ĐỀ THITHỬĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 -2013
Môn thi : TOÁN
Câu 1. (2,5 điểm).
1. Cho hàm số (C) :
2
2 5
1
x x
y
x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm M (C) để tổng các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất
2. Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị
(C’) :
196
23
xxxy
Câu 2. (1,5 điểm)
1. Giải phương trình:
3510325.3
22
xx
xx
2. Giải hệ phương trình:
2coscos
2sinsin
yx
yx
Câu 3. (1,5 điểm)
1. Giải phương trình:
02coscoslogsincoslog
1
xxxx
x
x
.
2. Giải bất phương trình:
01311
23
xxxx
3. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho trong mỗi số các chữ số đứng trước đều lớn
hơn chữ số đứng liền sau nó.
Câu 4. (2 điểm)
1. Trong hệ toạ độ Oxyz cho 2 điểm A(0; 0; -3); B(2, 0, - 1) và mp(P):3x – 8y + 7z – 1 = 0
Tìm toạ độ điểm C (P) sao cho ABC là tam giác đều.
2. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. Hãy xác định các góc
hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện đó.
Câu 5. (2,5 điểm).
1. Tính :
/ 4 1
2
3
0 0
sin
; 2 2
cos
x x
I dx J x x x dx
x
2. Cho 3 số dương a,b, c. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
.
2
a b c
a bc b ac c ab abc
3. Cho z =
1 3
i
2 2
, Hãy tính :
1
2 3 2
;z;z ;(z) ;1 z z
z
(Hết)
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Câu Ý
Nội dung Điểm
I 2.5
b
Tìm M (C) để tổng các khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất
0,75
4 4
1 .
1
y x Y X
x X
Với
yY
xX 1
0.25
TCĐ d: X = 0, TCX d’: X - Y = 0 ⇒ T = d(M, d) + d(M, d’) =
4
7
| | 4 4
| | | | 2
2 | | 2
2
X Y
X X
X
Dấu "=" xảy ra
⇔
4
| |
| | 2
X
X
4 4
2 3 3
4
2 1 2
2
X X x
0.5
Gọi M(2; m) d
1
: x = 2. Khi đó đt d M
d: y = k(x -2) + m. Để đt d tiếp xúc với
(C’) hệ:
kxx
mxkxxx
9123
2196
2
23
có nghiệm
0,25
2x
3
-12.x
2
+ 24x - 17 + m = 0 (1) có nghiệm.
Số tiếp tuyến kẻ từ M đến (C’) là số nghiệm của Pt (1)
Xét hàm số y = 2x
3
-12.x
2
+ 24x - 17 + m
y’ = 6(x-2)
2
0 x Hàm luôn đồng biến Pt (1) luôn có nghiệm
duy nhất từ một điểm trên đt x = 2 luôn kẻ được một tiếp tuyến đến đồ
thị (C’).
0,5
II
1,5
1
Giải phương trình:
0,75
015.3315.315.35
3510325.3
2222
22
xxxx
xx
x
xx
0.25
2035
1015.3
03515.3
2
2
22
x
x
x
x
xx
3log2
3
1
log2
3
1
51
55
2
x
x
0.25
352
2
x
x
Vế trái là hàm đồng biến vế phải là hàm nghịch biến mà (2) có nghiệm x =
2 nên là nghiệm duy nhất.
Vậy Pt có nghiệm là: x =
3log2
5
và x = 2
0.25
2
Giải hệ phương trình:
0,75
22cossincossin
2coscos
2sinsin
yyxx
yx
yx
0.25
2
4
2
4
1
4
cos
1
4
cos
2
4
cos
4
cos
ly
kx
y
x
yx
0.25
Thử lại thấy đúng nên:
2
4
2
4
ly
kx
là nghiệm của hệ phương trình.
0.25
III
1,5
1
Giải phương trình: . 0,5
02coscoslogsincoslog
1
xxxx
x
x
Điều kiện:
02coscos
0sincos
10
xx
xx
x
.
Khi đó Pt
2
cos2cossin2cos
xxxx
0.25
3
2
6
2
2
2
2
2
2
2
2
k
x
kx
kxx
kxx
.
Kết hợp với điều kiện ta được:
3
2
6
k
x (Với k ∊ N*).
0.25
2
Giải bất phương trình:
0,5
02301311
232323
xxxxxxxx
0
2
3
2
t
t
Đặt
3
2
1 xxt
0.25
2
3
2 2
1 1
1
3 3
2
t
t x x x
t
t
0.25
3
0,5
. Trong 10 chữ số từ 0 đến 9 có tât cả
5
10
C
tập con gồm 5 chữ số
khác nhau.
0,25
Trong mỗi tập con này chỉ có duy nhất một cách sắp xếp số có 5
chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng liền sau. Vậy có tất cả
5
10
C
= 252 số.
0,25
IV
2.0
1
Xác định tọa độ điểm C (P) sao cho ABC đều
1.0
Để ABC là tam giác đều đường cao MC = AB 62/3
Gọi M là trung điểm của AB M(1; 0; - 2).
Gọi (Q) là mf đi qua M và vuông góc với AB
(Q): x + z + 1 = 0
0,25
Gọi d = (P) n (Q)
tz
ty
tx
zx
zyx
d
21
22
01
01783
:
C d C(-2 - 2t; t; 1 + 2t)
0,25
2 2
2
2 2
1 2
1 2
3 2 ; ;3 2 6 3 2 3 2 6
9 24 12 0 3 8 4 0 2; 2/3
2 2 1
2; 2; 3 , ; ;
3 3 3
MC t t t MC t t t
t t t t t t
C C
uuur
0,25
0.25
2
Xác định các góc hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện.
1.0
Lấy E, F, G lần lượt là trung điểm của AB, CD, AC ta có:
GE = GF = c/2. ∆ACD = ∆BCD (c.c.c) ⇒ FA = FB
⇒
4
22
4
22
222222
22
acbCDADAC
FBFA
0.25
FE là trung tuyến của ∆FAB nên:
4
22
222
2
ABFBFA
FE
2
222
acb
0.25
Gọi là góc tạo bởi AD và BC ta có :
2
22
|
.2
||
|,cos|cos
2
2222
222
c
acbc
GFGE
FEGFGE
GFGE
2
22
||
c
ba
. Vậy
2
22
||
cos
c
ba
0.25
P
Q
A
B
M
C
1
C
2
Tương tự nếu gọi lần lượt là góc tạo bởi CD, AB và
DB, AC ta có:
2
22
||
cos
a
cb
,
2
22
||
cos
b
ac
0.25
3
0,5
. Trong 10 chữ số từ 0 đến 9 có tât cả
5
9
C
tập con gồm 5 chữ số
khác nhau.
0,25
Trong mỗi tập con này chỉ có duy nhất một cách sắp xếp số có 5
chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng liền sau. Vậy có tất cả
5
9
C
= 126 số.
0,25
V 2,5
1
0,5
Đặt:
3 2
cos 1
cos 2.cos
u x du dx
d x
dv v
x x
0,25
/ 4
/ 4
4
0 0
2 2
0
1 1 1
2cos 2 cos 4 2 4 2
x dx
I tgx
x x
0,25
2
1,0
1
2
0
2 2
J x x x dx
. Đặt: x - 1 = tgt
2
2
1
; 2 2
cos cos
dt
dx x x
t t
0 0 0
3 4 3
4 4 4
1 sin
cos cos cos
tgt t dt
J dt dt
t t t
0,25
F
E
G
B
D
A
C
0
1 1
3
4
2
0 0
sin
1
2 2 2 2
1 1
2 2
1 1
1 2 2
3cos 3
1 1
1
4
1 1 1 1
t u
J J
t
u u
du
J du
u u u u
0,25
0 0 0
2 2
1 1 1
2 2 2
1
. 2
4 1 1
1 1
du du du
u u
u u
0,25
0 0
2
2 2
2 2
1 1 1 1 1 1
2ln 2ln
4 1 1 1 4 1 1
1 2 1 1
2 2ln 2 4ln 2 1 .
4 4
2 1
u u u
u u u u u
0,25
3
1,0
.
2
111
222
abc
cba
ab
c
ac
b
bc
a
Ta có:
abc
abc
abcabc
cab
cab
cabcab
bca
bca
bcabca
2
11
2
2
11
2
2
11
2
2
2
2
2
2
2
0.5
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2
1
2 2 2
.
2 2 2
a bc b ca c ab
a bc b ca b ca
b c c a a b
bc ca ab a b c
abc abc abc
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
0.5
. ABC là tam giác đều.
2. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. Hãy xác định các góc
hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện đó.
Câu. ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 -2 013
Môn thi : TOÁN
Câu 1. (2,5 điểm).
1. Cho hàm số