Tài liệu xây dựng một số dạng toán đếm dựa trên bài toán “chia kẹo euler”

1 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập Tự do Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi Hội đồng thẩm định sáng kiến tỉnh Ninh Bình 1 Nhóm tác giả sáng kiến Chúng tôi gồm T T Họ và tê.

tai lieu, luan van1 of 98 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐƠN U CẦU CƠNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng thẩm định sáng kiến tỉnh Ninh Bình Nhóm tác giả sáng kiến: Chúng tơi gồm: Nơi T T Họ tên Doãn Huy Tùng Đinh Cao Thượng Lê Thị Lan Anh Nguyễn Xuân Trường công tác THPT Kim Sơn A THPT Kim Sơn A THPT Kim Sơn A THPT Yên Mô A Chức danh Tỷ lệ % đóng góp vào việc chuyên tạo môn sáng kiến Thư ký HĐGD Đại học 40% Đồng tác giả Phó hiệu trưởng Thạc sỹ 20% Đồng tác giả Phó hiệu trưởng Thạc sỹ 20% Đồng tác giả Phó hiệu trưởng Thạc sỹ 20% Đồng tác giả Trình độ Ghi Là đồng tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Xây dựng một số dạng toán đếm dựa bài toán “chia kẹo Euler” nhằm phát triển lực giải toán Tổ hợp Xác suất của học sinh THPT Lĩnh vực năm áp dụng sáng kiến: - Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục đào tạo - Năm áp dụng sáng kiến: Bắt đầu từ năm học 2019 – 2020 Các từ viết tắt: - THPT: Trung học phổ thông - SGK: Sách giáo khoa document, khoa luan1 of 98 tai lieu, luan van2 of 98 Nội dung sáng kiến 4.1 Thực trạng giải pháp cũ thường làm - Hạn chế giải pháp cũ Trong chương trình toán THPT toán đếm xác śt ln tốn khiến đa sớ học sinh gặp nhiều khó khăn lúng túng Xét toán tiếng toán học Tổ hợp Xác suất “Chia kẹo Euler” “Có cách chia n kẹo cho k em bé” Kết cách tư lời giải toán được ứng dụng giải sớ tốn sau: + Trích đề thi đầu vào sinh viên lớp Công nghệ thông tin Chất lượng cao (2021-2022) (ĐHCN-ĐHQGHN) Alice vừa đoạt giải quán quân kì thi lập trình danh giá Ban tổ chức trao thưởng theo cách thức sau: Có n hộp xếp hàng dài n hộp có k hộp có quà đặc biệt Alice được phép chọn k hộp lấy tất quà k hộp đã chọn Ban tổ chức cho Alice biết rằng, khơng có hai hộp q đặc biệt được xếp cạnh Nhằm tăng xác suất chọn được k hộp quà đặc biệt Alice định chọn k hộp q mà khơng có hai hộp cạnh Yêu cầu: Cho hai số nguyên dương n k Gọi C số cách chọn k hộp mà khơng có hai hộp đứng cạnh dãy n hộp, hãy tính C%(10^9+7)(trong % phép tốn chia lấy dư) + Trích đề thi học sinh giỏi quốc gia năm học 2020 – 2021 (VMO) Bài 6: Một học sinh chia tất 30 viên bi vào hộp được đánh số 1, 2, 3, 4, (sau chia có hộp khơng có viên bi nào) a Hỏi có cách chia viên bi vào hộp (hai cách chia khác có hộp có số bi hau cách chia khác nhau) + Trích đề tham khảo kì thi tớt nghiệp THPT năm 2020 Câu 39 Có ghế được kê thành hàng ngang Xếp ngẫu nhiên học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó, cho ghế có học sinh Xác suất để học sinh lớp C ngồi cạnh học sinh lớp B bằng: document, khoa luan2 of 98 tai lieu, luan van3 of 98 A B 20 C 15 D + Mợt sớ tốn khác - (Bài tốn liên quan vấn đề trồng rừng) Ơng An trồng lim, long não xà cừ hàng cách ngẫu nhiên Tính xác śt để khơng có xà cừ được trồng cạnh nhau? - (Bài toán bầu cử): Trong bầu cử, ứng cử viên A được a phiếu bầu, ứng cử viên B được b phiếu bầu (a > b) Cử tri bỏ phiếu người Có cách xếp việc bỏ phiếu để lúc A B sớ phiếu bầu? - (Bài tốn mua vé): Có m + n  m  n  người đứng quanh quầy vé, có n người có tiền 5.000 m người có tiền 10.000 Đầu tiên quầy khơng có tiền, vé giá 5.000 Hỏi có cách xếp m + n người thành hàng để không người phải chờ tiền trả lại? Nhìn nhận vấn đề xung quanh tốn trên, chúng tơi nhận thấy số vấn đề liên quan đến thực trạng dạy học vấn đề liên quan đến nội dung Tổ hợp Xác suất, thực trạng nội dung đề thi ưu, nhược điểm giải pháp dạy học để giải toán nội dung  Các toán nêu mức vận dụng vận dụng cao có nội dung thực tiễn, xuất phát từ vấn đề thực tế Điều phù hợp với cách tiếp cận chương trình PT 2018 nhằm phát triển lực giải tình h́ng  Để giải tốn cần sử dụng toán tảng (kiến thức chương II ĐS> 11 Tổ hợp – Xác suất theo chương trình được trang bị nội dung chương trình khối 10,11,12 theo chương trình GDPT 2018) sử dụng phương pháp tư được đề cập đến toán “Chia kẹo Euler”  Sách giáo khoa viết cịn mang tính hàn lâm: tập chủ yếu dừng lại mức nhận biết thông hiểu; nội dung được đề cập đến đề thi đại học ; thi THPT Q́c gia trước (bây kì thi tớt nghiệp THPT); thi học sinh giỏi tỉnh, quốc gia; thi kiểm tra đánh giá lực trường Đại học…có mức document, khoa luan3 of 98 tai lieu, luan van4 of 98 vận dụng vận dụng cao Mặt khác tập được đề cập sách giáo khoa không được phân chia theo dạng định hướng phương pháp tư cho học sinh  Sách tham khảo; nguồn tài liệu mạng Internet…hầu không đề cập đến cách hệ thớng tốn theo phương pháp tư được trình bày lời giải tốn “Chia kẹo Euler” mà xuất rải rác  Vấn đề dạy học giáo viên: Khi giảng dạy phần kiến thức thuộc nội dung tổ hợp xác suất giáo viên gặp phải rất nhiều khó khăn việc định hướng hướng dẫn học sinh tiếp cận lời giải cho toán, chia dạng toán cho hợp lý nhất Thông thường đa số giáo viên dạy cho học sinh nắm được nhiều tớt, để từ thi gặp quen thuộc làm được Hoặc có định hình chia dạng để dạy cho học sinh chia theo đặc điểm đối tượng tham gia vào toán (đếm người; đếm đồ vật; đếm hình học…), mà rõ ràng dạng có rất nhiều cách tư để giải (đa dạng phương pháp cùng dạng) Điều hạn chế tính logic việc xâu chuỗi tốn cách tư duy, gây khó khăn cho việc học sinh phải ghi nhớ nhiều phương pháp giải dạng tốn Từ khơng phát huy tính chủ động, sáng tạo học sinh q trình giải tốn  Vấn đề học học sinh: Đa số học sinh tiếp thu kiến thức cách thụ động, lười tư tìm tòi sáng tạo; khả tự học chưa cao Do đó, tiếp cận toán thuộc nội dung hiểu được lời giải khả vận dụng để giải tốn khác cịn hạn chế chưa hiểu rõ phương pháp tư 4.2 Giải pháp mới: - Sáng kiến được hình thành theo dạng chủ đề dạy học (Phụ lục 2), cung cấp dạng tập (7 dạng) với nội dụng gắn với thực tiễn: + Vận dụng kết toán “Chia kẹo Euler” (Dạng đến dạng 6) + Vận dụng tư lời giải toán “Chia kẹo Euler” tư “vách ngăn” với phương pháp dạy học đổi phát triển lực học sinh - Hệ thống lý thuyết được trình bày cách đọng ngắn gọn nhất document, khoa luan4 of 98 tai lieu, luan van5 of 98 - Các dạng tập được xây dựng cách hệ thớng, có phân chia mức độ, trình hình thành lời giải có phân tích cách tư đường tìm lời giải sở giả thiết từ giúp học sinh tạo được thói quen tư liên kết gặp toán lạ - Bài tập được thiết kế chủ yếu theo hình thức trắc nghiệm để tạo điều kiện cho học sinh có khả phát huy hết lực thân * Nội dung giải pháp sáng kiến (Phụ lục 1) Có thể được tóm tắt sau: - Phần thứ nhất: Cung cấp lại cách có hệ thớng kiến thức đại số tổ hợp xác suất - Phần thứ hai: Giới thiệu nội dung toán “chia kẹo Euler”, cách giải kết - Phần thứ ba: Xây dựng số dạng toán thường gặp vận dụng kết cách tư toán “chia kẹo Euler”, cụ thể gồm dạng: + Dạng 1: Đếm số nghiệm nguyên phương trình, bất phương trình + Dạng 2: Đếm số cách phân phối đồ vật, sản phẩm + Dạng 3: Đếm số + Dạng 4: Đếm số tập + Dạng 5: Đếm hình học + Dạng 6: Lưới tọa độ + Dạng 7: Các toán vận dụng “tư vách ngăn” - Phần thứ tư: Hệ thống tập vận dụng hình trắc nghiệm - Phần thứ năm: Thiết kế hệ thống câu hỏi đánh giá, kiểm tra sau nội dung kiến thức giúp học sinh nắm được vận dụng kiến thức vào giải tình h́ng có liên quan q trình học tập Như vậy: Giải pháp đã giúp học sinh giảm bớt gánh nặng trình học tập Kiến thức cần thiết nằm khuôn khổ sách giáo khoa hành, nhớ nhiều dạng tập cách máy móc, khơng phải tớn trình mua tài liệu tham khảo Khi tiếp cận cách học theo giải pháp mới, học sinh tự chủ động tìm lời giải độc lập cho tốn dựa lượng kiến thức đã có sẵn Do học sinh chủ động linh hoạt trước tốn khơng phải áp đặt theo khuôn mẫu định sẵn document, khoa luan5 of 98 tai lieu, luan van6 of 98 Các giải pháp nêu sử dụng phần lớn kiến thức mà học sinh được học lớp Sự liên kết phần kiến thức với định hướng ban đầu khiến cho toán trở nên quen thuộc dễ tiếp cận Việc vận dụng cách phù hợp vào toán cụ thể tạo mẻ rất quen thuộc với học sinh Các tập vận dụng giải pháp toán đã xuất tài liệu tham khảo Đề thi đại học năm gần được tiếp cận cách hoàn toàn mẻ đồng thời rất gần gũi với mức độ suy luận em học sinh Hiệu kinh tế xã hội dự kiến đạt 5.1 Hiệu quả kinh tế: + Tài liệu in ấn giá thành thấp + Học sinh tự học tự nghiên cứu tài liệu tránh được việc học thêm gây lãng phí tớn 5.2 Hiệu quả xã hợi + Có tính thực tiễn cao: Kiến thức nằm SGK hành Sáng kiến tập trung vào việc phân tích tư giúp học sinh tìm lời giải Hệ thớng ví dụ tập mang tính sáng tạo, đáp ứng được yêu cầu đổi Bài tập được xây dựng kết hợp tự luận trắc nghiệm; đặc biệt tập tự luyện xây dựng hình thức trắc nghiệm phù hợp với tình hình thi cử Các toán đề thi đại học trước đây; đề thi tốt nghiệp THPT năm gần đây; đề thi HSG tỉnh quốc gia đề ĐGNL trường ĐH sử dụng cách định hướng tư giải pháp giải cách dễ dàng + Hình thành phẩm chất lực học sinh, phù hợp với yêu cầu chương trình giáo dục PT mới: Học sinh chủ động, sáng tạo học tập Phát huy được hứng thú niềm đam mê học tập Từ tự tin tham gia kì thi kiểm tra định kì thi học sinh giỏi; + Tính kết nối chia sẻ: Thông qua trao đổi chia sẻ sáng kiến với giáo viên trường đơn vị khác đã giúp giáo viên việc dạy học theo phương pháp mới, xác định được nội dung trọng tâm bài, giáo viên sử dụng tài liệu tham khảo, sáng kiến giúp cho giáo viên giảm bớt được nhiều công sức việc soạn bài, chuẩn bị lên lớp Đặc biệt, giúp giáo viên có được sớ dạng tốn hay để áp dụng q trình biên soạn đề thi Trong nhóm tác giả sáng kiến, thành viên ban soạn thảo đề thi Sở; ngân hàng đề thi Sở có người tham gia ban soạn thảo đề Bộ document, khoa luan6 of 98 tai lieu, luan van7 of 98 + Tính giáo dục định hướng: định hướng cho học sinh học tập nghiên cứu cần đề cao phương pháp tư khả vận dụng kiến thức để giải vấn đề thực tiễn Đặc biệt, ứng dụng sáng kiến môn Toán trường THPT Kim Sơn A, huyện Kim Sơn, tỉnh Ninh Bình đã cho kết bật sau: Nội dung Kết Học sinh giỏi THPT cấp tỉnh Kết Học sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh Năm 2019-2020 Năm 2020-2021 (Áp dụng sáng kiến) (Áp dụng sáng kiến) 02/03 giải (02 giải Khuyến khích) 03/03 đạt giải ( 01 giải Nhì, 01 giải Ba, 01 giải Khuyến khích) Sớ lượng học sinh được 23 học sinh nhận giải thưởng Đinh Bộ Lĩnh có kết (Có tổng điểm ba mơn khới thi truyền thống cao kỳ thi THPT 27,25 điểm) Quốc gia ĐTB mơn Tốn 8,32 Điểm trung bình mơn Tốn kì thi tớt nghiệp THPT 02/03 giải (01 giải Ba, 01 giải Khuyến khích) 03/03 đạt giải (01 giải Nhất, 02 giải Nhì) 35 học sinh (Có tổng điểm ba môn khối thi truyền thống 27,0 điểm) ĐTB mơn Tốn 8,15 (ĐTB mơn Tốn tỉnh (ĐTB mơn Tốn tỉnh 7,22 7,06 ĐTB mơn Tốn tồn q́c ĐTB mơn Tốn tồn 6,68) q́c 6,61) Khi ứng dụng sáng kiến mơn Tốn trường THPT n Mơ A, huyện Yên Mô , tỉnh Ninh Bình đã cho kết bật sau: Nội dung Kết Học sinh giỏi THPT cấp tỉnh Năm 2019-2020 Năm 2020-2021 (Áp dụng sáng kiến) (Áp dụng sáng kiến) 01/03 giải 03/05 giải (01 giải nhì) (02 giải Ba, 01 giải Khuyến document, khoa luan7 of 98 tai lieu, luan van8 of 98 khích) Kết Học sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh 04/06 đạt giải ( 04 giải Khuyến khích) 06/06 đạt giải (03 giải Nhì, 02 giải Ba 01 giải Khuyến Khích) 08 học sinh 12 học sinh Số lượng học sinh được nhận giải thưởng (Có tổng điểm ba mơn (Có tổng điểm ba mơn Đinh Bộ Lĩnh có khới thi truyền thống khối thi truyền thống kết cao kỳ 27,25 điểm) 27,00 điểm) thi THPT Q́c gia ĐTB mơn Tốn 7,83 Điểm trung bình mơn Tốn kì thi tớt nghiệp THPT ĐTB mơn Tốn 7,64 (ĐTB mơn Tốn tỉnh (ĐTB mơn Tốn tỉnh 7,22 7,06 ĐTB mơn Tốn tồn q́c ĐTB mơn Tốn tồn q́c 6,68) 6,61) Các kết bật khác: - Trong nhóm tác giả, có thầy Dỗn Huy Tùng giáo viên Toán THPT Kim Sơn A hai năm học gần dạy đội tuyển HSG Toán lớp 12 có học sinh đạt giải Nhất kì thi chọn HSG lớp 12 cấp tỉnh - Các thầy nhóm tác giả người hướng dẫn giảng dạy trực tiếp mơn Tốn cho em Nguyễn Thị Thu Hằng – học sinh lớp 12B1 trường THPT Kim Sơn A đạt vòng nguyệt quế chương trình chung kết năm “Đường lên đỉnh Olympia” năm thứ 20 - Năm học 2020 – 2021: giảng dạy em Nguyễn Hoàng Anh lớp 12B1 trường THPT Kim Sơn A đạt điểm 9.8 mơn Tốn, trở thành thủ khoa tỉnh Ninh Bình khối thi B D07 Điều kiện khả áp dụng: 6.1 Điều kiện áp dụng: - Học sinh lớp 11,12 THPT theo chương trình hành; sau lớp 10,11,12 THPT học sinh THCS (theo chương trình GDPT mới) - Kiến thức tảng: TỔ HỢP XÁC SUẤT document, khoa luan8 of 98 tai lieu, luan van9 of 98 6.2 Khả áp dụng: + Đáp ứng nhu cầu dạy học giáo viên: đổi phương pháp dạy học tích cực nhằm phát triển lực phẩm chất (Do giải pháp được trình bày dạng chủ đề dạy học) + Đáp ứng cho nhiều đối tượng học sinh, phát triển lực giải vấn đề thực tiễn học sinh nâng cao khả tư + Phù hợp với nội dung chương trình GDPT hành CT GDPT 2018; xu đề thi kì thi q́c gia; kì thi ĐGNL… + Trong tình hình dịch bệnh nay, việc dạy học phải tiến hành theo hình thức trực tuyến Khi rõ ràng việc tương tác thầy trị có hạn chế hơn, yêu cầu với người học cao tính tự giác tìm tịi Vì vậy, thấy được tính khả thi giải pháp được đề cập đến Ninh Bình, tháng 05 năm 2021 XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG ĐẠI DIỆN NHÓM TÁC GIẢ Doãn Huy Tùng document, khoa luan9 of 98 tai lieu, luan van10 of 98 PHỤ LỤC Phần MÔ TẢ NỘI DUNG SÁNG KIẾN Sáng kiến được thiết kế theo dạng chủ đề dạy học đã được nhóm tác giả áp dụng q trình giảng dạy ơn tập cho lớp ôn thi học sinh giỏi 02 nhà trường THPT Kim sơn A THPT Yên Mô A Tùy theo mức độ học sinh lớp mà tác giả đã đưa vào phần nội dung để giảng dạy cho phù hợp với tình hình thực tiễn Nội dung sáng kiến được nhóm tác giả xây dựng thành dạng tốn thường gặp vận dụng kết tư lời giải toán “chia kẹo Euler”, dạng được thiết kế theo cấu trúc: Ví dụ – Lời giải – Nhận xét, hướng suy luận tư Sáng kiến nguồn tài liệu cho thầy cô trình giảng dạy cịn tư liệu để em học sinh tự học cách tốt nhất Các em học sinh đọc lời giải hướng dẫn suy luận ví dụ từ vận dụng vào làm tập hệ thống tập được trình bày sáng kiến Phần MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VẬN DỤNG KẾT QUẢ VÀ TƯ DUY LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN “CHIA KẸO EULER” 2.1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 2.1.1 Hai quy tắc đếm Số phần tử tập hợp hữu hạn A được kí hiệu n  A A 2.1.1.1 Quy tắc cộng Một cơng việc hồn thành bởi hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiện, hành động có n cách thực không trùng với bất kì cách hành động thứ thì cơng việc có m + n cách thực Chú ý: + Quy tắc cộng được phát biểu tổng qt cho cơng việc được hồn thành bới nhiều hành động + Quy tắc cộng được phát biểu thực chất quy tắc đếm số phần tử hai tập hợp hữu hạn không giao nhau: Nếu A B tập hợp hữu hạn không giao nhau, thì: A B  A  B + Quy tắc cộng cịn được mở rộng đới với tập hợp hữu hạn, có giao khác rỗng Có thể chứng minh được rằng, với hai tập hợp hữu hạn A B bất kì, ta có: A  B  A  B  A  B , (quy tắc bao hàm loại trừ) Hoặc với tập hợp hữu hạn A,B,C ta có: A B C  A  B  C  A B  AC  B C  A B C 2.1.1.2 Quy tắc nhân Một cơng việc hồn thành bởi hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hành động thứ ứng với cách có n cách thực hành động thứ hai thì có m.n cách hồn thành cơng việc Chú ý: Quy tắc nhân mở rộng cho cơng việc được hoàn thành nhiều hành động liên tiếp 2.1.2 Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp 2.1.2.1 Hoán vị 10 document, khoa luan10 of 98 tai lieu, luan van51 of 98 + Số tập thỏa mãn số nghiệm nguyên phương trình (*) thỏa mãn (1) + Dễ dàng tính được sớ nghiệm bằng: C983 Cách 2: + Ta đặt phần tử tập được chọn vào 98 khoảng trống được tạo từ 97 số không được chọn tập con, sớ cách đặt là: C983 Đó số tập thỏa mãn điều kiện Ví dụ 2: Một tháng làm việc công ty, Lan được nghỉ phép ngày Hỏi Lan có cách chọn ngày nghỉ phép tháng năm 2021 cho khơng có ngày nghỉ phép liên tiếp? LỜI GIẢI Tháng năm 2021 có 30 ngày, chọn được ngày nghỉ thì lại 26 ngày không được nghỉ Ta đặt ngày nghỉ vào 27 khoảng trống được tạo từ 26 ngày không được nghỉ, cách đặt cho ta cách chọn thỏa mãn u cầu Do đó, sớ cách chọn thỏa mãn: C274 Ví dụ 3: Cho tập hợp A gồm 2021 sớ ngun dương Có tập A có phần tử cho tổng phần tử tập 2019? LỜI GIẢI + Gọi a, b, c phần tử tập A + Khi đó: a + b + c = 2019,(*);1 £ a, b, c £ 2021, a ¹ b ¹ c,(1) + Tức ta cần đếm số nghiệm nguyên dương phương trình (*) mà a, b, c đôi phân biệt + Số nghiệm nguyên dương phương trình (*) là: C2018 + Số nghiệm nguyên dương mà a = b = c là: nghiệm (673;673;673) + Sớ nghiệm ngun dương mà a = b ¹ c : Phương trình (*) Û 2a + c = 2019 ® c lẻ Suy sớ nghiệm là: 1009 - = 1008 , (trừ c nhận giá trị 673 2019) + Tương tự với trường hợp a = c ¹ b; c = b ¹ a có sớ nghiệm 1008 - 3.1008 - = 2032128 Do sớ nghiệm thỏa mãn yêu cầu: C2018 + Vì tập có phần tử A thỏa mãn yêu cầu sinh 3! nghiệm đã tính được Do sớ tập thỏa mãn là: 2032128: 3! = 338688 DẠNG 5: Đếm hình học Ví dụ 1: Cho đa giác có 2021 đỉnh Có tam giác, tứ giác có đỉnh đỉnh đa giác đã cho cho khơng có cạnh cạnh đa giác đã cho? LỜI GIẢI 51 document, khoa luan51 of 98 tai lieu, luan van52 of 98 Từ giả thiết suy đỉnh tam giác, tứ giác không đỉnh kề đỉnh đa giác ban đầu, từ cho ta ý tưởng cách giải dạng toán tập Nhưng đỉnh đa giác được xếp đường tròn nên đếm ta cần cố định đỉnh trước, tức chọn đỉnh tam giác, tứ giác thỏa mãn trước + Đếm số tam giác thỏa mãn: Giả sử tam giác ABC tam giác có đỉnh đỉnh đa giác đã cho mà không cạnh cạnh đa giác - Chọn đỉnh A có 2021 cách chọn - Chọn đỉnh cịn lại: Gọi x1 , x2 , x3 số đỉnh A B; B C; C A Khi đó: x1 + x2 + x3 = 2018,(*); x1, x2 , x3 > Số cách chọn đỉnh cịn lại sớ nghiệm ngun dương phương trình (*) bằng: C2017 - Do tam giác được đếm lần nên số tam giác cần đếm là: 2021.C2017 = 1369655952 + Tương tự với số tứ giác thỏa mãn: 2021.C2016 Nhận xét:Dễ dàng suy tốn tổng quát: đếm số k – giác từ n – giác cho khơng có cạnh k – giác cạnh n – giác Đáp số là: n.Cnk k1- k Ví dụ 2: Cho đa giác có 2013 đỉnh Người ta tơ màu đỏ cho 100 đỉnh đa giác Hỏi có cách tơ màu cho đỉnh được tơ có nhất đỉnh khơng được tô màu? LỜI GIẢI + Chọn đỉnh tô A1 : có 2013 cách chọn + Chọn 99 đỉnh lại: Gọi x1, x2 , , x100 sớ đỉnh 100 đỉnh với Khi đó: x1 + x2 + + x100 = 1913,(*); x1, x2 , , x100 ³ 3,(1) 99 Dễ dàng đếm được số nghiệm phương trình (*) thỏa mãn (1) là: C1713 Đó sớ cách chọn 99 đỉnh lại 99 2013.C1713 + Do 100 – giác được đếm 100 lần, nên sớ cách tơ màu là: 100 Ví dụ 3: Cho tam giác có diện tích 27 Một điểm P nằm tam giác được gọi “điểm tớt” tìm được 27 tia chung gốc P chia tam giác thành 27 tam giác có cùng diện tích? Đếm sớ điểm P? LỜI GIẢI + Nhận xét: - Các tia PA, PB, PC thuộc 27 tia chung gốc P điểm tốt P - SD PAB , SD PBC , SD PCA số nguyên dương + Với điểm tốt P , đặt x = SD PBC , y = SD PCA , z = SD PAB ® x + y + z = 27,(*) 52 document, khoa luan52 of 98 tai lieu, luan van53 of 98 Dễ thấy số nghiệm nguyên dương phương trình (*) C262 = 325 Bổ đề: “Với điểm P nằm tam giác ABC, ta ln có: uur uur uuur r xPA + yPB + zPC = ” Từ hệ thức ta dễ dàng chứng minh được với (x; y; z) tồn nhất điểm P Do đó, sớ điểm tốt P là: 325 DẠNG 6: Lưới tọa độ Ví dụ 1: Cho lưới gồm ô vuông, nút được đánh số từ đến m theo chiều từ trái sang phải từ đến n theo chiều từ lên (như hình vẽ): Hỏi có đường khác từ nút (0; 0) đến nút (m; n) cho phép cạnh ô vuông theo chiều từ trái sang phải từ lên LỜI GIẢI + Một đường thỏa mãn yêu cầu toán trải qua m + n bước bước có cách di chuyển (đây đường ngắn nhất để di chuyển từ nút (0;0) đến nút (m; n)) + Trong m + n bước đó, ta chọn m bước để để di chuyển sang phải, n bước lại ta di chuyển lên Khi sớ đường di chuyển là: Cmm+ n = Cmn + n Ví dụ 2: Trên bàn cờ 5x4 ô vuông hình vẽ đây, người chơi được di chuyển quân theo cạnh hình vng, bước được cạnh Có cách di chuyển quân từ điểm A đến điểm B bước? LỜI GIẢI 53 document, khoa luan53 of 98 tai lieu, luan van54 of 98 Di chuyển quân từ A đến B bước đường di chuyển ngắn nhất, tức bước di chuyển được phép lên sang phải Do theo ý ta suy số cách di chuyển là: C94 = C95 = 126 DẠNG 7: Vận dụng tư vách ngăn Ví dụ 1: Thầy Bình trồng lim, long não xà cừ hàng cách ngẫu nhiên Tính xác suất để khơng có xà cừ được trồng cạnh nhau? LỜI GIẢI + Ta có: W= 12! + Biến cớ A: “Khơng có xà cừ được trồng cạnh nhau” - Trồng gồm lim long não có 7! cách - Mỗi cách trồng đó, có khoảng trớng, ta chọn khoảng trớng khoảng trớng để trồng xà cừ, số cách chọn vị trí là: C85 - Mỗi cách chọn vị trí có 5! cách trồng xà cừ Do đó: A = 7!C85 5! ® P (A)= 7!C85 5! = 12! 99 Ví dụ 2: Trong giải bóng đá có 10 trận đấu được diễn vịng 30 ngày Hỏi ban tổ chức có cách xếp lịch thi đấu trận đấu cho trận đấu kề phải cách nhất ngày? LỜI GIẢI Dựa theo giả thiết ta suy ngày thứ ngày thứ 30 ngày có trận Do sớ cách xếp trận sớ cách đặt trận cịn lại vào 19 khoảng trống 20 ngày mà trận đấu diễn Do đó, sớ cách xếp lịch thi đấu là: C198 = 75582 Ví dụ 3: Một lớp có 36 học sinh được xếp theo hàng ngang cho khoảng cách hai người cạnh 0,5 mét Có cách chọn 10 học sinh hàng để sau chọn không tồn khoảng trống lớn mét hai học sinh cạnh số học sinh lại hàng? LỜI GIẢI Yêu cầu tốn sớ cách chọn 10 người hàng cho khơng có người đứng cạnh Giữa 26 người khơng được chọn có 27 khoảng trống, số cách đặt 10 người được chọn vào 27 khoảng trớng sớ cách chọn thỏa mãn u cầu Do đó, sớ cách chọn là: C2710 = 8436285 Ví dụ 4: Có cách xếp bạn nữ bạn nam vào 10 ghế ngồi mà khơng có hai bạn nữ được xếp cạnh nhau, nếu: Ghế xếp thành hàng ngang Ghế xếp quanh bàn tròn 54 document, khoa luan54 of 98 tai lieu, luan van55 of 98 LỜI GIẢI Số cách xếp bạn nam: 6! Giữa bạn nam có khoảng trớng, chọn khoảng trớng sớ xếp bạn nữ, sớ cách xếp là: C74 4! Do sớ cách xếp thỏa mãn là: 6!C74 4! = 604800 d) Cách thức tổ chức Các dạng toán được thiết kế dạng gói câu hỏi, gói câu hỏi đã được nhóm nghiên cứu nhận nhiệm vụ nên tùy thuộc vào việc lựa chọn gói câu hỏi thực nhóm để tổ chức hoạt động: + Với gói câu hỏi đã có nhóm nghiên cứu thực hiện: (Tiết 2) - Nhận xét, đánh giá kết nhóm nghiên cứu - Chính xác hóa lời giải - Đưa lưu ý liên quan đến dạng toán + Với gói câu hỏi chưa có nhóm nghiên cứu thực hiện: (Tiết 3) - Tổ chức hoạt động nhóm lớp hướng dẫn giáo viên * Củng cố giao tập + Giáo viên củng cố lại kiến thức học + Giao tập: Học sinh làm hệ thống tập trắc nghiệm (Phụ Lục 8) Hoạt động 5:Kiểm tra đánh giá học sinh thông qua kiểm tra trắc nghiệm 45 phút.(Thực lớp) Hoạt động 6: Rút kinh nghiệm 55 document, khoa luan55 of 98 tai lieu, luan van56 of 98 PHỤ LỤC 2.1: BỘ CÂU HỎI ĐỊNH HƯỚNG Bộ câu hỏi số Ơng An có 10 lơ đất liền kề với 10 sổ đỏ Mỗi lơ đất có diện tích (như hình vẽ): Ơng An có người muốn cho 10 lô đất cho người mình Để chia đất, ông An định xây tường ngăn để chia khu đất thành phần, phần ông cho người mình Hãy giúp ông An lên phương án xây mà cho đất ông An chỉ cần chuyển sổ đỏ cho mình 2.Tính xem ông An có cách thực dự định mình? Từ toán hãy nêu cách giải tốn: a Có cách chia 10 kẹo cho em bé cho em có kẹo? b Tìm số nghiệm nguyên dương phương trình: x1 + x2 + x3 = 10? c Tìm số nghiệm nguyên dương phương trình: x1 + x2 + + xk = n (n>=k)? Bộ câu hỏi số Bài 1:Một nhóm gồm học sinh Có cách xếp học sinh thành hàng ngang Trong học sinh có học sinh lớp A, học sinh lớp B Có cách xếp học sinh thành hàng ngang cho học sinh lớp A không đứng cạnh Có phần quà trao thưởng cho bạn Có cách trao thưởng để bạn nhận ít phần quà không phần quà? Có cách trao thưởng phần quà cho học sinh để em nhận ít phần quà? Có cách trao thưởng phần quà cho học sinh mà có học sinh khơng nhận phần thưởng nào? Bài 2: 1.Tìm số nghiệm không âm phương trình: x1 + x2 + + xk = n? 2.Có cách chia n kẹo cho k em bé? Bộ câu hỏi số 1.Phát biểu toán tổng quát nhận thức từ câu hỏi trên? 2.Ngồi tốn tổng qt đó, em rút phương pháp tư việc giải toán đếm? Lựa chọn tối thiểu gói câu hỏi sau hồn thành: 56 document, khoa luan56 of 98 tai lieu, luan van57 of 98 Các gói câu hỏi lựa chọn nhóm 57 document, khoa luan57 of 98 tai lieu, luan van58 of 98 58 document, khoa luan58 of 98 tai lieu, luan van59 of 98 59 document, khoa luan59 of 98 tai lieu, luan van60 of 98 Đề xuất số câu hỏi để kiểm tra nhóm nghiên cứu còn lại ứng với nội dung gói câu hỏi đã chọn sau báo cáo? Đánh giá thực nghiệm a) Kiểm tra Sau hoàn thành đợt thực nghiệm sư phạm, để đánh giá kết thực nghiệm tác giả đã tiến hành cho học sinh bao gồm hai đối tượng: Tại trường THPT Kim Sơn A, lớp học sinh có chất lượng gồm lớp 11B1, 11B2, 12B3, 12B4 Tại trường THPT n Mơ A, lớp có học sinh chất lượng gồm 11A, 11E, 12A, 12C (được đánh giá tương đương nhau)làm kiểm tra 45 phút với đề kiểm tra Nội dung đề kiểm tra sau: 60 document, khoa luan60 of 98 tai lieu, luan van61 of 98 TRƯỜNG THPT KIM SƠN A TỔ TOÁN - TIN BÀI KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP XÁC SUẤT Thời gian làm bài: 45 phút Đề thi gồm 20 câu trang Câu 1: Cho đa giác (H) có n đỉnh  n  ¥ , n  4 Biết số tam giác có đỉnh đỉnh (H) khơng có cạnh cạnh (H) gấp lần số tam giác có đỉnh đỉnh (H) có cạnh cạnh (H) Khẳng định sau ? A  4;12 B 13; 21 C  22;30 D 31;38 Câu 2:Gọi S tập hợp số tự nhiên gồm chữ sớ Tính xác śt để rút được sớ mà sớ chữ sớ đứng sau ln lớn chữ số đứng trước ba chữ số đứng đôi khác ? A 77 1500 B 75 1500 C 76 1500 D 78 1500 Câu 3:Có học sinh lớp 11 học sinh lớp 12 được xếp ngẫu nhiên vào ghế thành dãy Tính xác suất để xếp được học sinh lớp 12 xen kẽ học sinh lớp 11 A 84 B 15 C 12 32 D 72 Câu 4: Cho đa giác (H) có 60 đỉnh nội tiếp đường trịn (O) Người ta lập tứ giác tùy ý có đỉnh đỉnh (H) Xác suất để lập được tứ giác có cạnh đường chéo (H) gần với số nhất số sau ? A 85, 40% B 13, 45% C 40,35% D 80, 70% Câu 5: Cho tập hợp A  1, 2,3, 10 , Chọn ngẫu nhiên ba số từ A Tìm xác śt để ba sớ được chọn khơng có hai sớ hai số nguyên liên tiếp A 90 B 24 C 10 D 15 Câu 6:Trong cửa hàng có bút giớng , sách giống , 10 giống Hỏi có cách chọn bút, sách, để làm thành hộp quà gồm đồ ? A 20 B 21 C 22 D 24 Câu 7:Cho tập hợp A  1; 2;3; ;100 Gọi S tập hợp gồm tất tập A, tập gồm phần tử A có tổng 91 Chọn ngẫu nhiên phần tử S Xác suất để chọn được phần tử có sớ lập thành cấp sớ nhân ? A 645 B 1 C 215 39160 D 445 Câu 8: Có 12 người xếp thành hàng dọc (vị trí người hàng số cố định ), Chọn ngẫu nhiên người hàng Tính xác suất để người được chọn khơng có người đứng cạnh 61 document, khoa luan61 of 98 tai lieu, luan van62 of 98 A 21 B 55 C 11 D Câu 9: Cho đa giác 103 cạnh Tô màu đỏ 79 đỉnh đa giác tơ màu xanh đỉnh cịn lại Gọi A số cặp đỉnh đỏ kề B số cặp đỉnh xanh kề Tính sớ cách tơ màu đỉnh đa giác để B =14 A 10 10 C24 C79 10 B 9 C23C78 10 C 9 C24 C79 10 D C249 C799 Câu 10:Cho tập A  1; 2; ;18 Chọn ngẫu nhiên số từ tập A Có cách chọn sớ tập A cho hiệu sớ bất kì sớ có trị tuyệt đới khơng nhỏ 2? A C185 B C145 C C105 D C175 Câu 11:Cho đa giác có 12 đỉnh Chọn ngẫy nhiên đỉnh đa giác Xác suất để đỉnh được chọn tạo thành tam giác cạnh cạnh đa giác đã cho ? A 28 55 B 52 C 55 55 D 10 Câu 12: Kỳ thi có 10 học sinh , xếp ngồi hai dãy ghế , dãy có ghế Thầy giáo có hai loại đề , gồm đề chẵn đề lẻ tính xác suất để học sinh nhận đề hai bạn ngồi kề khác loại đề ? A 63 B 126 C 252 D 15120 Câu 13:Tìm sớ nghiệm ngun khơng âm bất phương trình sau : a  b  c  d  10 A C133 B C144 C A103 D A144 Câu 14:Có cách chia 15 kẹo cho em bé cho em có kẹo ? A C145 B C145  C C105 D A105 Câu 15:Có sớ tự nhiên a1a2 a3a4 a5a6 thỏa mãn A C106 B C106  C A106 a1  a2  a3  a4  a5  a6 D C155 Câu 16: Cho tập hợp X gồm sớ tự nhiên có chữ sớ đơi khác có dạng abcdef Từ X lấy ngẫu nhiên sớ Tính xác suất để số lấy số kẻ thỏa mãn abcd e f A 33 68040 B 2430 C 31 68040 D 29 68040 Câu 17: Cho hình chữ nhật m.n với đỉnh bên trái A, bên phải B Có đường ngắn nhất từ A đến B ? A Cnn.m B Cnn m C 2m D 2n 62 document, khoa luan62 of 98 tai lieu, luan van63 of 98 Câu 18:Dọc đường phố người ta dự định đặt chậu hoa hồng, chậu hoa hướng dướng Tìm sớ cách đặt chậu hoa cho hai hoa hồng có nhất hoa hướng dướng hai đầu đặt chậu hoa hồng ? A B C D 9  xi  1983 Câu 19:Tìm sớ nghiệm nguyên không âm hệ  i 1  x  5(mod 6)i  1,9  i A C331 8 B C322 C C1982 D C1983 Câu 20: Có 17 tấm thẻ phân biệt có tấm thẻ ghi chữ ĐỖ, tấm thẻ ghi chữ ĐẠI, tấm thẻ ghi chữ HỌC , tấm thẻ tấm thẻ ghi chữ A,B,C,D 10 tấm thẻ đánh số từ đến Lấy ngẫu nhiên từ tấm thẻ Tính xác suất để rút được tấm thẻ mà ghép lại theo thứ tự ta được dòng chữ B1 ĐỖ ĐẠI HỌC ? A 6188 B 40 429 C 6188 148512 D BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 11.A 2.A 12.A 3.C 13.B 4.D 14.A 5.D 15.A 6.B 16.C 7.B 17.B 8.C 18.B 9.B 19.A 10.B 20.C b) Đánh giá kết quả thực nghiệm Về thái độ học tập học sinh Học sinh rất hứng thú việc học tập theo hướng phát huy tính tích cực, bồi dưỡng lực tự học, học sinh người chủ động lĩnh hội kiến thức Học sinh đã cuốn hút vào hoạt động cách chủ động, tích cực, sáng tạo nhằm lĩnh hội tri thức Đa số em nắm vững kiến thức có ý thức hồn thành hoạt động cơng việc mà giáo viên giao cho Về kết kiểm tra THPT Kim Sơn A Điểm/Lớp Yếu TB Khá Giỏi Đối chứng 11B2 Thực nghiệm 11B1 Đối chứng 12B3 Thực nghiệm 12B4 10 22 15 23 19 11 23 17 Tổng số học sinh 40 40 44 44 63 document, khoa luan63 of 98 tai lieu, luan van64 of 98 Về kết kiểm tra THPT Yên Mô A Điểm/Lớp Yếu TB Khá Giỏi Đối chứng 11E Thực nghiệm 11A Đối chứng 12C Thực nghiệm 12A 3 10 20 20 21 18 25 19 Tổng số học sinh 36 48 40 45 Về kết kiểm tra hai trường Điểm/Lớp Lớp đối chứng K11 Lớp thực nghiệm K11 Lớp đối chứng K12 Lớp thực nghiệm K12 Yếu TB Khá Giỏi Tổng số học sinh 11 40 18 76 35 48 88 20 44 14 84 16 37 36 89 Phân tích kết kiểm tra theo trường Với khối 11: Lớp đối chứng có 95,0% 91.66% đạt điểm từ trung bình trở lên, có 82.5% 75% đạt khá, giỏi Lớp thực nghiệm có 100% đạt điểm từ trung bình trở lên, 95,0% 93.75% đạt khá, giỏi Với khới 12: Lớp đới chứng có 93,2% 92.5% đạt điểm từ trung bình trở lên, có 70,5% 67.5 đạt khá, giỏi Lớp thực nghiệm có 100% đạt điểm từ trung bình trở lên, 81,8% 82.22% đạt khá, giỏi Phân tích kết kiểm tra theo số liệu tổng hợp Với khối 11: Lớp đới chứng có 93.42% đạt điểm từ trung bình trở lên, có 76.31% đạt khá, giỏi Lớp thực nghiệm có 100% đạt điểm từ trung bình trở lên, 94,31% đạt khá, giỏi Với khới 12: Lớp đới chứng có 92.85% đạt điểm từ trung bình trở lên, có 69.04% đạt khá, giỏi Lớp thực nghiệm có 100% đạt điểm từ trung bình trở lên, 82.02% đạt khá, giỏi Nhận xét 64 document, khoa luan64 of 98 tai lieu, luan van65 of 98 Các lớp đối chứng: Khả tiếp cận tốn có tính tư duy, sáng tạo chưa cao, nhiều em trình bày lời giải cịn nhiều thiếu sót Đặc biệt với sớ dạng tốn lạ mà trước đề cho dạng tự luận thường khơng x́t hầu hết học sinh thuộc lớp đối chứng cảm thấy bỡ ngỡ hầu hết không giải được đặc biệt số tốn có hình thức lạ so với dạng tập được trình bày SKG Khi giáo viên vấn em nội dung câu hỏi có đề thì đại phận học sinh lớp đới chứng có nhận xét đề lạ, em khơng biết tiếp cận tốn theo hướng Các lớp thực nghiệm: Khả vận dụng linh hoạt hơn, có sáng tạo Một sớ em trình bày lời giải gọn gàng, rõ ràng, lập luận chặt chẽ Hầu hết em biết vận dụng lý thuyết để trả lời câu hỏi cách sáng tạo logic Bên cạnh đó, hai lớp có học sinh dừng lại việc bắt chước số tập mẫu, chưa hiểu rõ chất vấn đề làm được ý đơn giản đề kiểm tra Một số em chưa thực tự lập giải tốn, cịn phụ thuộc vào dạng cớ định đã được làm, chưa có tư vận dụng linh hoạt giải toán Kết luận Kết thực nghiệm bước đầu đã thể tính hiệu tính khả thi sáng kiến Mặc dù tình hình thực tiễn địa phương, sáng kiến cần được bổ sung thiết kế hợp lý tạo nhiều toán tương tự để giúp em có tập để thực hành vận dụng 65 document, khoa luan65 of 98 ... + Dạng 1: Đếm số nghiệm nguyên phương trình, bất phương trình + Dạng 2: Đếm số cách phân phối đồ vật, sản phẩm + Dạng 3: Đếm số + Dạng 4: Đếm số tập + Dạng 5: Đếm hình học + Dạng. .. Euler: + Dạng 1: Đếm số nghiệm nguyên phương trình, bất phương trình + Dạng 2: Đếm số cách phân phối đồ vật, sản phẩm + Dạng 3:Đếm số + Dạng 4:Đếm số tập + Dạng 5:Đếm hình học + Dạng. .. Nhận xét: Đến đây, theo tương ứng số cách chia kẹo số nghiệm phương trình thì đáp sớ tốn “chia kẹo Euler” là: Cnkk11 2.3 MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Từ kết toán chia kẹo Euler cách tư