(SKKN mới NHẤT) phương pháp giải dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Ở lớp 7, học “2 đường thẳng song song”, học sinh biết cách chứng minh đường thẳng song song, học “2 tam giác nhau”, học sinh biết cách chứng minh tam giác … khơng theo cách học sinh chọn cách khác Nhưng “chứng minh điểm thẳng hàng” học sinh khơng có định hướng tốt vậy, nhiều em muốn làm trọn vẹn, gặp nhiều khó khăn … Qua nhiều năm giảng dạy khối 7, với nhiều đối tượng khác thấy nguyên nhân chưa việc tập cho em làm quen với việc “chứng minh điểm thẳng hàng” Từ suy nghĩ thực tế giảng dạy mạnh dạn viết đề tài II THỰC TRẠNG Quan sát: Kiến thức trang bị cho em tương đối ít, tập sách giáo khoa đưa đa số tốn có hình vẽ sẵn, điều thầy cô giáo dạy không khai thác thêm tốn để phát huy óc sáng tạo em Điều tra: Để nắm bắt học sinh có giải dạng tốn khơng, mạnh dạn bổ sung thêm câu hỏi “chứng minh ba điểm thẳng hàng” vào kiểm tra tiết Kết tổng số 79 em thì: Năm học Lớp Sĩ số Số học sinh giải Tỉ lệ (%) 2016-2017 71 72 40 39 12,5% 15,4% Số lại 68 em chiếm tỷ lệ 86,1% bỏ trống làm sai không định hướng cách làm III/ GIẢI PHÁP Qua thời gian nghiên cứu, tìm tịi học hỏi từ đồng nghiệp Tơi mạnh dạn đưa phương pháp giải dạng toán "chứng minh ba điểm thẳng hàng" sau: A Lý thuyết: Dựa vào định nghĩa góc bẹt để chứng minh ba điểm thẳng hàng A B C = 1800 Ba điểm A, B, C thẳng hàng Vận dụng tiên đề Ơclít chứng minh hai đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng cho trước A a B C AB // a AC // a => A, B, C thẳng hàng TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Chứng minh hai đường thẳng qua điểm vng góc với đường thẳng cho trước: A AB  B => A, B, C thẳng hàng a C BC  Chứng a minh ba điểm thuộc tia phân giác góc Tia OA tia phân giác a  A, O, B thẳng hàng Tia OB tia phân giác Chứng minh ba điểm thuộc đường trung trực đoạn thẳng A thuộc đường trung trực MN B thuộc đường trung trực MN C thuộc đường trung trực MN A => A, B, C thẳng hàng B M C Áp dụng đường trung tuyến tam giác phải qua trọng tâm N A G trọng tâm tam giác ABC AM trung tuyến tam giác ABC => A, G, M thẳng hàng G B C M Chứng minh đường phân giác tam giác qua giao điểm chung A chúng: I giao điểm đường phân giác , I AD phân giác D thẳng hàng B C D Chứng minh đường cao tam giác qua trực tâm tam giác đó: A H trực tâm ABC AD đường cao ABC H => A, H, D thẳng hàng B D C Chứng minh đường trung trực cạnh qua giao điểm hai A đường trung trực hai cạnh lại: O giao điểm đường trung trực cạnh AC BC E F O B TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com C EF đường trung trực cạnh AB => E, F,O thẳng hàng 10 Sử dụng phương pháp hình Để chứng minh điểm A, B, C thẳng hàng, C thuộc hình H (hình H đường thẳng, tia, đoạn thẳng ) gọi C’ giao điểm AB với hình H tìm cách chứng minh điểm C C’ trùng B Hướng dẫn học sinh áp dụng để làm tập Dựa vào định nghĩa góc bẹt để chứng minh ba điểm thẳng hàng: A B C = 1800 Ba điểm A, B, C thẳng hàng - Ngay từ 1: “Hai góc đối đỉnh”, ta lồng vào toán yếu tố “3 điểm thẳng hàng” sau: Ví dụ 1: Trên đường thẳng AA’ lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AA’ vẽ tia OB cho AOB = 450 Trên nửa mặt phẳng lại vẽ tia OC cho AOC = 900 Gọi OB’ tia phân giác A’OC Chứng minh ba điểm B, O, B’ thẳng hàng Giải A, O, A’ thẳng hàng  AOA’ = 1800 AOC + COA’ = AOA’ 900 + COA’ = 1800 COA’ = 1800 – 900 = 900 Vì OB’ tia phân giác COA’  COB’ = = = 450 BOB’ = BOA + AOC + COB’ = 450 + 900 + 450 = 1800 Vậy ba điểm B, O, B’ thẳng hàng Ví dụ 2: Cho góc vng AOB tia OC nằm góc Vẽ tia OM cho tia OA tia phân giác COM Vẽ tia ON cho tia OB tia phân giác CON Chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng Giải M, O, N thẳng hàng OA tia phân giác COM  COM = COA OB tia phân giác CON CON = COB MON =COM + CON = 2COA + COB = 2.(COA + COB) TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com = AOB = 900 = 1800 Vậy ba điểm M, O, N thẳng hàng Ví dụ 3: Cho ABC vng A, M trung điểm AC Kẻ tia Cx vng góc CA (tia Cx điểm B hai nửa mặt phẳng đối bờ AC) Trên tia Cx lấy điểm D cho CD = AB Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng Giải B Xét AMB CMD có: AB = DC (gt) = MA = MC (M trung điểm AC) Do đó: AMB = CMD (c.g.c) A / M C / = Suy ra: Mà D (kề bù) nên Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng Ví dụ 4: (Bài tập 55 trang 80 SGK Hình học tập 2) Cho hình vẽ Chứng minh ba điểm B, D, C thẳng hàng Giải KD đường trung trực AC DA = DC B ADC cân D Mà DK đường trung trực D => DK đường phân giác I = (1) DI đường trung trực AB DA = DB ABD cân D K A Mà DI đường trung trực => DI đường phân giác => = C (2) Từ (1) (2) suy + = + Ta có: DK // AI (cùng vng góc với AC) Mà => suy + = = + + => + = = + + TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Vậy ba điểm B, D, C điểm thẳng hàng Vận dụng tiên đề Ơclít chứng minh hai đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng cho trước BC // a => A, B, C thẳng hàng AC // a a Ví dụ 1: Cho góc AOM MOB kề bù (theo hình vẽ) Vẽ tia MC cho góc CMO, MOA so le Vẽ tia MD cho góc DMO, MOB so le Chứng minh ba điểm C, M, D thẳng hàng Giải CMO MOA cặp góc so le  MC // OA Mà B thuộc đường thẳng OA  MC // AB DMO MOB cặp góc so le  MD // OB Mà A thuộc đường thẳng OB  MD // AB Ta có MC // AB (cmt) MD // AB (cmt)  Ba điểm C, M, D thẳng hàng (Tiên đề Ơclit) A B C Ví dụ 4: Cho ABC vng A Vẽ ACD vng C có CD < AB Vẽ đường thẳng m qua A song song với BC E điểm nằm đường thẳng m cho E C thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, AE = BC Chứng minh ba điểm D, C, E thẳng hàng Giải Xét ABC CEA có: A BC = EA (gt) (hai góc so le AE // BC) AC cạnh chung Vậy: ABC = CEA (c.g.c) => C B Mà góc so le => CE // AB Mặt khác CD  AC ( ACD vuông C) AB  AC ( ABC vuông A) => CD // AB Ta có CE // AB, CD // AB Theo tiên đề Ơ-Clit ta có hai đường thẳng CE, CD trùng Vậy ba điểm D, C, E thẳng hàng D TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com E Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC BD cắt tai trung điểm O đoạn Trên tia AB lấy lấy điểm M cho B trung điểm AM, tia AD lấy điểm N cho D trung điểm AN Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng Giải Xét AOD COB có: OA = OC (vì O trung điểm AC) (hai góc đối đỉnh) OD = OB (vì O trung điểm BD) Vậy AOD = COB (c.g.c) Suy ra: Do đó: AD // BC A x B Nên (ở vị trí đồng vị) Xét DAB CBM có : AD = BC ( AOD = COB), (hai góc đồng vị) AB = BM ( B trung điểm AM) Vậy DAB = CBM (c.g.c) = X O / * D / = * X M C N Suy Do BD // CM (1) Lập luận tương tự ta BD // CN (2) Từ (1) (2) , theo tiên đề Ơ-Clit suy ba điểm M, C, N thẳng hàng Ví dụ 3: Cho ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AC, AB Trên đường thẳng BM CN lấy điểm D E cho M trung điểm BD N trung điểm EC Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng Giải A E D Xét BMC DMA có: / = MC = MA (do M trung điểm AC) (hai góc đối đỉnh) MB = MD (do M trung điểm BD) Vậy: BMC = DMA (c.g.c) N M / B = C Suy ra: Mà hai góc vị trí so le nên BC // AD (1) Chứng minh tương tự : BC // AE (2) Điểm A ngồi BC có đường thẳng song song BC nên từ (1) (2) theo Tiên đề Ơ-Clit Suy ba điểm E, A, D thẳng hàng TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Chứng minh hai đường thẳng qua điểm vng góc với đường thẳng cho trước: A B a C AB  a BC  a => A, B, C thẳng hàng Ví dụ 1: Cho ABC, tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB Trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AC Vẽ AH vng góc BC (H BC) Trên đoạn DE lấy điểm K cho BH = DK Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng Giải Có ADE = ABC (vì AE = AC, AD = AB, = mà DE // BC , = ) góc so le AHB = AKD (vì AB= AD, BH = DK, D K E ) = A => AK  DE Mà DE // BC AK  BC C B H mà AH  BC Suy ba điểm K, A, H thẳng hàng Ví dụ 2: Cho ABC cân A, AD đường trung tuyến Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A vẽ DCE vuông D Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng A Giải Ta có ABC cân A (gt) AD đường trung tuyến (gt) => AD đường cao ABC => AD  BC D B Mà DE  BC (DCE vuông D) C Do hai đường thẳng AD, DE trùng E Vậy ba điểm A, D, E thẳng hàng Ví dụ 3: Cho ABC có AB = AC Gọi M trung điểm BC VẽA hai đường tròn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai điểm P Q Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng Giải = = Xét ΔABM ΔACM có: P B / M / C TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Q AB =AC (gt) AM chung MB = MC (M trung điểm BC) Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c) Suy ra: Mà (hai góc tương ứng) (hai góc kề bù) nên Do đó: AM BC (đpcm) Chứng minh tương tự ta được: ΔBPM = ΔCPM (c.c.c) Suy ra: (hai góc tương ứng) mà nên = 900 => PM  BC Lập luận tương tự QM  BC Từ điểm M BC có AM  BC, PM  BC, QM  BC Nên ba điểm A, P, Q thẳng hàng (đpcm) Ví dụ 4: Cho ABC có AB = 5, AC = 12, BC = 13 Vẽ ACD cho AD = 16, CD = 20 Chứng minh ba điểm B, A, D thẳng hàng Giải D Ta có AB + AC2 = 52 + 122 = 169 BC2 = 132 = 169 Nên AB2 + AC2 = BC2 => ABC vng A (định lí Py-ta-go đảo) => AB  AC 20 16 Tương tự: ACD có AC2 + AD2 = CD = 400 => ACD vuông A (định lí Py-ta-go đảo) A => AD  AC Ta có AB  AC AD  AC 12 => Hai đường thẳng AB, AD trùng 13 Vậy ba điểm B, A, D thẳng hàng B C Chứng minh ba điểm thuộc tia phân giác góc: Tia OA tia phân giác Tia OB tia phân giác  A, O, B thẳng hàng Ví dụ 1: Cho ABC có AB = AC Gọi M điểm nằm tam giác cho MB = MC Gọi N trung điểm BC Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Giải ABM  ACM (vì AM chung, AB = AC, MB = MC ) A M =   AM tia phân giác (1) Tương tự ABN  ACN (c.c.c) N B C =  AN tia phân giác (2) Từ (1), (2) suy ba A, M, N điểm thẳng hàng Ví dụ 2: Cho Trên hai cạnh Ox Oy lấy hai điểm B C cho OB = OC Vẽ đường trịn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai điểm A D nằm góc xOy Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng Giải Xét ΔBOD ΔCOD có: OB = OC (gt) x OD chung BD = CD (D giao điểm B hai đường tròn tâm B tâm C bán kính) = = / Vậy ΔBOD =ΔCOD (c.c.c) Suy : O / A D Điểm D nằm nên tia OD nằm hai tia Ox Oy Do OD tia phân giác = = C y Chứng minh tương tự ta OA tia phân giác có tia phân giác nên hai tia OD OA trùng Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng Chứng minh ba điểm thuộc đường trung trực đoạn thẳng A => A, B, C thẳng hàng B A thuộc đường trung trực MN B thuộc đường trung trực MN C thuộc đường trung trực MN M C N Ví dụ 1: Cho ABC, DBC EBC cân có chung đáy BC Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng A Giải Ta có ABC cân A suy AB = AC D B C TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com E A thuộc đường trung trực BC (1) DBC cân D suy DB = DC D thuộc đường trung trực BC (2) EBC cân E suy EB = EC  E thuộc đường trung trực BC (3) Từ (1), (2), (3) suy ba điểm A, D, E thẳng hàng Ví dụ 2: Cho  ABC cân A, M trung điểm BC Đường trung trực AB, AC cắt D Chứng minh ba điểm A, M, D thẳng hàng A Giải Ta có : AB = AC (gt) MB = MC (M trung điểm BC) D Suy ra: AM đường trung trực đoạn BC (1)  ABC có đường trung trực AB AC cắt D B M C Suy ra: D giao điểm đường trung trực  ABC Nên: D thuộc đường trung trực BC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm A, M, D thẳng hàng Áp dụng đường trung tuyến tam giác phải qua trọng tâm A G trọng tâm tam giác ABC AM trung tuyến tam giác ABC => A, G, M thẳng hàng G B C M Ví dụ 1: Cho ABC vng A, có BC = 10cm, AC = 8cm Lấy điểm M AB cho BM = 4cm Vẽ điểm D cho A trung điểm DC, gọi N trung điểm BD Chứng minh ba điểm C, M, N thẳng hàng Giải B Áp dụng định lý Pythagore Tính AB = 6cm N DBC có BA trung tuyến M = =  BM = BA D Vậy M trọng tâm DBC N trung điểm BD suy CN trung tuyến BDC Trung tuyến CN phải qua trọng tâm M Vậy ba điểm C, M, N thẳng hàng A C Ví dụ 2: Cho ABC, kẻ trung tuyến AM Trên AM lấy hai điểm P, Q cho AQ = PQ = PM Gọi E trung điểm AC Chứng minh ba điểm B, P, E thẳng hàng Giải A 10 Q E TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com P B C ABC có AM trung tuyến mà AQ = QP = PM (gt) AP = AM M P trọng tâm  ABC Vì E trung điểm AC nên BE trung tuyến ABC BE qua trọng tâm P hay ba điểm B, P, E thẳng hàng Chứng minh đường phân giác tam giác qua giao điểm chung chúng: A I giao điểm đường phân giác , I AD phân giác D thẳng hàng D C B Ví dụ 1: Cho ABC cân A Vẽ phân giác BD CE cắt I Gọi M trung điểm BC Chứng minh ba điểm A, I, M thẳng hàng Giải Ta có  ABC có phân giác B C cắt I suy I giao điểm đường phân giác tam giác  ABC cân A có AM đường trung tuyến ứng với cạnh đáy nên AM phân giác Đường phân giác AM phải qua giao điểm I Vậy ba điểm A, I, M thẳng hàng Ví dụ 2: Cho ABC, tia phân giác góc A C cắt I Các đường phân giác góc ngồi đỉnh A C cắt K Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng Giải Vì K thuộc đường phân giác góc ngồi A nên K cách hai cạnh Ax AC (1) x Vì K thuộc đường phân giác góc ngồi C nên K cách hai cạnh Cy AC (2) K Từ (1) (2) suy K cách cạnh Ax Cy A Hay K cách hai cạnh BA BC  KB tia phân giác I giao điểm hai tia phân giác nên: BI tia phân giác (gt) => Ba điểm B, I, K thẳng hàng I , y B C 11 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com Chứng minh đường cao tam giác qua trực tâm tam giác đó: H trực tâm ABC AD đường cao ABC A H => A, H, D ba điểm thẳng hàng D B C Ví dụ 1: Cho ABC cân A, vẽ đường cao BH CK cắt I Gọi M trung điểm BC Chứng minh ba điểm A, I, M thẳng hàng Giải A Vì I giao điểm hai đường cao BH CK nên I trực tâm  ABC  ABC cân A có K AM đường trung tuyến H I Nên AM đường cao B => Đường cao AM qua trực tâm I C M => Ba điểm A, I, M thẳng hàng Ví dụ 2: Cho ABC vuông A Tia phân giác cắt cạnh AC D Trên cạnh BC lấy E cho BE = AB Đường thẳng qua C vng góc với BD cắt AB F Chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng Giải Xét ABD EBD có F AB = BE (gt) = (BD phân giác BD cạnh chung Do ABD = EBD (c-g-c) => Mà = ) A D (gt) Nên C B E => DE  BC Mặt khác FBC có CA, BD đường cao cắt D (BD  AC (gt), CA  AB (gt)) Nên D trực tâm FBC => FD  BC Ta có DE  BC, FD  BC => Hai đường thẳng DE, DF trùng Vậy ba điểm D, E, F thẳng hàng Chứng minh đường trung trực cạnh qua giao điểm hai A đường trung trực hai cạnh lại: O giao điểm đường trung trực cạnh AC BC E F O 12 B TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com C EF đường trung trực cạnh AB => E, F,O thẳng hàng Ví dụ 1: Cho ABC cân A, M trung điểm BC Đường trung trực AB, AC cắt D Chứng minh ba điểm A, D, M thẳng hàng Giải A ABC cân A có MB = MC nên: AM đường trung tuyến ABC => AM đường trung trực ABC Mà D giao điểm hai đường trung trực cạnh AB, AC D Nên AM qua D => Ba điểm A, D, M thẳng hàng B M C Ví dụ 2: Cho ABC vng A (AB < AC) Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, lấy điểm D, E cho BD = BA BD  BA, BE = BC BE  BC Gọi M trung điểm đoạn thẳng CE Chứng minh ba điểm A, D, M thẳng hàng Giải Xét ABC DBE có: AB = BD (gt) = (cùng phụ với BC = BE (gt) Do ABC = DBE (c-g-c) => A ) = F B C Nên Gọi F giao điểm ED AC Ta có AB  BD, DF  BD => AB // DF Xét ABD DFA có: = AD cạnh chung D M E = Do ABD = DFA (g-c-g) => BD = FA AB = DF Mà AB = BD (gt) Do AB = BD = AF = DF Chứng minh BM = FM = Ta có AB = AF, BD = DF, BM = FM => A, D, M nằm đường trung trực đoạn thẳng BF Vậy ba điểm A, D, M thẳng hàng 13 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com 10 Sử dụng phương pháp hình Để chứng minh điểm A, B, C thẳng hàng, C thuộc hình H (hình H đường thẳng, tia, đoạn thẳng ) gọi C’ giao điểm AB với hình H tìm cách chứng minh điểm C C’ trùng Ví dụ 1: Cho ABC Vẽ ABD cho D nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C AD // BC Gọi M trung điểm cạnh AC Trên tia đối tia MB lấy điểm E cho ME = MB Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng Giải Gọi E’ giao điểm BM AD D A E' Xét MAE’ MCB có E = (đối đỉnh) MA = MC (M trung điểm AC) = (so le AE’ // BC) Do MAE’ = MCB (g-c-g) => ME’ = MB Mà ME = MB (gt) Do ME = ME’ => E  E’ Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng M B C Ví dụ 2: Cho ΔABC cân A Trên cạnh AB, AC lấy D, E cho AD = AE Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng BC, DE Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng Giải Gọi N’ giao điểm AM DE A ΔABC cân A AM đường trung tuyến (M trung điểm cạnh BC) => AM đường phân giác ΔADE cân A AN’ đường phân giác => AN’ đường trung tuyến ΔADE => N’ trung điểm cạnh DE Mà N trung điểm cạnh DE Do N’  N Vậy ba điểm A, M, N thẳng hàng D N' E N B M C Ví dụ 3: Cho ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Gọi K trung điểm MN Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng Giải Kẻ ME // AC (E  BC) A 14 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com = B K' K E C =   ACB  MEB (hai góc đồng vị)      MEB Mà ACB  ABC nên MBE Vậy ΔMBE cân M Do đó: MB = ME Mà MB = NC ta ME = CN Gọi K’ giao điểm BC MN Xét ΔMEK’ ΔNCK’ có: N  ' ME  K  ' NC K (so le ME //AC) ME = CN (chứng minh trên)   ' ' MEK  NCK (so le ME //AC) ’ Do : ΔMEK = ΔNCK’ (g.c.g)  MK’ = NK’ Vậy K’ trung điểm MN, mà K trung điểm MN nên K K’ Do ba điểm B, K, C thẳng hàng IV KẾT QUẢ: Qua thời gian tổ chức thực đề tài, với sửa chữa, bổ sung sau tiết dạy, thân tự nhận xét, đúc rút kinh nghiệm cách tiến hành đề tài Nhìn chung học sinh tiến học tập, em hăng say sôi tiết học Sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm kết thu sau: Năm học 20162017 20172018 Trước áp dụng SKKN Tổng số Số hs Số hs học giải Tỉ lệ giải Tỉ lệ sinh sai Sau áp dụng SKKN Số hs Số hs giải Tỉ lệ giải Tỉ lệ sai 79 11 13,9% 68 86,1% / / / / 80 / / / / 66 82,5% 14 17,5% V KẾT LUẬN Chứng minh ba điểm thẳng hàng kiến thức rộng sâu, tương đối khó học sinh, cần thiết chương trình hình học THCS Vì địi hỏi người học phải có đầy đủ kiến thức, phải có kỹ phân tích, tổng hợp tốt Do khả có hạn, kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, tầm quan sát tổng thể chương trình mơn tốn chưa cao, nên khó tránh khỏi thiếu sót 15 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com định Vì để đề tài tơi thật có hiệu q trình giảng dạy, tơi mong nhận đóng góp, giúp đỡ nhiệt tình q thầy để đề tài hoàn thiện MỤC LỤC Trang I/ Lý chon đề tài II/ Thực trạng III/ Giải pháp  14 IV/ Kết 15 V/ Kết luận 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ Sách giáo khoa Toán tập 1, 2/ Sách giáo viên Toán tập 1, 3/ Sách tập Toán tập 1, 4/ Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán (nhà xuất giáo dục) 5/ 400 toán nâng cao Toán (nhà xuất giáo dục) 6/ Đổi phương pháp trường trung học sở (Tác giả: PGS-TS Trần Kiều) 16 TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com ... F,O thẳng hàng 10 Sử dụng phương pháp hình Để chứng minh điểm A, B, C thẳng hàng, C thuộc hình H (hình H đường thẳng, tia, đoạn thẳng ) gọi C’ giao điểm AB với hình H tìm cách chứng minh điểm. .. để chứng minh ba điểm thẳng hàng: A B C = 1800 Ba điểm A, B, C thẳng hàng - Ngay từ 1: “Hai góc đối đỉnh”, ta lồng vào tốn yếu tố “3 điểm thẳng hàng? ?? sau: Ví dụ 1: Trên đường thẳng AA’ lấy điểm. .. Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng M B C Ví dụ 2: Cho ΔABC cân A Trên cạnh AB, AC lấy D, E cho AD = AE Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng BC, DE Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng Giải Gọi N’ giao điểm