TÓM tắt CÔNG THỨC TOÁN CHỈNH chuẩn

1 LUYỆN THI MÔN TOÁN – Thầy Thiện Facebook Thầy Thiện Cô Thu – ĐT 0982844999 Luyện thi môn toán Thầy Thiện – Cô Thu – sđt 0982844999 I CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC 1 Hệ thức Cơ bản  2 2sin cos 1    sin.

Luyện thi mơn tốn Thầy Thiện – Cơ Thu – sđt: 0982844999 I CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC sin  cos  Hệ thức Cơ bản: cos   cot   sin   sin 2  cos2   tan     tan   cos    cot   sin  Đối:  ;  sin( )   sin  sin(   )  sin  cos( )  cos  cos(   )   cos  tan( )   tan  tan(   )   tan  cot( )   cot  cot(   )   cot    sin      cos  2    cos      sin  2    tan      cot  2    cot      tan  2  sin(   )   sin  cos(   )   cos  tan(   )  tan  cot(   )  cot  Khác Pi: tang, cotang Phụ chéo Sin bù  sin(a  b)  sin a.cos b  cos a.sin b  sin(a  b)  sin a.cos b  cos a.sin b tan(a  b)  k      tan(  k )  tan  cot(  k )  cot   Cung Liên kết:  Khác pi:  ;    Phụ:  ;   Bù:  ;    Cos đối k     sin(  k 2 )  sin  cos(  k 2 )  cos    tan cot  Pi  : ;   2   sin      cos  2  Khác   cos       sin  2    tan       cot  2    cot       tan  2  Khác pi/2: sin bạn cos, cos thù sin Công thức Cộng:  cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b  cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b tan a  tan b  tan a.tan b tan(a  b)  tan a  tan b  tan a.tan b Công thức Nhân đôi, Nhân ba: LUYỆN THI MƠN TỐN – Thầy Thiện Facebook: Thầy Thiện Cô Thu – ĐT: 0982844999 cos 2  cos   sin  sin 2  2sin  cos  cos3  4cos3   3cos  sin 3  3sin   4sin3  sin   tan 2   cos     2sin  tan 3  Công thức Hạ bậc:  cos 2 cos    cos 2 tan   tan   tan  tan   2 tan   tan   cos 2  cos 2 Biến đổi Tổng thành Tích: ab a b cos 2 ab a b sin a  sin b  2sin cos 2 sin(a  b) tan a  tan b  cos a.cos b     sin   cos   2.sin      2.cos     4 4   ab a b sin 2 ab a b sin a  sin b  2cos sin 2 sin(a  b) tan a  tan b  cos a.cos b     sin   cos   sin       cos      4  4 cos a  cos b  2cos cos a  cos b   2sin Cơng thức biến đổi tích thành tổng cos a.cos b  cos(a  b)  cos(a  b) sin a.sin b  cos(a  b)  cos(a  b) sin a.cos b  sin(a  b)  sin(a  b) II PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC u  v  k 2 u  v  k 2 sin u  sin v   (k  )  cos u  cos v   k   u    v  k 2 u  v  k 2    Nếu sin u  m   1;1 m  1;  ; ;  ;0    2  Nếu cos u  m   1;1 m  1;  ;  ;  ;0  thì:   2   u  arcsin m  k 2 thì: sin u  m   (k  ) cos u  m  u   arccos m  k 2 (k  ) u    arcsin m  k 2  Nếu sin u  m   1;1 thì: sin u  m  u  sin u   u  Đặc biệt:   k 2 sin u  1  u   sin u   u  k  Nếu cos u  m   1;1 thì: cosu  m  u   cos u   u  k 2  k 2  k    Đặc biệt: cos u  1  u    k 2  k    cos u   u  tan u  tan v  u  v  k  k       k cot u  cot v  u  v  k  k        ;0  thì: Nếu tan u  m   3; 1;      tan u  m  u  arctan m  k  k        ;0  thì: Nếu cot u  m   3; 1;      cot u  m  u  arc cot m  k Lƣu ý: Điều kiện để hàm tan u có nghĩa Lƣu ý: Điều kiện để hàm cot u có nghĩa LUYỆN THI MƠN TỐN – Thầy Thiện k   Facebook: Thầy Thiện Cô Thu – ĐT: 0982844999 u   k , k   Tuy vậy, phương trình tan u  m u  k , k   Tuy vậy, phương trình cot u  m ln có nghiệm, khơng cần đặt điều kiện cho ln có nghiệm, không cần đặt điều kiện Kỹ thuật 1: Làm dấu TRỪ Ví dụ:   sin   sin( )       sinx    sin x   sinx    sin x  sinx    sin(x)     cos   cos(   )       tan   tan( )   cot   cot( )   x    x  k2     x   k (k  )    x     x  k2 (vô nghiệm)  Kỹ thuật 2: Biến đổi CHÉO    sin   cos     2     cos   sin     2     tan   cot     2     cot   tan     2  Ví dụ:   k 2   x   x  k 2 x       (k  ) sin x  cos x  sin x  sin   x    2   x       x   k 2  x    k 2     2  Phƣơng trình a sin x  b cos x  c (với a  b2  c ) a sin x  b cos x  c a b c  sin x  cos x  a  b2 a  b2 a  b2 c  sin x.cos   cos x.sin   a  b2 a b , sin   (với cos   ) a  b2 a  b2  sin( x   )  sin   với sin   Phƣơng trình a sin2 x  b sin x cos x  c cos2 x  d  Trƣờng hợp 1: Xét cos x   sin x  Ta có hệ  sin x  sin x  sau:    .(1)  a  d a sin x  d     Trƣờng hợp 2: Xét cos x  , chia hai vế phương trình cho cos2 x , ta có: c a  b2 a tan x  b tan x  c  d (1  tan x)  (2)  Hợp nghiệm (1), (2) ta có tập nghiệm phương trình cho  Lƣu ý: Phương trình a sin x  b cos x  c có nghiệm a  b2  c [ III TỔ HỢP – XÁC SUẤT QUY TẮC CỘNG QUY TẮC NHÂN Nếu phép đếm chia nhiều trƣờng hợp, ta Nếu phép đếm chia làm nhiều giai đoạn bắt buộc, ta cộng kết lại HOÁN VỊ  Sắp xếp (đổi chỗ) n phần tử khác nhau, ta có số nhân kết giai đoạn TỔ HỢP  Chọn k phần tử từ n phần tử (không xếp thứ tự), ta có số cách LUYỆN THI MƠN TỐN – Thầy Thiện CHỈNH HỢP  Chọn k phần tử từ n phần tử (có xếp thứ tự), ta số cách chọn Facebook: Thầy Thiện Cô Thu – ĐT: 0982844999 cách xếp Pn  n ! với n chọn Cnk Cnk    n!  1.2  n  1 n  Quy ước sốc: 0!  Một số tính chất:  Cơng thức: P( X )  XÁC SUẤT Ank  k  , n   * n! với    k  n  n  k !k !  Cnk  Cnnk Cnk  Cnk 1  Cnk11 n( X ) n ( )  Tính chất:  P( X )  Trong đó: n( X ) : số phần tử tập biến cố X ; n() : số phần tử không gian mẫu; P( X ) xác suất để biến cố X xảy với X    Nếu A, B hai biến cố xung khắc với P  A  B   P  A  P  B   Khai triển dạng liệt kê: (với n  * ) Khai triển tổng quát:  Ank   k  , n   * n! với   k  n  n  k !  Ank  k !Cnk P()  0; P()  P( X )   P( X ) với X biến cố đối X  Nếu A B hai biến cố độc lập với P  A.B   P  A P  B  IV KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTƠN n  a  b   Cn0an  Cn1an1b  Cn2a n2b2   Cnn1abn1  Cnnbn n Đặc biệt: 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn1 x n1  Cnn x n (*)  Hệ 1: Cn0  Cn1  Cn2   Cnn1  Cnn  2n (tức thay x  vào (*))  Hệ 2: Với n chẵn, cần thay x  1 vào (*), ta có: Cn0  Cn1  Cn2   Cnn1  Cnn   Cn0  Cn2  Cn4  Cnn  Cn1  Cn3  Cnn1  Khai triển: a  b n n   Cnk a n k b k Số hạng tổng quát: Tk 1  Cnk a nk bk k 0  Phân biệt hệ số số hạng: Cnk (1)k a nkbk x Số hạngkhông chứa x ứng với    HỆ SỐ   (với n  * ) SỐ HẠNG V CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa: Định nghĩa:  Dãy số  un  gọi cấp số cộng  Dãy số  un  gọi cấp số nhân khi un1  un  d với n  * , d un1  un q với n  * , q số số  Cấp số nhân có số hạng đầu u1 , công bội q  Cấp số cộng có số hạng đầu u1 , công Số hạng tổng quát: sai d  un  u1.q n1 với n  * Số hạng tổng quát: Tính chất số hạng:  un  u1  (n  1)d với n  *  uk 1.uk 1  uk2 với k   k  Tính chất số hạng: Tổng n số hạng đầu tiên:  uk 1  uk 1  2uk với k  * k  u1 (1  q n ) Tổng n số hạng đầu tiên:  Sn  u1  u2   un  với q  1 q (u1  un )n  Sn  u1  u2   un  LUYỆN THI MƠN TỐN – Thầy Thiện Facebook: Thầy Thiện Cô Thu – ĐT: 0982844999 VI GIỚI HẠN DÃY SỐ - HÀM SỐ 1.1 Dãy số có giới hạn 0: 1 ▪ lim  ▪ lim ▪ lim  0 n n n n ▪ lim q  với q  1.2 Dãy số có giới hạn hữu hạn: Cho lim un  a Ta có: ▪ lim 0 n ▪ lim un  a với a  ▪ lim un  a lim u  a Cho lim un  a , lim  b Ta có: ▪ lim  un    a  b ▪ lim ▪ lim  un   a.b un a  với b  b ▪ lim  k.un   k.a 1.3 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S  u1  u1q  u1q   u1 1 q 1.4 Dãy số có giới hạn vơ cùng: Quy tắc 1:Cho lim un  , lim   Tính lim  un  Giới hạn dãy số lim un lim lim  un          lim un Dấu a lim  un    + – + –      Quy tắc 2: Cho lim un  , lim  a  Tính lim  un    Quy tắc 3:Cho lim un  a  0, lim  Tính lim Dấu a(tử) Dấu (mẫu) + + – – + – + – LUYỆN THI MƠN TỐN – Thầy Thiện    un lim un     Facebook: Thầy Thiện Cô Thu – ĐT: 0982844999 2.1 Giới hạn vơ cực: Cho k dương, ta có: 0 x  x k 2.2 Giới hạn hữu hạn: , k chẵn , k lẻ ▪ lim xk   ▪ lim x k   ▪ lim x  x Cho lim f  x   a, lim g  x   b Ta có: x  x0 x  x0 ▪ lim f  x   a ▪ lim f  x   a ▪ lim x  x0 x  x0 ▪ lim  f  x   g  x   a  b x  x0 f  x   a với a  ▪ lim  f  x  g  x   a.b x  x0 x  x0 ▪ lim  k f  x   k.a với k số x  x0 ▪ lim x  x0 f  x a  với b khác g  x b 2.3 Quy tắc tìm giới hạn vơ cực: Quy tắc 1:Cho lim f  x   , lim g  x   a  Tính lim  f  x  g  x  x  x0 x  x0 x  x0 lim f  x    x  x0    + – + – Dấu a Dấu g  x  Giới hạn hàm số: lim  f  x  g  x  Dấu a x  x0    f  x Quy tắc 2:Cho lim f  x   a  0, lim g  x   Tính lim x  x0 g  x  x  x0 x  x0 lim x  x0 f  x g  x + +  + –  – +  – –  2.4 Bổ trợ công thức để khử dạng vô định: ax2  bx  c  a  x  x1  x  x2  với x n    x  1  x n 1  x n 2   1 x1 , x2 nghiệm tam thức bậc hai a b  a b  a2  b a b a b  a3  b a2  a b  a n  b n   a  b   a n 1  a n 2b   b n 1   b LUYỆN THI MƠN TỐN – Thầy Thiện a b  a2  b a b a3  b a2  a b   b Facebook: Thầy Thiện Cô Thu – ĐT: 0982844999 3.1 Điều kiện tồn giới hạn: Giới hạn bên phải Ký hiệu Nghĩa Điều kiện để hàm số có giới hạn x0 Giới hạn bên trái lim f  x  lim f  x  x  x0 lim f  x   lim f  x  x  x0  x   x0   x  x0 x  x0 x  x0 Khi đó: lim f  x   lim f  x   x   x0   x  x0 x  x0 x  x0  lim f  x  x  x0 Điều kiện giới hạn điều kiện liên tục: 3.2 Điều kiện liên tục hàm số:  Hàm số f  x  liên tục x0  f  x0   lim f  x   lim f  x   f  x0   lim f  x  x  x0 x  x0 x  x0  Mọi hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục tập xác định chúng  Hàm số f  x  liên tục khoảng  a; b  liên tục với x  x0   a; b   f ( x) liên tục (a; b)  Hàm số f  x  liên tục a; b    lim f ( x)  f (a); lim f ( x)  f (b)  xa xb 3.3 Điều kiện có nghiệm phƣơng trình: Nếu hàm số f  x  liên tục  a; b f  a  f  b   phương trình f  x   có nghiệm  a; b  Cách tính giới hạn Casio  Quy ƣớc dùng CASIO: Ví dụ: 3.105  ; 4.106  0;  5.104   + 10âm  ; 10dương   + x  a  CALC x  a  106 ; + x   CALC x  106 ;  Ví dụ 1: Tìm giới hạn lim x  Bƣớc 1: Nhập hàm số  x  a  CALC x  a  106 ; x   CALC x  106  x  a CALC x  a  106 nhập x  a  106 x  3x  x 1 x 1 X  3X  Bƣớc 1: Nhập hàm số vào máy X 1 x2  x  x  Ví dụ 2: Tìm giới hạn lim X  X  X vào máy NEXT NEXT  X  106   1 Bƣớc 2: CALC  NEXT NEXT  X   106   Bƣớc 2: CALC  Định nghĩa đạo hàm điểm: VII ĐẠO HÀM f  x   f  x0  f   x0   lim x x x  x0 Bảng đạo hàm mở rộng:  ( x )   x   k  (với k số)   e   e x x  1 MR  (u )   u 1 u   x   x  u   2uu    x     x2 u   MR     u u 1    ln x     log a x     a x   a x ln a x x ln a LUYỆN THI MƠN TỐN – Thầy Thiện Facebook: Thầy Thiện Cơ Thu – ĐT: 0982844999 MR  MR    eu   eu u  MR    au   au ln a u MR   sin u   sin x   cos x  u cos u   1  cot x  sin x u MR   cot u      u  cot u sin u  tan x     tan x cos x u MR   tan u    u  tan u cos u Quy tắc tìm đạo hàm: ▪  u  v   u  v   u u MR MR    ln u    log a u   u u ln a MR   cos x    sin x    cos u    u sin u    cot x     ▪ (k.u)  k.u ▪ (u.v)  uv  uv f  đạo hàm f theo biến x  x       ▪ f x  fu ux với fu đạo hàm f theo bieán u      ux đạo hàm u theo biến x  u  uv  uv ▪   v2 v Đạo hàm cấp cao vi phân: Đạo hàm cấp cao f   x    f   x  ; f   x    f   x  f  4   x    f   x  ; ; f n  x    f n1  x  Vi phân df  x   f   x  dx dy  y.dx du  u.dx VIII.KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU  Bƣớc 1: Tìm tập xác định D  Bƣớc 2: Tính y  f ( x) ; cho y  Tìm nghiệm   x1 , x2 Tìm thêm giá trị x mà y không xác định  Bƣớc 3: Lập bảng biến thiên (Nên chọn giá trị x đại diện cho khoảng thay vào y để tìm dấu y khoảng đó)  Bƣớc 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận đồng biến, nghịch biến hàm số ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ  Hàm số có điểm cực trị HÀM BẬC BA y  ax  bx  cx  d (a  0)  Đạo hàm y  3ax2  2bx  c  Hàm số đồng biến tập xác định   y  0, x   a      Hàm số nghịch biến tập xác định   y  0, x   a     Lƣu ý: Nếu a chứa tham số m ta xét a  , tìm m Thay m tìm để kiểm tra dấu y , xem y có đơn điệu  không? CỰC TRỊ HÀM BẬC BA y  ax  bx  cx  d (a  0)  Đạo hàm y  3ax2  2bx  c LUYỆN THI MƠN TỐN – Thầy Thiện HÀM NHẤT BIẾN ax  b y (ad  bc  0, c  0) cx  d  Đạo hàm y  ad  bc (cx  d )2  Hàm số đồng biến khoảng xác định  ad  bc   Hàm số nghịch biến khoảng xác định  ad  bc  Lƣu ý: Nếu đề cho đồng biến (nghịch biến) ( ;  ) ta xét điều d kiện:   ( ;  ) c CỰC TRỊ HÀM BẬC BỐN y  ax  bx  c (a  0)  Đạo hàm y  4ax3  2bx Facebook: Thầy Thiện Cô Thu – ĐT: 0982844999  y( x0 )  ( x0 ; y0 )   y ( x )  y  (giả thiết hàm số liên tục x0 )  Hàm số có hai cực trị (tức có a  (*) CĐ-CT)    y   Điều kiện cực trị Ba cực trị ab  ab  Một cực trị  2 a  b   Điều kiện: Hs có điểm cực trị tạo ABC với đỉnh A  Oy :  Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu  x1 x2   ac   Hàm số f ( x) đạt cực đại  Hàm số có hai điểm cực trị  f ( x0 )  a  0,  y  x  x0 Nếu  ab  dấu     f ( x0 )   ac    b  8a cos BAC  Hàm số f ( x) đạt cực tiểu   Phương trình đường thẳng qua b3  8a  hai điểm cực trị:  f ( x0 )   Điều kiện: Hs có điểm cực trị tạo x  x0 Nếu    f ( x ) f ( x )  f ( x )  ABC có diện tích SABC  S  y  f ( x)  18a Lƣu ý: PP thường  ab   Lƣu ý: Nếu tọa độ hai cực trị dùng cho hàm bậc ba  b5 rõ ràng ta nên gọi đường thẳng  PP chung: Tìm m hs đạt cực S  32a  thay tọa độ hai điểm y  ax  b trị x  x0  Điều kiện: ABC có bk đường trịn vào   Giải hệ tìm a, b B1 : Từ biểu thức f ( x0 )  ab   PP chung: Lấy y chia cho y ' ta ta tìm dc m  ? ngoại tiếp R :  b3  8a thương g ( x) dư mx  n R  B2 : Thay m vào đề lập  8ab  Suy đt cực trị là: y  mx  n bảng biến thiên kiểm tra kq TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN TÌM MAX-MIN TRÊN KHOẢNG Tìm Max-Min f ( x) khoảng (a; b) Tìm Max-Min f ( x) đoạn  a; b  Bƣớc 1: Tính y  f ( x) Tìm nghiệm xi  (a; b) cho f ( x)  Tìm x j  (a; b) mà y không xác định  Bƣớc 2: Tính giá trị f (a), f (b) f ( xi ), f ( x j ) (nếu có)  Bƣớc 3: So sánh tất giá trị bƣớc để kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ  Bƣớc 1:Tính y  f ( x) Tìm nghiệm xi  (a; b) cho f ( x)  Tìm x j  (a; b) mà y không xác định  Bƣớc 2: Cần tính lim y, lim y (Nếu thay (a; b) x a x b (; ) ta tính thêm lim y ) x   Bƣớc 3: Lập bảng biến thiên suy giá trị lớn nhất, nhỏ khoảng  Nếu hàm f ( x) đồng biến [a; b]  Nếu hàm f ( x) nghịch biến [a; b]  max f ( x)  f (b)  max f ( x)  f (a)  x[a ;b ]  x[a ;b ]   f ( x)  f (a) f ( x)  f (b)    x[a ;b ]  x[a ;b ] ĐẶC BIỆT TIỆM CẬN ĐỨNG  x   x0  Định nghĩa:  (x hữu hạn, y vô    y  hạn), ta có tiệm cận đứng x  x0 Lƣu ý: điều TIỆM CẬN NGANG  x     Định nghĩa:  (x vơ hạn, y hữu hạn), ta có tiệm  y0  y  cận ngang y  y0 LUYỆN THI MƠN TỐN – Thầy Thiện Facebook: Thầy Thiện Cơ Thu – ĐT: 0982844999  x0 thay kiện x  x   x0 (giới hạn bên trái) x   x0 (giới hạn bên phải)  Cách tìm TCĐ: Nếu x  x0 nghiệm mẫu số mà nghiệm tử số x  x0 TCĐ đồ thị (với tập xác định có dạng D  K \ x0 ; x1;  )  Đồ thị hàm số y   Cách tìm TCN: Đơn giản dùng CASIO Bƣớc 1: Nhập hàm số vào máy NEXT NEXT Bƣớc 2: CALC   X  10 ^   NEXT NEXT CALC   X  10 ^   Bƣớc 3: Nếu kết thu hữu hạn (tức y0 ) ta kết luận TCN: y  y0 d a ax  b với (c  0, ad  bc  0) có TCĐ: x   , TCN: y  cx  d c c  Nên nhớ, đồ thị có tối đa tiệm cận ngang SỰ TƢƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ Xét hai đồ thị (C1 ) : y  f ( x ) (C2 ) : y  g( x ) Phƣơng pháp chung tìm giao điểm hai đồ thị  Bƣớc : Lập phương trình hồnh độ giao  Bƣớc : Giải phương trình (*) để tìm nghiệm x1 , x2 , điểm (C1 ) & (C2 ) : f ( x)  g ( x) (*) (nếu có), suy y , y  Điều kiện để (C1 ) (C2 ) có n điểm chung phương trình (*) có n nghiệm khác  Điều kiện để (C1 ) tiếp xúc (C2 ) phương trình (*) có nghiệm kép  f ( x)  g ( x) hệ sau có nghiệm :   f ( x)  g ( x) ax  b   (C ) : y  Tìm tham số để  cx  d cắt hai điểm phân biệt  d : y   x    Bƣớc : Viết phương trình hồnh độ giao ax  b điểm :   x   , đưa phương trình cx  d d  dạng g ( x)  Ax  Bx  C   x    c   g   Tìm  Bƣớc : Giải hệ   m?  d A g       c  (C ) : y  ax  bx  cx  d Tìm tham số để  cắt ba điểm phân biệt d : y   x   (Ta áp dụng cho trường hợp phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm đẹp)  Bƣớc : Viết phương trình hồnh độ giao A   điểm : ax3  bx2  cx  d   x   , đưa Tìm  Bƣớc : Giải hệ điều kiện :  g   m? phương trình dạng   g ( x0 )    ( x  x0 )   Ax  Bx  C       Lƣu ý : Để tìm nghiệm đẹp x  x0 , ta nhập vào máy chức g ( x)   giải phương trình bậc ba với m  100 (có vận dụng kỹ chia Hoocner) (C ) : y  ax  bx  c Tìm tham số để  cắt điểm phân biệt ( Ox ) : y   10 LUYỆN THI MƠN TỐN – Thầy Thiện Facebook: Thầy Thiện Cơ Thu – ĐT: 0982844999 ▪ Đây hình chóp tam giác đều, đặc biệt cạnh bên cạnh đáy Thể tích: V 7.3 Hình chóp tứ giác đều: a3 12 ▪ Tất cạnh bên ▪ Đáy hình vng cạnh a ▪ SO  ( ABCD) với O tâm hình vng ABCD  S  a2 Thể tích  V  h.a2 ▪  ñ   SO  h Góc cạnh bên mặt   ,( ABCD)  SAO đáy: SA     Góc mặt bên mặt đáy:  ( SAB),( ABCD)  SMO      ( SBC ),( ABCD)   SNO    SB ,( ABCD)  SBO 7.4 Hình chóp có cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Đáy tam giác Đáy tứ giác đặc biệt  h  SA ▪  h  SA ▪  ▪ Góc cạnh bên mặt đáy:    SB , ( ABC )  SBA     , ( ABC )  SCA  SC  Đáy tam giác ▪ Góc cạnh bên mặt đáy:    SB , ( ABCD)  SBA      SC , ( ABCD)  SCA  Đáy tứ giác đặc biệt ▪ Đường cao h  SH đường cao ∆SAB ▪ Góc cạnh bên mặt đáy:    SA , ( ABC )  SAH      SC , ( ABC )  SCH  ▪ Đường cao h  SH đường cao ∆SAB ▪ Góc cạnh bên mặt đáy:    SA , ( ABCD)  SAH     , ( ABCD)  SCH  SC  Thể tích   V  SA.SABC Sñ  SABC    7.5 Hình chóp có mặt bên (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy   30     LUYỆN THI MƠN TỐN – Thầy Thiện    Sđ  SABCD     Thể tích  V  SA.SABCD     Facebook: Thầy Thiện Cô Thu – ĐT: 0982844999 C – TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI CHĨP Đặc biệt: M  A Đặc biệt M  A, N  B VS ANP SN SP  VS ABC SB SC VS ABP SP  VS ABC SC Cho hình chóp có đáy tam giác ABC Các điểm M, N, P nằm cạnh SA, SB, SC Ta có: VS MNP SM SN SP  VS ABC SA SB SC Hình chóp có đáy hình bình hành với SM SN  x,  y, SA SB SP SQ  z, t SC SD Khi đó: VS MNPQ VS ABCD  1 1 xyz  xyt  xzt  yzt    x z y t Hình chóp có đáy đa giác Chẳng hạn: (MNPQR)  (ABCDE) SM SN tỉ số: x   SA SB SP SQ SR   SC SD SE Khi đó: VS MNPQR  x3 VS ABCDE  D – THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: Hình lăng trụ thƣờng:  Hai đáy hai hình giống nằm hai mặt phẳng song song  Các cạnh bên song song Các mặt bên hình bình hành Đáy tam giác Đáy tứ giác V  AH SABC  AH SABC V  AH S ABCD  AH S ABCD Đáy tam giác Đáy tứ giác  Thể tích: V  h.Sđ Hình lăng trụ đứng:  Các cạnh bên vng góc với hai mặt đáy nên cạnh bên đường cao lăng trụ  Lăng trụ tam giác đều: Là lăng trụ đứng có hai đáy hai tam giác  Thể tích: V  h.Sđ với h  AA  BB  CC 31 LUYỆN THI MƠN TỐN – Thầy Thiện  Thể tích: V  h.Sñ với h  AA  BB  CC  DD Facebook: Thầy Thiện Cô Thu – ĐT: 0982844999 Hình hộp: 3.1 Hình hộp chữ nhật:  Là lăng trụ có tất mặt hình bình hành  Thể tích: V  h.Sđ  Là lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật V  abc với a, b, c ba kích thước hình hộp chữ nhật 3.2 Hình lập phƣơng:  Là hình hộp chữ nhật có tất cạnh V  a3 với a cạnh hình lập phương Tỉ số thể tích lăng trụ: Lăng trụ có đáy tam giác AM BN CP x , y , z AA BB CC  Ta có: VABC MNP x  y  z  VABC ABC  Lăng trụ đáy hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng (Lăng trụ hình hộp thƣờng hình hộp chữ nhật, hình lập phƣơng) AM BN CP DQ x , y , z ,t AA BB CC  DD Ta có: VABCD.MNPQ VABCD ABC D  x y  z t x  z  y  t E – BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy tam giác  d  A,  SBC    AH  32 SA AK SA2  AK 2 Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy hình vng, hình chữ nhật  d  A,  SBC    AH   d  A,  SCD    AK   d  A,  SBD    AF  LUYỆN THI MƠN TỐN – Thầy Thiện SA AB SA2  AB SA AD SA2  AD SA AE SA2  AE  d  D,  SBC    d  B,  SCD    d C ,  SBD   Facebook: Thầy Thiện Cô Thu – ĐT: 0982844999  d  B,  SAC    BM ; d C,  SAB    CN   d  SA, BC   AK   d  AD, SB   AH ; d  AB, SD   AK d  AD, SC   d  AD,  SBC    d  A,  SBC    AH d  AB, SC   d  AB,  SCD    d  A,  SCD    AK Hình chóp tam giác Hình chóp tứ giác  d  O,  SBC    OH   d  A,  SBC    3d O,  SBC    3OH  d  B,  SAC   d C,  SAB    d  A,  SCD   2d O,  SCD    2OH  d  A,  SBC    d  B,  SAD    d  B,  SCD    d  AB, SC   d  AB,  SCD    d  A,  SCD    2OH  d  AB, SD   d  AD, SB   d  AD, SC   d  SA, BC   IK  d  SB, AC   d  SC , AB   SO.OK SO  OK  d O,  SAB    d O,  SBC    d O,  SAD   SO.OK SO  OK  d O,  SAB    d O,  SAC     d  O,  SCD    OH  F – MẶT TRỤ, MẶT NÓN – MẶT CẦU MẶT NĨN Các yếu tố mặt nón:  Đƣờng cao: h  SO ( SO S gọi trục hình nón)  Bán kính đáy: l h l A r  OA  OB  OM l  Đƣờng sinh: l  SA  SB  SM r O B M Hình thành: Quay  vuông SOM quanh trục SO , ta mặt nón hình bên với: h  SO  r  OM MẶT TRỤ 33  Góc đỉnh:  ASB  Thiết diện qua trục: SAB cân S  Góc đƣờng sinh mặt   SBO   SMO  đáy: SAO Các yếu tố mặt trụ: LUYỆN THI MƠN TỐN – Thầy Thiện Một số công thức:  Chu vi đáy: p  2 r  Diện tích đáy: Sđ   r 1  Thể tích: V  h.Sđ  h. r 3 (liên tưởng đến thể tích khối chóp)  Diện tích xung quanh: S xq   rl  Diện tích toàn phần: Stp  S xq  Sđ   rl   r Một số công thức: Facebook: Thầy Thiện Cô Thu – ĐT: 0982844999  Đƣờng cao: h  OO  Đƣờng sinh: l  AD  BC Ta có: l  h  Bán kính đáy: Hình thành: Quay hình chữ nhật ABCD quanh đường trung bình OO , ta có mặt trụ hình bên MẶT CẦU r  OA  OB  OC  OD  Trục (∆) đường thẳng qua hai điểm O, O  Thiết diện qua trục: Là hình chữ nhật ABCD  Chu vi đáy: p  2 r  Diện tích đáy: Sđ   r  Thể tích khối trụ: V  h.Sđ  h. r  Diện tích xung quanh: S xq  2 r.h  Diện tích tồn phần: Stp  Sxq  2Sđ  2r.h  2r2 Mặt cầu ngoại tiếp đa diện Mặt cầu nội tiếp đa diện Một số cơng thức:  Tâm I , bán kính R  IA  IB  IM  Đƣờng kính AB  2R  Thiết diện qua tâm mặt cầu: Là đường trịn tâm I , bán kính R Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp  Diện tích mặt cầu: S  4 R Hình thành: Quay đường tròn đa diện mặt cầu đa diện mặt cầu AB  R qua tất đỉnh tiếp xúc với tất tâm I , bán kính R  quanh  Thể tích khối cầu: V  đa diện mặt đa trục AB , ta có mặt cầu hình diện vẽ CÁCH TÌM BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP THƢỜNG GẶP Hình chóp có đỉnh nhìn cạnh dƣới Hình chóp góc vng  Xét hình chóp có SA  ( ABC )  ABC  900   SBC   900  Ta có SAC nên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I trung điểm SC , bán 34  Xét hình chóp có SA  ( ABCD) ABCD hình chữ nhật hình vng   SBC   Ta có: SAC   900  SDC Suy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I LUYỆN THI MƠN TỐN – Thầy Thiện  Xét hình chóp tam giác có cạnh bên b đường cao SH  h  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R b 2h  Xét hình chóp tứ giác có cạnh bên b chiều cao SO  h  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R  b2 2h Facebook: Thầy Thiện Cơ Thu – ĐT: 0982844999 kính R  trung điểm SC , bán kính SC R SC Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy  Khi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy  h R     rñ    Nếu đáy tam giác a  Nếu đáy hình vng cạnh a rđ  a  Xét hình chóp có SA  cạnh a rđ  (đáy) SA  h ; bán kính đường trịn ngoại tiếp  Nếu đáy hình chữ nhật cạnh a, b đáy rđ rđ  a2  b2  Xét hình chóp có mặt bên (SAB)  (đáy), bán kính ngoại tiếp đáy rđ , bán kính ngoại tiếp SAB rb , d  AB  (SAB)  (đáy) (đoạn giao tuyến)  Khi bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R  rđ  rb2  d2 XIII HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Hệ trục tọa độ Oxyz:  Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy, Oz đơi vng góc   Trục Ox : trục hồnh, có vectơ đơn vị i  (1;0;0)   Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j  (0;1;0)   Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k  (0;0;1)  Điểm O(0;0;0) gốc tọa độ      Tọa độ vectơ: Vectơ u  xi  y j  zk  u  ( x; y; z )    Cho a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ) Ta có:   a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )      a phương b  a  kb (k  R) a1  kb1 a a a   a2  kb2    , (b1 , b2 , b3  0) b1 b2 b3 a  kb    ka  (ka1; ka2 ; ka3 ) a1  b1     a  b  a2  b2 a  b  3   a.b  a1.b1  a2 b2  a3 b3   a  a12  a22  a22     a  b  a.b   a1b1  a2b2  a3b3  35 LUYỆN THI MƠN TỐN – Thầy Thiện 2 2  a  a  a1  a2  a3  a.b    cos(a , b )     a b 2 a1b1  a2b2  a3b3 a12  a22  a32 b12  b22  b32 Facebook: Thầy Thiện Cô Thu – ĐT: 0982844999  Tọa độ điểm: M ( x; y; z )  OM  ( x; y; z ) Cho A( xA ; yA ; z A ) , B( xB ; yB ; zB ) , C ( xC ; yC ; zC ) , ta có:   AB  ( xB  xA ; yB  y A ; zB  z A )  AB   Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB:  x  xB y A  yB z A  zB  M A ; ;   2   Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: Chiếu vào Oy  Điểm M ( xM ; yM ; zM )   M2 (0; yM ;0) ( Giữ nguyên y) Chiếu vào Oyz  Điểm M ( xM ; yM ; zM )   M2 (0; yM ; zM ) ( Giữ nguyên y, z) Chiếu vào Oz  Điểm M ( xM ; yM ; zM )   M3 (0;0; zM ) ( Giữ nguyên z) Chiếu vào Oxz  Điểm M ( xM ; yM ; zM )   M3 ( xM ;0; zM ) ( Giữ nguyên x, z) ( xB  xA )2  ( yB  y A )2  ( zB  z A )2  x  xB  xC y A  yB  yC z A  z B  zC  G A ; ;  3   QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT Chiếu điểm mặt phẳng tọa độ Chiếu điểm trục tọa độ Chiếu vào Ox Chiếu vaøo Oxy  Điểm M ( xM ; yM ; zM )   Điểm M ( xM ; yM ; zM )   M1 ( xM ;0;0)  M1 ( xM ; yM ;0) ( Giữ nguyên x ) ( Giữ nguyên x, y) Đối xứng điểm qua trục tọa độ Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ Đối xứng qua Ox Đối xứng qua Oxy  M ( xM ; yM ; zM )   M1 ( xM ; yM ;zM )  M ( xM ; yM ; zM )   M1 ( xM ; yM ;zM ) ( Giữ nguyên x; đổi dấu y, z) ( Giữ nguyên x, y; đổi dấu z) Đối xứng qua Oy Đối xứng qua Oxz  M ( xM ; yM ; zM )   M2 (xM ; yM ;zM )  M ( xM ; yM ; zM )   M2 ( xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyên y; đổi dấu x, z) ( Giữ nguyên x, z; đổi dấu y) Đối xứng qua Oz Đối xứng qua Oyz  M ( xM ; yM ; zM )   M3 (xM ; yM ; zM )  M ( xM ; yM ; zM )   M3 (xM ; yM ; zM ) ( Giữ nguyên z; đổi dấu x, y) ( Giữ nguyên y, z; đổi dấu x ) Tích có hƣớng hai vectơ:      Định nghĩa:Cho a  (a1 , a2 , a3 ) , b  (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng a b là:  a a3 a3 a1 a1 a2     a , b    ; ;    a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  b b b b b b 3 1               [a, b]  a b sin  a, b   Tính chất: [a, b]  a [a, b]  b       Điều kiện phƣơng hai vectơ a & b  Điều kiện đồng phẳng ba vectơ a, b c         a, b   với  (0;0;0) [a, b].c         Diện tích tam giácABC: SABC   AB, AC   Diện tích hình bình hànhABCD: S ABCD   AB, AD          Thể tích khối hộp: VABCD A' B 'C ' D '  [ AB, AD] AA '  Thể tích tứ diện: VABCD   AB, AC  AD  6 TÍCH CĨ HƢỚNG CỦA VÉCTƠ - FX570 Bƣớc 1: Bấm Mode bấm bấm AC (gọi hệ véctơ) Bƣớc 2: Bấm Shift bấm bấm bấm bấm sau ta nhập vecto vào bấm AC Bƣớc 3: Bấm Shift bấm bấm bấm bấm sau ta nhập vecto thứ vào bấm AC Bƣớc 4: Bấm Shift bấm bấm bấm X (dấu nhân) bấm Shift bấm bấm sau bấm dấu = có đáp số Phƣơng trình mặt cầu: Dạng 1: (S ) : ( x  a)  ( y  b)  ( z  c)  R  taâm I (a; b; c) Mặt cầu ( S) có      R  R 2 2 Dạng 2: (S ) : x  y  z  2ax  2by  2cz  d   tâm I (a;b; c) Mặt cầu ( S) có    2   R  a  b  c  d 2  Phương trình x  y  z  2ax  2by  2cz  d  phương trình mặt cầu  a  b2  c  d  36 2 LUYỆN THI MƠN TỐN – Thầy Thiện Facebook: Thầy Thiện Cơ Thu – ĐT: 0982844999 Bài tốn 5.1.Viết phƣơng trình mặt cầu tâm I qua điểm M  Bƣớc 1: Tính bán kính R  IM  Bƣớc 2: Viết phương trình mặt cầu dạng Bài tốn 5.2.Viết phƣơng trình mặt cầu có đƣờng kính AB  Bƣớc 1: Tìm tâm I trung điểm AB Bán kính R AB  IA  IB  Bƣớc 2: Viết phương trình mặt cầu dạng Phƣơng trình mặt phẳng:  Mặt phẳng ( P) qua M ( x0 ; y0 ; z0 )  phương trình VTPT n  (a; b; c) ( P) : a( x  x0 )  b( y  y0 )  c( z  z0 )  (*)  Lƣu ý: Vectơ pháp tuyến (VTPT) mặt phẳng  Ngược lại, mặt phẳng có phương trình dạng  vectơ khác nằm đường thẳng vng góc với mặt  ax  by  cz  d  , mặt phẳng có VTPT n  (a; b; c) với a2  b2  c2  phẳng Đặc biệt:    VTPT VTPT VTPT Mp(Oyz) : x    n(Oyz )  (1;0;0), mp(Oxz) : y    n(Oxz )  (0;1;0), mp(Oxy) : z    n(Oxy )  (0;0;1) Bài tốn 6.1.Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua M song song với mặt phẳng (Q) cho trƣớc Bài tốn 6.2.Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với với đƣờng thẳng d cho trƣớc    Mặt phẳng (P) qua M, có VTPT n( P )  n(Q ) nên    Mặt phẳng (P) qua M , có VTPT n( P )  ud nên phương trình phương trình viết theo (*) Bài tốn 6.3 Viết phƣơng trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB viết theo (*) Bài tốn 6.4 Viết phƣơng trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C   Bƣớc 1: Tìm trung điểm I đoạn AB tính AB  Bƣớc 2: Phương trình mp( P)    qua I   VTPT n  AB     Bƣớc 1: Chọn điểm A  d VTCP ud Tính  AM , ud    LUYỆN THI MƠN TỐN – Thầy Thiện  qua A  Bƣớc 2: Phương trình mp( P) Bài tốn 6.5 Viết phƣơng trình mặt phẳng qua M chứa đƣờng thẳng d với M  d 37    Bƣớc 1: Tính tọa độ AB, AC suy  AB, AC     VTPT n   AB, AC  Bài tốn 6.6.Viết phƣơng trình mặt phẳng cắt Ox, Oy, Oz lần lƣợt A(a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c ) với a.b.c   Phương trình mặt phẳng viết theo đoạn chắn ( P) : x y z    a b c Facebook: Thầy Thiện Cô Thu – ĐT: 0982844999 qua M  Bƣớc 2: Phương trình mp( P)    VTPT n   AM , ud  Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ( P) : ax  by  cz  d1  (Q) : ax  by  cz  d   M ( x0 ; y0 ; z0 ) mp( P) : ax  by  cz  d   Cho   Khi đó: d  M , ( P)    Cho hai mặt phẳng  ax0  by0  cz0  d a  b2  c Góc hai mặt phẳng ( P) : a1 x  b1 y  c1 z  d1   (Q) : a2 x  b2 y  c2 z  d   Góc ( P) & (Q) tính:   nP nQ a1a2  b1b2  c1c2 cos  ( P), (Q)      nP nQ a12  b12  c12 a22  b22  c22   Khi đó: d  ( P), (Q)   d1  d a  b2  c2 với d1  d Vị trí tƣơng đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình:  Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình:  P),(Q)  900 Chú ý:  ( Khoảng cách hai mặt phẳng song song ( P) : a1 x  b1 y  c1 z  d1  Ta có:  (Q) : a2 x  b2 y  c2 z  d  a b c d  ( P)  (Q)     a2 b2 c2 d2 a b c d  ( P)  (Q)     a2 b2 c2 d  ( P) & (Q) cắt  a1 : b1 : c1  a2 : b2 : c2  ( P)  (Q)  a1a2  b1b2  c1c2  Lƣu ý:Các tỉ số có nghĩa mẫu khác Ví trị tƣơng đối mặt phẳng mặt cầu Cho mặt phẳng ( P) : ax  by  cz  d  mặt cầu ( S ) có tâm I bán kính R  Trƣờng hợp 1: d  I , ( P)   R  ( P) ( S ) khơng có điểm chung  Trƣờng hợp 2: d  I , ( P)   R  ( P) ( S ) có điểm chung Khi ta nói ( P) tiếp xúc ( S ) ( P) tiếp diện ( S )  Trƣờng hợp 3: d  I , ( P)   R  ( P) cắt ( S ) theo giao tuyến đƣờng tròn Đường tròn giao tuyến có tâm H (là trung điểm AB), bán kính r  R2  IH với IH  d  I ,( P)  Ta có: IM  ( P) với M tiếp điểm Phƣơng trình đƣờng thẳng:  Đường thẳng d qua A( xA ; y A ; z A )  VTCP u  (u1; u2 ; u3 ) Vectơ phương (VTCP) đường thẳng d vectơ khác 38 LUYỆN THI MÔN TOÁN – Thầy Thiện  x  x A  u1t   Phương trình tham số d :  y  y A  u2t với t tham số z  z  u t A  Facebook: Thầy Thiện Cô Thu – ĐT: 0982844999  , có giá trùng với d song song với d  Phương trình tắc d : x  xA y  y A z  z A   u1 u2 u3 với u1.u2 u3        a  d  Lƣu ý:Nếu có cặp vectơ khác khơng phương cho   d có VTCP là: ud   a, b    b  d 7.1 Ví trị tƣơng đối hai đƣờng thẳng: Xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1 , d2 với d1 Bƣớc I     u1 , u2    Hai đường thẳng d1 , d2   song song trùng qua M qua N  , d  VTCP u2 VTCP u1 Bƣớc II     u1 , MN         u1 , MN         u1 ,u2  MN         u1 ,u2  MN        u1 , u2    Hai đường thẳng d1 , d2   cắt chéo Kết luận  d1  d2  d1  d2  d1 cắt d2  d1 & d2 chéo 7.2 Ví trị tƣơng đối đƣờng thẳng mặt phẳng: x  x  u t   Xét vị trí tương đối đường thẳng d :  y  y0  u2 t mặt phẳng (P) : ax  by  cz  d   z  z0  u3 t  Bƣớc II:Giải PT (*), ta gặp Bƣớc I: Kết luận trƣờng hợp sau  d  ( P)  PT (*) vơ nghiệm  Thay phương trình tham số d vào phương trình ( P) , ta PT (*): a( x0  u1t)  b( y0  u2t)  c(z0  u3t)  d   PT (*) có nghiệm t  t0 d cắt ( P) điểm  PT (*) có vô số nghiệmt d  (P) 7.3 Khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng:   Bƣớc 1: Chọn điểm A  d VTCP ud  Cho điểm M đường thẳng d (có phương trình tham số tắc)   ud , AM     Bƣớc 2: d  M , d    ud 7.4 Khoảng cách hai đƣờng thẳng: Trƣờng hợp 1: Hai đƣờng thẳng song song Trƣờng hợp 2: Hai đƣờng thẳng chéo d1 , d d1 , d  Bƣớc 1: Chọn điểm M (đẹp) thuộc d1  Bƣớc 2: d  d1 , d2   d  M , d2  (xem 7.3) qua A   qua B     , d2 VTCP u1    VTCP u2       u1 , u2  AB    Bƣớc 2: Tính: d  d1 , d     u1 , u2     Bƣớc 1: Ghi rõ d1 7.5 Góc hai đƣờng thẳng: 39 LUYỆN THI MƠN TỐN – Thầy Thiện Facebook: Thầy Thiện Cô Thu – ĐT: 0982844999   u1.u2   Ta có: cos d  , d    u1 u2    Cho hai đường thẳng d1 , d có VTCP u1 , u2   7.6 Góc đƣờng thẳng mặt phẳng:  u.n   Ta có: sin d , ( P)    u.n    Cho đường thẳng d có VTCP u măt phẳng ( P) có VTPT n  Hình chiếu điểm đối xứng: Phƣơng pháp Bài tốn 8.1 Tìm hình chiếu điểm A mặt phẳng (P )   Gọi d đường thẳng qua A  ( P)   Viết pt tham số d với VTCP d VTPT (P)  Gọi H  d  ( P) Thay pt tham số d vào pt mp (P) ta tìm tọa độ H  xA  xH  xA   Ta có H trung điểm AA   y A  yH  y A z  2z  z H A  A BỔ SUNG CƠNG THỨC TÍNH NHANH  HÌNH CHIẾU VNG GĨC CỦA ĐIỂM LÊN MẶT PHẲNG Cho M x M ; y M ; z M  mặt phẳng ( P) : Ax  By  Cz  D  Gọi H ( x H ; y H ; z H ) hình chiếu vng góc  x H  x M  At  Ax  By  Cz M  D   M lên (P) ta có:  y H  y M  Bt với t   M M  A  B  C2    z  z  Ct M  H  ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MỘT MẶT PHẲNG Cho M x M ; y M ; z M  mặt phẳng ( P) : Ax  By  Cz  D  Gọi M ' ( x M ' ; y M ' ; z M ' ) điểm đối xứng  x M '  x M  At  Ax  By  Cz M  D   M qua (P) ta có:  y M '  y M  Bt với t   M M  A  B  C2    z  z  2Ct M  M'  Gọi H (theo t ) (dựa vào pt tham số d)   Cách  AH  d  AH ud    Tìm t    Tọa độ H 8.2 Tìm điểm A đối xứng với A qua (P ) 8.3 Tìm hình chiếu điểm A đường thẳng d 8.4 Tìm điểm A đối xứng với A qua đường thẳng d 40  Gọi ( P) Cách qua A   Viết pt mp( P) ( P)  d  Gọi H  d  ( P) Thay pt tham số d vào pt mp (P) ta tìm tọa độ H  xA  xH  xA   Ta có H trung điểm AA   y A  yH  y A z  2z  z H A  A LUYỆN THI MƠN TỐN – Thầy Thiện Facebook: Thầy Thiện Cơ Thu – ĐT: 0982844999 8.5 Viết phương trình đường thẳng d  hình chiếu đường thẳng d mp ( P)  Lập phương trình mp(Q) biết (Q) chứa d (Q)  ( P) : Trƣờng hợp 1: d song song mp (P) (Q) qua điểm A  d    (Q) có VTPT nQ  ud , nP     Lập phương trình d  giao Trƣờng hợp 2: d cắt mp (P) điểm tuyến hai mp (P) (Q): Chọn hai điểm M, N thuộc d  cách thay Tìm x   y, z thay Tìm y   x, z (đối với hệ hai pt (P), (Q)) Viết pt d qua M, N [ XIV GẮN TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Gắn tọa độ hình chóp 1.1.Hình chóp có cạnh bên (SA) vng góc với mặt đáy: Đáy tam giác Đáy tam giác cân A Đáy tam giác cân B  Gọi O trung điểm BC Chọn hệ trục hình vẽ, AB  a   Tọa độ điểm là:     O(0;0;0), A  0; ;0  , B   ;0;0  ,      1   C  ;0;0  , S  0; ; OH   2    SA  Đáy tam giác vng B  Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ điểm: B  O  0;0;0  , 41  Gọi O trung điểm BC Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ điểm là: O(0;0;0), A  0; OA;0  , B  OB;0;0  ,   C  OC;0;0  , S  0; OA; OH   SA   Đáy tam giác vuông A  Chọn hệ trục hình vẽ, a  LUYỆN THI MƠN TỐN – Thầy Thiện  Gọi O trung điểm AC Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ điểm: O  0;0;0  , A  OA;0;0  , B  0, OB;0  ,   C  OC;0;0  , S  OA;0; OH   SA   Đáy tam giác thƣờng  Dựng đường cao BO ABC Chọn hệ trục hình vẽ, a  Facebook: Thầy Thiện Cô Thu – ĐT: 0982844999 A  0; AB;0  , C  BC,0;0  ,   S  0; AB;  BH   SA   Đáy hình vng, hình chữ nhật  Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ A  O  0;0;0  , B  0; AB;0  , C  AD; AB;0 , D  AD;0;0  , S 0;0; SA  Tọa độ điểm: A  O  0;0;0  ,  Tọa độ điểm: O  0;0;0  , B  0; OB;0  , C  AC;0;0  , A  OA;0;0  , B  0, OB;0  , S  0;0; SA   C  OC;0;0  , S  OA;0; OH   SA   Đáy hình thang vng Đáy hình thoi  Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ O  0;0;0  , A  OA;0;0  ,  Chọn hệ trục hình vẽ, a   Tọa độ A  O  0;0;0  , B  0; OB;0  , C  OC;0;0  B  0; AB;0  , C  AH ; AB;0  ,   D  0; OD;0  , S  OA;0; OH  D  AD;0;0  , S  0;0; SA  SA   1.2.Hình chóp có mặt bên (SAB) vng góc với mặt đáy Đáy tam giác, mặt bên tam Đáy tam giác cân C (hoặc Đáy hình vng-hình chữ nhật giác thƣờng đều), mặt bên tam giác cân S (hoặc đều)  Vẽ đường cao CO ABC Chọn hệ trục hình, a =  Ta có: O  0;0;0 , A  0; OA;0  ,   B  0; OB;0  , C  OC;0;0  , S  0; OH ; OK   SH    Dựng hệ trục hình, chọn a =  Ta có: A  O  0;0;0 , B  AB;0;0   Gọi O trung điểm BC, chọn hệ trục hình, a =  Ta có: O  0;0;0 , A  0; OA;0  ,   C  AB; AD;0  , D  0; AD;0  , S  AH ;0;  AK   SH   B  0; OB;0 , C OC;0;0 , S  0;0; SO  1.3.Hình chóp Hình chóp tam giác Gọi O trung điểm cạnh đáy Dựng hệ trục hình vẽ a = Tọa độ điểm:  AB   BC  ;0;0  , O  0;0;0  , A  0; ;0  , B       42 LUYỆN THI MƠN TỐN – Thầy Thiện Hình chóp tứ giác Chọn hệ trục hình với a = Tọa độ điểm: O  0;0;0  ,    AB  A ;0;0  ,     OA  Facebook: Thầy Thiện Cô Thu – ĐT: 0982844999  BC  C ;0;0  ,      AB  S  0; ; OK    SH    OH         AB   AB   AB   B  0; ;0  , C   ;0;0  , D  0;  ;0  2            OB OB    OA    S  0;0; SO  Gắn tọa độ hình lăng trụ 2.1 Lăng trụ đứng Hình lập phƣơng, hình hộp chữ nhật Dựng hệ trục hình vẽ với a = Tọa độ điểm: A  O  0;0;0  , B  0; AB;0  , Lăng trụ đứng đáy hình thoi Gọi O tâm hình thoi đáy, ta dựng hệ trục hình với O  0;0;0  , A  OA;0;0  , C  AD; AB;0  , B  0; OB;0  , D  AD;0;0  , C  OC;0;0  , A  0;0; AA  , D  0; OD;0  , B  0; AB; AA , C  AD; AB; AA , D  AD;0; AA  A  OA;0; AA , B  0; OB; AA  , C  OC;0; CC  , D  0; OD; DD  Lăng trụ tam giác Gọi O trung điểm cạnh đáy, chọn hệ trục hình vẽ với a = Ta có:  AB  O  0;0;0  , A  ;0;0  ,    AB  B   ;0;0  , C  0; OC;0  ,   A OA;0; AA ,  AB  B   ;0; BB  , C  0; OC; CC   Lăng trụ đứng có đáy tam giác thƣờng Vẽ đường cao CO tam giác ABC chọn hệ trục hình vẽ với a = Tọa độ điểm là: O  0;0;0  , A  OA;0;0 , B  OB;0;0  , C  0; OC;0  , A OA;0; AA , B  OB;0; BB , C  0; OC; CC 2.2.Lăng trụ nghiêng: Lăng trụ nghiêng có đáy hình vng hình chữ nhật, hình chiếu đỉnh điểm thuộc cạnh đáy không chứa đỉnh Lăng trụ nghiêng có đáy tam giác đều, hình chiếu đỉnh mặt phẳng đối diện trung điểm cạnh tam giác đáy 43 LUYỆN THI MƠN TỐN – Thầy Thiện Facebook: Thầy Thiện Cơ Thu – ĐT: 0982844999  Dựng hệ trục hình vẽ, ta dễ dàng xác định  Dựng hệ trục hình vẽ, ta dễ dàng xác định điểm O, A, B, C, D, A điểm O, A, B, C, A  Tìm tọa độ điểm cịn lại thơng qua hệ thức vectơ  Tìm tọa độ điểm cịn lại thơng qua hệ thức vectơ        nhau: AA  BB  CC  DD nhau: AA  BB  CC Bổ sung cơng thức tính liên quan     AB, CD  AC    Khoảng cách hai đường thẳng chéo AB CD: d ( AB, CD)     AB, CD    44 LUYỆN THI MƠN TỐN – Thầy Thiện Facebook: Thầy Thiện Cô Thu – ĐT: 0982844999 ...  – +  – –  2.4 Bổ trợ công thức để khử dạng vô định: ax2  bx  c  a  x  x1  x  x2  với x n    x  1  x n 1  x n 2   1 x1 , x2 nghiệm tam thức bậc hai a b  a b  a2... thuộc đồ thị hàm biến y  Cách 1: Tự luận  Bƣớc 1: Chia đa thức cho đa thức, ta viết  lại hàm số y    cx  d  Bƣớc 2: Yêu cầu toán  cx  d x   Tìm  ước số ngun    x  , suy ... nghiệm, ta nên dùng công thức : x1  x2   (*) có hai nghiệm dương phân biệt a  0,     S  0, P   a  (*) có hai nghiệm âm phân biệt a  0,     S  0, P  Bổ trợ tam thức bậc hai