Nghiên cứu hai phương pháp toán học để xác định mômen quán tính của các vật rắn đồng chất

Bài viết Nghiên cứu hai phương pháp toán học để xác định mômen quán tính của các vật rắn đồng chất nghiên cứu các phương pháp toán học khác nhau để xác định mômen quán tính của ba dạng vật rắn đó là dạng: Dài, mặt, khối.

KHOA HỌC – CÔNG NGHỆ NGHIÊN CỨU HAI PHƯƠNG PHÁP TỐN HỌC ĐỂ XÁC ĐỊNH MƠMEN QN TÍNH CỦA CÁC VẬT RẮN ĐỒNG CHẤT STUDY ON TWO MATHEMATICAL METHODS TO DETERMINE THE OHERENT SYMMETRY OF SOLID OBJECTS Đinh Văn Tình Khoa Khoa học bản, Trường Đại học Kinh tế - Kỹ thuật Cơng nghiệp Đến Tịa soạn ngày 12/04/2021, chấp nhận đăng ngày 13/05/2021 Tóm tắt: Mơmen qn tính đại lượng vật lý Đây xem đại lượng giúp tính tốn cho vật rắn trải qua chuyển động quay quanh trục cố định Nó tính tốn dựa phân bố khối lượng vật thể vị trí trục quay, đó, đối tượng có giá trị qn tính khác tùy thuộc vào vị trí hướng trục quay Ngồi mơmen qn tính coi đại diện cho lực cản vật thể thay đổi vận tốc góc, tương tự khối lượng biểu thị khả chống lại thay đổi vận tốc chuyển động tịnh tiến theo định luật chuyển động Newton Từ khóa: Mơmen qn tính, vật rắn đồng chất Abstract: The moment of inertia is a quantity in physics This is seen as a quantity that helps calculate for a solid body to undergo a rotation around a fixed axis It is calculated based on the mass distribution in the object and the position of the spindle, so the same object can have very different inertia values depending on the position and direction of the axis of rotation In addition, the moment of inertia can be considered to represent the resistance of an object changing angular velocity, similar to the mass indicating its resistance to velocity changes in translational motion according to the laws of displacement Newton's movement Keywords: Moment of inertia, homogeneous solid GIỚI THIỆU Mômen quán tính I vật quay quanh trục cố định có vai trị quan trọng việc tính tốn đại lượng chuyển động quay như: Mơmen lực M  I  , động quay K  L  I I 2 động lượng quay Việc xác định mơmen qn tính vật rắn việc không dễ đặc biệt vật thể có hình dạng, kích thước Theo tài liệu tơi biết chưa có tài liệu giải chi tiết cách xác định mơmen qn tính mà đưa cơng thức cho vật thể TẠP CHÍ KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ SỐ 29 - 2021 Vì tác giả nghiên cứu phương pháp toán học khác để xác định mơmen qn tính ba dạng vật rắn dạng: dài, mặt, khối PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Tác giả sử dụng hai phương pháp toán học giải tích để chứng minh cơng thức tính mơmen qn tính vật rắn đồng chất KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN Ví dụ 1: Tính mơmen qn tính đồng chất khối lượng m, chiều dài l, trục quay nằm đầu 37 KHOA HỌC – CÔNG NGHỆ Cách 1: Phương pháp tính tổng, giới hạn: Cách 2: Phương pháp tích phân Mơmen qn tính hệ chất điểm mi trục quay  cách khoảng ri xác Cơng thức chung để xác định mơmen qn tính vật thể: I    r dm k Vr định là: I    mi ri i 1 Giải: Chia đồng chất thành k phần nhau, phần có khối lượng m mi  , phần thứ i tính từ trục quay có k (2i  1)l khoảng cách đến trục quay ri  2k dx x Hình Vr: Có chiều dài l; khối lượng m; khoảng cách từ dm đến trục quay  r=x nên tích phân lấy có chiều dài từ đến l Giải: Chia thành đoạn nhỏ có chiều dài dx, gọi x khoảng cách từ dx đến trục quay, dm khối lượng dx; Vì đồng chất nên Hình Mơmen qn tính tổng mơmen qn tính đoạn tạo nên (các đoạn xem chất điểm k tiến đến vô cùng) k  i 1 Thay giá trị mi ri tính ta kết quả: k I  lim  k  i 1 dx l l I    r dm   x dm   x Vr Vr m ml dx  l (2) Ví dụ 2: Tính mơmen qn tính đĩa trịn mỏng khối trụ đặc đồng chất k I  lim  mi ri dm  m dm dx , suy  m l Cách 1: Phương pháp tính tổng, giới hạn (tính mơmen qn tính đĩa trịn mỏng, đồng chất) m (2i  1)2 l k 4k 12  32   (2k  1) I  lim ml k  4k  k (2k  1)(2k  1)   lim ml   k  12k   4k  k  lim ml k  12k ml  38 (1) Hình Hình Giải: Ta chia đĩa thành k lớp, lớp dày R , diện tích lớp thứ i tính từ tâm k TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ SỐ 29 - 2021 KHOA HỌC – CÔNG NGHỆ (i  1) R   iR Si    ( )  ( )  nên khối lượng k  k  S lớp thứ i tính từ tâm đĩa mi  m i , R khoảng cách từ tâm đến đường trung bình (2i  1) R lớp ri  2k Mơmen qn tính đĩa tổng mơmen qn tính các lớp tạo nên (các lớp xem vành trịn k tiến k đến vơ cùng) I  lim  mi ri k  i 1 Thay giá trị mi ri tính ta (i  1) R   iR  ( )  ( )  2 k k k   (2i  1) R I  lim  m k   R2 4k i 1 k (2i  1)3 I  lim mR  k  4k i 1 2k  2k (3)  lim mR k  4k mR  Cách 2: Phương pháp tích phân bội (Tính mơmen qn tính khối trụ đặc đồng chất) Các công thức sau trích dẫn xây dựng từ chương (Phần hệ tọa độ Descartes) [3] Vũ Kim Thái, Đinh Văn Tình, “Giáo trình Vật lí đại cương”, NXB Lao động (2016) Cụ thể sau: r  x.i  y j  z.k , i, j, k vectơ phương, đơn vị, nên ta có: r  r r  ( x.i  y j  z.k )( x.i  y j  z.k ) 2  x i  y j  z k  xy.i j  xz.i.k  yx j.i  yz j.k  zx.k i  zy.k j  x2  y  z Vì: 2 i  j  k  1; i j  i.k  j.i  j.k  k i  k j  TẠP CHÍ KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ SỐ 29 - 2021 Áp dụng kết vào việc tính mơmen qn tính vật thể chiếm thể tích V có khối lượng riêng  ( x, y, z ) cách trục quay  khoảng r I    r  ( x, y, z )dxdydz xác định: V Vậy mơmen qn tính trục Ox, Oy, Oz là: I x   ( y  z ) ( x, y, z )dxdydz V I y   ( x  z ) ( x, y, z )dxdydz V I z   ( x  y ) ( x, y, z )dxdydz V Tương tự ta có mơmen qn tính mặt phẳng Oxy, Oyz, Oxz là: I Oxy   z  ( x, y, z )dxdydz V I Oyz   x  ( x, y, z )dxdydz V I Oxz   y  ( x, y, z )dxdydz V Mơmen qn tính gốc tọa độ vật rắn là: IO   ( x  y  z ) ( x, y, z )dxdydz V Giải: Chọn trục hình trụ Oz, mặt đáy Oxy, chiều cao h, bán kính hình trụ R, tỉ khối   const Ta có: I oz    ( x  y )dxdydz V Chuyển sang hệ tọa độ trụ ta được:  x  r sin    y  r cos  ; z  z   :  2  r :  R z :  h  Hình 39 KHOA HỌC – CƠNG NGHỆ 2 R h 0 I oz    d  r 3dr  dz   2 R4 h   R h 1  (  R h) R  mR 2 I Oz   ( x  y ) dxdydz V    ( x  y )dxdydz V (4) Trong đó: V khối cầu tâm O, bán kính R Với m   R h khối lượng khối trụ Chuyển sang hệ tọa độ trụ Ví dụ 3: Tính mơmen qn tính khối cầu đặc đồng chất khối lượng m, bán kính R, mật độ khối lượng   const  x  r sin    y  r cos  ; z  z  Cách 1: Phương pháp tính tổng, giới hạn: I Oz    r 3drd dz Giải: Tương tự việc tính mơmen qn tính đĩa tròn đặc, ta chia khối cầu thành R k lớp có độ dày , thể tích lớp thứ i tính k  iR (i  1) R  từ tâm Vi   ( )3  ( )  ,  k k  tương ứng với khối lượng Vi i 1   i mi  m  m  ( )3  ( ) , bán kính 4 R / k   k mặt cầu trung bình lớp thứ I (2i  1) R ri  2k Mơmen qn tính khối trịn tính tổng mơmen qn tính lớp (có k dạng mặt cầu) tạo nên I  lim  mi ri k  i 1 Thay giá trị mi ri tính rút gọn ta được: I  (3i  3i  1)(2i  1) mR lim  k  4k i 1 k 2 12k /  mR lim  mR k  4k 5 (5) Cách 2: Phương pháp tích phân bội: Giải: Gọi R bán kính khối cầu,   const , trục quay theo Oz, tâm khối cầu O: Áp dụng cơng thức tính mơmen qn tính trục quay Oz ta có: 40  :  2  r :  R  2 2 z :  R  r  R  r V/ 2 R2 r R    d  r dr 0 2 R    d  r dr 0 2 R 0  dz  R2 r R2 r  dz    d  r R  r dr 2 R 0    d  R  r ( R  r  R )d ( R  r ) R 2   2   ( R  r )  R ( R  r )  5 0  8  R5 15  mR (6) Với m   R3  khối lượng khối cầu Ví dụ 4: Tính mơmen qn tính vật thể đồng chất  ( x, y, z)  const giới hạn miền x y z V: x  0; y  0; z  0;      a b c gốc tọa độ Giải: TẠP CHÍ KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ SỐ 29 - 2021 KHOA HỌC – CƠNG NGHỆ Mơmen qn tính gốc tọa độ vật rắn là:   I O   ( x  y  z ) dxdydz Ví dụ 5: Tính mơmen qn tính vật thể đồng chất  ( x, y, z)  const V a    dx x b (1 ) a  a x b (1 ) a  y  z  dz mặt phẳng Oxy giới hạn miền V với:  x b (1 ) a 0  dy Giải: Những điểm giao tuyến hai mặt cầu ( x2  y  z )  2az; ( x2  y2  z )  a2 có độ a cao thỏa mãn 2az  a z  x y [c(x  y )(1   ) a b x y  c3 (1   )3 ]dy} a b a  { dx x b (1 ) a  Hình ( x2  y  z )  2az; ( x2  y  z )  a (a  0) x y c (1  ) a b 3  2 ( x  y ) z  z   a  { dx  x dy    dx x y c (1  ) a b abc (a  b2  c ) (7) 60 I Oxy    z dxdydz V x x [cx (1  )  cy (1  ) a a    z dxdydz    z dxdydz 2 V1 c c x y  ( x y  y )  (1   )3 ]dy} b a b a x x  { [cx (1  ) y  cy (1  ) a a a chia miền V thành hai miền: a  V1  ( x, y, z )  V : z   2  Mặt phẳng z  x b (1 ) a c 1 x y  ( x y  y )  c3b(1   )4 ] b 12 a b dx} a x x bc x  [  bcx (1  )2  cb3 (1  )4  x (1  )2 a a a x bc3 x  cb3 (1  )4 + (1  )4 ]dx a 12 a a a bc x bc3  cb3 x  [  x (1  )2 dx  (1  )4 dx]  a 12 a bc x3 x bc3  cb3 x  [  ( x   )dx  (1  )4 dx]  a a 12 a a a a V2  I1  I a bc x3 x x5 bc3  cb3 x a  [ (   2)  (1  )5 ( ) ] 4a 5a 12 a bc a3 bc3  cb3 a  [  ] 30 12 a3bc  ab3c  abc3   60 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ SỐ 29 - 2021 a  V2  ( x, y, z ) V : z   2  a Ta I1    z dz  dxdy có: a  dxdy S (z) mà S( z )   ( x  y )   (a  z ) S( z ) a a2 z3 z5 47a5 I1    z (a  z )dz   (  )  480 a a 2 a 2 Tương tự: a I    z (2az  z )dz   ( a 2az z a5  )  40 Vậy I O  I1  I  ( 47 59  )a5  a  (8) 480 40 480 41 KHOA HỌC – CƠNG NGHỆ R2 Ví dụ 6: Tính mơmen qn tính vật thể hình trụ rỗng bán kính hai đáy R1 R2 (R1 < R2) gốc tọa độ biết  ( x, y, z)  const r h r h3  2 (  ) R   h( R24  R14 R  R12  h2 ) (9) KẾT LUẬN Giải: Hình Gọi chiều cao hình trụ h, áp dụng cơng thức tính mơmen gốc tọa độ: IO   ( x  y  z ) ( x, y, z )dxdydz V Chuyển sang tọa độ trụ:  x  r sin    y  r cos  ; z  z   :  2  r : R1  R2 z :  h  2 R2 h R1 Khi ta có: I O    d  dr  r (r  z )dz R2 h R1   2  dr  (r  rz )dz rz   2  (r z  ) dr R1 R2   2  (r 3h  R1 Có thể mở rộng để tính mơmen qn tính cho đồng chất với trục quay ml qua tâm thanh: I  , cho cầu 12 rỗng I  mR ,… Trên kết mà tơi nghiên cứu tính tốn, hy vọng với kết tài liệu tham khảo cho giảng viên em sinh viên cần xác định mơmen qn tính h R2 Như rõ ràng sử dụng hai phương pháp toán học khác tơi tính mơmen qn tính vật rắn đồng chất cho ba dạng vật thể: chiều dài, mặt, khối tương ứng với công thức (1), (3), (5), (7), (8), (9) Trong ví dụ 4, ví dụ ví dụ tơi sử dụng tích phân để tính mơmen qn tính Với cách có thuận lợi khó khăn riêng tùy thuộc vào sở trường người học rh3 )dr TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Đình Trí, Trần Việt Dũng, Trần Xuân Hiển Nguyễn Xuân Thảo, “Toán học cao cấp, Tập 2, 3”, NXB Giáo dục Việt Nam (2015) [2] Nguyễn Thừa Hợp, “Giải tích tập 2, 3”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (2004) [3] Vũ Kim Thái, Đinh Văn Tình, “Giáo trình Vật lí đại cương”, NXB Lao động (2016) Thơng tin liên hệ: Đinh Văn Tình Điện thoại: 0909351978 - Email: dvtinh@uneti.edu.vn Khoa Khoa học bản, Trường Đại học Kinh tế - Kỹ thuật Cơng nghiệp 42 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ SỐ 29 - 2021 ...KHOA HỌC – CƠNG NGHỆ Cách 1: Phương pháp tính tổng, giới hạn: Cách 2: Phương pháp tích phân Mơmen quán tính hệ chất điểm mi trục quay  cách khoảng ri xác Cơng thức chung để xác định mơmen qn tính. .. cho giảng viên em sinh viên cần xác định mơmen qn tính h R2 Như rõ ràng sử dụng hai phương pháp toán học khác tơi tính mơmen qn tính vật rắn đồng chất cho ba dạng vật thể: chiều dài, mặt, khối... dụ 2: Tính mơmen qn tính đĩa trịn mỏng khối trụ đặc đồng chất k I  lim  mi ri dm  m dm dx , suy  m l Cách 1: Phương pháp tính tổng, giới hạn (tính mơmen qn tính đĩa trịn mỏng, đồng chất)