Khóa luận tốt nghiệp: Không gian Sobolev phụ thuộc thời gian potx

[...]... Khổng gian Sobolev Wpk (), (1 p < ), (k Z+.) nh nghắa 1.18 Khổng gian Wpk () l khổng gian bao gỗm tĐt cÊ cĂc hm sao cho tỗn tÔi cĂc Ôo hm suy rởng mồi cĐp , || k thuởc Lp () v ữủc trang b bi chuân sau u(x) Lp () u k Wp () |D u(x)|p dx = 1 p (1.5) ||k Ta thĐy ữủc Wpk l khổng gian Banach vợi 1 p < v l khổng gian Hilbert vợi p = 2 Khổng gian Wpk () vợi chuân (1.5) ữủc gồi l khổng gian Sobolev. .. trản khổng gian vectỡ E l dÔng Hermite dữỡng trản E v thọa mÂn thảm iãu kiằn (x, x) = 0 x = 0 Náu l tẵch vổ hữợng trản E thẳ chúng ta kẵ hiằu (x, y) bi < x, y > v ta gồi < x, y > l tẵch vổ hữợng cừa hai vectỡ x v y Khổng gian vectỡ E cũng vợi mởt tẵch vổ hữợng , trản nõ gồi l khổng gian tiãn Hilbert Cổng thực x = (x, x); x E xĂc nh mởt chuân trản E do õ khổng gian tiãn Hilbert l khổng gian nh... ữủc gồi l khổng gian Sobolev 25 Chú ỵ 1.2 i Tứ tẵnh chĐt Lp() l khổng gian Ưy ta cụng suy ra ữủc k Wp ii cụng l khổng gian Ưy l khổng gian Hilbert suy ra W2k () cụng l khổng gian Hilbert é trữớng hủp ny  ngưn gồn ngữới ta kẵ hiằu l H k () L2 () nh lỵ 1.10 GiÊ sỷ l mởt miãn trong Rn v k 0, 1 p < Khi õ k Wp () l mởt khổng gian Banach Chựng minh 1 Ró rng N1 ) u k Wp (U ) N2 ) u N3 ) Trữợc hát... () = C () C () 1.3.2 Khổng gian Lp() nh nghắa 1.13 Cho l mởt têp o ữủc Lebesgue trong Rk v à l ở o Lebesgue trản - Ôi số F cĂc têp o ữủc Lebesgue trản Rk Vợi mội p 1, kẵ hiằu Lp () l têp tĐt cÊ cĂc hm khÊ tẵch (Lebesgue) bêc p trản Lp () = {f : R o ữủc : |f |p dà < +} nh lỵ 1.1 Khổng gian Lp() vợi 1 p < + l mởt khổng gian tuyán tẵnh nh chuân ừ (khổng gian Banach) vợi chuân xĂc... Hilbert l khổng gian nh chuân vợi chuân sinh bi tẵch vổ hữợng õ nh nghắa 1.10 Náu khổng gian tiãn Hilbert E Ưy vợi metric sinh bi tẵch vổ hữợng trản E ữủc gồi l khổng gian Hilbert nh nghắa 1.11 Cho mởt khổng gian tuyán tẵnh E Mởt hm số f (x) xĂc nh trản E v lĐy gẵ tr l số (thỹc hay phực, tũy theo E l khổng gian thỹc hay phực) gồi l mởt phiám hm trản E Phiám hm õ gồi l tuyán tẵnh náu 11 1 f (x... cừa ng thực l hỳu hÔn Bờ ã 1.4 GiÊ sỷ H l khổng gian Hilbert khÊ ly Khi õ tứ mởt dÂy con b chn trong H cõ th trẵch ra mởt dÂy con hởi tử yáu trong H 1.3 Khổng gian Sobolev 1.3.1 Khổng gian C k () GiÊ sỷ x = (x1, x2, , xn) l mởt im cừa khổng gian Euclid n-chiãu Rn Khi õ - C() l têp hủp tĐt cÊ cĂc hm liản tửc ữủc xĂc nh trản l têp hủp cĂc hm trản sao cho Ôo hm án cĐp k tỗn tÔi v liản tửc C k... vổ hÔn v cõ giĂ compact, hỡn nỳa uh(x) u(x) trong khổng gian Wpk () khi h 0 Tứ õ nhên ữủc iãu khng nh cừa nh lẵ nh lẵ ữủc chựng minh Chựng minh nh lỵ 1.17 GiÊ sỷ k trong khổng gian Wp (), p 1 hởi tử yáu {uj (x)} j=1 trong khổng gian Lp () tợi hm u(x), hỡn nỳa dÂy ny b chn Khi õ u(x) k cụng b chn v u(x) Wp () nh lỵ 1.18 CĂc khổng gian Wpk (Rn) v Wpk (Rn) l trũng nhau k GiÊ sỷ u(x) Wp... p 1 p k Wp (U ) D v + ||k U ||k U = u p Lp (U ) ||k D u = D v + 1 p + v 26 k Wp (U ) p 1 p Ta chựng minh Wpk (U ) l khổng gian Ưy GiÊ sỷ {um} l dÂy Cauchy nơm trong Wpk (U ) Vẳ Wpk (U ) l khổng gian m=1 con cừa Lp(U ) nản {um} cụng l dÂy Cauchy trong Lp(U ), m Lp(U ) l m=1 khổng gian Banach Do õ {um} hởi tử vã u Lp(U ) Tực l vợi mồi > 0 b tũy ỵ, m=0 tỗn tÔi m0  um um L (U ) , mồi m m0 Tữỡng ữỡng... nhên ữủc uh u k Wp ( ) 0, h0 nh lẵ ữủc chựng minh nh lỵ 1.12 GiÊ sỷ dÂy {uj } cĂc phƯn tỷ cừa khổng gian Wpk () b j=1 chn, tực l tỗn tÔi hơng số C dữỡng  uj k Wp () 28 C Ngoi ra, giÊ sỷ dÂy ny hởi tử yáu trong khổng gian Lp () tợi mởt hm u(x) khi j Khi õ {uj } hởi tử yáu trong khổng gian Lp () tợi hm u(x) Wpk () v j=1 u Chựng minh k Wp () C Ta cõ: (x)D uj (x)dx = (1)|| uj (x)D (x)dx ... cĂc phiám hm tuyán tẵnh b chn trản E, v gồi l khổng gian ối ngău cừa E.) Dạ dng kim tra rơng: Náu uk u, thẳ uk u v ta cụng cõ mởt dÂy hởi tử yáu thẳ b chn Tứ õ, náu uk u thẳ u k inf uk u lim Bờ ã 1.3 Náu dÂy {uk } hởi tử yáu tợi u trong khổng gian Hilbert H, k=1 thẳ u lim uk k hỡn nỳa vá phÊi cừa ng thực l hỳu hÔn Bờ ã 1.4 GiÊ sỷ H l khổng gian Hilbert khÊ ly Khi õ tứ mởt dÂy con b chn trong