần tìm : x + 5y - 2z + = Chú ý : Có thể từ (*) kết hợp (**)chuyển thành hàm số khảo sát số ví dụ để tìm max Ví dụ 2.2 : Cho đường thẳng d : x 1 y 1 z mặt phẳng (P): x+2y-z+5=0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ Cách 1: Giả sử d’= (P) (Q) A=d (P) K d Q A d’.Lấy K d, giả sử H I hình chiếu K lên (P) d’ HI vng góc với d’ nên : d’ A KIH (P, Q) Trong tam giác vuông KIH : tan KH HI I = const (vì HI H P HA tam giác KIH vuông I Mà KH không đổi ) nên I A nhỏ tan HA d nhỏ KA d hay d, d’ vng góc 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com VTCP d u (2;1;1) ; VTPT (P) n P (1;2;1) suy VTCP d’ : u ' u , n P (3;3;3) hay u ' (1;1;1) Mặt phẳng (Q) cần tìm mặt phẳng chứa d d’ Do VTPT mặt phẳng (Q) là: = (0; 3;-3) hay = ( 0;1;-1) Điểm M(-1;-1;3) d M (Q) 0(x+1)+1(y+1)-1(z-3) = Mặt phẳng y-z+4 = (Q) cần tìm có phương trình: Cách 2: Phương pháp giải tích.Gọi phương trình mặt phẳng (Q): ax + by + cz + d = ( ) Theo đề ta có : M(-1;-1;3) M Vec tơ pháp tuyến (Q) : 1) vuông góc với nên: véc tơ phương (VTCP) d VTPT (P) nên : (2 ; ; (1;2;-1) H = Cos((P),(Q)) = = = Góc P) (Q) nhỏ H max Tương tự tốn Phương trình (P) : - y + z – = Với ví dụ cách phức tạp cần khả tư thật tốt nên dạy thấy học sinh hứng thú cách Bài tập : Cho đường thẳng (d) : chứa (d) tạo với đường thẳng Cho đường thẳng d : Viết phương trình mặt phẳng (P) góc lớn mặt phẳng (P): 2x- y- z+5=0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ Dạng : BIỂU THỨC LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT Bài toán 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ 3.1 : Cho đường thẳng (d): A(-1;2;4) ;B(2;-1;1).Tìm M (d) cho T = MA +MB đạt Chú ý cho HS nhận xét AB có vng góc với d hay khơng? Từ tưởng tượng ngồi khơng gian để đốn M cần tìm điểm nào? Cách 1: Ta có (3;-3;-3) ; (1;2;-1) VTCP d.Nhận thấyd Dựng mặt phẳng (P) qua A vng góc với d M Phương trình (P) : x+2y-z+1 = Vì nên A,B Gọi Mo = d hệ phương trình d (P) Khi M (P) nghiệm M0 A Mo (1;-3;-4) B ta có : MA MoA MB MoB T = MA+MB MoA+MoB =const Do minT M Mo Vậy M(1;-3;-4) điểm cần tìm Cách 2: Gọi điểm M ( t+2 ; 2t -1 ; -t - 5) d Ta có : MA + MB = + = + Xét ( = ; ); MA = ; MB = Ta có MA +MB = Dấu xảy : (- ; + , + ) (0; = phương : + ) + = (- t = -1 Nên M(1;-3;-4) 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ 3.2 : Cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) đường thẳng Một điểm M thay đổi đường thẳng có phương trình tham số , xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ Cách (Tương tự ví dụ 3.1) Gọi P chu vi tam giác MAB P = AB + AM + BM Vì AB khơng đổi nên P nhỏ AM + BM nhỏ Ta có M(1;0;2) Chú ý : Đối với toán ta nên sử dùng cách với cách khó khăn Người ta chọn lựa dùng cách trường hợp đặc biệt là: AB d ( ví dụ ) AB // d ( ví dụ sau đây) ngắn gọn dùng cách Ví dụ 3.3: Cho đường thẳng (d): hai điểm A(1;2; –1), B(7; –2; 3) Tìm (d) điểm M cho tổng khoảng cách từ đến A B nhỏ Cách 1: A AB//(d) nên AB ,d Ta có B H đồng phẳng Gọi H hình chiếu M A (d) Khi H( 3t+2; -2t; 2t+4) ( 3t+1; -2t-2; 2t+5) với ( 3; -2 ; 2) VTCP d ( 3t+1) 3+( -2t -2) (-2)+ (2t+5) = =0 M0 A’ t = -1 H(–1;2;2) Gọi A điểm đối xứng A qua (d) H trung điểm AA A(–3;2;5) Ta có A, A, B, (d) nằm mặt phẳng Đường thẳng AB nhận nên phương trình A’B : (10;-4;-2) = 2(5;-2;-1)làmVTCP Gọi M = AB(d) M(-4;4;0) Bài toán 2: 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ 3.4 Cho d: A (1;-1;0) ; B(1;0;1) Tìm (d) điểm M cho diện tích tam giác ABM nhỏ Cách 1: Ta có S = = ( với MJ đường cao ABM) Do AB không đổi nên S đạt MJ MJ đường vng góc chung AB d Ta có (0;1;1) MJ đường vng góc chung AB d M( -1+t ; 1+t ; -2) ; J(1; s-1; s) Suy ( 2-t; s-t-2; s+2); VTCP d (1;1;0) Khi nên = = Vậy M(1;1;-2)là điểm cần tìm Cách 2: Gọi M( -1+t ; 1+t ; -2) d (t-2; t+2; -2) ; (0;1;1) nên = ( t+4; -t+2; t-2) S= = = ( = đạt ) đạt với t = Vậy M(-1;1;-2)là điểm cần tìm Đưa trường hợp AB vng góc với d giải trường hợp đặc biệt nào? d Chú ý: Ta dựng mặt phẳng (P)chứa A,B vng A góc với cắt d Mo Giả sử M điểm d Goi I, K hình chiếu M0, M lên d Ta có : MK I M0 K M0I =const (Vì M0I B đoạn vng góc chung AB d) Do diện tích tam giác ABM nhỏ MK M nhỏ hay M M0 (Ví dụ sau ) Ví dụ 3.5 Cho d: A(-1;2;4) ;B(2;-1;1) Tìm (d) điểm M cho diện tích tam giác ABM nhỏ HD: Cách : Ta có (3;-3;-3) ; (1;2;-1) VTCP d.Nhận thấy Từ tìm M(1;-3;-4) HD: Cách : ví dụ 3.4 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài tốn Ví dụ 3.6 : Cho A(-1;3;-2) ; B(-9;4;9) (P): 2x-y+z+1 = 0.Tìm M thuộc (P) cho MA + MB nhỏ Cách 1: Ta thấy A,B khác phía Lấy A’ đối xứng với A qua (P) Đường thẳng AA’ có VTCP VTPT (P) nên AA’ có phương trình: Gọi H hình chiếu A lên (P) H = AA’ A B (P) nên H(1;2;-1) Ta có H trung điểm AA’ suy A’(3;1;0) Giả sử N = BA’ AM +BM (P) A’M+BM M ta có : H A’B = const M0 M AM +BM đạt A’,B, M thẳng hàng Hay M N Phương trình BA’ A’ (*) Thay (*) vào (P) ta có N(-1;2;3) Vậy điểm cần tìm N(-1;2;3) Đối với tốn (ví dụ 3.6 ) khơng nên theo phương pháp giải tích q phức tạp Bài tốn : Ví dụ 3.7: Cho A( 1;4;2) B( -1; 2;4) đường thẳng (d): cho T = Tìm M d đạt Cách 1: ( Phương pháp véc tơ ) Giả sử I trung điểm AB I( 0; 3; 3) = = T= = + + + = + + đạt MI đạt không đổi MI nhỏ MI nhỏ hay M hình chiếu I lên d 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Goi M(- t+1; t-2; 2t) d Ta có (- t+1; t-5; 2t-3) vng góc với VTCP d 1; 1; 2) nên : -1(- t+1)+t-5+ 2(2t-3) = t = Vậy M ( -2; 1; 6) (- Cách 2: Gọi M( - t+1; t-2; 2t) d Ta có : T= = số bậc hai a = >0 nên đạt t = hàm số bậc hai theo t có hệ Vậy M ( -2; 1; 6) Chú ý : Qua hai cách làm ta thấy phương pháp giải tích gọn nhẹ dễ hiểu Ví dụ 3.8: Cho (P): x – y + z - = A(1;1;1), B(2;-1;0), C(2;0;-1) Tìm (P) điểm M cho MA +2MB +3MC nhỏ Cách 1: ( Phương pháp véc tơ ) Giả sử có Ta có : điểm I (x;y;z) cho I( 11/6;-1/6 ; -2/6 ) = = = T= +3 = đạt MI đạt + +2 +3 +2 +3 khơng đổi = + +2 Ta có MI nhỏ MI nhỏ hay M hình chiếu I lên (P) Dựng đường thẳng d qua I vng góc với (P) d có VTCP VTPT (P) nên (d): Khi M giao d (P) nên thay (*) vào PT(P) Ta có t = 2/18 Vậy M(35/18; -5/18;-4/18) Cách 2: Gọi M( a;b;c) (P) Ta có : a – b + c – = a–b+c =2 T = (a-1)2 + (b-1)2 + (c-1)2 +2(a-2)2 +2 (b+1)2 +2 c2 + 3(a-2)2 +3 b2 + 3(c+1)2 = = = 6[(a-11/6)2 - (b+1/6)2 + (c+2/6)2 ]+7 [(a - 11/6).1 –( b+1/6).1 +( c+2/6).1] = a – b + c + Bunhiakopxki ta có: = Áp dụng bất đảng thức = [(a - 11/6).1 –( b+1/6).1 +( c+2/6).1] 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com [(a-11/6)2 + (b+1/6)2 + (c+2/6)2 ].(1 +1 +1 ) = (T-7)/2 T 65 / Do minT = 65/9 a - 11/6 = –( b+1/6) = c+2/6 a – b + c – = a =35/18 ; b =-5/18 ; c =- 4/18 Vậy M (35/18; -5/18 ; - 4/18) Cách chủ yếu em giỏi chọn Chú ý : Bài tốn mở rộng với T = với p+ q > mở rộng với điểm A,B,C để T = Chung cho dạng tập : với p + q + r > Cách : - Xác định tọa độ điểm I cho - Tính T = = +p +q +r - M hình chiếu I lên d ( (P)) Cách : Tương tự hai ví dụ Học sinh thấy thú vị với cách Bài toán Ví dụ 3.9 : Trong khơng gian Oxyz cho (P): Tìm M thuộc (P) cho Cách 1: ; ; ngắn Giả sử có điểm I (x;y;z) cho I( 23/6; 13/6 ; 25/6 ) Ta có : T = chiếu I lên (P) = = = 6MI ngắn M hình Dựng đường thẳng d qua I vng góc với (P) d có VTCP VTPT (P) nên (d): Khi M giao d (P) nên thay (*) vào PT(P) Ta có t = -79/18 nên M( -5/9; -20/ 9; -2/9) Cách 2: Gọi M( a;b;c) Nên T2 = (P) Ta có : a + b + c+ = a+6b+6c = -18 (1) (6a-23; 6b-13; 6c-25) = (6a-23)2+( 6b-13)2+( 6c-25)2 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Từ (1) ta có (6a -23) +(6 b-13) + (6c -25) = -79 Áp dụng bất đảng thức Bunhiakopxki ta có: (-79)2 = [(6a -23).1 +(6 b-13).1 + (6c -25).1]2 [(6a-23)2+( 6b-13)2+( 6c-25)2 ].(1 +1 +1 ) = 3T Do minT = 79/ T 6241 / : a - 23 = b - 13 = c - 25 a + b + c+ = a =-5/ 9; b =-20/ ; c =-2/ Vậy M ( -5/9; -20/ 9; -2/9) Cách làm khó cho em yếu bất đẳng thức (HS chọn ) Ví dụ 3.10 : Cho (d) : :T= ; ; Tìm M thuộc d cho ngắn Cách 1: Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có G( 4; ; 4) Ta có = = 3MG nhỏ M hình chiếu G lên d Gọi M( - t + 1; t – 2; 2t ) d ( t +3 ;4 – t ; -2t ) vng góc với VTCP d (-1;1;2) Do ta có : - (t +3) +(4 – t )+2 ( -2t ) = t = 3/2 Vậy điểm cần tìm M( 1/2; -1/2; 3) Cách 2: Gọi M( - t + 1; t – 2; 2t ) d ( 9+3t; 12-3t ; 12- 6t ) T =( 9+3t ) +(12-3t)2+(12 -6t)2 = 54t2 - 162t +369 Ta có T T hay t = = 3/2 Vậy điểm cần tìm M( 1/2; -1/2; 3) Chú ý : Bài tốn mở rộng mở rộng với điểm A,B,C để T= với p + q + r > Cách : Chung cho dạng tập : - Xác định tọa độ điểm I cho - Tính T = ( khai triển ví dụ 1) - M hình chiếu I lên (P) ( d) Cách : Tương tự ví dụ trên.Học sinh thấy thú vị với cách Bài toán 6: Cho M(1;2;3) Lập phương trình mặt phẳng qua M cắt ba tia Ox A, Oy B, Oz C cho thể tích tứ diện OABC nhỏ 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cách 1: Giả sử mặt phẳng (P)cần viết cắt tia Ox,Oy,Oz A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) nên (P) : Do M (P) nên ( Với a,b,c > 0) Ta có VOABC = Áp dụng bất đẳng thứcCơ si ta có: Vậy VOABC đạt khi: VOABC a = 3, b = 6, c = Phương trình (P) : Bài tập 1.Cho đường thẳng (d): A(-1;3;5) ;B(-2;1;1).Tìm M (d) cho : a) T = MA +MB đạt b) diện tích tam giác ABM nhỏ c)Tích nhỏ 2.Cho A(1;-1; 3) ; B(-4;2;-1) (P): 2x+3y-z+4 = 0.Tìm M thuộc (P) cho MA + MB nhỏ Cho điểm ,C ( 2 ; -3 ;5) mặt phẳng điểm cho : a) +6 b) Tìm nhỏ nhỏ Cho hai điểm A(1;-1;2) B(3 ;- 4;-2), Tìm tọa độ điểm I đường thẳng (d) : cho : a) +3 b) nhỏ nhỏ II ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ Đánh giá định tính Qua q trình thực nghiệm quan sát thấy lớp đối chứng ngại em biết giải tốn kiểu Cịn dạy cho lớp thực nghiệm, học sinh khơng ngại mà hứng thú Các em giải tốt toán giáo viên yêu cầu ; số em bước 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com đầu sáng tạo tốn cách giải cho ( thông qua gợi ý giáo viên em đưa tốn mở rộng ví dụ 3.8 ví dụ 3.9 ví dụ 3.10) Đánh giá định lượng Kết làm lớp đối chứng lớp thực nghiệm qua kiểm tra sau : Lớp Điểm Đối chứng 10 5 Thực nghiệm 10 Tổng kiểm tra 46 12 45 Yếu Trung bình Khá Giỏi Tổng học sinh 67,5 21,7 6,5 4,3 46 Thực nghiệm (%) 13,3 24,4 17,7 44,4 45 Lớp Loại Đối chứng (%) Căn vào kết việc giúp em khai thác tìm cách giải cho tốn nói có kết tốt C KẾT LUẬN Kết nghiên cứu Khi áp dụng đề tài vào giảng dạy tơi thấy kết thu ngồi dự kiến tơi Khi chưa có phương pháp có 20% học sinh nháp có 6-10% học sinh lớp có làm theo cách lúng túng khơng tự tin 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sau áp dụng hầu hết bắt tay vào làm theo hai cách học cách Các em làm xong nhanh có nhiều học sinh làm tự tin với kết làm Đề tài giúp cho học sinh số công cụ hiệu để giải tốn cực trị khơng gian tọa độ Đề tài cung cấp không nhỏ dạng tập cực trị không gian tọa độ gợi ý cho học sinh khả sáng tạo toán khác ngược lại mở rộng tốn dạng tổng qt Khơng với mà nhận thấy áp dụng đề tài giúp cho em có tự tin việc tiếp cận với tốn khó từ rèn luyện cho em tư mơn tốn Kiến nghị ,đề xuất Tôi viết đề tài để trao đổi với Q Thầy Cơ dạy mơn tốn phần cực trị không gian tọa độ phần có SGK hay sách tập lại có khơng đề thi đại học, mong góp ý bổ sung thêm cách làm hay toán cho dạng này.Vì kiến thức thời gian cịn nhiều hạn chế nên tài liệu thiếu sót, tơi xin chân thành đón nhận góp ý Quý Thầy Cơ để đề tài có chất lượng tốt Hàng năm sáng kiến có chất lượng đề nghị sở nên phổ biến rộng rãi để giáo viên học hỏi áp dụng vào thực tế Cuối xin trân trọng cảm ơn ý kiến đóng góp bổ ích thầy tổ chuyên môn 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... toán giúp em tốt trình học tập, luyện thi đại học rèn luyện tư giải toán II ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Rèn luyện cho học sinh biết cách khai thác tìm cách giải khác cho số dạng tốn cực trị khơng gian tọa. .. hết bắt tay vào làm theo hai cách học cách Các em làm xong nhanh có nhiều học sinh làm tự tin với kết làm Đề tài giúp cho học sinh số công cụ hiệu để giải toán cực trị không gian tọa độ Đề tài... dạy phần hình học khơng gian tọa độ đặc biệt toán cực trị không gian tọa độ nhận thấy : Hầu hết học sinh ngại chí bỏ qua khơng làm tự em làm em làm Bởi dùng cách nhìn hình học khơng gian trực tiếp
Ngày đăng: 10/10/2022, 08:44
Xem thêm:
