Mục tiêu của luận văn Chuỗi khoảng trong không gian khoảng nghiên cứu xây dựng các khái niệm của chuỗi trên không gian khoảng và chứng minh một số kết quả tương tự của chuỗi số cho chuỗi khoảng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Trang 1ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TRAN VAN HIEU
CHUỖI KHOẢNG
TRONG KHÔNG GIAN KHOẢNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Trang 2ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TRAN VAN HIEU
CHUOI KHOANG
TRONG KHONG GIAN KHOANG
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
Trang 3LOI CAM DOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu,
kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bắt
kì công trình nào khác
Đà Nẵng, tháng 8 năm 2017 Tác giả
Trang 4LOI CAM ON
Lời đầu tiên của luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo TS Phan Đức Tuấn, là thầy hướng dẫn, đã giới thiệu đề tài, cung cắp tài liệu và
hướng dẫn tận tình trong suốt quá trình tác giả thực hiện đẻ tài của mình
Trong suốt quá trình tác giả nghiên cứu, tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ cũng như những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy, các cô ở Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Đại học Đà Nẵng Từ đáy lòng mình, tác
giả xin chân thành gởi lời cảm ơn tới các thầy cô
Xin chân thành cảm ơn các anh, chị em trong lớp cao học Toán giải tích
khoá 31 và các bạn bè đồng nghiệp đã luôn bên cạnh động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Sư phạm Đại học Da Nẵng
Tác giả
Trang 5MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 4 NO .-daddaia 1 CHƯƠNG 1 CHUỖI SỐ 222222222222 222*2+ 3 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN à cà Sàn 3 12 CHUỔI SỐ DƯƠNG cà về sàn nh vs 8 1.3 CHUOIDAN DAU 0.0.2.0 eee ec ec ec ee ec ee ecececeeeeeeneene 15
Trang 6MUC LUC
CHƯƠNG 3 CHUỖI KHOẢNG 30
3.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN cà sàn sì 30 3.2 CHUỖI KHOẢNG DƯƠNG . 2c cccScc 36
3.3 CHUOI KHOẢNG ĐAN DẦU .cc c5 4
3W Pvưiiiaađđiiidađa 48
Trang 7DANH MUC CAC KY HIEU xa 1) x,X d(xy) lim Tap hợp các số nguyên dương Tap hợp các số thực
Khoang dong trong R
Tap tat cd cdc khoảng dong trong R Phân tử của tập /(E)
Metric trong /(E)
Gidi han trong R
Trang 8MỞ ĐẦU
1 Lịch sử vấn để và lý do chọn đề tài
Giả
năm mươi của thế kỷ 20 Những ý tưởng về Giải tích khoảng được dua ra trong h khoảng là một nhánh mới của toán học, ra đời vào những năm
luận án tiến sĩ của Moore R E tại đại học Stanford vào năm 1962, sau đó được xuất bản thành sách với tiêu đề *Interval analysis” vào năm 1966 [6] Năm
1991, tạp chí quốc tế “Interval Computation” được sáng lập là mốc son đánh
dấu sự phát triển của lĩnh vực này, (từ năm 1995, tạp chí này phát hành dưới tên
*Reliable Computation”) Năm 1993, một hội nghị quốc tế về Giải tích khoảng
được tổ chức tại Lafayette Năm 1995, hội thảo quốc tế về ứng dụng của Giải tích khoảng được tổ chức tại EL Paso, Texas
Kể từ đó đến nay giải tích khoảng không ngừng phát triển Các vấn đề như hàm khoảng, phép tính vi phân, phép tính tích phân trong giải tích khoảng được
khá nhiều người quan tâm Trong đó có thể kể đến Moor R E [6], Neumaier
A [2], Sainz M A., Armengol J., Calm R., Herrero P., Jorba L and Vehi J [3] Với việc ra đời của hiệu Hukuhara đã giúp các nhà toán học xây dựng được khái niệm đạo hàm Hukuhara và đạo hàm Hukuhara tổng quát Trên cơ sở đó các nhà toán học đã nghiên cứu về phương trình vi phân trên khoảng và mở rộng ra
phương trình vi phân mờ
Tùy nhiên, các nghiên cứu chuyên sâu về chuỗi khoảng trong không gian
khoảng vẫn chưa được đề cập Dựa vào các phép toán đã được định nghĩa trên
không gian khoảng ta sẽ đưa ra định nghĩa về chuỗi khoảng trong không gian khoảng Với việc trang bị metric trên không gian khoảng ta có thể định nghĩa về sự hội tụ của chuỗi khoảng Với mục đích tìm hiểu về chuỗi khoảng tôi chọn
đề tài “Chuỗi khoảng trong không gian khoảng"
2 Mục tiêu nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu xây dựng các khái niệm của chuỗi trên không gian
Trang 92
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận văn là lý thuyết chuỗi số, giải tích khoảng và lý thuyết chuỗi khoảng
Phạm vi nghiên cứu của luận văn là các phép toán số học, metric trên tập khoảng, chuỗi khoảng đương, chuỗi khoảng đan dấu và một số tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi khoảng
4 Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp các tài liệu liên quan đến chuỗi số, giải tích khoảng, metric trên
tập khoảng nắm cốt lõi nội dung kiến thức từ đó sắp xếp trình tự một cách có
hệ thống và khai thác ứng dụng theo đề tài đã chọn Hồi ý kiến của giáo viên hướng dẫn
5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết, có thể dùng làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên, học viên cao học ngành Toán Luận văn góp phần làm phong phú
thêm các kết quả của giải tích khoảng
6 Cầu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và t
làm ba chương Chương 1, trình bày lại một số kết quả liên quan đến chuỗi số iéu tham khảo luận văn được chia Chứng minh chỉ tiết các kết quả đã nêu và đưa ra ví dụ để làm rõ hơn các kết quả ấy Chương 2, trình bày một số khái niệm cơ bản của tập khoảng Trang bị p khoảng để từ đó chỉ ra tập khoảng cùng với metric trên là không gian metric đầy đủ Chương 3, trình bày các khái niệm chung cho chuỗi khoảng, chuỗi khoảng dương và chuỗi khoảng đan dấu Đưa ra và chứng minh một số tiêu chuẩn hội
các phép toán số học cho tập khoảng Phần cuối là trang bị một metric trên
Trang 10CHUONG 1
CHUỖI SỐ
1.1.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Cho day số ứ, 2, tra, ta gọi tổng vô hạn
Vian Say ten te na (1) al là chuỗi s Số sư được gọi là số hạng tổng quát hay số hạng thứ n của chuỗi số (1.1) Tổng ø số hạng đầu tiên Si = You, =
được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số (1.1)
Trang 114 Áp dụng công thức tính tổng n s6 hang dau tiên của cấp số nhân, ta có Suy ra 1 lim S, = li 1-—)=1 tụ Vậy chuỗi số (1.2) là 'Ví dụ 1.1.3 Cho chuỗi số ntl xm = (1.3) Ta có, tổng riêng thứ m của chuỗi số (1.3) được xác định bởi n+l n 2.3 $,=Ini+InS+:+tIn Do đó
jim S, = lim In(n+ 1) = +09
'Vậy chuỗi số (1.3) là phân kỳ Ví dụ 1.1.4 Cho chuỗi số Y(t =-141- + ("+ (14) Tổng riêng thứ ø của chuối số (1.4) được xác định bởi s, 0 nếu n=2k, 7 =1 nếu n=2k+l
Do đó, không tồn tai lim S, n~ye
Trang 125 Định lý 1.1.1 (xem [1, 2]) Néu chuỗi số 3, wy hội tụ, thì Tim uy = 0 Chứng mình Ta có lim S„ = § € Tề và ty = Sy —Sp-1- Do đó lim u, = lim (S, —S,-1) =S—S=0 .1.5 Định lý 1.1.1 được gọi là điều kiện cân để chuỗi số hội tu Do đó:
i, Néu ty #0 Khi n > 00, thi chudi sé Yup phân kì mt
ii Nếu lim „ — 0, thì chưa nói gì về sự hội tụ của chuỗi sé Yup noe not
Định nghĩa 1.1.6 ( xem [1]) Giả sử chuỗi sé Fu, hoi tụ và Š là tổng của nó Khi đó hiệu số " rạ=S—% được gọi là số dư thứ n của chuỗi số đã cho Nhận xét 1.1.7 Ta có lim r, =0 =e
Định lý 1.1.2 (xem [1]) Nếu chuỗi số 3 w; hội tụ, thì ml
Tn = Yo nek = ng Hn Hove tne toes “ tức là rạ là tổng của chuỗi số }- u„x mi
Ching mink, Goi Sy la tng riêng thin và S là tổng của chuỗi số Eup Khi đó mt lim S, =S
me Tổng riêng thứ k của chudi sé Y tinge là mt
Trang 13—Sn-Suy ra fim T= lim (S44 ~S,) = 8 ~S, =r Vậy chuỗi số }ˆ w„-¿ hội tụ và có tổng 1a rn n Định lý 1.1.3 (xem [1, 2)) Giả sử È uy và} vụ là hai chuỗi số hội tụ và có mn tổng tương ứng là S và T Khi đó:
i Chuỗi số 3, (uụ + vụ) hội tụ và có tổng là S+ T i
ñ Nếu À.€ R là một hằng số thi chuỗi số 3, Xu, hội tụ và có tổng là AS mi Chứng mình
i Gọi S„, 7, , theo thứ tự là tổng riêng của các chuỗi số
Ta có
Bq = (ur tv) + (uot v2) +++ (tn + Yn)
= (uy Huy tees ty) + (Vị + Và + e+ Vụ)
=Sn+Th
Do đó
lim 8, = lim (S,+T,) = lim S, + lim T, = §+7 Vậy chuỗi số © (un + vụ) hội tụ và có tổng là $ + 7 mi
ii Gọi K, là tổng riêng thứ ø của chuỗi số } ` Ax,„ ta có
Trang 147
Vậy chuỗi số } Âu, hội tụ và có tổng là A5 wl
Dinh lý đã được chứng minh o
Dinh ly 1.1.4 (xem [1]) Cho chuỗi số ¥ un va sé m EN Khi dé, chuỗi số mi
¥ tụ hội tụ khi và chỉ khi chudi sé ¥ ty hOi tu ^ nom Ching minh Goi S,,T; theo thứ tự là tổng riêng thứ ø và thứ k của các chuỗi số } mg và } mạ Tàcó ml nome La an = (uy pug toe + tinge) = (ta + tte +o tm) = Sn —Sm Do đó, nếu chuỗi số 3ˆ ø„ hội tụ thì i lim S, =5, suy ra
fim T, = fim (Syst Sn) = 8 ~ Sw
Vay chudi sé Eu, hoitu noms
Ngược lại, néu chudi sé Eup hoi — tu thi
lim 7¡ =7, mm
suy ra
lim 8, = lim (Tym +S) = T + Sy
Vậy chuỗi số }- ø„ hội tụ n
Định lý 1.1.5 (Tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số, xem [2]) Chuỗi só yr uy, hoi tu n=l
khi và chỉ khi với mỗi e > 0 bắt kì, tôn tại số N € Ñ sao cho
[Em+i + Én+2 + + Untp| < E,Vn > N,Wp EN
Trang 1510 Ta xét các trường hợp sau: i Néu œ < 0, thì uy = "2% e nên theo Định lý 1.1.1, suy ra chuối số ne (1.7) phân kỳ ii Nếu œ = 0 thi u, = 1 “1 nén theo Dinh ly 1.1.1, suy ra chuỗi số (1.7) phân kỳ iii Nếu œ > 0, thì hàm ƒ( thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.2.2 trén [1, +e) tee
Mặt khác, theo kết quả của tích phân suy rộng ta có ƒ ƒ(x)dx hội tụ khi 1 > 1 và phân kỳ khi œ < 1 nên chuỗi số (1.7) hội tụ khi œ > 1 và phân kỳ khi 0< œ< 1 Theo (i)-Ciii), ta c6 chuỗi số (1.7) hội tụ khi œ > 1 và phân kỳ khi œ < 1 Vi du 1.2.3 Cho chuỗi số Ya (18) Đặt ƒ(x) ing: T# 6 f không âm, liên tục và đơn điệu giảm trén [3, +22) Mặt khác [ ƒ@)dx= lim oa J xi
= lim (Injlnb| —Inin3) = .¬ Vậy theo tiêu chuẩn tích phân thì chuỗi số (1.8) phân kỳ
Định lý 1.2.3 (Tiêu chuẩn so sánh 1, xem [1, 2]) Gid si? ¥ uy va E vq là hai cẩn
chuỗi số dương và tạ < vụ, Yn > nụ, khi đó
i Nếu chuỗi số } vạ hội tụ thì chuỗi số } u„ hội tụ
Trang 16"
Chứng mình Theo Định lý 1.1.4, ta có thể giả sử nọ = 1 (nghia 1 u, < vp, Vn)
Goi S„, 7„ theo thứ tự là tổng riêng của các chuỗi số YF un, Y vn, theo giả thiết nt” nat ta có Sp < Ty, Vn EN d9) i Nếu chuỗi số }` vụ hội tụ và có tổng là 7, nghĩa là lim 7„ = 7 Khi đó xế =u SiS Ty ST, Vn EN
Theo Dinh lý 1.2.1, suy ra chuỗi số 3 um, hoi tụ mt
ii Suy ra tit (i) bằng phép phản chứng Định lý đã được chứng minh ữ Ví dụ 1.2.4 Cho chuỗi số (1.10) bị Khi đó, với mọi ø € Ñ, ta có nl<n" = Inn! <Inn" = 1 > 1 Inn! ~ nlnn >0 ae il ‘ °
Theo Ví dụ 1.2.3, thì chuỗi sé —— phan kj Ấp dụng tiêu chuẩn so sánh 1, "=2
ta suy ra chuối số (1.10) phân kỳ
Định lý 1.2.4 (Tiêu chuẩn so sánh 2, xem(1]) Giả sử }- w và 5 vn là hai x4 ¬D a me
chuỗi số dương thỏa mãn lìm — = k Khi đó mm Vn
i Néu 0 <k < +00 thì hai chuỗi số }-, ưa và }- va cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ Thẩm
ủi Nếu k= 0 và chuỗi số }- vụ hội tự thì chuỗi số} u hội tụ wi oi
Trang 1712 i Ty fim “* =k, ta 06 Ve > 0,3m € Ñ : Vn > nọ => a i|<e Vn Do đó “ <k+e> uy < (k+£)v„, Vn > no n
+) Nếu chuỗi số }' v„ hội tụ thì chuỗi số } (k-+£)v„ cũng hội tụ Theo „ ml Định ly 1.1.3, ta suy ra chudi sé Yun hoi tu mt
+) Nếu chuỗi sé 5 v, phan ky thì ta cũng làm tương tự, tuy nhiên chú ý n=
In cả Yn 1 : 1 «ok
Trang 1814 <3 (2nt+3)\" Yr (5) (1.12) Vi du 1.2.6 Cho chuỗi số 2n lim ÿ = li vin nhân +1
“Theo tiêu chuẩn Cauchy, ta suy ra chuỗi số (1.12) hội tụ
Định lý 1.2.6 (Dầu hiệu D'Alembert, xem|2]) Giá sử 3ˆ ưu là chuỗi số dương net
va
Khi đó
¡ Nếu D< 1 thì chuỗi sé ¥ uy hoi me cad
Trang 1915 Suy ra ứy z2 0 khi „ —> se Do vậy theo điều kiện cần ta suy ra chuỗi số Ð 1, phân kỳ ml Dinh lý đã được chứng minh o 'Ví dụ 1.2.7 Cho chuỗi số = 3g LS (1.13) m1 "n! - Dat uy, = mm Ta có —3'!(w‡1)!— 33(n‡l)n — 3.3"n! Mel Taye (att ly (atl) nên Uns 38ml nh — ân (c1 Un ! (n+1)”3m (n+ 1)" n+1/)° suy ra " "3 tim 2” = lim 3(L~ ! ) = >1 mâm no ae n+l e
Theo tiêu chuẩn D’Alembert, ta suy ra chuỗi số (1.13) phân kỳ 1.3 CHUỖI DAN DAU
Định nghĩa 1.3.1 (xem|2]) Chuỗi đan dấu là chuỗi số có dạng
+ CD = E(u tte (AD +.) dA)
trong đó 1, > 0 véi moi n
Để đơn giản ta xét chuỗi đan dấu có dạng
(TU) te = ty — 8+ + (—1) an (1.15)
=
Định lý 1.3.1 (Dau higu Leibniz, xem [1, 2]) Nếu {w„} là một dãy giảm và lim uy = 0 thì chuỗi số đan dấu (1.15) hội tụ
Trang 20
16 Do {uy} là đãy giảm nên ta có
Som+2 — Som = W2m+I — Ham‡2 > 0, Ym € Ñ
suy ra day {Sa} là dãy tăng
Ngoài ra, với mọi mm € Ñ ta có
Som = uy — [(Uạ — tạ) -‡ (Ma — Ms) -E + (Wym—2 — Mam—1) + am] < tị
Nhut vay, dy {Som} 1A tăng và bị chặn trên nên hội tụ
Gia sit day {Sau} hội tụ về S Ta đi chứng minh đãy {Sz„,¡} cũng hội tụ
về $ Thật vậy, do dãy {⁄„} hội tụ về 0 và
Som+1 = Som + lost
nén
Tim S541 = lim Som + lim wa„¿¡ = §+0= 8
Dinh ly đã được chứng minh o Vi du 1.3.2 Cho chuỗi số ` 1.16 Live 1.16) Dit un = Dé thay day {un} 1a day gidm va im va+l
“Theo tiêu chuẩn Leibniz, ta suy ra chuỗi đan dấu (1.16) hội tụ
Nhận xét 1.3.3 Nếu chuỗi đan dấu (1.15) có lim w — À # 0,
thì không thể áp dụng tiêu chuẩn Leibniz để khảo sát được Tuy nhiên, ta có thể
Trang 2117
CHƯƠNG 2
KHÔNG GIAN KHOẢNG
2.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 2.1.1 Tập khoảng Nhớ lại rằng, khoảng đóng trong ï* được ký hiệu là [a,b] va la.b]={xeR:a<x<b} Ta ký hiệu 1) = {[a,b]: a,b €TR,a < b} là tậ ic khoảng đóng trong 3 (thu gọn ta chỉ gọi tập các khoảng trong R) Để thuậ cai dam: a, b, x, y, A, B, X, Y, và gọi là khoảng Với mỗi khoảng x € /(R),
én cho việc trình bay, ta ký hiệu các phần tử của /(E) bằng chữ
các điểm đầu và điểm cuối của x sẽ được ký hiệu tương ứng là x và Khi đó
x= Íx,1], tương tự cho khoảng X = [X,X]
Hai khoảng x và y được cho là bằng nhau nếu chúng là cùng một tập Do đó
x=yo {i oe = (2.1)
2.1.2 Khoảng suy biến
Ta nói rằng khoảng x là suy biến nết
chỉ chứa một số thực x Do đó, ta quy ước một số thực x là một khoảng suy biến [x,x] Theo đó, chúng ta sẽ hiểu 0 = [0,0] và C /(R) „ Như vậy, một khoảng suy biến Trong tập /() mở rộng, ta quy ước
—ee = [—e9,—ee]; +es = [-+00, +00), 2.1.3 Giao, hợp và khoảng đóng của hai khoảng
Giao của hai khoảng x và y là rỗng nếu ÿ < x hoặc š < y Trong trường hợp
này ta viết
Trang 2218
để chỉ ra rằng x và y không có điểm chung Ngược lại, ta có x(1y là một khoảng xác định bởi
xny = {z:zex,zey}
= [max {x,y} ,min {z,5}]
Trong trường hợp sau này, hợp của x và y cũng là một khoảng xác định bởi
xUy = {z:zExVzey}
y} »max {x,F}]
Nhìn chung, hợp của hai khoảng không phải là một khoảng Tuy nhiên, khoảng đóng của hai khoảng được xác định bởi xUy = [min{x,y},max { luôn luôn là một khoảng và có thể được sử dụng trong tính toán khoảng Chúng ta có xUy C xUy, cho bắt kỳ hai khoảng x và y Ví dụ 2.1.1 Cho x — [0,2] và y — [—1, 1] Ta có xñy = [max{0,—1},min{2, L}] = [0,1], xUy = [min{0,—1},max{2, 1}] = [—1.2]-
2.1.4 Độ rộng, trị tuyệt đối và giá trị trung bình của khoảng
Trang 2319 'Ví dụ 2.1.2 Cho x = [0,2] Ta c6 @(x) =2 |x| = max{0,2} =2 m(x) =3(0+2) =1 2.1.5 Quan hệ thứ tự trên /()
Như ta đã biết, tập các số thực ïR được sắp xếp theo quan hệ (<) Mối quan
hệ (<) có tính chất bắc cầu: nghĩa là nếu a < b và b < e thì a <c cho bit ky
a,b,c € ÏR Ta định nghĩa một quan hệ tương tự trén /(R) nhu sau:
x<yoxc<y (2.2)
Quan hệ xác định bởi (2.2) có tính chất bắc cầu Ta có thể định nghĩa một quan
hệ thứ tự trên /(R) nhu sau:
xcye {25s (23)
Nhận xét 2.1.3 Quan hệ (2.2) trén /(R) khong 1a quan hé toan phan
Ví dụ 2.1.4 Cho các khoảng a = [1,3],b = [4,6] vac = [5,6] Tacé a <b, con
Trang 26iv 22 Ta có do đó (xy).z = [min S,maxS] = x (y2) Ta có 2.x = [min{Ax,A#},max{Ax.A#}] suy ra 1.x =[min{ Ix, 1}, max{ Lx, 13}] =lx]=x Ta có
Ä.(x+y) =Ímin{A(x+ y),A(#+)},max{A(x + y).ÀA(%+)}]
Trang 2723
Nhận xét 2.2.4 Ta có
a? =a.a= [min {a”,aai,aa,a"} max {a’,aa,aa,a°}} ,
do vậy việc xác định a” là khá phức tạp Tuy nhiên, khi a > 0 thì ta có thể xác dinh a”, y/a, theo các công thức cho ở mệnh đẻ sau:
Trang 2824
2.2.3 Phép chia
Như với số thực, phép chia có thể được thực hiện thông qua phép nhân bởi
nghịch đảo của các toán hạng thứ hai Đó là XE (2.9) y trong đó (2.10) với điều kiện 0 ý y Ví dụ 2.2.5 Cho x = [—1,2] và y = [5,7], ta có - y [75] suy ra [minS.maxS] = [- trong d6 1 S= {- ¬ 2.3 KHONG GIAN METRIC KHOANG 2.3.1 Metric trén tap khoảng /(TE)
Mệnh đề 2.3.1 Ánh xạ d : 1(R) x I(R) —› R*, xác định bỏi
(x,y) = max {|x—y| [7 —yl]}, (2.19)
là một metric trên tập khoảng I(R)
Chưứng mình Ta đì kiểm tra đ thỏa mãn các tiên để của metric i Với moi x, y € 1(R), ta có (x,y) = max{x= y| Khi
ii, Với mọi x, y € /(R), ta có
Trang 29ii Với mọi x,y,z € I(R), ta có
{ < max{|x—z|,|#— š|} + max{|z 3l} < (x,z) +d(z,y) | II < max{|x~ z|.|#— š|} + max{|z y|.|lš— ÿ|} < d(x.Z) + d(z.y) suy ra ~ 4(x,y) = max{|x— y|,Ìx—ÿ|} < d(x.z) +d(z,y) Mệnh đề đã được chứng minh a
2.3.2 Sự hội tụ trên /(E)
Trang 3026 Chon ng = max{m,n3} Khi đó với mọi ø > nọ, ta có |x,—xl<£ i l<e = max{|x„— x|, |š„ — |} < E (2.12) Mặt khác, với moi n € Ñ ta có Xu < š„ = lim x„ < lim š„ => x < Ẩ
Dit x = [x,3], rõ ràng x € /(8) Do đó, từ (2.12) suy ra đ(Xxu,X) < với mọi
n> no Nhu vay x, 3 x n
Bổ đề 2.3.3 Giả sử dãy số {x„} hội tụ về x và dãy số {y„} hội tụ về y Khi đó
Trang 3127 iv, Nba x, 2s x9 hi L 18, 1 1 (04m vn EN) Chứng minh i Gia sit x, “= xo vay, “= yy Theo Định lý 2.3.2, ta có R [rần s [sầu TRO %, 3% Fy Fo Ro suy ra Xu +, S ấp ty, 5+3, F045 Với mọi € > 0, ta có 3m : Yn > mị : |(x; + y„) — (xạ + yạ)| < E,
Trang 3228
0,3: Vn > m:: (43a) ~ (0 Fo)| < : |@-y,) -Go-y,)| <e
Chọn nọ = max{m\,n›} suy ra với mọi ø > nọ, ta có
|, —a) (xo —Ÿo)| <£ (Œ6—y/)—(Eo—yy)| <£ suy ra (-y,)~ o-y,)|} <e max{|(x„ — Ÿ„) — (xo —Ÿ0)Ì› Như vậy đ(X,—Y„.Xo—Yg) <£ a A(R), NEN Xy — Yn —> Xo —Yo- iii, Theo Dinh ly 2.3.2, ta có Mặt khác “Theo Bổ đề 2.3.3, ta có
{ im min {Ax,,Ä#,} = min {Äxụ, Xu},
Ẩm max (Aw,,A,} = max {xp,A¥o}
Từ đó suy ra
Trang 3329 hay 1 8) —> 1 mn XO Mệnh đề đã được chứng minh o
2.3.3 Tính đầy đủ của không gian metric khoang
Định nghĩa 2.3.2 Dãy khoảng {x„} C (/(8),đ) được gọi là đây Cauchy trên
1(®) nếu
'VE > 0, 3ng : Vn,m > nọ => d(Xn,Xm) <€
Dinh lý 2.3.5 Tip I(R) cùng với metric (2.11) là không gian metric đẩy đủ
Trang 3430
CHUONG 3
CHUỖI KHOẢNG
3.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Định nghĩa 3.1.1 Cho một dãy khoảng {a„} C /(E) Ta gọi tổng vô hạn
Vian = ay tart tant (4.1)
nt là một chuỗi khoảng
Tổng m số hạng đầu tiên
S„ = ai +82 + +iân,
được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi khoảng (3 L)
Nhận xét 3.1.2 Giả sử S„ = [$„.,} là tổng riêng thứ ø của chuỗi khoảng (3.1) Khi đó
Su =ứi ga + + đụ, Šy = +; + +in
Định nghĩa 3.1.3 Nếu tồn tại giới hạn
thì ta nói rằng chuỗi khoảng (3.1) là hội tu và § được gọi là rổng của chuỗi khoảng (3.1) Ký hiệu
s=Ya,
ml
Trong trường hợp ngược lại ta gọi chuỗi khoảng (3.1) là phân kỳ Ví dụ 3.1.4 Cho chuỗi khoảng
(32)
Trang 3531 2 1 Š.=È tr nel Suy ra _fl 1 1] @, fl J_ s=[I('-3)a “yea
Vậy chuỗi khoảng (3.2) hội tụ vẻ S
Trang 3632
Do vậy, chuỗi khoảng F a, hội ty ve S f=)
Dinh lý đã được chứng minh n
'Ví dụ 3.1.5 Cho chuỗi khoảng
(3.5) Xét hai chuỗi số
(46)
“Theo kết quả của Ví dụ 1.2.2, ta suy ra hai chuỗi số (3.6) hội tụ Áp dụng Định
lý 3.1.1, ta suy ra chuỗi khoảng (3.5) h
Trang 37
33
Nhận xét 3.1.7 Từ điều kiện cần ta suy ra là nếu lima, =a 4 0 thi suy ra chudi ma khoảng }ˆ a, phân kỳ rã
Định lý 3.1.3 Giả sử È a„ và } bạ là hai chuỗi khoảng hội tu và có tổng là T va S Khi đó TH
¡.- Chuỗi khoảng È, (a„+b,) hội tụ và có tổng là T+S i
ii Chuỗi khoảng 3, Aa, hội tự và có tổng là NT „Ti Chứng mình ¡ Gọi T„, S„ theo thứ tự là tổng riêng của chuỗi khoảng }ˆ a„, }- bạ Ta có limT,=T, limS,=S hạn +) Xét chuỗi khoảng 3` (a, + bạ) (3.8) Ai Gọi tổng riêng thứ ø của chuỗi khoảng (3.8) là K„ ta có =(ãi +bị) + : + (a„ + bạ) =(a) +++: +a,) + (Bị + - + bạ) =T; + Su Áp dụng Mệnh đề 2.3.4, ta có
lim K, (Tn +Sn) = lim Ty + limS, =T +S
'Vậy chuỗi khoảng (3.8) hội tụ và có tổng là T + § +) Xét chuỗi khoảng 3` (a, — bạ) 3.9) it
Gọi tổng riêng thứ ø của chuỗi khoảng (3.9) la H,, ta có H, =(a1 — bi) + + (an — bạ)
=(Ai +: + 8y) = (Di +o +p)
Trang 38Áp dụng Mệnh đề 2.3.4, ta có
lim H,, = lim(T, - S,) = limT, - limS, =T- S Vay chuỗi khoảng (3.9) hội tụ và có tổng là T~ S
ii Goi tng riêng thứ n của chuổi khoảng J Àa, là P, Theo Tính chất 2.2.2
ta có =
Shay + hart +hay
=À(ai + âa + - + a,) =ÁT, Áp dụng Mệnh để 2.3.4, ta có lim P, = lim 27, Vậy chuỗi khoang ¥ Aa, hdi tụ và có tổng là AT ml o Dinh ly 3.1.4 Cho chudi khodng = 4, và một số m € Ñ Khi đó, chuỗi khoảng Ề a„ hội tu khi và chỉ khi chuỗi khoảng} a„ hội tự mm+l
Chứng mình Gọi S„„T, theo thứ tự là tổng riêng thứ ø và thứ & của chuỗi
khoing Y an, YL an Tacd nl „ta t Nếu chuỗi khoảng }ˆ a, hội tụ thì wi -S Sot aa (3.10) Suy ra
fim Ze = Jim (S„„,— 3,) = Jim ( limT; = lim n(Š„ — Š„) = lim (
— koje
Trang 39
35 Dit T=(S-S,,,5-Sn] Khi đó T € /(R) va theo Dinh ly 2.3.2, ta thu được 1), T, 1
Vay chudi khoing 5 a, hditu n=m+1
Ngược lại néu chudikhoang Ya, hoi tu thi noms jim, = jim, =T limT; = T<> kìm Theo (3.10), ta có
lim 8, — lim (7„_„ + 8„) = lim (T+§„) =7+%„
lim Š„ = lim (T„ „ + S„) = lim (T+S„) =T + S„
Mặt khác, do Š„ < Š„ nên 7+ §„ < T + S„ Đặt A = [7+ §„,Ÿ + Š„} Ta có
AcI(R) va
lim S, = A
Vậy chuỗi khong 5: a, hdi tu wi n
Định lý 3.1.5 (Tiêu chuẩn Cauchy) Chudi khodng ¥ a„ hội tu khi và chỉ n=l
khi Ye > 0 tén tại nạ € Ñ sao cho Vn > nọ = d(đ,+¡ + 4n42 + + Ans ps0) <
e, VpeN
Chứng mình Giả sử chuỗi khoảng } a„ hội tụ Gọi S„ là tổng riêng của chuỗi nel khoing ¥ a, ad
Do chuỗi khoảng È a, hội tụ nên dãy khoảng {S,} hội tu Ma day hoi tụ
la day Cauchy nên {S,} là đấy Cauchy trong /(R) Từ đó suy ra với mọi e > 0
tồn tại số nọ € Ñ sao cho với mọi ø > nọ, ta có d(Sn+p,Sn) <€, Vp EN,
nghĩa là
Trang 40Ménh dé 3.2.1 36 suy ra max {|dy.¢ + dnya to + Gang pl [net +Gne2 +o + Fn pl} <8, hay (Ans + „+2 + +8„„,) < E Ngược lại, giả sử (aq + a2 + +a„„,) < E,
tương tự như trên, suy ra dãy khoảng {S„} là dãy Cauchy trong /(IR) ma (1(R), 4)
là đầy đủ nên dãy khoảng {S,} hội tụ
Vậy chuỗi khoảng Ễ a, hoi tụ o
Ví dụ 3.1.8 Cho chuỗi khoảng Với mọi ø > 1, ta có
1 1
+ +—>—+.+—
[eng oe Fan] = 2(n+1) 4n “ân 4
Z xin at „1 11 d unn 1 nan _1 suy ra
đ(A,, + 8ạ,2 + © + 8a„,) > ;
Do đó, nên theo Định lý 3.1.5, chuỗi khoảng }ˆ a„ phân kỳ mi
3.2 CHUOI KHOANG DUONG