Đề Thi Thử Học Sinh Giỏi Lớp 8 Toán 2013 - Phần 2 - Đề 15 doc

ĐỀ 8 Bài 1( 2 điểm). Cho biểu thức :          2 2 2 2 1 1 1 1 x y x y P x y y x y x x y          1.Rút gọn P. 2.Tìm các cặp số (x;y)  Z sao cho giá trị của P = 3. Bài 2(2 điểm). Giải phương trình: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 5 6 7 12 9 20 11 30 8 x x x x x x x x             Bài 3( 2 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biẻu thức: 2 2 1 2 x M x    Bài 4 (3 điểm). Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. M là giao điểm của CE và DF. 1.Chứng minh CE vuông góc với DF. 2.Chứng minh  MAD cân. 3.Tính diện tích  MDC theo a. Bài 5(1 điểm). Cho các số a; b; c thoả mãn : a + b + c = 3 2 . Chứng minh rằng : a 2 + b 2 + c 2  3 4 . ĐÁP ÁN Bài 1. (2 điểm - mỗi câu 1 điểm) MTC :       1 1 x y x y    1.                       2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 x x y y x y x y x y x y x y xy P x y x y x y x y                   P x y xy    .Với 1; ; 1 x x y y      thì giá trị biểu thức được xác định. 2. Để P =3 3 1 2 x y xy x y xy              1 1 2 x y     Các ước nguyên của 2 là : 1; 2.   Suy ra: 1 1 0 1 2 3 x x y y                 1 1 2 1 2 1 x x y y              (loại). 1 2 3 1 1 0 x x y y              1 2 1 1 1 2 x x y y                  (loại) Vậy với (x;y) = (3;0) và (x;y) = (0;-3) thì P = 3. Bài 2.(2 điểm) Điều kiện xác định: 2 3 4 5 6 x x x x x               Ta có :              2 2 2 2 5 6 2 3 7 12 3 4 9 20 4 5 11 30 5 6 x x x x x x x x x x x x x x x x                     Phương trình đã cho tương đương với :             1 1 1 1 1 2 3 3 4 4 5 5 6 8 x x x x x x x x             1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 4 3 5 4 6 5 8 x x x x x x x x                  1 1 1 6 2 8 x x         4 1 6 2 8 x x         2 8 20 0 10 2 0 x x x x         10 2 x x        thoả mãn điều kiện phương trình. Phương trình có nghiệm : x = 10; x = -2. Bài 3.(2điểm)         2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 x x x x x x M x x x x x M x x                       M lớn nhất khi   2 2 1 2 x x   nhỏ nhất. Vì   2 1 0 x x    và   2 2 0 x x    nên   2 2 1 2 x x   nhỏ nhất khi   2 1 x  = 0. Dấu “=” xảy ra khi x-1 = 0 1 x   . Vậy M max = 1 khi x = 1. Bài 4. . (3iểm) a. µ ¶ 1 1 ( . . ) BEC CFD c g c C D    V V CDF V vuông tại C µ ¶ µ µ 0 0 1 1 1 1 90 90 F D F C CMF       V vuông tại M Hay CE  DF. b.Gọi K là giao điểm của AD với CE. Ta có : ( . . ) AEK BEC g c g BC AK    V V  AM là trung tuyến của tam giác MDK vuông tại M 1 2 AM KD AD AMD    V cân tại A c. ( . ) CD CM CMD FCD g g FD FC  V : V Do đó : 2 2 . CMD CMD FCD FCD S CD CD S S S FD FD                V V V V Mà : 2 1 1 . 2 4 FCD S CF CD CD   V . Vậy : 2 2 2 1 . 4 CMD CD S CD FD  V . Trong DCF V theo Pitago ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 5 . 2 4 4 DF CD CF CD BC CD CD CD              . Do đó : 2 2 2 2 2 1 1 1 . 5 4 5 5 4 MCD CD S CD CD a CD    V Bài 5 (1điểm) Ta có: 2 2 2 2 1 1 1 0 0 2 4 4 a a a a a                Tương tự ta cũng có: 2 1 4 b b   ; 2 1 4 c c   Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được: 1 1 1 k e m d c f b a 2 2 2 3 4 a b c a b c       . Vì 3 2 a b c    nên: 2 2 2 3 4 a b c    Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1 2 . ========================= . Phương trình có nghiệm : x = 10; x = -2 . Bài 3. (2 iểm)         2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 x x x x x x M x x x x x M x x . Mà : 2 1 1 . 2 4 FCD S CF CD CD   V . Vậy : 2 2 2 1 . 4 CMD CD S CD FD  V . Trong DCF V theo Pitago ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 5 . 2 4 4 DF