Kỹ thuật đồng nhất hóa cho vật liệu đa tinh thể dị hướng sử dụng phần tử biên tỉ lệ (2)

Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, NUCE 2021 KỸ THUẬT ĐỒNG NHẤT HÓA CHO VẬT LIỆU ĐA TINH THỂ DỊ HƯỚNG SỬ DỤNG PHẦN TỬ BIÊN TỈ LỆ Nguyễn Hoàng Phươnga,∗, Lê Văn Cảnha , Hồ Lê Huy Phúca Bộ môn kỹ thuật xây dựng, Đại học Quốc Tế - Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, Khu phố 6, quận Thủ Đức, TP Hồ Chí Minh, Việt Nam O Nhận ngày 14/10/2020, Sửa xong 03/11/2020, Chấp nhận đăng 12/11/2020 F a O Tóm tắt D PR Bài báo trình bày phương pháp đồng hóa cho vật liệu đa tinh thể dị hướng phần tử biên tỉ lệ Phần tử đại diện (Representative Volume Element- RVE) rời rạc hóa thành miền đa giác với số cạnh Phần tử biên tỉ lệ (Scale Boundary Element Method-SBEM) sử dụng để xấp xỉ trường chuyển vị tốn vi mơ Biến dạng điểm vật liệu cấp độ vĩ mô chuyển thành điều kiện biên phần tử đại diện Các số đàn hồi hữu hiệu vật liệu đa tinh thể xác định thông qua kỹ thuật đồng hóa phần tử đại diện RVE Ví dụ số thực cho mẫu vật liệu đa tinh thể với hướng góc α thay đổi Kỹ thuật làm mịn lưới biên phần tử áp dụng nhằm đánh giá độ hội tụ phương pháp Kết so sánh với phương pháp phần tử hữu hạn thông thường FEM nghiệm cận cung cấp từ nghiên cứu giải tích TE Từ khố: phương pháp đa tỉ lệ; kỹ thuật đồng hóa; vật liệu đa tinh thể; phần tử biên tỉ lệ HOMOGENIZATION TECHNIQUE FOR RANDOM ORIENTATED POLYCRYSTAL MATERIALS USING SCALED BOUNDARY ELEMENT EC Abstract O R R This paper presents a scaled boundary element (SBEM) for computational homogenization of random polycrystal materials A Representative Volume Element RVE is discretized into the domains of polygons with arbitrary number of edges The Scaled Boundary Element Method (SBEM) is used to approximate the displacement field of representative volume element Strains at a material point of macro problem are transferred as the boundary condition for micro problem The effective elastic constants for polycrystal materials can be determined by the homogenization method overall the representative volume element RVE The refining technique is applied for edge in order to study the convergence of presented method The numerical examples are implemented for polycrystal materials with the random angle α The obtained results are compared with the analytical and numerical solutions based on FEM C Keywords: multiscale methods; homogenization techniques; crystal materials; scaled boundary element N © 2021 Trường Đại học Xây dựng (NUCE) U Giới thiệu Vật liệu đa tinh thể thường cấu tạo mảng đơn tinh thể với góc hướng thay đổi ngẫu nhiên Điều dẫn đến việc thơng số đàn hồi hữu hiệu cho vật liệu đa tinh thể dao động khoảng Qua đó, việc dự đoán ứng xử đàn hồi vật liệu phương pháp thí nghiệm chưa bao qt hết khả vật liệu Một hướng tiếp cận giải tích xây dựng nguyên lý biến phân phương pháp cận, nghiên cứu cận Voigt [1], nghiên cứu ∗ Tác giả đại diện Địa e-mail: nhphuong@hcmiu.edu.vn (Phương, N H.) Phương, N H., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng EC TE D PR O O F cận Reuss [2] dựa nguyên lý biến phân bậc nhất; cận cận với nguyên lý biến phân bậc hai Hashin Shtrikman [3] Các nghiên cứu phát triển cho vật liệu đa tinh thể dị hướng thực Berryman [4], Chinh cs [5–7], Kube Arguelles [8] Các nguyên lý biến phân giúp ước lượng khoảng dao động số đàn hồi hữu hiệu dựa theo thể tích đặc trưng pha vật liệu khác hỗn hợp Tuy nhiên, phân bố vị trí hình dạng pha vật liệu chưa kể đến hướng tiếp cận Một hướng tiếp cận khác giải vấn đề cách xây dựng phần tử đại diện-RVE thực kỹ thuật đồng hóa nhằm xác định thông số hữu hiệu cần thiết Hướng tiếp cận ngày trọng tính tốn học vật liệu vi mơ đặc tính đảm bảo mơ tả cách xác phân bố pha vật liệu Phần tử đại diện RVE rời rạc hóa đồng hóa phương pháp phần tử hữu hạn [9–14] Một tính chất phần tử hữu hạn thơng thường miền thực tích phân giới hạn phần tử có hình dạng tam giác FEM-T3 hay tứ giác FEM-Q4 Một phương pháp khác đáp ứng tốt với miền đa giác có số cạnh phương pháp phần tử biên Boundary Element Method-BEM xây dựng cho toán động học Beskos [15] Ma trận độ cứng tốn phân tích tĩnh xây dựng theo hướng tiếp cận động học hàm bán giải tích phương pháp biên tỉ lệ Scaled Boundary Element Method-SBEM đề xuất Song Wolf [16] Sự hiệu phương pháp phần tử biên tỉ lệ thể qua nghiên cứu việc xây dựng đạo hàm cho phần tử SBEM dựa kỹ thuật trọng số dư [17] toán phân tích q trình phát triển vết nứt [18] Trong nghiên cứu này, phương pháp phần tử biên tỉ lệ SBEM sử dụng với kỹ thuật đồng hóa tốn xác định thơng số đàn hồi hữu hiệu cho vật liệu đa tinh thể dị hướng Trường chuyển vị tổng toán phần tử đại diện RVE sử dụng để rời rạc hóa thành phần tử biên tỉ lệ SBEM Kỹ thuật đồng hóa thực nhằm đưa thông số đàn hồi hữu hiệu cách lấy trung bình thể tích phần tử đại diện RVE 2.1 Phần tử biên tỉ lệ R Cơ sở lý thuyết U N C O R Khái niệm phương pháp phần tử biên tỉ lệ trình bày cách tóm lược Phần tử biên tỉ lệ [1], Scaled Boundary Element Method-SBEM, thực thơng qua rời rạc hóa toán thành miền đa giác với số cạnh Dạng hình học đa giác phải đảm bảo yêu cầu sau đường thẳng từ tâm tỉ lệ đa giác đến điểm đầu cuối cạnh đa giác không cắt qua cạnh đa giác cịn lại Các nghiên cứu Song cs [16–18] kỹ thuật lấy đạo hàm cho phần tử biên tỉ lệ sử dụng kỹ thuật trọng số dư hay nghiên cứu Deeks Wolf [19] hướng tiếp cận công ảo Tâm tỉ lệ O chọn cho thấy tất cạnh đa giác thông thường trọng tâm đa giác Hình Trong phương pháp này, có biên đa giác rời rạc hóa Chuyển vị nút biên kí hiệu u lực biên kí hiệu F Trong toán phẳng hai chiều, biên Γ miền diện tích Ae rời rạc hóa thành nhiều phần tử đường thẳng Trên cạnh đa giác, hệ tọa độ địa phương (ξ, η) thể Hình 1(a) ξ tọa độ bán kính, tâm tỉ lệ cạnh đa giác η tọa độ địa phương xác định theo phần tử hữu hạn chiều rời rạc hóa dọc theo biên phần tử SBEM (η thay đổi từ −1 đến 1) Biên phần tử SBEM thể Hình 1(b) chuyển phần tử mẫu với vòng tròn xác định ξ = η ∈ [−1; 1] O F giácgiác nàynày phảiphải đảm bảobảo yêuyêu cầucầu nhưnhư sausau cáccác đường thẳng từ từ tâmtâm tỉ lệ đa đa giác đếnđến đảm đường thẳng tỉ lệ giác điểm đầuđầu và và cuốicuối củacủa cạnh đa đa giác sẽ không cắtcắt quaqua bấtbất kì kì cạnh đa đa giác cịncịn lại.lại điểm cạnh giác không cạnh giác CácCác nghiên cứu Song cộng ] kỹ thuật lấy đạo hàm cho phần nghiên cứu Song cộng ] kỹ thuật lấy đạo hàm cho phần tử biên tỉ lệ sử dụng kỹ ậ trọng số dư hay nghiên cứucứu củacủa Deeks và và Wolf [ [] tử biên tỉ lệ sử dụng kỹ ậ trọng số dư hay nghiên Deeks Wolf ] hướng ế cận công ảo Phương, N H., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng hướng ế cận công ảo (b) Phần mẫu Phần tửtửtử mẫu Phần mẫu O vớivới tâmtâm lệtỉO Olệ O a) (a) Phần tửtửSBE với tâm tỉtỉ lệ a) Phần Phần tửSBE SBE PR ền ền đađađa giác thành điể ủ phần ờạ rạc biênủcủa ủ miền giác thành điểvà tâm tỉỉ lệệỉOệcủa ủ ầ tửầử Hình 1.ờ Rời giác thành cáccác điểm TE D Tâm tỉ lệtỉ Olệ chọn saosao chocho có có thểthể thấy tất tất cả cả cáccác cạnh củacủa đa đa giác và và thông Tâm O chọn thấy cạnh giác thông thường là trọng tâm đa giác Hình Trong phương pháp này, có biên là trọng nhưphần Hìnhtử1.được Trong pháp qua này,tọa chỉđộ cócủa biêncác Tọa độthường Descartes (x, y)tâm củacủa cácđa nútgiác xácphương định thông nút đa giác rời rạc hóa Chuyển vị nút biên kí hiệu và lực biên giác rời tâm rạc hóa nút biên kí hiệu và lực biên biên (xb , ybđa ) tọađược độ tỉ lệ Chuyển O (x0 , y0vị) thông qua công thức * kí hiệu bàibài tốn tấmtấm phẳng haihai chiều, biên miền diện tíchtích rờirời * kí hiệu Trong Trong toán phẳng chiều, biên miền diện x = x + ξ × N(η) } {x b rạc rạc hóahóa thành nhiều phần tử đường thẳng thành nhiều phần tử đường thẳng (1) y =độy0địa + ξphương × N(η) [{yKb } thể Hình mỗimỗi cạnh đa giác, hệ tọa cạnh đa giác, hệ tọa độ địa phương [ ,K thể Hình [ là tọa độ bán Trong tâmtâm tỉ lệtỉ và cạnh đatuyến giác tọa độ địa K Klàđược [ làlàtọa bánhàmbằng lệcứu và cạnh đa giác là tọa địa trong N(η) mađộtrận dạng nghiên này, hàm dạng tính sửđộ dụng (2) u (ξ, η) = N (η) uh (ξ) (3) O R R EC xácxác định theo phần tửN(η) hữu hạndạng mộtmột chiều rờirời rạcrạc hóahóa dọcdọc theo biêbiê tốnphương phẳng hai chiều Vìđịnh vậy, ma trận có phương theo phần tử hữu hạn chiều theo củacủa phần tử tử đổi từ đến phần tử thể K thay phần thay đổi từ đến phần tử thể K N1 N2 [ [ chuyển phần vớivới mộtmột xácxác định bởibởi N(η) = tử mẫu chuyển phần tử mẫu định N1 N2 K K  Ni hàm dạng tuyến tính phần tử hữu hạn Trường chuyển vị u (ξ, η) tách biến theo công thức U N C uh (ξ) hàm chuyển vị giải tích thu từ việc giải điều kiện cân phần tử SBEM Điều kiện cân xây dựng ngun lý cơng ảo [19] hay phương pháp trọng số dư [16–18] Kết thu phương trình cân phần tử SBEM với trường chuyển vị E0 ξ2 uh (ξ),ξξ + E0 + ET1 − E1 ξuh (ξ),ξ − E2 uh (ξ) = (4) uh (ξ),ξξ uh (ξ),ξ đạo hàm bậc hai bậc hàm uh (ξ) Thông số vật liệu đơn tinh thể đơn giản (tinh thể đối xứng vuông) thể với ba thông số độc lập    D11 D12    D0 =  D12 D11  (5)   0 D33 Phương, N H., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Trong q trình gia cơng chế tạo, mảng tinh thể hình thành phát triển vật liệu Khi đó, đơn tinh thể xếp lại hướng ngẫu nhiên α so với đơn tinh thể ban đầu Ma trận vật liệu hữu hiệu tinh thể với hướng ngẫu nhiên α (6) Dα = TTα D0 Tα F Tα ma trận xoay trục theo góc α Các ma trận hữu hiệu E0 , E1 E2 xác định sau O BT1 Dα B1 |J| dη E0 = O −1 BT2 Dα B1 |J| dη E1 = −1 BT2 Dα B2 |J| dη E2 = (8) (9) D −1 PR (7) TE ma trận B1 B2 hai ma trận chuyển vị biến dạng phần tử SBEM; Dα ma trận số vật liệu đơn tinh thể với góc nghiêng α; J ma trận Jacobian xác định sau EC J= xη yη xη,η yη,η (10) R Nghiệm phương trình vi phân bậc hai cho phần tử SBEM thu cách chuyển thành phương trình vi phân bậc với hai hệ số chưa biết R ξ uh (ξ) qh (ξ) = −Z ,ξ uh (ξ) qh (ξ) (11) C O qh (ξ) vectơ hàm giải tích liên hệ với nội lực theo công thức qh (ξ) = E0 uh (ξ),ξ + ET1 uh (ξ) (12) Z= T E−1 E1 T −E2 + E1 E−1 E1 −E−1 −E1 E−1 (13) U N Z ma trận Hamilton Ma trận Z chéo hóa ma trận V theo biểu thức ZV = VS (14) Ma trận đường chéo S xếp theo thứ tự tăng dần S= Sn 0 Sp (15) Phương, N H., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Sn S p hai ma trận đường chéo với giá trị âm giá trị dương dọc theo đường chéo ma trận S Ma trận chuyển V phân chia thành Vu Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, V NUCE = Vq ¯u V ¯q V (16) PR O O F ¯ u liên quan ¯ q liên VuVới V vị tử SBEM, liên đến quanchuyển đến chuyển vị phần phần tử SBEM, trongkhi khiđó đóma ma trận trận Vq V quan đến lực phần tử SBEM Với miền bị chặn đa giác xem xét nghiên cứu này, liên quan đến lực phần tử SBEM Với miền bị chặn đa giác xem ma trận chứa trị riêng âm Sn chuyển vị nút Vu lực nút Vq dẫn đến chuyển vị hữu hạn tâm tỉ lệxét O nghiên cứu này, ma trận chứa trị riêng âm và chuyển vị nút lựchàm nút chuyển dẫn đến vị u hữu(ξ) hạn tâmnội tỉ lệlực giải tích q (ξ) Nghiệmvàcủa vị chuyển giải tích vàtạihàm h h Nghiệm hàm chuyển vị giải tích nội lực giải tích [ [ uh (ξ) = Vu ξ−Sn c (17) [ [  qh (ξ) = Vq ξ−Sn c [ D [ c số tích phân tùy thuộc vào điều kiện biên tính từ chuyển vị nút đa giác nhưVới sau là số tích phân tùy thuộc vào điều kiện biên và tính từ chuyển vị nút đa giác sau c = V−1 (18) u ub  TE ub vec tơ chuyển vị điểm nút biên phần tử SBEM Ma trậnVới độ cứng củatơmột phần Kcell định nghĩa là vec chuyển vị tử tạiSBEM điểm biên phần tử SBEM Ma trận độ cứng phần tử SBEM định nghĩa Kcell = Vqđược V−1 u  (19) EC Phương trình tuyến tính hệ thống tổng hợp theo bậc tự Phương trình tuyến tính hệ thống tổng hợp theo bậc tự Ku = f (20) R ệ 2.2 Phần tử thể ầtíchửđạiể diệnđạ (RVE) U N C O R ệu không ế ằbằng vật Xem xét vật ộliệuậkhơng đồngđờnhất vàấ liên tục ụdiệnệtích A ∈: Ω2đượ thay ộ ậ ệtương đượ đương đồ ất tương đương ệ : ỗ ậ ệ kết ẽ cấu vi mô liệu đồng diện tích A ∈ Ω vùng vật liệu có M mơ2lm nhỏ nhiều không đồng nhấtộ đạiế diện Ammô ∈Ω kèmđồtheo ấu vi khơng ấ đạHìnhệ Kích : thước tốn vi Hình lần với kíchthướ thước tốn vĩ mơ lỏMhơn nênnhiề tính tốn cấp bài độ tốn vi mơ lực thể tích ầ ới kíchtạithước vĩ mơ bỏ qua ấp độ ự ể ể đượ ỏ ầ tử thể ể tích đạ ệ Hình Phần đại diện-RVE Phương, N H., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Biến dạng vĩ mô ε M trung bình thể tích biến dạng vi mơ εm εM = Am (21) εm dAm Am Ứng suất vĩ mơ σ M trung bình thể tích ứng suất vi mô σm Am (22) σm dAm Am F σM = Am nσm XdΓm = Am fi Xi (23) i PR Γm Np O ∇ (σm X)dAm = Am σM = Am O Chuyển tích phân diện tích RVE tích phân chu vi RVE fi lực nút biên i; Xi vectơ vị trí nút biên N p số nút biên 2.3 Điều kiện biên tuần hoàn cho RVE R EC TE D Trong tốn vi mơ, biến dạng cấp độ vĩ mô chuyển thành điều kiện biên chuyển vị cho tốn cấp độ vi mơ Nhiều quan điểm để áp đặt điều kiện biên khác dẫn đến phương pháp số khác Mieh cs [16]; Kouznetsova cs [15] Qua nghiên cứu trên, tỉ lệ kích thước pha vật liệu kích thước phần tử đại diện tương đối việc sử dụng điều kiện biên tuần hồn cho kết đáp ứng tốt Khi tỉ lệ giảm dần khác biệt sử dụng điều kiện biên giảm dần Qua đó, điều kiện biên tuần hoàn sử dụng nghiên cứu Trường chuyển vị tổng u toán cấp độ vi mơ chia thành hai thành phần, trường chuyển vị trung bình từ biến dạng vĩ mơ u trường chuyển vị biến thiên tuần hồn u˜ (24) u = u¯ + u˜ O R Trong trường hợp sử dụng điều kiện biên tuần hoàn u˜ = nút góc (25) U N C Chuyển vị trung bình RVE u¯ xác định   ε¯  11 ¯u = ε M X =   ε¯ 21 ε¯ 12 ε¯ 22      X1 X2 (26) X toạ độ điểm biên phần tử đại diện RVE; ε M biến dạng điểm vật liệu cấp độ vĩ mơ Điều kiện biên tuần hồn nhằm đảm bảo hiệu chuyển vị tổng hai biên đối diện phải số xác định theo biến dạng từ tốn cấp độ vĩ mơ Trong nghiên cứu này, điều kiện biên tuần hoàn xấp xỉ trường chuyển vị tổng thể qua mối liên hệ cặp nút đối xứng (các ộ ự nghiên cứu trên, k ỉ ệ ữa kích thướ ệu và kích thướ ủ ầ đạ ện tương đố ệ ụng điề ệ ầ ế ả đáp ứ ốt Khi tỉ ệ ả ầ ự ệ ụng điề ện biên giả ần Qua đó, điề ệ ần hoàn đượ ụ Phương, N.ứH., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng ầ ể tích đạ ệ ể ể ị ổ ị 𝐮 ủ ấp độ vi mô đượ ạng vĩ mô 𝐮̄ và trườ ế ể ị ế ần, ầ O Trườ là trườ O Hình Phân loại nút phần tử thể tích đại diện RVE F ậ uR − uL − u2 + u1 = vR − v L − v + v = (27) D uT − uB − u4 + u1 = PR nút biên bên phải 𝐮 ̃ ΓR biên bên trái ΓL ; biên ΓT biên Γ B ) thông qua mối liên hệ với chuyển vị nút góc tương ứng Hình vT − vB − v4 + v1 = TE Mối liên hệ biểu thức (27) xếp lại theo bậc tự Cu = (28) R EC Ma trận ràng buộc tuần hoàn C phân loại theo bậc tự độc lập Ci bao gồm nút biên trái, nút biên dưới, nút bên nút góc; bậc tự phụ thuộc Cd bao gồm nút bên phải nút bên ui Ci Cd =0 (29) ud O R Mối liên hệ bậc tự phụ thuộc ud bậc tự độc lập ui thể ud = −C−1 d Ci ui = Cdi ui (30) N C Phương trình tuyến tính hệ thống phân loại theo bậc tự độc lập ui bậc tự phụ thuộc ud fi ui Kii Kid (31) = fd ud Kdi Kdd U Phương trình tuyến tính hệ thống rút gọn theo bậc tự độc lập ui K∗ ui = f ∗ K∗ = Kii + Kid Cdi + CTdi Kdi + CTdi Kdd Cdi f ∗ = fi + CTdi fd (32) Phương, N H., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng 2.4 Kỹ thuật đồng hóa phần tử đại diện (RVE) Ma trận số vật liệu hữu hiệu thỏa mãn biểu thức sau (33) σ M = Dc f f ε M Chuyển vị cưỡng nút góc RVE uic xác định sau    ε¯ 11     ε¯ 22     ε¯  12      = Tip ε M     (34) F X2 X1 O   X  i uc =   X T1P T2p T3P T4P T εM = T pεM PR uc = O Chuyển vị cưỡng nút góc RVE uc xác định theo biến dạng vĩ mô (35) D Phương trình tuyến tính hệ thống viết lại theo bậc tự sau khử điều kiện biên tuần hoàn ua Kaa Kac (36) = fc uc Kca Kcc TE Trong bậc tự độc lập ui , ua chuyển vị nút khơng nằm góc RVE; uc chuyển vị nút nằm góc RVE Sử dụng phương pháp giảm bậc tự để chuyển bậc tự nút góc uc EC K∗cc = Kcc − Kca K−1 aa Kac (37) T ∗ T ∗ T T P fc = T p Kcc uc = T K T pεM Am Am Am P cc (38) K∗cc uc = fc R Thế công thức (37) công thức (35) vào ứng suất cấp độ vĩ mô σ M ta thu R σM = N C O Đồng công thức (38) công thức (33) ta thu ma trận số vật liệu hữu hiệu De f f sau T ∗ De f f = T K Tp (39) Am p cc Ví dụ số U Trong ví dụ này, phần tử thể tích đại diện RVE hình chữ nhật với 18 đơn tinh thể Hình mẫu đa tinh thể kim loại đồng Cu xem xét Bảng thể thông số vật liệu đơn tinh thể đồng Cu theo Chinh cs [7] Phần tử đại diện phân chia thành 18 đơn tinh thể hình lục giác với góc hướng α thay đổi Hình có bán kính đường trịn ngoại tiếp R = Các đơn tinh thể có tính chất đối xứng nên hướng góc ngẫu nhiên α giả định với thay đổi từ 0° đến 90° theo Bảng Các kết số lập trình ngơn ngữ Matlab thực máy tính Core i5-CPU 1,70 GHz với RAM 4G Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, NUCE Hình hướng α ngẫu đạ4 Phầnệtử đạiớdiện với phânốbốhướ D nhiên ẫ cho 18 tinh thể đồng ể đồ O ầ O F Phương, N H., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng PR Bảng Mô đun đàn hồi hữu hiệu đơn tinh thể kim loại đồng (GPa) [7] Vật liệu D11 D12 D33 Cu 169,0 122,0 75,3 10 11 12 13 14 15 16 17 18 73 82 11 82 57 25 49 86 87 14 87 86 44 72 13 38 82 EC ầ Voigt Reuss mô đun đàn hồi ầkhối ửvà mô đun đàn hồi trượt đa tinh ầ thểửđồng Cận sau ố xác ậ ựđịnh ủ D11 + D12 Kv = KR = = 14,5 (GPa) ệ lướ ầD ử− D 2+ 2D ỉ ệ ẫ ể 11 12 33 Gv = = 49,900 (GPa) (40) (D11 − D12 ) D33 = 35,821 (GPa) GR = (D11 − D12 ) + 2D33 O R R ổ TE góc D Bảng Phân bố góc hướng α (°) ngẫu nhiên cho đơn tinh thể U N C Hệ lưới phần tử biên tỉ lệ SBEM với kỹ thuật làm mịn nút biên phần tử thể Hình Kỹ thuật làm mịn biên thông qua việc chia đôi cạnh hệ lưới phần tử Hệ lưới phần tử hữu hạn thông thường FEM-T3 với kỹ thuật làm mịn phần tử bên thể Hình Qua bước làm mịn lưới FEM-T3, phần tử tam giác chia thành hình tam giác đồng dạng với tam giác ban đầu Kết ma trận vật liệu hữu hiệu mẫu vật liệu đa tinh thể dị hướng đồng thể Bảng Các mẫu có mơ đun đàn hồi khối hữu hiệu Ke f f = KV = KR = 145,5 GPa tương đồng với kết nghiệm giải tích Voigt Reuss Mơ đun đàn hồi kháng trượt hữu hiệu Ge f f = D33 mô đun đàn hồi kéo dọc trục D11 giảm dần chia nhỏ điểm biên phần tử Hình ầ nhỏửnhất xem xét mô đun đàn hồi kháng ầ ửtrượt hữu hiệu 0,08% 0,01% ầ xem xét mô Sai số đun đàn hồi kéo dọc trục Riêng thông số D12 có xu hướng tăng dần hội tụ chia nhỏ điểm ố ậ ự ủ biên phần tử có sai số nhỏ 0,02% Qua đó, hội tụ số kết sử dụng phần tử SBEM với kỹ thuật làm mịn ầbiên phầnữtử ệ lướ thể Hình tốtẫ sử dụngểphần tử hữu hạn thông thường FEM-T3 với kỹ thuật làm làm mịn phần tử bên ổ ệ lướ ầ ỉ ệ ệ ỹ ậ ầ ệ lướ ầ ữ ong đượ ể ệ ỹ ậ ị ầ đượ ể ị ệc chia đôi cạ ỗ ệ lướ ạn thông thườ ỹ ậ ị ầ ỗi bướ ịn lướ ộ ầ ầ ầầ ửử đạ đạầ ửệPhương, đạầớ ệ đạớ ố ệhướ ố chí hướ ẫ DnghệẫXây dựng đờ ố Dhướ /ớ học Công ẫố ể ểđồđồ ểể đồ ầ ửệN.đạH.,ớ ệốcs ớTạpố D hướ D Khoa ẫ hướ ửệđạ hướ D ẫ D ẫ ể đờ ể đờ Tạp Tạpchí chíKhoa Khoahọc họcCơng Cơngnghệ nghệXây Xâydựng, dựng,NUCE NUCE Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng, NUCE ổổổ ố ốố ậ ậậ ựựự ố ốố ố ốố ố ốố D Phương pháp Phương pháp Phương pháp PR O O F ầ ửửnhư Hình ố ỏ ất xem xét mơ đun đàn hời kháng trượ Hình xem kháng trượữ ữữ ệ ệệ ầ ầ Hình ố ố ỏ ỏ ất ất khikhi xem xétxét mômô đunđun đànđàn hồihồi kháng trượ 01% xem xét mô đun đàn hồ ọ ụ ố 01% xem đun đàn hồ 01% khikhi xem xétxét mômô đun đàn hồ ọ ọụ ụ ố ửố ầ ầ ầ ầ ầ ầ ầ ầ ầ hướng tăng điể ố sdof* ỏ ấấ (a) 18 phần tử, sdof* (b) hướng dầ ỏphần ầ =ử 76ộầộộụửụụ ầđiểtử, sdof* ầtăng ửdầ ầ ỏ18ửỏđiể ầ =ử 406 ầ ầầầử ửửử ầ(c) ử18 phần hướng tăng dầ ốầ ốtử, ỏ ỏ ấ = 1726 ốủ ậ ự ủ ổ ố ậ ổự ố ủ ậ ựổ 02% Qua đó,lưới sựphần ộ ủ ụbiên ố ủ ếế cho ả ụ ầ ửửsố bậc tự doớớcủa ỹmô ậậ 02% ổQua ố5 Hệ ổ02% ố ậHình ự Qua ủậđó, ổ ựđó, ố ủậsự ựộ ộtử ụ ụố ốtỉủ lệủSBEM ế ả ả mẫuử18ửụtinhụthể (*: ầ ầTổng ỹ ỹ ậhình) ệ lướ ầ ỉ ệ ẫ ể ệ lướ ầ ỉ ệ ẫ ể ệ lướ ầ ỉ ệ ẫ ể ị ầ ửửđượ ốtốtẫhơn sử ụ ầ ữ đượ ệ lướ ầệệ ửỉ ệầ ửỉ ệ ầ ể ểửệể ệlướ ỉ ệhơn ị ị ầ ầệửlướ đượ ốt khiẫkhi sử sửểụẫ ụ ểầ ầử ểửữ ữ ạ thông thườ thông thườ thông thườ ớớớ ỹ ỹỹ ậ ậậ ị ị ị ầ ầầử ửử tinh ị ịhướng ệu đa tinh thểị hướng hướng đồ ảảả ậ ậậ ậ ậậ ệ ệệ ữ ữữ ệ ệệ ậ ậậ ệuệu đađa tinh thểthể đồđồ (a) 92 phần ầ tử, sdof* ầ =ử112ầ (b) ầ 368 phần ầ (c)ầ 5888 ầ tử,ử sdof* phần ầ =ử406 ầ tử,ử sdof* = 6034 ầ ầ ầ ầ ầ ầ ầ ổ ố Hình ậ ổ ố ậHệựổ lưới ốủ phần ậ ự tửủ hữu hạn FEM-T3 cho mẫu 18 tinh thể (*: Tổng số bậc tự mơ hình) ổ ố ậ ổự ố ủậ ổ ự ố ủậ ự ệ lướ ủ ầlướ ệữầlướửạ ữầ ửạ ữ ẫ ẫ ể ẫ đồng ể ể Bảng Maệtrận vật liệu hữu hiệu cho vật liệu đa tinh thể ầữ ửạ ầữ ửạ ữ ẫ dị hướng ể ệ lướ ệ lướ ầ ửệ lướ ẫ ểẫ ể ệ lướ ệ lướ ầ ệ ầlướ ửỉ ệầ ửỉ ệ ỉ ỹệ ậ ỹ ậ ị ỹ ậị ị ầ đượ ầ đượ ể ầ ửểđượ ể số bậc tự D (GPa) Sai số (%) D (GPa) Sai số (%) D (GPa) Sai số (%) lướ ầ ỉ ệ ỹ ậ ị ầ đượ ể 11 12 33 ệệPhương lướ ệệ pháp ầ ửệ ệTổng ỉ ệ ỹ ậ ị ầ đượ ể ỹ ậ ị ệc chia đôi cạ ỗ ệ lướ lướ ầ ỹử ậ ỹỉ ệ ậ ị ớị ỹ ậ ệc chia ị ệc ửỗđượệ lướể đôichia cạ đôiở cạỗ ầởệ lướ ỹ ạn ậthông ị ệcđôi chia đôi cạị ỗđôiởầ48,481 ỗử ởệ lướ 76 181,456 109,544 - chia -ệ lướ ệầ SBEM ỹ ậ ị ệc chia cạ ệ lướ ệầ ệ lướ ầ ữ thườ ỹ ậ ệ ỹ ậ ị ệc cạ 186ệ ầlướử ữầ180,904 ửạn thông ữ ạnthườ thông thườ ậị ầ ử ầệ lướ ỹ0,50ớ ậ ỹ 47,534 ầ ịỗử1,99 0,31 110,096 ầ ệ lướ ầ ữ ạn thông thườ ỹ ậ ị ầ ầ ong đượ ệ lướầ ể ầong ửệđượ ữ ạn thông thườ ỹ ậ ị ầ ệ ỗi bướ ịn lướ ộ ầ lướ ầ ữ ạn thông thườ ỹ ậ ị ầ ệ ỗi bướ ịn lướ ộ ầử ong đượ 406ể ệ ể 180,714 ầ 0,58 0,11 ỗi bướ 110,286 0,17 ịn lướ 47,261ộ ong đượ ể ệ ỗi bướ ịn lướ ộ ầ ong đượ ể ệ ỗi bướ ịn lướ ộ ầ 846 180,646 47,156 0,22 ẽ thành hình giáctam đồ ạđồ110,354 tam giác ban đầtam ế đầ ban ếđầ đượ ể4thành ệchiatam ỗiớibướ ịngiác ộ ầế ong ẽchia 0,04 hình giác ớilướ ẽchia 4thành hình giáctam ạđờ ớiạ0,06 tam bangiác 1726 180,623 0,01 110,377 0,02 47,118 0,08 ậ ẽậửđược ẽ chia thành hình tam giác đờ ới tam giác ban đầ ế ả chia thành hình tam giác đồ ới tam giác ban đầ ế ủệ ệchia ẫữ ủ ậthành tinh thể ị hướ ểđượ ệ đượ giác đồtinh đượ ới tam giác ệ ẫệuủ4đa ẫệu tam ậ tinh ệu đa thể ị đồng hướ đờng ả ậảệ ậữ ậệ ệẽ ậữ ậhình đa thể ịđồng hướ ểbanệđầ ể ệế 182,276 -tinh 108,724 - 5đượ 49,576 ảậ ậ ảẫu ậệ ậ ữ112 ệ ữ ệ ủ ẫ ậ ệu đa tinh thể ị hướ đồng đượ ể ệ -ể ệ ệ ủ ẫ ậ ệu đa thể ị hướ đồng ể ệ ảả FEM-T3 có mơ đun đàn hờ ố ữ ệ GPa tương ậẫu ậ có ệ mơ ữ đun ủhờ 0,51 ẫ ốhồ ậ ữ 109,646 ệuố ệđaữtinhệthể0,84ị hướ 48,257 ẫu có ệmơ đàn GPa tương ả ả 406 đànđun 5đồng GPađượ tương 181,354 2,73 ảế ảẫu ẫu có mơ đun đàn ốhồ ữ đàn 5tương GPa tương ởđồ ả đồ đun đàn ốhờvà0,25 ữMơ ệvà GPa ảiệtích Voigt và đun hời kháng trượ ữ trượ ệ ữtrượ cóhờ mơ đun đàn ố ệđun ữ Mô ệđun GPa 180,904 110,096 0,41 47,556 ớệ1546 ảẫu ệtích ảiReuss tích Voigt Reuss đàn hời kháng ữ tương ệ ớđờảế ả cóế mô ải Voigt Reuss Mô đàn hồi kháng ệ 1,47 ế ả ệ ải tích Voigt và Reuss Mơ đun đàn hồi kháng trượ ữ ệ 6034 180,714 0,11 110,286 0,17 47,256 0,63 đun đàn hồ ọ ụ ả ầ ỏ điể đồ ớđồvàế mô ả ệ ải tích Voigt và Reuss Mơ đun đàn hời kháng trượ ữ ệ đồ và mô đun ế mô ả đun ệ hồải hồiđiể kháng trượ ữ ệ và ọ ụvà ỏ điể đàn hờ đàn ọ tích ụ Voigt ả Reuss ầ ả Môầđun đàn ỏ và mô đun đàn hồ ọ ụ ả ầ ỏ điể và mô đun đàn hồ ọ ụ ả ầ ỏ điể và mô đun đàn hồ ọ ụ ả ầ ỏ điể TE ầ ủ U N C O R R EC ầ ự (a) D11 (b) D12 (c) Ge f f Hình Hằng số vật liệu hữu hiệu cho mẫu 18 tinh thể dị hướng đồng ằ ằằ ốốốậ ậậ ệ ệệ ữ ữữ ệ ệệ ảảả ẫ ẫẫ ể ểểị hướ ị ịhướ hướ đồđồ đồ ểểể ệệệ ờờờ ự ựự10ệnện phương pháp SBEM vàvà phương pháp phương pháp SBEM phương pháp ện phương pháp SBEM và phương pháp T3 Qua đó, phương pháp SBEM ậ ự đạ ấ T3 ậậ ựựdo ấấ T3.Qua Quađó, đó,phương phươngpháp phápSBEM SBEM ớớ dođạ đạ ờờ khoả ớiớiới phương pháp FEM ậ ậậự ự Trong khikhi đó,đó, saisai khoả phương pháp FEM Trong khoả ầầầ phương pháp FEM ớớ ựdo Trong đó, sai ệệệ ữa hai phương pháp làlàlà 0,05% đốđố %%% đốđố đốđố ữa hai phương pháp 0,05% đố ớớ ; 0,08 0,08 đốớ ớớ ; 0,29% 0,29% đốớ ớớ ữa hai phương pháp 0,05% ; ;0,08 ; ;0,29% Phương, N H., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Bảng thể thời gian tính tốn thực phương pháp SBEM phương pháp FEM-T3 Qua đó, phương pháp SBEM với 1726 bậc tự đạt thời gian tính tốn thấp khoảng lần so với phương pháp FEM-T3 với 6034 bậc tự Trong đó, sai biệt hai phương pháp 0,05% D11 ; 0,08% D12 ; 0,29% D33 Bảng Thời gian tính tốn sử dụng phương pháp số Tổng số bậc tự Số phần tử Thời gian (s) SBEM 76 186 406 846 1726 18 18 18 18 18 0,4 0,5 0,6 1,8 9,7 FEM-T3 112 406 1546 6034 92 368 1472 5888 0,4 0,4 2,2 48,5 D PR O O F Phương pháp TE Kết luận R R EC Nghiên cứu trình bày hướng tiếp cận kỹ thuật đồng hóa cho vật liệu đa tinh thể dị hướng với phần tử biên tỉ lệ SBEM Phương pháp hội tụ dần chia nhỏ cạnh biên phần tử SBEM Qua đó, thơng số đàn hồi hữu hiệu mẫu đa tinh thể dị hướng xác định Mô đun đàn hồi khối hữu hiệu Ke f f số mẫu mơ hình Điều tương đồng với nghiên cứu giải tích Voigt Reuss Mô đun đàn hồi kháng trượt hữu hiệu Ge f f giảm dần hội tụ kỹ thuật làm mịn lưới áp dụng Kết sử dụng phần tử biên tỉ lệ với kỹ thuật làm mịn biên phần tử hội tụ nhanh so sánh với sử dụng phần tử hữu hạn O Lời cảm ơn C Tác giả xin chân thành cảm ơn hỗ trợ tài Trường Đại học Quốc tế ĐHQG-HCM cho đề tài có mã số T2019-02-CE N Tài liệu tham khảo U [1] Voigt, W (1889) Ueber die Beziehung zwischen den beiden Elasticităatsconstanten isotroper Kăorper Annalen der Physik, 274(12):573587 [2] Reuò, A (1929) Berechnung der flieògrenze von mischkristallen auf grund der plastizităatsbedingung făur einkristalle ZAMM-Journal of Applied Mathematics and Mechanics/Zeitschrift făur Angewandte Mathematik und Mechanik, 9(1):49–58 [3] Hashin, Z., Shtrikman, S (1962) A variational approach to the theory of the elastic behaviour of polycrystals Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 10(4):343–352 [4] Berryman, J G (2005) Bounds and self-consistent estimates for elastic constants of random polycrystals with hexagonal, trigonal, and tetragonal symmetries Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 53 (10):2141–2173 11 Phương, N H., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng U N C O R R EC TE D PR O O F [5] Pham, D C (2006) Revised bounds on the elastic moduli of two-dimensional random polycrystals Journal of Elasticity, 85(1):1–20 [6] Chinh, P D (2012) Bounds on the elastic moduli of statistically isotropic multicomponent materials and random cell polycrystals International Journal of Solids and Structures, 49(18):2646–2659 [7] Pham, D C., Le, C H., Vuong, T M H (2016) Estimates for the elastic moduli of d-dimensional random cell polycrystals Acta Mechanica, 227(10):2881–2897 [8] Kube, C M., Arguelles, A P (2016) Bounds and self-consistent estimates of the elastic constants of polycrystals Computers & Geosciences, 95:118–122 [9] Terada, K., Hori, M., Kyoya, T., Kikuchi, N (2000) Simulation of the multi-scale convergence in computational homogenization approaches International Journal of Solids and Structures, 37(16):2285–2311 [10] Kouznetsova, V., Brekelmans, W A M., Baaijens, F P T (2001) An approach to micro-macro modeling of heterogeneous materials Computational Mechanics, 27(1):37–48 [11] Coenen, E W C., Kouznetsova, V G., Bosco, E., Geers, M G D (2012) A multi-scale approach to bridge microscale damage and macroscale failure: a nested computational homogenization-localization framework International Journal of Fracture, 178(1-2):157–178 [12] Miehe, C., Schotte, J., Lambrecht, M (2002) Homogenization of inelastic solid materials at finite strains based on incremental minimization principles Application to the texture analysis of polycrystals Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 50(10):2123–2167 [13] Teferra, K., Graham-Brady, L (2018) A random field-based method to estimate convergence of apparent properties in computational homogenization Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 330:253–270 [14] Phương, N H., Cảnh, L V., Kiên, N T (2019) Xác định đặc trưng hữu hiệu vật liệu đa tinh thể dị hướng phương pháp đồng hóa Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng (KHCNXD)-ĐHXD, 13 (4V):129–138 [15] Beskos, D E (1987) Boundary element methods in dynamic analysis [16] Song, C., Wolf, J P (1997) The scaled boundary finite-element method—alias consistent infinitesimal finite-element cell method—for elastodynamics Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 147(3-4):329–355 [17] Wolf, J P., Song, C (2000) The scaled boundary finite-element method–a primer: derivations Computers & Structures, 78(1-3):191–210 [18] Ooi, E T., Song, C., Tin-Loi, F., Yang, Z (2012) Polygon scaled boundary finite elements for crack propagation modelling International Journal for Numerical Methods in Engineering, 91(3):319–342 [19] Deeks, A J., Wolf, J P (2002) A virtual work derivation of the scaled boundary finite-element method for elastostatics Computational Mechanics, 28(6):489–504 12 ... phương pháp phần tử biên tỉ lệ SBEM sử dụng với kỹ thuật đồng hóa tốn xác định thơng số đàn hồi hữu hiệu cho vật liệu đa tinh thể dị hướng Trường chuyển vị tổng toán phần tử đại diện RVE sử dụng để... dựng hướng ế cận công ảo (b) Phần mẫu Phần tửt? ?tử mẫu Phần mẫu O vớivới tâmtâm lệtỉO Olệ O a) (a) Phần tửtửSBE với tâm t? ?tỉ lệ a) Phần Phần tửSBE SBE PR ền ền đa? ?ađa giác thành điể ủ phần ờạ... bày hướng tiếp cận kỹ thuật đồng hóa cho vật liệu đa tinh thể dị hướng với phần tử biên tỉ lệ SBEM Phương pháp hội tụ dần chia nhỏ cạnh biên phần tử SBEM Qua đó, thơng số đàn hồi hữu hiệu mẫu đa