ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỀ TÀI MA TRẬN NGẪU NHIÊN LỚP L10 THÀNH VIÊN THỰC HIỆN Nhóm 14 MSSV HỌ TÊN 2110081 Huỳnh Nhật Duy 2111641 Dương Quang Linh 2110328 Đinh Hoàng Long 2112378 Nguyễn Xuân Thọ 2115042 Lê Thùy Trang 2115102 Nguyễn Minh Trọng 2113122 Đoàn Thành Đạt Ma trận ngẫu nhiên 1 Giới thiệu Lý thuyết Ma trận Ngẫu nhiên (thường được viết tắt là RMT) là một lĩnh vực nghiên cứu tích cực của.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỀ TÀI: MA TRẬN NGẪU NHIÊN LỚP L10 THÀNH VIÊN THỰC HIỆN: Nhóm 14 MSSV 2110081 2111641 2110328 2112378 2115042 2115102 2113122 HỌ TÊN Huỳnh Nhật Duy Dương Quang Linh Đinh Hoàng Long Nguyễn Xuân Thọ Lê Thùy Trang Nguyễn Minh Trọng Đoàn Thành Đạt Ma trận ngẫu nhiên Giới thiệu Lý thuyết Ma trận Ngẫu nhiên (thường viết tắt RMT) lĩnh vực nghiên cứu tích cực Toán học đại với đầu vào từ Tốn học Vật lý Lý thuyết, Phân tích Tốn học Xác suất, với nhiều ứng dụng, quan trọng Vật lý Lý thuyết, Lý thuyết Số Tổ hợp, Thống kê, Tốn tài chính, Sinh học Kỹ thuật & Viễn thơng Mơ hình ma trận ngẫu nhiên: Cho khơng gian xác suất (Ω, , P) Xét ma trận vuông M = (Mịj)1i,jn, với n số nguyên dương Mij biến ngẫu nhiên xác định Ω, nhận giá thực phức Khi M gọi ma trận ngẫu nhiên Ma trận ngẫu nhiên cung cấp hiểu biết thuộc tính đa dạng ma trận Có nhiều cách phân loại ma trận ngẫu nhiên nhiên cách phân loại dựa theo phân bố ma trận phổ biến Ba tập hợp ma trận ngẫu nhiên cổ điển đề xuất Wigner: tập hợp ma trận trực giao có phân bố Gauss (Gaussian orthogonal ensemble) (GOE), ma trận đơn có phân bố Gauss (Gaussian unitary ensemble) (GUE) ma trận tổng hợp có phân bố Gauss (Gaussian symplectic ensemble) (GSE) Chúng tạo thành tương ứng với ma trận tứ phương đối xứng thực, phức Hermitian phức tự liền kề với mục nhập trung bình-0 độc lập, phân phối chuẩn mà phương sai điều chỉnh để đảm bảo bất biến mật độ xác suất chung chúng trực giao 1.1 Ma trận trực giao có phân bố Gauss (GOE) Tập hợp ma trận trực giao có phân bố Gauss ( GOE) với trung bình phương sai có hàm mật độ xác suất cho bởi: Có nhiều cách khác để nói GOE Cách thông thường xét hàm mật độ xác suất đồng thời phần tử ma trận Với bất biến phép biến đổi trực giao, GOE tập hợp ma trận ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất là: 1.2 Ma trận thống có phân bố Gauss (GUE) Xét ma trận ngẫu nhiên Hermitian H = (H ij)nxn với phần tử biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị phức có dạng: Mij = xij + iyij với xij , yij biến ngẫu nhiên độc lập Với bất biến phép biến đổi trực giao, GUE tập ma trận ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất là: 1.3 Ma trận tổng hợp có phân bố Gauss (GSE) Quarternion q xác định bởi: a.1 + bi1 + ci2 + di3, với a, b, c, d i1, i2, i3 Quaternion đơn vị thỏa mãn đẳng thức: Tập hợp ma trận tổng hợp có phân bố Gauss (GSE) tập ma trận Quaternion tự đối ngẫu Q = (qjk)nxn có phân tử biến ngẫu nhiên chuẩn độc lập có hàm mật độ xác suất Các tập hợp Gaussian GOE, GUE GSE thường ký hiệu số Dyson chúng Tập hợp ma trận trực giao có phân bố Gauss (GOE) với , tập hợp ma trận thống có phân bố Gauss (GUE) với , tập hợp ma trận tổng hợp có phân bố Gauss với Chỉ số đếm số lượng thành phần thực phần tử ma trận 1.4 Phân bố giá trị riêng ma trận ngẫu nhiên Ma trận ngẫu nhiên thuộc phân bố Gauss có dạng: nên phân bố phụ thuộc vào giá trị riêng ma trận Do mối quan tâm đặc biệt ma trận ngẫu nhiên dáng điệu ngẫu nhiên phân bố giá trị riêng cực biên giá trị riêng Để tìm hiểu sâu vào vấn đề ta thường sử dụng phương pháp: phân bố xác giá trị riêng kích thước ma trận nhỏ, phân bố giới hạn giá trị riêng ma trận kích thước tiến tới vô ( luật bán nguyệt ), phân bố giá trị riêng lớn theo luật Tracy – Widom 1.5 Lý thuyết quang phổ ma trận ngẫu nhiên Lý thuyết phổ ma trận ngẫu nhiên nghiên cứu phân bố giá trị riêng kích thước ma trận đến vơ 1.5.1 Chế độ toàn cầu Trong chế độ toàn cục , người ta quan tâm đến phân bố thống kê tuyến tính dạng 1.5.2 Chế độ địa phương Trong chế độ cục , người ta quan tâm đến khoảng cách giá trị riêng nói chung phân phối chung giá trị riêng khoảng độ dài theo thứ tự / n Người ta phân biệt thống kê số lượng lớn , liên quan đến khoảng bên hỗ trợ phép đo phổ giới hạn thống kê cạnh , liên quan đến khoảng gần ranh giới hỗ trợ 1.6 Các lớp khác ma trận ngẫu nhiên Ma trận Wishart: họ phân phối xác suất xác định ma trận ngẫu nhiên đối xứng, không âm xác định (tức biến ngẫu nhiên định giá theo ma trận ) Trong lý thuyết ma trận ngẫu nhiên, không gian ma trận Wishart gọi tập hợp Wishart Ma trận đơn ngẫu nhiên: Trong lý thuyết ma trận ngẫu nhiên , ma trận đơn tập hợp tròn phép đo không gian ma trận Freeman Dyson đưa dạng sửa đổi tập hợp ma trận Gauss Ứng dụng 2.1 Bài toán đặt Sau thời gian dài theo dõi nhà khí tượng thủy văn đưa dự đốn: hơm trời nắng xác suất để ngày mai trời nắng 80% Nếu hơm trời mưa, xác suất để ngày mai trời mưa 70% Giả sử thời tiết có trạng thái nắng mưa Ta có ma trận Markov biểu diễn cho trạng thái thời tiết M = Giả sử hôm (ngày 1) ngày nắng Ta có véctơ X1 = Thời tiết ngày mai (ngày 2) X2 = M X1= = Thời tiết ngày X3 = M X2 = = 2.2 Chương trình dùng mơ hình Markov % ung dung mo hinh markov % de du bao thoi tiet nn = input('Nhap ti le % hom troi nang thi xac suat mai troi nang la: '); mm = input('Nhap ti le % hom troi mua thi xac suat mai troi mua la: '); n = input('Nhap so ban muon du doan: '); inital = input('Gia su dau tien , chon la nang , la mua: '); if inital ~= && inital ~=1 disp('ban da chon sai'); return; % dung chuong trinh end % ma tran markov bieu dien trang thai thoi tiet M = [nn/100 1-mm/100;1-nn/100 mm/100]; if(inital == 1) X1 =[1;0]; elseif(inital == 0) X1 =[0;1]; end Xn = X1; for i=2:n Xn = M*Xn; end % xuat ket qua fprintf('Thoi tiet %d ti le nang la %.4f va ti le mua la %.4f\n',n,Xn(1),Xn(2)); Ứng dụng Những năm gần đây, lý thuyết ma trận ngẫn nhiên ứng dụng nhiều lĩnh vực: vật lý (mồ tả thống kê mức lượng hệ thống lượng tử hổn loạn; ứng dụng cho cộng hưởng âm thanh, ví dụ dao động tinh thể thạch anh kim loại hình kỳ quặc), tài chính, lý thuyết đồ thị, mạng khơng dây, lý thuyết số tổ hợp, phân tích thống kê nhiều chiều phân tích thành phần Trong luận văn chúng tơi trình bày số ứng dụng góc độ xây dựng mơ hình liên quan đến ma trận ngẫu nhiên 3.1 Truyền thông không dây [ CITATION Thả14 \l 1033 ]Trong năm gần đây, RMT ứng dụng phổ biến vô tuyến truyền thông Ma trận ngẫu nhiên dùng để mơ tả đường truyền sóng hai hệ thống thông tin vô tuyến quan trọng hệ thống ăngten đa đầu vào đa đầu hệ thống truy cập trực tiếp đa dãy mã phân Nguyên tắc làm việc minh họa hình 3.1 Sơ đồ khối có ba phần bản: máy phát, trạm người nhận Mục tiêu việc thiết kế máy phát chuyển đổi bit thông tin thành định dạng tín hiệu để truyền phù hợp với kênh khơng dây Khi tín hiệu qua trạm, cường độ tín hiệu bị suy yếu hao tổn, bị giảm biến đổi cường độ dạng sóng tín hiệu thu khác nhiều lý Cuối phía người nhận bit thơng tin truyền phục hồi thông qua cân bằng, tách sóng giải mã Hình 3.1: Sơ đồ khối hẹẹ̣ thống vồ tuyến truyền thơng 3.2 Thống kê tốn học phân tích số Trong thống kê đa biến , ma trận ngẫu nhiên John Wishart đưa để phân tích thống kê mẫu lớn; [ CITATION Wis28 \l 1033 ] xem ước lượng ma trận hiệp phương sai Các kết đáng kể mở rộng bất đẳng thức vô hướng cổ điển Chernoff , Bernstein Hoeffding thành giá trị riêng lớn tổng hữu hạn ma trận Hermitian ngẫu nhiên [ CITATION Tro111 \l 1033 ] Các kết hệ suy cho giá trị kỳ dị lớn ma trận hình chữ nhật Trong phân tích số , ma trận ngẫu nhiên sử dụng kể từ công trình John von Neumann Herman Goldstine [ CITATION von471 \l 1033 ] để mơ tả lỗi tính toán phép toán phép nhân ma trận 3.3 Lý thuyết số Trong lý thuyết số , phân phối số không hàm Riemann zeta (và hàm L khác ) mơ hình hóa phân phối giá trị riêng ma trận ngẫu nhiên định [ CITATION Kea931 \l 1033 ] Mối liên hệ lần phát Hugh Montgomery Freeman J Dyson Nó kết nối với giả thuyết Hilbert-Pólya 3.4 Khoa học thần kinh lý thuyết Trong lĩnh vực khoa học thần kinh lý thuyết, ma trận ngẫu nhiên ngày sử dụng nhiều để lập mơ hình mạng lưới kết nối synap nơron não Mơ hình động lực học mạng nơ-ron với ma trận kết nối ngẫu nhiên chứng minh thể chuyển pha sang hỗn loạn [20] phương sai trọng số khớp thần kinh vượt qua giá trị tới hạn, giới hạn kích thước hệ thống vơ hạn Liên hệ đặc tính thống kê phổ mơ hình ma trận ngẫu nhiên lấy cảm hứng sinh học với hành vi động lực học mạng nơ-ron kết nối ngẫu nhiên chủ đề nghiên cứu chuyên sâu [ CITATION Gar131 \l 1033 ] [ CITATION Raj061 \l 1033 ][ CITATION Wai131 \l 1033 ] [ CITATION Tim041 \l 1033 ][ CITATION Mui151 \l 1033 ] 3.5 Kiểm soát tối ưu Trong lý thuyết điều khiển tối ưu, diễn biến n biến trạng thái theo thời gian phụ thuộc vào giá trị chúng giá trị k biến điều khiển Với tiến hóa tuyến tính, ma trận hệ số xuất phương trình trạng thái (phương trình tiến hóa) Trong số toán, giá trị tham số ma trận cách chắn, trường hợp đó, có ma trận ngẫu nhiên phương trình trạng thái toán gọi điều khiển ngẫu nhiên [ CITATION Cho761 \l 1033 ][ CITATION Tur761 \l 1033 ][ CITATION Tur741 \l 1033 ]Một kết quan trọng trường hợp điều khiển tuyến tính-bậc hai với ma trận ngẫu nhiên nguyên tắc tương đương chắn khơng áp dụng: trường hợp khơng có hệ số khơng đảm bảo (nghĩa có độ khơng đảm bảo cộng), sách tối ưu với hàm tổn thất bậc hai trùng với điều định bỏ qua độ không đảm bảo, điều không cịn tồn có hệ số ngẫu nhiên phương trình trạng thái Tài liệu tham khảo [1] N T T Thảo, Ma trận ngẫu nhiên ứng dụng, Hà Nội, 2014 [2] J Wishart, Generalized product moment distribution in samples, Biometrika 20A (1– 2): 32–52, 1928 [3] J Tropp, User-Friendly Tail Bounds for Sums of Random Matrice, Foundations of Computational Mathematics, 2011 [4] J von Neumann and H Goldstine, Numerical inverting of matrices of high order, Bull Amer Math Soc., 1947 [5] J Keating, The Riemann zeta-function and quantum chaology, Proc Internat School of Phys Enrico Fermi., 1993 [6] L C García del Molino, K Pakdaman, J Touboul and G Wainrib, Synchronization in random balanced networks, Physical Review E , October 2013 [7] K Rajan and L Abbott, Eigenvalue Spectra of Random Matrices for Neural Networks, Physical Review Letters, November 2006 [8] G Wainrib and J Touboul, Topological and Dynamical Complexity of Random Neural Networks, Physical Review Letters, March 2013 [9] M Timme, F Wolf and T Geisel, Topological Speed Limits to Network Synchronization, Physical Review Letters, February 2004 [10] D Muir and T Mrsic-Flogel, Eigenspectrum bounds for semirandom matrices with modular and spatial structure for neural networks, 2015 [11] G P Chow, Analysis and Control of Dynamic Economic Systems New York: Wiley., 1976 [12] S Turnovsky, Optimal stabilization policies for stochastic linear systems: The case of correlated multiplicative and additive disturbances"., 1976 [13] S Turnovsky, The stability properties of optimal economic policies, American Economic Review, 1974 TỔNG KẾT Sau tìm hiểu, thảo luận soạn thảo đề tài nổ lực tinh thần làm việc, hợp tác tốt tất thành viên, nhóm hồn thành xong đề tài cách tốt Mặc dù báo cáo chưa thật hồn hảo xuất sắc, cịn nhiều thiếu sót sai sót số chỗ, với nhóm tập mang lại kết đáng trân trọng Cá nhân nhóm học nhiều học kinh nghiệm làm việc nhóm, đặc biệt biết xây dựng thêm mối quan hệ, thành viên có trách nhiệm biết chịu trách nhiệm công việc giao Hơn nữa, thân người trau dồi nâng cao kiến thức kĩ làm việc nhóm Khơng vậy, tiến độ làm tập lớn mong đợi, nhiệt tình, nổ, tích cực thành viên nhóm Đó kết tích cực xứng đáng cho nổ lực tất thành viên nhóm ... khác ma trận ngẫu nhiên Ma trận Wishart: họ phân phối xác suất xác định ma trận ngẫu nhiên đối xứng, không âm xác định (tức biến ngẫu nhiên định giá theo ma trận ) Trong lý thuyết ma trận ngẫu nhiên, ... Ma trận ngẫu nhiên cung cấp hiểu biết thuộc tính đa dạng ma trận Có nhiều cách phân loại ma trận ngẫu nhiên nhiên cách phân loại dựa theo phân bố ma trận phổ biến Ba tập hợp ma trận ngẫu nhiên. .. gian ma trận Wishart gọi tập hợp Wishart Ma trận đơn ngẫu nhiên: Trong lý thuyết ma trận ngẫu nhiên , ma trận đơn tập hợp trịn phép đo khơng gian ma trận Freeman Dyson đưa dạng sửa đổi tập hợp ma