Dạy thêm toán 8 bài 3 hình

DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com BÀI 3: TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA MỘT TAM GIÁC I Tóm tắt lý thuyết Định lý: Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn GT ABC , AD tia phân giác · BAC  D  BC  KL DB AB  DC AC Chú ý: Định lý tia phân giác tam giác: (với AB  AC ) D'B AB  D'C AC II Các dạng tập Dạng Sử dụng tính chất đường phân giác tam giác để tính độ dài đoạn thẳng Phương pháp giải: Thực theo bước: Bước 1: Xác định đường phân giác lập đoạn thẳng tỉ lệ; Bước 2: Sử dụng đoạn thẳng tỉ lệ để tính độ dài đoạn thẳng chưa biết Bài 1: Cho tam giác ABC vng A, có AB  21cm,AC  28cm Kẻ phân giác AD · (với D  BC ) Tính BD, CD BAC Hướng Dẫn: Tính BC = 35cm Trong tam giác ABC, phân giác AD, ta có: BD AB   CD AC 4 Suy ra, BD  CD Ta có: BC = BD + CD hay BD  CD Từ tính CD = 20cm, BD  CD  15cm Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com · Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A Kẻ phân giác AD BAC (với D  BC ), biết DB  15cm,DC  20cm Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC Hướng Dẫn: Ta có: BC = BD + CD = 35cm Ta AB  AC Trong ABC vuông cân A, ta có: BC  AB  AC 25 BC  AC  AC  AC 16 16 Từ tính AC  28cm, AB  AC  21cm Dạng Sử dụng tính chất đường phân giác tam giác để tính tỉ số, chứng minh hệ thức, đoạn thẳng nhau, đường thẳng song song Phương pháp giải: Thực theo bước sau: Bước 1: Xác định đường phân giác lập đoạn thẳng tỉ lệ; Bước 2: Sử dụng tỉ số có, với tính chất tỉ lệ thức, tỉ số trung gian (nếu cần) định lý đảo định lý Ta – lét để tính tỉ số đoạn thẳng chứng minh hệ thức, từ suy đoạn thẳng hay đường thẳng song song Bài 1: Cho hình thang ABCD (AB// CD) Hai đường chéo AC BD cắt O Đường thẳng a qua O song song với đáy hình thang cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự E F.Chứng minh : OE = OF Hướng Dẫn: Sơ đồ giải OE = OF  OE DC = OF DC  OE AO OF BO AO BO = ; = ; = DC AC DC BD AC BD  AEC  BOF  AOB BDC  EF // DC COD  AB // CD : : : ADC  gt Bài 2: Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, BE, CF Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com DB EC FA  DC EA FB b) Khi tam giác ABC cân A, chứng minh EF song song với BC AB  , tính tỉ số diện tích hai tam giác ABD ACD c) Biết AC Hướng Dẫn: a) Chứng minh a) Cách Sử dụng định lý Xe va chứng minh Câu Bài Cách Có thể chứng minh sau: Xét tam giác ABC, phân giác AD, ta có: Tương tự, ta chứng minh được: Vậy BD AB  CD AC CE BC AF CA  ,  AE BA BF CB DB EC FA AB BC CA  1 DC EA FB AC BA CB b) Tam giác ABC cân A nên AB = AC Suy ra, ta có: c) Dễ thấy AE BA AC AF    Vậy theo định lý Ta-lét đảo, ta có ĐPCM CE BC BC BF DB AB   Gọi h chiều cao từ đỉnh A tới đáy BC, ta có: DC AC h.DB SABD DB    SACD h.DC DC Bài 3: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD, BE, CF giao I Chứng minh: DI BC DI EI FI     a) ; b) DA Chu vi ABC DA EB FC Hướng Dẫn: a) Trong tam giác ABD, phân giác BI, ta có: Tương tự, ta có: DI DB  AI AB DI DC  AI AC Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com DI DB DC DB  DC BC     AI AB AC AB  AC AB  AC DI BC DI BC    Suy ra, AI  DI AB  AC  BC AD Chu vi ABC b) Sử dụng kết câu a) · Bài 4: Cho tam giác ABC (AB < AC), đường phân giác AD BAC (với D  BC ) Từ trung điểm M BC, kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AC F cắt tia đối tia AB E Chứng minh BE = CF Hướng Dẫn: ·AEF  BAD · (góc đồng vị) · · (góc so le trong) EFA  DAC Nên ta có AEF cân A Từ đó, ta có: EA = FA Ta chứng minh được: BE = CF µ D µ cắt đường chéo BD AC Bài 5: Cho hình bình hành ABCD Phân giác A M N Chứng minh: MN song song với AD Hướng Dẫn: Gọi I giao điểm BD AC Xét tam giác ABD, phân giác AM, ta có: AB BM  AD DM CD CN  ; AD AN BM CN  Mà AB =CD, suy DM AN Tương tự, Từ đó, ta có: BM CN BD CA DI AI 1  1     DM AN DM AN DM AN Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Suy ĐPCM III Bài tập tự luyện Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC, đường phân giác góc BAC cắt cạnh BC D a) Tính tỉ số BD biết AB = 3cm; AC = 5cm DC b) Tính độ dài DC, biết BD = 1,5cm Hướng Dẫn:  a)AD phân giác BAC , ta có BD AB BD    Vậy DC DC AC BD   DC  BD b) DC 5 hay DC  1,5  2,5cm Bài 2: Cho tam giác ABC cân A, phân giác BD, BC = 10cm, AB = 15cm.Tính AD, DC Hướng Dẫn: BD phân giác góc B nên DA BA   DC BC Theo tính chất tỉ lệ thức, ta có DA  DC BA  BC AC 15  10    DC BC DC 10 10 AC 10.15   (cm) 25 25 Ta có DA + DC = AC  AD  AC  DC  15   (cm)  DC  Bài 3: Cho tam giác ABC có AB  45 cm, AC  30 cm, BC  50 cm Vẽ đường phân giác AD Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com a) Tính độ dài BD, DC b) Tia phân giác góc B cắt AD I Tính tỉ số AI : ID Hướng Dẫn: a) Theo tính chất đường phân giác góc A ABC ta có: DB AB 45    DC AC 30 DB  DC  BC    Do đó: DC DC 50    DC  20 (cm) DC Suy DB = 30 cm b)Theo tính chất đường phân giác góc B ADB Ta có: AI AB 45    ID BD 30 Chú ý: Nếu ABC có BC  a, AC  b, AB  c DB  ac ab AI b  c , DC  ,  (bạn đọc bc b  c ID a tự chứng minh) Bài 4: Tam giác cân ABC có AB  AC  60 cm Đường phân giác góc B cắt đường cao AH I Biết AI 12  Tính độ dài BC IH Hướng Dẫn: BI đường phân giác ABH nên AB AI 60 12    BH IH BH Do BH  25cm, BC  50 cm Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 5: Tam giác ABC có chu vi 18cm , BC cạnh lớn tam giác Đường phân giác góc B chia AC thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với : Tính độ dài cạnh tam giác ABC Hướng Dẫn: AB AC AB BC AC  ,  nên   BC BC 4 AB BC AC AB  BC  AC 18     2 Do 243 Từ AB  4cm, BC  8cm, AC  6cm Ta có Bài 6: Tam giác ABC có AB  AC  cm, BC  cm , đường phân giác BD, CE Tính độ dài AD, ED Hướng Dẫn: BD đường phân giác góc B nên AD AB AD AD AD           AD  3, 6cm DC BC AD  DC  AC AD AB AC AE    Ta có nên ED PBC DC BC BC EB ED AD ED 3,     ED  2, 4cm Do BC AC Bài 7: Qua trung điểm O đoạn thẳng AB , vẽ tia Ox , tia lấy điểm C Các tia phân giác góc AOC BOC thứ tự cắt CA, CB D, E a) Chứng minh DE song song với AB b) Điểm C vị trí DE đường trung bình tam giác ABC ? Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com a) OD đường phân giác AOC nên DC OC  DA OA OE đường phân giác BOC nên EC OC  (2) EB OB Ta lại có OA  OB DC EC  Nên từ  1 ,  ,  suy , DE // A B DA EB b) DE đường trung bình tam giác ABC  DC  DA  OC  OA (1) Bài 8: Cho tam giác ABC có phân giác AM, BN, CP cắt I Chứng minh AP BM CN 1 a) AP BC CA b) MI NI PI   1 MA NB PC Hướng Dẫn: a) Ta có AM phân giác góc A Theo tính chất đường phân giác tam giác, ta có MB AB  MC AC Tương tự đường phân giác BN, CP ta có NC BC PA CA  ;  NA BA PB CB Do MB NC PA AB BC CA      1 MC NA PB AC BA CB Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com AP BM CN 1 AP BC CA b) Gọi a, b, c độ dài cạnh BC, CA, AB Trong ABM BI phân giác ứng với cạnh AM nên Vậy MI BM BM MI BM MI BM       IA BA c MI  IA BM  c MA BM  c (1) Trong ACM CI phân giác ứng với cạnh AM nên MI CM CM MI CM MI CM       IA CA b MI  IA CM  b MA CM  b Mà CM = BC – BM = a – BM Nên So sánh (1) (2) ta có  MI a  MA a  b  c MI a  BM  MA a  BM  b (2) MI BM a  BM BM  a  BM    MA BM  c a  BM  b BM  c  a  BM  b Chứng minh tương tự ta có NI b  BN a  b  c PI c  CP a  b  c MI NI PI a b c a bc       1 Suy MA BN CP a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c MI NI PI   1 Vậy MA NB PC  Bài 9: Cho tam giác ABC, phân giác AD Phân giác giác ADC cắt AC F, phân giác  ADB cắt AB E Chứng minh AF BE AB  AE CF AC b) AF.BE.CD = AE.BD.CF a) Hướng Dẫn: a) Áp dụng tính chất đường phân giác ta có BE BD  (1) AE AD AF AD  (2) FC DC Nhân (1) với (2) vế theo vế ta được: AF BE AD BD BD    FC AE DC AD DC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Do AD phân giác góc A nên BD AB  DC AC AF BE AB  AE CF AC b) Nhân (1) với (2) vế theo vế ta AF BE AD BD AF BE DC AD BD DC        1 FC AE DC AD FC AE BD DC AD BD AF BE DC   1 Hay FC AE BD Vậy AF.BE.CD = AE.BD.CF Bài 10: Cho tam giác ABC, phân giác BD, CE Chứng minh a)Nếu DE//BC tam giác ABC cân A b)Nếu tam giác ABC cân A DE//BC Hướng Dẫn: Vậy a) Giả sử DE//BC ta có AE AD  EB DC (1) Mặt khác, BD phân giác góc B nên ta có AD AB  CE phân giác góc C DC BC AE AC  EB BC AC AB   AC  AB Suy BC BC Nên ABC cân A b) Giả sử ABC cân A  AC  AB Ta có BD phân giác góc B AD AB AE AC   nên ta có CE phân giác góc C nên ta có EB BC DC BC Mặt khác AC  AB AE AD   DE//BC Suy EB DC nên ta có  Bài 11: Cho hình bình hành ABCD ( AB  AD, A  900 ) Trên tia đối tia CD lấy điểm E ^ ^ cho DBC  CBE Đường thẳng BE cắt đường thẳng AD M Đường thẳng CM cắt AB F, BD K Chứng minh a) CK  KF KM 1   b) CK CF CM Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com BF BE  FA BD Hướng Dẫn: c) CK KB  KM KD FK KB  Ta lại có FB//DC  KC KD FK KC  Suy  CK  KF KM KC KM b)Ta có BC//DM CK KB   (1) CM BD Ta lại có FB//DC CK KD   (2) CF BD a)Ta có BC//DM  Lấy (1) cộng (2) vế theo vế ta : Vậy CK CK KD KB BD     1 CF CM BD BD BD 1   CF CM CK ^ ^ c) Ta có DBC  CBE suy BC phân giác góc B CE BE  Theo tính chất phân giác ta có (3) DC BD FB MF  Mặt khác, ta có FB//CE  CE FC FA MF  AF//DC  CD FC FA BF BF CE   CD.BF  FA.CE   Suy (4) CD CE FA CD BF BE  Từ (3) (4) suy FA BD Bài 12: Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), vẽ đường cao AH Trên tia HC lấy điểm D cho HD = AH Đường thẳng vuông góc với BC D cắt AC E Gọi M trung điểm BE, tia BG HD  AM cắt BC G Chứng minh: BC AH  HC Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com BG HD  BC AH  HC BC AH  HC HC  1 BG HD HD BC HC BC  BG HC GC HC  1      BG HD BG HD GB HD HC GC HC AC   Ta chứng minh: Ta có: DE // AH  HD GB HD AE Dựng đường thẳng qua E vng góc AH I, suy HIED hình chữ nhật · · IE = HD = HA; IAE hai tam giác vng IEA HBA  HBA HC AC AC  AE  AB     HD AE AB · Vì M trung điểm BE, tam giác ABE cân A nên AM tia phân giác góc BAC hay G · chân đường phân giác góc BAC tam giác ABC Từ ta có: GC AC HC AC AC GC     Vậy  GB AB HD AE AB GB Bài 13: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD, BE, CF Biết BC  36cm, CA  30cm, AB  18cm Tính độ dài đoạn BD, DC, EA, EC, FA, FB Hướng Dẫn: $ C µ cắt Bài 14: Cho tam giác ABC, BC  10cm,CA  6cm,AB  8cm Đường phân giác B cạnh AC AB D E a) Tính độ dài đoạn thẳng AE, EB, AD, DC 40 b) Trên cạnh BC lấy điểm K cho BK  cm Chứng minh ba đường thẳng AK, BD, CE đồng quy Hướng Dẫn: a) Học sinh tự giải b) Ta lập tỉ số BK BA   ; Từ ta có AK phân giác góc µA Nên suy ĐPCM CK CA · Bài 15: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Phân giác AMB cắt AB D, phân giác góc · cắt AC E AMC a) Chứng minh DE song song với BC b) Gọi I giao điểm DE với AM Chứng minh I trung điểm DE Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com a) Xét tam giác AMB, phân giác MD, có Tương tự ta chứng minh Từ ta có AD AM  BD BM AE AM  CE CM AE AD  CE BD Suy DE//BC b) Vì DE//BC nên DI AI IE   BM AM MC Mà MB = MC, suy DI = IE Bài 16: Cho tam giác ABC vuông A, AB  6cm,AC  8cm, đường phân giác BD a) Tính độ dài DA, DC · µ cắt BD I Gọi M trung điểm BC Chứng minh BIM b) Tia phân giác C  900 Hướng Dẫn: a) Học sinh tự thực b) Từ phần a, ta có: MB = MC = 5cm Suy CID  CIM · · Nên IMC  IDC · Trong tam giác BIM, có IMC , góc ngồi nên ta có: · · · IMC  BIM  IBM · · Tương tự, IDC  BAD  ·ABD · · · Vậy BIM  IBM  BAD  900 Bài 17: Cho tam giác ABC có BC  15cm,CA  18cm,AB  12cm Gọi I G tâm đường tròn nội tiếp trọng tâm tam giác ABC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 13 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com a) Chứng minh IG song song với BC b) Tính độ dài đoạn thẳng IG Hướng Dẫn: Gọi M trung điểm BC.AD tia phân giác góc BAC (D nằm BC) Tính CD = 9cm Trong tam giác ACD, phân giác CI, ta có: AI AC 18    DI CD AG  MF AG AI  Nên ta suy từ có ĐPCM MG DI Ta chứng minh b) Ta tính DM = 1,5cm Vì IG//DM, nên IG AG 2    IG  DM  1cm DM AM 3 Bài 18: Cho tam giác ABC cân A, BC = 8cm, phân giác góc B cắt đường cao AH K, AK  AH a) Tính độ dài AB b) Đường thẳng vng góc với BK cắt AH E Tính EH Hướng Dẫn: a) AB = 6cm b) EH = 8,94 cm Bài 19: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = m, AC = n; AD đường phân giác góc A Tính tỉ số diện tích tam giác ABD tam giác ACD Hướng Dẫn: SABD m  SACD n Bài 20: Cho tam giác ABC cân A, phân giác BD, BC = 10cm, AB = 15cm a) Tính AD, DC b) Đường phân giác ngồi góc B tam giác ABC cắt đường thẳng AC D  Tính DC Hướng Dẫn: a) DA = 9cm, DC = 6cm b) DC = 10cm Bài 21: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM đường phân giác AD a) Tính diện tích tam giác ADM, biết AB = m, AC = n (n > m) diện tích ABC S b) Cho n = 7cm, m = 3cm Diện tích tam giác ADM chiếm phần trăm diện tích tam giác ABC? Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 14 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Hướng Dẫn: a) SADM  n m S 2(m n) ABC b) SADM  20%SABC Bài 22: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm Gọi G trọng tâm tam giác ABC, O giao điểm hai đường phân giác BD, AE a) Tính độ dài đoạn thẳng AD b) Chứng minh OG // AC Hướng Dẫn: a) AD  2,5cm b) OG // DM  OG // AC Bài 23: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, đường phân giác góc AMB cắt AB D, đường phân giác góc AMC cắt cạnh AC E Chứng minh DE // BC Hướng Dẫn: DA EA   DE P BC DB EC Bài 24: Cho tam giác ABC (AB < AC), AD phân giác góc A Qua trung điểm E cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AD, cắt cạnh AC F, cắt đường thẳng AB G Chứng minh CF = BG Hướng Dẫn: BG BE.CD.BA CD.AB    CF BD.CE.AC BD.AC Bài 25: Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm cạnh BC Đường phân giác góc AIB cắt cạnh AB M Đường phân giác góc AIC cắt cạnh AC N a) Chứng minh MM // BC b) Tam giác ABC phải thoả điều kiện để có MN = AI? c) Tam giác ABC phải thoả điều kiện để có MN  AI? Hướng Dẫn: a) Chứng minh AM AN  BM CN Bài 26: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn DC, góc D = 600 Đường phân giác góc D cắt đường chéo AC I, chia AC thành hai đoạn theo tỉ số cắt đáy AB M Tính cạnh đáy 11 AB, DC, biết MA – MB = 6cm Hướng Dẫn: Chứng minh DC = AB + AD  DC = AB + AM  MB   DC = 66cm, AB = 42cm MA Bài 27: Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng cắt AB E, AD F cắt đường chéo AC G Chứng minh hệ thức: AB AD AC   AE AF AG Hướng Dẫn: Vẽ DM // EF, BN // EF Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác ADM, ABN Bài 28: Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M cạnh CD lấy điểm N cho DN = BM Chứng minh ba đường thẳng MN, DB, AC đồng quy Hướng Dẫn: Bài 29: a) Chứng minh tia qua đỉnh góc tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng tia phân giác góc Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 15 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com b) Cho tam giác ABC có µA  120o , đường phân giác AD, BE , CF Chứng minh · EDF  90o Hướng Dẫn: DB AE DB AB   Theo giả thiết ta có Suy AE  AB Do µE  µB1 DC AC DC AC µ  µA , từ µA  ¶A Ta lại có AD //BE nờn àE ảA2 ,B 1 Kẻ BE //AD Chú ý: Bài tốn định lý đảo tính chất đường phân giác tam giác b) Qua C vẽ đường thẳng song song với DA, cắt BA K Dễ thấy ACK tam giác DA CK CA FA    , DB CB CB FB Do DF tia phân giác góc ADB (theo kết câu a) Chứng minh tương tự, DE tia phân giác góc ADC Vậy ·EDF  90 o (vì DE, DF tia phân giác hai góc kề bù) Ta có: Chú ý: Cách giải khác dùng kiến thức lớp 7:  ABD có AE phân giác góc ngồi, BE phân giác góc nên DE phân giác góc ngồi Vậy DE phân giác góc ADC Tương tự DF phân giác góc ADB Do ·EDF  90 o Bài tâp nâng cao Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 16 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài : Cho tam giác ABC vng A có AH đường cao (H thuộc BC), N trung điểm AB Biết AB=6cm, AC=8cm · a) Vẽ AK tia phân giác góc BAC (K thuộc BC) Tính AK? b) Gọi E hình chiếu vng góc H lên AC T điểm đối xứng N qua I với I giao điểm CN HE Chứng minh tứ giác NETH hình bình hành Hướng Dẫn: a) Theo tính chất chân đường phân giác ta có: KC AC CK     KB AB CB Gọi K’ hình chiếu vng góc K lên AC, suy KK’ // AB Theo định lí Talet ta có: KK' CK 4 24    KK'  AB   (cm) AB CB 7 7 Mặt khác, tam giác AKK’ vuông cân K’ nên: 24 AK  KK’  2(cm) b) Ta chứng minh I trung điểm HE IE CI IH   Vì HE  AC nên HE // BA Theo định lí Talet ta có: NA CN NB Vì NA = NB nên IE = IH Do I trung điểm HE Theo giả thiết I trung điểm NT Tứ giác NETH có hai đường chéo NT EH có chung trung điểm I nên NETH hình bình hành µ < 600 phân giác AD Bài 2: Cho  ABC, có B a) Chứng minh AD < AB b) Gọi AM phân giác  ADC Chứng minh BC > DM Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 17 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com µ µ µ µ · µ + A > A + C = 180 - B  600 a)Ta có ADB =C 2 >B · µ  AD < AB  ADB b) Gọi BC = a, AC = b, AB = c, AD = d Trong  ADC, AM phân giác ta có DM AD DM AD DM AD  = =  = CM AC CM + DM AD + AC CD AD + AC  DM = abd CD.AD CD d ab  ; CD = ( Vận dụng 1)  DM = (b + c)(b + d) AD + AC b + d b+c Để c/m BC > DM ta c/m a > 4abd hay (b + d)(b + c) > 4bd (1) (b + c)(b + d) Thật : c > d  (b + d)(b + c) > (b + d)2  4bd Bất đẳng thức (1) c/m Bài 3:Cho  ABC, trung tuyến AM, tia phân giác góc AMB , AMC cắt AB, AC theo thứ tự D E a) Chứng minh DE // BC b) Cho BC = a, AM = m Tính độ dài DE c) Tìm tập hợp giao diểm I AM DE  ABC có BC cố định, AM = m khơng đổi d)  ABC có điều kiện DE đường trung bình Hướng Dẫn: DA MB ·  a) MD phân giác AMB nên (1) DB MA EA MC ·  ME phân giác AMC nên (2) EC MA Từ (1), (2) giả thiết MB = MC ta suy DA EA  DE // BC  DB EC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 18 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com x DE AD AI m  b) DE // BC  Đặt DE = x  x   x = 2a.m BC AB AM a m a + 2m c) Ta có: MI = a.m DE = không đổi a + 2m  I cách M đoạn không đổi nên tập hợp điểm I đường tròn tâm M, bán kính MI = a.m (Trừ giao điểm với BC) a + 2m d) DE đường trung bình  ABC  DA = DB  MA = MB   ABC vuông A Bài 4: Cho  ABC ( AB < AC) phân giác BD, CE a) Đường thẳng qua D song song với BC cắt AB K, chứng minh E nằm B K b) Chứng minh: CD > DE > BE Hướng Dẫn: a) BD phân giác nên AD AB AC AE AD AE = < =   (1) DC BC BC EB DC EB Mặt khác KD // BC nên Từ (1) (2) suy  AD AK  (2) DC KB AK AE AK + KB AE + EB    KB EB KB EB AB AB   KB > EB  E nằm K B KB EB b)Gọi M giao điểm DE CB · · · · Ta có CBD (Góc so le trong)  KBD = KDB = KDB · · · · · ·  KBD  EBD  EB < DE Mà E nằm K B nên KDB > EDB > EDB > EDB · · · · · · · · · ·  DEC  DEC Ta lại có CBD > ECB > DCE (Vì DCE = ECB ) + ECB = EDB + DEC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 19 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Suy CD > ED  CD > ED > BE Bài 5: Cho  ABC với ba đường phân giác AD, BE, CF Chứng minh a DB EC FA 1 DC EA FB b 1 1 1      AD BE CF BC CA AB Hướng Dẫn: DB AB · = a)AD đường phân giác BAC nên ta có: (1) DC Tương tự: với phân giác BE, CF ta có: Từ (1); (2); (3) suy ra: AC EC BC FA CA = = (2) ; (3) EA BA FB CB DB EC FA AB BC CA = =1 DC EA FB AC BA CB b) Đặt AB = c , AC = b , BC = a , AD = da Qua C kẻ đường thẳng song song với AD , cắt tia BA H Theo ĐL Talét ta có: BA.CH c.CH c AD BA  AD     CH CH BH BH BA + AH b + c Do CH < AC + AH = 2b nên: d a  Chứng minh tương tự ta có : bc 11 1 11 1 2bc           d a 2bc  b c  da  b c  bc 11 1 11 1     Và     Nên: db  a c  dc  a b  1 1 1 1 1 1  1   1   1                       d a db d c   b c   a c   a b   d a db dc  a b c   1 1 1      ( đpcm ) d a db d c a b c Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 20 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 6: Cho tam giác ABC ba đường phân giác AM, BN, CP cắt O Ba cạnh AB, BC, CA tỉ lệ với 4, 7, a) Tính MC, biết BC = 18cm b) Tính AC, biết NC – NA = 3cm OP OC MB NC PA  d) Chứng minh: MC NA PB 1 1 1      e) Chứng minh: AM BN CP BC CA AB c) Tính tỉ số Hướng Dẫn: a) MC = 10cm b) AC = 11cm c) OP  OC e) Vẽ BD // AM  BD < 2AB  AM  Tương tự: 2AC.AB 1 1       AC  AB AM  AB AC  1 1  1 1        ,   đpcm BN  AB BC  CP  AC BC  Bài 7: Cho tam giác ABC có BC  a, AC  b, AB  c,  b  c  , đường phân giác BD, CE a) Tính độ dài CD, BE suy CD  BE b) Vẽ hình bình hành BEKD Chứng minh CE  EK c) Chứng minh CE  BD Hướng Dẫn: a) Tính độ dài cạnh CD,BE , ta CD  ab ac ,BE  (xem ví dụ 6) ac ab ab ac ac   tức CD  BE ac ac a b b) Ta có CD  BE mà BE  DK nên CD  DK , suy ¶K1  ¶C3 (1) Ta lại có b  c nên Ta lại có b  c nên ¶B2  ¶C2 , mà ¶B2  ¶K nên ¶K  ¶C2 Từ (1) (2) ta suy ¶K1  ¶K  ¶C3  ¶C2  ·EKC  ·ECK  CE  EK Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 21 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com c) CE  EK mà EK  BD nên CE  BD Chú ý: Từ toán suy ra: - Trong tam giác có hai cạnh không nhau, đường phân giác ứng với cạnh lớn nhỏ - Tam giác có hai đường phân giác tam giác cân (Một cách chứng minh toán này, xem Các tập chuyên đề tam giác) Bài 8: Chứng minh tia phân giác góc ngồi đỉnh A tam giác ABC chia cạnh BC theo tỉ số AB : AC Hướng Dẫn: Gọi E giao điểm tia phân giác góc ngồi đỉnh A với đường thẳng BC Vẽ CK //AB EB AB  EC CK (1) ảK1 àA1 ảK1 ảA2 AC CK (2) ả A1 A2 EB AB  Từ (1) (2) suy EC AC Bài 9: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Phân giác góc A cắt BC D, phân giác ngồi góc A cắt BC E Tính BD, DC, EB,EC theo a, b, c Hướng Dẫn: Theo tính chất đường phân giác tam giác ABC ta có BD AB BD  DC AB  AC (tính chất dãy tỉ số nhau)    + DC AC DC AC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 22 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com BC AB  AC BC.AC a.b   DC   DC AC AB  AC c  b ab b    BD  a   a 1   cb  bc EC AC EC  EB AC  AB    + EB AB EB AB BC AC  AB   EB AB BC AB a.c  EB   AC  AB b  c a.c  c   1 EC  EB  BC   a  a bc bc   Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 23 ... AN Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Suy ĐPCM III Bài tập tự luyện Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC, đường phân giác góc... AC  DC  15   (cm)  DC  Bài 3: Cho tam giác ABC có AB  45 cm, AC  30 cm, BC  50 cm Vẽ đường phân giác AD Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook:...  GB AB HD AE AB GB Bài 13: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD, BE, CF Biết BC  36 cm, CA  30 cm, AB  18cm Tính độ dài đoạn BD, DC, EA, EC, FA, FB Hướng Dẫn: $ C µ cắt Bài 14: Cho tam giác