LÊ HOÀNH PHÒ Nhà giáo ưu tú CHUYÊN KHẢO ĐA THỨC TÀI LIỆU DÙNG CHO CÁC LỚP CHUYÊN TOÁN, BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI VÀ THAM KHẢO CHO SINH VIÊN NGÀNH TOÁN NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP..
Trang 1LÊ HOÀNH PHÒ
Nhà giáo ưu tú
CHUYÊN KHẢO ĐA THỨC
TÀI LIỆU DÙNG CHO CÁC LỚP CHUYÊN TOÁN, BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI VÀ THAM KHẢO CHO SINH VIÊN NGÀNH TOÁN
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH 2003
Trang 2PHẦN A: LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ
A1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN
A2 HỆ SỐ VÀ GIÁ TRỊ ĐA THỨC
A3 ĐA THỨC VỚI CÁC YẾU TỐ GIẢI TÍCH
A4 PHÉP CHIA ĐA THỨC ƯỚC – BỘI
A5 NGHIỆM CỦA ĐA THỨC
A6 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VÀ BẬC CAO
A7 NGHIỆM VỚI YẾU TỐ GIẢI TÍCH
A8 PHÂN TÍCH THEO CÁC NGHIỆM SỐ NGHIỆM
A9 ĐỊNH LÍ VIETE
A10 CÔNG THỨC NỘI SUY LAGRANGE
A11 KHAI TRIỂN VÀ BIỂU DIỄN
A12 NHỊ THỨC NEWTON – TỔ HỢP
A13 ĐA THỨC HỆ SỐ PHỨC – SỐ PHỨC
A14 ĐA THỨC HỆ SỐ NGUYÊN – SỰ KHẢ QUI
A15 ĐA THỨC NHIỀU BIẾN – ĐA THỨC ĐỐI XỨNG
Trang 3ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN
I Định nghĩa đa thức:
Cho hàm số f: R R
Ta gọi f là đa thức nếu: fconst (hằng số) hoặc tồn tại nZ, n1 và các số thực
n
a
a
a
a0, 1, 2, , vớian 0 sao cho:
n n
n n
a x a x
a x a
x
1 1
1
)
(
*a0,a1, ,anlà các hệ số
0
0
a là hệ số cao nhất
n
a là hệ số tự do
Đặc biệt, khi a0 1 thì đa thức được gọi là đa thức chuẩn tắc hay monic
*Với a0 0 thì n là bậc của đa thức f(x), ký hiệu deg f = n
Đặc biệt fconst thì deg f = 0
*Đôi khi ta viết gọn:
n
i
i n i
0 )
f hay viết ngược lại:
0 ,
)
0
n n n n n
k
k
b x
f
II Đa thức trên các tập số:
n n
n n
a x a x
a x a
x
f
1 1
1
)
(
Nếu các hệ số ai Rthì kí hiệufR x
Nếu các hệ số ai Qthì kí hiệufQ x
Nếu các hệ số ai Zthì kí hiệufZ x
III Các phép toán:
n n
n n
a x a x
a x a
x
1 1
1
)
(
n n
n n
b x b x
b x b
x
1 1
1
)
(
Thì ta có 3 phép toán thông thường:
f(x) + g(x); f(x) - g(x); f(x).g(x); và phép hợp f0g(x) f(g(x))
Từ f(x), g(x) ta có thể viết hình thức:
n n
n n
A x A x
A x A
x
1 1
1
)
(
n n
n n
B x B x
B x B
x
1 1
1
)
(
Với kmax n,m;Ai 0or a1 ,Bi 0or b1
thì f(x) g(x) A B x k (A B )x k1 (A B )
Trang 4và k k k k
2 1 2 1
2 1 2
)
(
).
Kết quả: Cho f,gR x and deg f n,deg gm
thì
m n g
f
deg
n m g
f
deg
n m max g
f
deg
.
)
(
; )
(
IV.Đa thức sai phân:
Cho fR x ,deg f n đa thức sai phân:
n i n i
n
i i i
n n
i i
f f(x 1) f(x) a (x 1 ) a x 1 x
0 0
có bậc là n-1 và hệ số cao nhất na0
Từ đó ta có dãy đa thức sai phân giảm dần một bậckf
V.Đa thức Chebyshev:
Tn(x) với
( ) 2 ( ) ( ), 1
) ( , 1 ) (
1 1
1 0
n x T x T x x T
x x T x T
n n
n
Cụ thể: T0(x) = 1
T1(x) = x
T2(x) = 2x2 – 1
T3(x) = 4x3 – 3x
T4(x) = 8x4 – 8x2+1
T5(x) = 16x5 – 20x3 + 5x ,…
Đa thức Chebyshev Tn(x) có bậc n và có hệ số cao nhất 2n-1 Đôi khi ta chỉ xét n 1 trở đi
Kết quả:
(1):Tn(cos ) cos Ta chứng minh bắng qui nạp theo n lớn hơn hoặc bằng 1
Khi n = 1: T1(cos ) cos
Khi n = 2: T2(cos ) 2cos2 1 cos2
Giả sử Tk(cos ) cosk thì
) ( ) 1 (
) 1 ( ) (
) (
) 1 (
2
) ( )
( 2 )
1
True k
cos
k cos k
cos k
cos
k cos cos
cos
cos T cos T cos cos
T
k
k k
k
Do đó: Tn(cos ) cosn
1 , 1 ,
1 )
(
:
)
2
( Tn x x Vì x 1 nên đặt x=cos Tn(x) Tn(cos ) cos n 1
1 )
(
:
)
3
( Tn x có đúng n nghiệm phân biệt trên 1 , 1 là: , k 0 , 1 , ,n 1
n
cosk x
Trang 5Với x 1thì Tn(x) 1 cosn 1 sinn 0 n k ,kZ k ,kZ
n
Do đó: ,k 0 , 1 , n 1
n cosk cos
VI.Đa thức lượng giác:
k
k k
n
1
)
L với an bn 0 gọi là đa thức lượng giác cấp n với các hệ số a0 , ak , bk
Nếu các ak = 0 thì
k k n
1
) (x a b sinkx L
Nếu các bk = 0 thì
k k n
1
)
L
Ví dụ:
Cho đa thức:
8 )
(
; 3 4
) (
1 2
) (
2 3 4
2 3
x x x h x
x x g
x x x x f
Xác định f(x) + g(x); g(x).f(x); h(x3) và g0h(x)
Giải:
Ta có: f(x) + g(x) = x3– 2x2 + x – 1 + 4x2 – x + 3 = x3 + 2x2 + 2
f(x).g(x) = (x3– 2x2 + x – 1)( 4x2 – x + 3)
= 4x5 – 9x4 + 9x3 – 11x2 + 4x – 3
g0h(x) = g(h(x)) = 4(- x3 + x2 +8)2 – (- x3 + x2 +8) +3
=4x6 – 8x5 + 4x4 – 63x3 + 62x2 + 251