Sản phẩm của Group FB STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề chọn HSG Tỉnh Bến Tre 2019 2020 TỔ 22 TÀI LIỆU HSG Giải chi tiết đề CHỌN ĐỘI TUYỂN dự thi học sinh giỏi quốc gia lớp 12 trung học phổ thông Tỉnh bến tr.
Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 22-TÀI LIỆU HSG Câu Câu Câu Đề chọn HSG Tỉnh Bến Tre 2019-2020 GIẢI CHI TIẾT ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TỈNH BẾN TRE NĂM 2019-2020 MƠN TỐN 12 TIME: 180 PHÚT PHẦN I-ĐỀ THI (6 điểm) 2; 2 a) Giải phương trình: x x 3x x x2 y2 2 2 y z xy yz zx b) Giải hệ phương trình: (với x, y, z R ) (3 điểm) Sắp xếp 1650 học sinh (cả nam nữ) thành 22 hàng ngang 75 hàng dọc Biết với hai hàng dọc bất kì, số lần xảy hai học sinh hàng có giới tính khơng q 11 Chứng minh số học sinh nam không vượt 928 em (3 điểm) Tìm số nguyên nhỏ n cho với n số thực phân biệt a1 , a2 , a3 , , an lấy từ a j 3 a j a ,a 1;1000 đoạn tồn hai số phân biệt i j thỏa mãn với i, j {1,2, ,n} Câu (5 điểm) Gọi điểm I , H tâm đường tròn nội tiếp, trực tâm tam giác nhọn ABC ; B1 , C1 trung điểm AC , AB ; tia B1I cắt cạnh AB B2 B2 B , tia C1 I C BC A cắt phần kéo dài AC , 2 cắt BC K , tâm đường tròn ngoại tiếp tam S S CKC2 I , A, A1 giác BHC Chứng minh rằng: ba điểm thẳng hàng BKB2 S ,S BKB2 , CKC2 (trong BKB2 CKC2 diện tích tam giác ) Câu (3 điểm) Tìm tất hàm số f : ¡ ® ¡ cho f ( f ( x) + y ) = f ( x - y ) + yf ( x) , với x, y Ỵ ¡ -HẾT - PHẦN II-LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu (6 điểm) 2; 2 a) Giải phương trình: x x 3x x x2 y2 2 2 y z xy yz zx b) Giải hệ phương trình: (với x, y, z R ) Lời giải Tác giả: Nguyễn Phạm Minh Trí ; Fb: Tri Nguyen Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! (Tổ 22) Trang Mã đề Đợt 1-Đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề chọn HSG Tỉnh Bến Tre 2019-2020 a) Điều kiện: x 2 Cách 1: Ta có: x x 3x x x x2 4 x2 x x 2 x x 1 x 2 x x x x 1 x 2 x x 2 x x x x 1 x 2 x 0 x 2 x 1 1 x 2 x Giải phương trình t 1 0 t t 1 , ta đặt t x t phương trình 1 trở thành t 2t t 2t t 2t t t Lại đặt ut Phương trình 1 t u2 t t 2 đưa theo biến u thành phương trình sau: u 2u u 1 u 1 1 u t 1 t t t 1 t t Vậy 1 2 x x Thay ngược lại vào t x Thử lại ta thấy nghiệm x 2 thỏa mãn 2 S 2; ; 2 Vậy phương trình có có tập nghiệm Cách 2: t phương trình 1 trở thành Đặt t x t 5t 5t 2t Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! (Tổ 22) Trang Mã đề Đợt 1-Đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề chọn HSG Tỉnh Bến Tre 2019-2020 t t t 2t t 2t 1 t t t t 1 t t t (do t ) Thay ngược lại vào t x , ta x 2; x 2; x 2 Thử lại ta thấy nghiệm thỏa mãn 2 S 2; ; 2 Vậy phương trình có có tập nghiệm b) Đặt x ay , z by với a, b R + Xét a x 2 y (vô lý) + Xét y 3 z (vô lý), y + Với y ta viết lại hệ ban đầu sau: y a2 2 2 y 3b y a b ab a 3b a b ab 2 a 1 a 1 a 1 b 1 Ta có a a b ab a a b ab Với a Thay vào phương trình đầu hệ ta y (vô lý) Vậy a Từ 1 ta suy a b a b 2 Tương tự, từ 3b a b ab ta suy a 3b a 1 , ta suy b Thay lại vào cách đặt ta x y, z Từ x x 2 y 1 y y x y z z z Hệ phương trình ban đầu trở thành Vậy hệ phương trình cho có nghiệm Câu x; y; z 2; 1 ; , 2; ;0 (3 điểm) Sắp xếp 1650 học sinh (cả nam nữ) thành 22 hàng ngang 75 hàng dọc Biết với hai hàng dọc bất kì, số lần xảy hai học sinh hàng có giới tính không 11 Chứng minh số học sinh nam không vượt 928 em Lời giải Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! (Tổ 22) Trang Mã đề Đợt 1-Đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề chọn HSG Tỉnh Bến Tre 2019-2020 Tác giả: Phu An; Fb: Phu An Gọi 75 số học sinh nam hàng thứ i Vì có 75 cột nên số học sinh nữ hàng thứ i Số cặp học sinh hàng giới tính: Chọn nam số nam hàng: Chọn nữ số nữ hàng: Ca2i C752 cách cách Chọn bạn học sinh hàng: C75 cách Theo đề ta có: 22 C i 1 C752 11C752 22 22 i 1 i 1 ai2 75ai 30525 2ai 75 1650 Theo Cauchy-Swatch: 22 22 191 1650 22 2 a 75 22 a 75 36300 921 i i i 1 i 1 i 1 Câu a , a , a , , an (3 điểm) Tìm số nguyên nhỏ n cho với n số thực phân biệt lấy từ a j 3 a j a ,a 1;1000 đoạn tồn hai số phân biệt i j thỏa mãn với i, j {1,2, ,n} Lời giải Tác giả: Quang Trần; Fb: Quang Trần Sử dụng đẳng thức ta có: A a j 3 a j Trước hết ta thấy a j a j a j a j a j a j a j (1) dương với , a j dương 3 1;1000 Trường hợp n 10 , Ta xét số a1 , a2 , , a10 10 lấy từ đoạn Với i, j phân biệt từ tập {1,2, ,10} , ta dễ thấy i j Điều có nghĩa a j a j i j , a j 3 a j a j Trái với giả thiết đề 3 Trường hợp n 10 , Ta chọn dãy a1 , a2 , , an từ tập hợp {1 ,2 , ,10 } lập luận tương tự ta dẫn đến mâu thuẫn 1;1000 , ta suy Trường hợp n 11 , Với a1 , a2 , a3 , , an lấy từ đoạn giá trị nằm đoạn a1 , a2 , , an 1;10 Mà n 11 nên theo nguyên lý Dirichle, tồn i, j Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! (Tổ 22) phân Trang Mã đề Đợt 1-Đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC biệt từ tập {1,2, ,n} cho a j 3 a j hay a j Đề chọn HSG Tỉnh Bến Tre 2019-2020 a j 0 a j 3 a j , tức a j Như n 11 số nguyên dương nhỏ thỏa mãn giả thiết đề Câu (5 điểm) Gọi điểm I , H tâm đường tròn nội tiếp, trực tâm tam giác nhọn ABC ; B1 , C1 trung điểm AC , AB ; tia B1 I cắt cạnh AB B2 B2 B , tia C1 I C BC A cắt phần kéo dài AC , 2 cắt BC K , tâm đường tròn ngoại tiếp tam S S CKC2 giác BHC Chứng minh rằng: ba điểm I , A, A1 thẳng hàng BKB2 S ,S BKB2 , CKC2 (trong BKB2 CKC2 diện tích tam giác ) Lời giải Tác giả:Minh Hoàng; Fb: Minh Hoàng Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC · · Ta có BHC 180 BAC · C 1800 BHC · · BA BAC Do · · · C 1800 BAC 600 BAC BA AI , AA1 A nằm đường tròn tâm O , suy trùng (do nằm đường trung trực cạnh BC ) Nên A1 Vậy ba điểm I , A, A1 Ta chứng minh S AB1B2 thẳng hàng · S BKB2 S CKC2 BAC 600 (*) 1 · AB2 r AB1.r AB2 AB1.sin BAC 2 · AB2 AB1.sin BAC r AB1.r Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! (Tổ 22) Trang Mã đề Đợt 1-Đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề chọn HSG Tỉnh Bến Tre 2019-2020 S ABC b S ABC S AB2 ABC abc abc c bc AB2 abc Tương tự AC2 bc a c b Do ta có: SBKB2 SCKC2 S ABC S AB2C2 bc bc a bc c a b a b c bc · BAC 600 bc Vậy (*) Do ta có đpcm Câu (3 điểm) Tìm tất hàm số f : ¡ ® ¡ cho f ( f ( x) + y ) = f ( x - y ) + yf ( x) , với x, y Ỵ ¡ Lời giải Tác giả: Lê Văn Thiện; Fb: Lê Văn Thiện Đặt f ( f ( x ) + y ) = f ( x - y ) + yf ( x) (1) x - f ( x) y= Với x Ỵ ¡ , thay vào (1), ta æx + f ( x) ữ ữ fỗ ỗ ữ= ữ ỗ ố ø ỉx + f ( x ) x - f ( x) ữ ỗ ữ fỗ ìf ( x ) ữ+ ì ữ ỗ è ø Điều tương đương với x - f ( x) ×f ( x) = , với x Ỵ ¡ Từ đây, ta suy f (0) = Thay x = vào (1), ta f ( y ) = f (- y ) với y Ỵ ¡ , hay f ( x) hàm chẵn Dễ thấy hàm f ( x) º với x Ỵ ¡ thỏa đề Giả sử tồn b để f (b) ¹ Ta chứng minh f (a ) = Þ a = Thật vậy, giả sử tồn a Ỵ ¡ để f (a ) = , thay x = a vào (1), ta có f ( y ) = f (- y + a ), hay f (- y ) = f (- y + a ), với y Ỵ ¡ 2 Từ ta suy f tuần hoàn với chu kì a Thay y y + a vào (1), ta có f ( f ( x ) + y + a ) = f ( x - y - a ) + 4( y + a ) f ( x ) Û f ( f ( x ) + y ) = f ( x - y ) + 4( y + a ) f ( x ) Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! (Tổ 22) Trang Mã đề Đợt 1-Đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề chọn HSG Tỉnh Bến Tre 2019-2020 Thay x = b so sánh với đẳng thức f ( f (b) + y ) = f (b - y) + yf (b) , ta suy a = x - f ( x) ×f ( x) = 2 Vậy f (a) = Û a = Từ ta suy f ( x) = x với x ¹ Kết hợp với f (0) = , ta suy f ( x) = x với x Ỵ ¡ Thử lại, ta thu hai nghiệm phương trình f ( x) = x , f ( x) = -HẾT - Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! (Tổ 22) Trang Mã đề Đợt 1-Đề ... C752 cách cách Chọn bạn học sinh hàng: C75 cách Theo đề ta có: 22 C i 1 C752 11C752 22 22 i 1 i 1 ai2 75 ai 30525 2ai 75 1650 Theo Cauchy-Swatch: 22 22... GV-SV to? ?n! (Tổ 22) Trang Mã đề Đợt 1-Đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TO? ?N VD VDC Đề chọn HSG Tỉnh Bến Tre 2019 -2020 Tác giả: Phu An; Fb: Phu An Gọi 75 số học sinh nam hàng thứ i Vì có 75 cột... tham gia STRONG TEAM TO? ?N VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV to? ?n! (Tổ 22) Trang Mã đề Đợt 1-Đề Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TO? ?N VD VDC Đề chọn HSG Tỉnh Bến Tre 2019 -2020 t t t