Trong bài viết Ma trận ngẫu nhiên, có nội dung chính là trao đổi về một số bài toán trong lý thuyết ma trận ngẫu nhiên có bản chất tổ hợp. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung chính của bài viết này.
MA TRẬN NGẪU NHIÊN VŨ HÀ VĂN (Đại học Yale, Mỹ) Lời giới thiệu Lý thuyết ma trận ngẫu nhiên có mục tiêu đưa hiểu biết sâu sắc tính chất đa dạng ma trận mà thành phần chúng chọn ngẫu nhiên từ phân phối xác suất khác Từ đời đến nay, lý thuyết ma trận ngẫu nhiên có phát triển mạnh mẽ, thúc đẩy ứng dụng Thống kê Giải tích số, Khoa học máy tính, Điều khiển tối ưu, đặc biệt ứng dụng Vật lý hạt nhân Ở Việt Nam, lý thuyết ma trận ngẫu nhiên khái niệm tương đối Năm 2009, người viết lời giới thiệu này, dạy cho đội tuyển Olymic Toán Việt Nam chuẩn bị cho kỳ thi tốn quốc tế IMO 2009, dẫn tồn đội tuyển đến dự nói chuyện GS Vũ Hà Văn Ma trận ngẫu nhiên Thú thực thầy trò hiểu lõm bõm điều GS Văn nói, tất ấn tượng hàng loạt giả thuyết Vũ Hà Văn Terence Tao chứng minh với tốc độ chóng mặt Trong Epsilon số này, đồng ý tác giả, trích giới thiệu nội dung chương đầu báo cáo GS Vũ Hà Văn Đại hội Toán học Thế giới 2014 (ICM 2014) Để giúp độc giả nắm bắt nội dung chính, chúng tơi cố gắng giải chi tiết có thể, đồng thời đăng nguyên tiếng Anh để đối chiếu Vì lĩnh vực mới, có tài liệu tiếng Việt nên dịch thuật có chỗ chưa chuẩn, mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc để phần sau dịch tốt Ban Biên tập Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Tóm tắt nội dung Trong viết này, trao đổi số toán lý thuyết ma trận ngẫu nhiên có chất tổ hợp Mở đầu Lý thuyết ma trận ngẫu nhiên mảnh đất màu mỡ toán học Bên cạnh vấn đề nội thú vị, ma trận ngẫu nhiên đóng vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực Thống kê, Vật lý Toán, Tổ hợp, Khoa học Máy tính Trong khảo sát này, chúng tơi tập trung vào tốn có chất tổ hợp Các toán đặc biệt thú vị ma trận lấy mẫu từ phân phối rời rạc Các mơ hình thơng dụng là: • (Bernoulli) Mn : ma trận ngẫu nhiên bậc n mà thành phần biến ngẫu nhiên độc lập đồng theo phân phối Bernoulli (nhận giá trị ±1 với xác suất 1/2) Ma trận đơi cịn gọi ma trận dấu ngẫu nhiên1 Tổng cộng có tất N = 2n ma trận với tất thành phần ±1, ma trận có xác suất 1/N • (Bernoulli đối xứng2 ) Mnsym : ma trận đối xứng ngẫu nhiên bậc n mà thành phần đường chéo biến ngẫu nhiên độc lập đồng theo phân phối Bernoulli Số ma trận đối xứng với thành phần ±1 M = 2n(n+1)/2 ma trận có xác suất 1/M • Ma trận kề đồ thị ngẫu nhiên Với đồ thị ta có ma trận kề định nghĩa sau: Giả sử đồ thị G có n đỉnh {1, , n} Ma trận kề G ma trận đối xứng vị trí ij ta viết ij cạnh G trường hợp ngược lại Về mơ hình đồ thị ngẫu nhiên Trong viết này, xột trờn hai mụ hỡnh: Erdăos-Rộnyi v th u ngẫu nhiên Chi tiết mơ hình này, xem [6, 35] Random sign matrix Toàn thích Ban Biên tập Symmetric Bernoulli 10 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 • (Erdăos-Rộnyi) Ta ký hiu G(n, p) l th ngu nhiên n đỉnh, sinh cách vẽ cạnh nối hai điểm với xác suất p cách độc lập • (Đồ thị ngẫu nhiên3 ) Đồ thị ngẫu nhiên có n đỉnh với bậc d thu cách chọn ngẫu nhiên với xác suất tập hợp tất đơn đồ thị bậc d4 tập đỉnh {1, 2, , n} Ta ký hiệu đồ thị Gn,d Có ý quan trọng cạnh Gn,d không độc lập5 Vì vậy, mơ hình thường khó nghiên cứu mơ hình G(n, p) Ta ký hiệu A(n, p) ma trn k ca th ngu nhiờn ErdăosRộnyi G(n, p), An,d ma trận kề Gn,d tương ứng Về ký hiệu: Trong suốt này, n giả sử lớn Các ký hiệu tiệm cận6 o, O, Θ hiểu n tiến tới vô Ta viết A B A = o(B) c ký hiệu cho số chung Tất logarit logarit tự nhiên khơng nói khác Xác suất suy biến Bài toán tổ hợp tiếng ma trận ngẫu nhiên có lẽ tốn suy biến8 Gọi pn xác suất ma trận Mn suy biến (một ma trận vuông suy biến định thức 0) Hiển nhiên là: pn ≥ 2−n vế phải xác suất để hai dòng đầu ma trận nhau9 Vì ta chọn hai dịng (cột) (thay chọn dịng đầu) thay dấu dấu nhân với Random regular graph Đồ thị bậc d (d-regular graph) đồ thị mà đỉnh có bậc d Ví dụ đồ thị bậc có đỉnh đỉnh lập, đồ thị đầy đủ Kn đồ thị bậc n − Nghĩa xác suất tồn cạnh Gn,d không độc lập với nhau, xác suất cạnh G(n, p) độc lập Asymptotic notation Universal constant Đôi dịch số phổ dụng hay số độc lập Singularity problem Ma trận có dịng có định thức 11 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 ±110 , ta có cận tốt chút: pn ≥ (4 − o(1)) n −n = ( + o(1))n 2 (2.1) Một giả thuyết đặt là: Giả thuyết 2.1 [Giả thuyết suy biến] pn = ( 12 + o(1))n Giả thuyết 2.1 tốn mở, ta phát biểu giả thuyết xác (xem [4]), dựa vào "niềm tin" sau: Hiện tượng I.11 Lý chủ yếu để ma trận ngẫu nhiên suy biến phụ thuộc số hàng/cột Thực việc chứng minh pn = o(1) không đơn giản Kết lần chứng minh Komlós [38] vào năm 1967 (trong phần này, đưa chứng minh ngắn gọn cho định lý Komlós) Sau Komlós (xem [6]) tìm chứng minh cho cận trên: pn = O(n−1/2 ) Trong báo quan trọng, Kahn, Komlós Szemerédi [37] lần đưa cận theo hàm mũ: Định lý 2.2 pn ≤ 999n Lập luận Kahn, Komlós Szemerédi đơn giản hóa Tao Vũ báo [66] năm 2004, dẫn đến cận tốt chút O(.958n ) Sau lâu, tác giả [67] kết hợp cách tiếp cận [37] với ý tưởng định lý đảo (xem [71, chương 7] hay [53]) đạt kết quan trọng: Định lý 2.3 pn ≤ (3/4 + o(1))n Không dừng lại đó, Bourgain, Vũ Wood báo [9] dùng thêm ý tưởng không gian có chiều phân số để tiếp tục cải thiện cận trên: Định lý 2.4 pn ≤ ( √12 + o(1))n 10 Nghĩa ta chọn dịng (hoặc cột) có trị tuyệt đối thay 11 Ở tác giả dùng "Phenomenon" nên đối dịch "Hiện tượng" Đây cách dùng lạ, mang tính trực giác nhiều cho vấn đề xét 12 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Hai phương pháp [67, 9] cho phép thu cận pn trực tiếp từ ước tính lượng giác đơn giản Ví dụ cận 3/4 có từ: | cos x| ≤ + cos 2x, 4 | cos x|2 = 1 + cos 2x 2 √ cận 1/ thu từ Định lý 2.2 [9] đưa mối liên hệ hình thức ước lượng suy biến ước lượng lượng giác Các liên hệ chưa thể dùng để giải toán suy biến tổng qt, sử dụng để ước tính xác cận số trường hợp, chẳng hạn xác suất suy biến ma trận ngẫu nhiên với thành phần (0, ±1) Để kết thúc mục này, đề cập đến cụng c rt hu ớch: nh lý Littlewood-Offord-Erdăos Gi v = {v1 , , } tập hợp gồm n số thực khác ξ1 , , ξn biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập phân bố đồng Định nghĩa S := ni=1 ξi vi pv (a) = P(S = a) pv = supa∈Z pv (a) Vào năm 1940, Littlewood Offord đưa cách ước tính pv (ở [45]) thành tố kỹ thuật nghiên cứu họ nghiệm thực a thc ngu nhiờn Erdăos, bng cỏch ci thin kt Littlewood Offord, chứng minh định lý sau mà gọi bất đẳng thức búng nh Erdăos-Littlewood-Offord (xem [53] rừ hn v cỏi tên này) Định lý 2.5 (Bất đẳng thức bóng nhỏ) Giả sử v1 , , số thực khác ξ1 , , ξn biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập phân bố đồng Khi đó: pv ≤ n n/2 2n = O(n−1/2 ) Định lý 2.5 kết kinh điển tổ hợp có nhiều mở rộng hệ sâu xa (xem [7, 34, 53], [71, Chương 7] tài liệu tham khảo đó) 13 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Để độc giả cảm nhận bất đẳng thức bóng nhỏ có ích việc đánh giá pn , ta xếp dòng Mn dòng từ xuống Giả sử n − dòng đầu độc lập tạo thành siêu phẳng với véc-tơ pháp tuyến v = (v1 , , ) Khi đó, xác suất để Mn suy biến là: P(X · v = 0) = P(ξ1 v1 + · · · + ξn = 0), X = (ξ1 , , ξn ) dòng cuối Trong phần 3, độc giả thấy ứng dụng định lý 2.5 dẫn đến kết gốc Komlós: pn = o(1) Để thu đánh giá mạnh kết định lý 2.3 2.4, ta cần thiết lập định lý Littlewood-Offord đảo, dựa nguyên lý tổng quát sau: Hiện tượng II Nếu P(X · v = 0) tương đối lớn hệ số v1 , , có cấu trúc cộng tính mạnh Các định lý thúc đẩy định lý đảo kiểu Freiman tổ hợp cộng tính12 mà việc thảo luận nằm ngồi phạm vi khảo sát Độc giả quan tâm xem chi tiết [53] Một chứng minh đơn giản định lý Komlós pn = o(1) Ta tính chất đơn giản Từ sau véc-tơ Bernoulli hiểu véc-tơ với tọa độ ±1 Tính chất 3.1 Cho H khơng gian ≤ d ≤ n chiều Khi H chứa nhiều 2d véc-tơ Bernoulli Để thấy điều này, ta ý không gian d chiều, tồn tập hợp d tọa độ xác định tọa độ cịn lại13 Tính chất suy ra: n−1 pn ≤ i=1 n−1 P(Xi+1 ∈ Hi ) ≤ 12 i=1 2i−n ≤ − 2n Additive Combinatorics Trong khơng gian d chiều, dùng d véc-tơ sở để biểu diễn véc-tơ không gian 13 14 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Rất không điều đối nghịch với kết muốn chứng minh, đừng vội nản chí, hay cịn phần sau! Để thu cận o(1) mong muốn, ta cần chứng minh tổng số hạng tử cuối, chẳng hạn log log n, không Để chứng minh điều này, ta sử vượt (chẳng hạn) log1/3 n dụng tính chất Hi sinh véc-tơ ngẫu nhiên Bổ để sau suy định lý Komlós thông qua định lý cận hợp14 : Bổ đề 3.1 Cho H không gian sinh d véc-tơ ngẫu nhiên, d ≥ n − log log n Khi với xác suất − n1 , n H chứa nhiều log21/3 n véc-tơ Bernoulli Ta nói tập hợp S gồm d véc-tơ k-phổ dụng với tập k số khác ≤ i1 , , ik ≤ n tập dấu , , n ( i = ±1) nào, tồn véc-tơ v thuộc S cho dấu tọa độ thứ ij v j , với ≤ j ≤ k Tính chất 3.2 Nếu d ≥ n/2 − n1 xác suất thấp cho tập hợp gồm d véc-tơ ngẫu nhiên k-phổ dụng với k := log n/10 Để chứng minh điều này, ta ý xác suất thất bại, theo định lý cận hợp, không vượt n 1 (1 − k )d ≤ nk (1 − k )n/2 ≤ n−1 k 2 Nếu S k-phổ dụng, véc-tơ v khác phần bù trực giao không gian sinh S có nhiều k véctơ khác (nếu khơng, có véc-tơ S có tích trong15 14 Union bound Cịn gọi bất đẳng thức Boole, phát biểu với tập hữu hạn đếm xác suất để kiện xảy nhỏ tổng xác suất tất kiện, nghĩa E1 , E2 , En , kiện thì: P {∃i : Ei xảy ra} = P { ∞ i=1 Ei } ≤ ∞ i=1 P {Ei } Ở số tài liệu union bound gọi định lý tổng xác suất 15 Inner product 15 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 dương với v) Nếu ta cố định véc-tơ v giả sử X véc-tơ ngẫu nhiên Bernoulli theo định lý 2.5 P(X ∈ Span(S)) ≤ P(X · v = 0) = O( k 1/2 )≤ log 1/3 n , bổ đề 3.1 định lý chứng minh *** Phần viết tiếp tục giới thiệu số Epsilon Chúng tơi đính kèm gốc tiếng Anh để bạn đọc tiện theo dõi phần sau 16 (Van H Vu)∗ Keywords General mathematics, collection of articles Abstract In this survey, we discuss several problems in Random Matrix theory of combinatorial nature Introduction The theory of random matrices is a very rich topic in mathematics Beside being interesting in its own right, random matrices play fundamental role in various areas such as statistics, mathematical physics, combinatorics, theoretical computer science, etc In this survey, we focus on problems of combinatorial nature These problems are most interesting when the matrix is sampled from a discrete distribution The most popular models are: • (Bernoulli) Mn : random matrix of size n whose entries are i.i.d Bernoulli random variables (taking values ±1 with probability 1/2) This is sometimes referred to as the random sign matrix • (Symmetric Bernoulli) Mnsym : random symmetric matrix of size n whose (upper triangular) entries are i.i.d Bernoulli random variables • Adjacency matrix of a random graph This matrix is symmetric and at position ij we write if ij is an edge and zero otherwise • Laplacian of a random graph Model of random graphs We consider two models: Erdă os-Renyi and random regular graphs For more information about these models, see [6, 35] • (Erdă os-Renyi) We denote by G(n, p) a random graph on n vertices, generated by drawing an edge between any two vertices with probability p, independently ∗ Yale University 2 • (Random regular graph) A random regular graph on n vertices with degree d is obtained by sampling uniformly over the set of all simple d-regular graphs on the vertex set {1, , n} We denote this graph by Gn,d It is important to notice that the edges of Gn,d are not independent Because of this, this model is usually harder to study, compared to G(n, p) We denote by A(n, p) (L(n, p)) the adjacency (laplacian) matrix of the Erdă os-Renyi random graph G(n, p) and by An,d (Ln,d ) the adjacency (laplacian) matrix of Gn,d , respectively Notation In the whole paper, we assume that n is large The asymptotic notation such as o, O, Θ is used under the assumption that n → ∞ We write A B if A = o(B) c denotes a universal constant All logarithms have natural base, if not specified otherwise The singular probability The most famous combinatorial problem concerning random matrices is perhaps the ”singularity” problem Let pn be the probability that Mn is singular Trivially, pn ≥ 2−n , as the RHS is the probability that the first two rows are equal By choosing any two rows (columns) and also replacing equal by equal up to sign, one can have a slightly better lower bound pn ≥ (4 − o(1)) n −n = ( + o(1))n 2 (1) It has been conjectured, for quite sometime, that Conjecture 2.1 [Singularity Conjecture] pn = ( 12 + o(1))n Conjecture 2.1 is still open, but one can formulate even more precise conjectures (see [4]), based on the following belief Phenomenon I The dominating reason for singularity is the dependency between a few rows/columns It is already non-trivial to prove that pn = o(1) This was first done by Koml´ os [38] in 1967 and in Section 3, we will give a short proof of this fact Later, Koml´ os (see [6]) found a new proof which gave quantitative bound pn = O(n−1/2 ) In an important paper, Kahn, Koml´ os and Szemr´edi [37] proved the first exponential bound Theorem 2.2 p(n) ≤ 999n Their arguments were simplified by Tao and Vu in 2004 [66], resulting in a slightly better bound O(.958n ) Shortly afterwards, these authors [67] combined the approach from [37] with the idea of inverse theorems (see [71, Chapter 7] or [53] for surveys) to obtained a more significant improvement Theorem 2.3 p(n) ≤ (3/4 + o(1))n With an additional twist, Bourgain, Vu and Wood [9] improved the bound further Theorem 2.4 p(n) ≤ ( √12 + o(1))n The method from [67, 9] enables one to deduce bounds on pn directly from simple trigonometrical estimates For instance, the 3/4-bound comes from the fact that | cos x| ≤ + cos 2x, 4 | cos x|2 = 1 + cos 2x 2 √ while the 1/ bound come from [9, Theorem 2.2] provides a formal connection between singularity estimates and trigonometrical estimates of this type, which, while not yet solve the Singularity Conjecture, does lead to sharp bounds in other situations, such as singularity of random matrices with (0, ±1) entries) To conclude this section, let us mention a very useful tool, the Littlewood-OffordErdă os theorem Let v = {v1 , , } be a set of n non-zero real numbers and n ξ1 , , ξn be i.i.d random Bernoulli variables Define S := i=1 ξi vi and pv (a) = P(S = a) and pv = supa∈Z pv (a) The problem of estimating pv came from a paper of Littlewood and Offord in the 1940s [45], as a key technical ingredient in their study of real roots of random polynomials Erdă os, improving a result of Littlewood and Offord, proved the following theorem, which we will refer to as the Erdă os-Littlewood-Offord small ball inequality; see [53] for an explanation of this name Theorem 2.5 (Small ball inequality) Let v1 , , be non-zero numbers and ξi be i.i.d Bernoulli random variables Then pv ≤ n n/2 2n = O(n−1/2 ) 4 Theorem 2.5 is a classical result in combinatorics and have many non-trivial extensions with far reaching consequences (see [7, 34, 53], [71, Chapter 7] and the references therein) To give the reader a feeling about how small ball estimates can be useful in estimating pn , let us expose the rows of Mn one by one from top to bottom Assume that the first n−1 rows are independent and form a hyperplane with normal vector v = (v1 , , ) Conditioned on these rows, the probability that Mn is singular is P(X · v = 0) = P(ξ1 v1 + · · · + ξn = 0), where X = (ξ1 , , ξn ) is the last row In Section 3, the reader will see an application of Theorem 2.5 that leads to Koml´ os’ original result pn = o(1) In order to obtain the stronger estimates in Theorems 2.3 and 2.4, one needs to ebstablish Inverse (or structural) Littlewood-Offord theorems, based on the following general principle Phenomenon II If P(X ·v = 0) is relatively large, then the coefficients v1 , , posses a strong additive structure These theorems are motivated by inverse theorems of Freiman type in Additive Combinatorics, the discussion of which is beyond the scope of this survey The interested reader is referred to [53] for a detailed discussion A simple proof of Koml´ os’ Theorem Let us start with a simple fact Here and later Bernoulli vectors mean vectors with coordinates ±1 Fact 3.1 Let H be a subspace of dimension ≤ d ≤ n Then H contains at most 2d Bernoulli vectors To see this, notice that in a subspace of dimension d, there is a set of d coordinates which determine the others This fact implies n−1 pn ≤ i=1 n−1 P(Xi+1 ∈ Hi ) ≤ i=1 2i−n ≤ − 2n While this bound is quite the opposite of what we want to proof, notice that the loss comes at the end Thus, to obtain the desired upper bound o(1), it suffices to show that the sum of the last (say) log log n terms contribute at most (say) log1/3 n To this, we will exploit the fact that the Hi are spanned by random vectors The following lemma implies the theorem via the union bound Lemma 3.1 Let H be the subspace spanned by d random vectors, where d ≥ n n − log log n Then with probability at least − n1 , H contains at most log21/3 n Bernoulli vectors We say that a set S of d vectors is k-universal if for any set of k different indices ≤ i1 , , ik ≤ n and any set of signs , , n ( i = ±1), there is a vector v in S such that the sign of the ij th coordinate of v matches j , for all ≤ j ≤ k Fact 3.2 If d ≥ n/2, then with probability at least 1− n1 , a set of d random vectors is k-universal, for k := log n/10 To prove this, notice that the failure probability is, by the union bound, at most n (1 − k )d ≤ nk (1 − k )n/2 ≤ n−1 2 k It S is k-universal, then any non-zero vector v in the orthogonal complement of the subspace spanned by S should have more than k non-zero vectors (otherwise, there would be a vector in S having positive inner product with v) If we fix such v and let X be a random Bernoulli vector, then by Theorem 2.5, P(X ∈ Span(S)) ≤ P(X · v = 0) = O( proving Lemma 3.1 and the theorem k 1/2 )≤ log 1/3 n , Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 Tài liệu tham khảo [1] N Alon, Eigenvalues and expanders, Combinatorica 6(1986), no 2, 83-96 [2] N Alon and V Milman, λ1 - isoperimetric inequalities for graphs, and supercon- centrators, J Combin Theory Ser B 38 (1985), no 1, 73-88 [3] N Alon and J Spencer, The probabilistic method, 3rd ed., John Wiley & Sons Inc., Hoboken, NJ, 2008 [4] R Arratia and S DeSalvo, On the singularity of ran˜ dom Bernoulli matricesNnovel integer partitions and lower bound expansions, Ann Comb 17 (2013), no 2, 251-274 [5] Z Bai and J Silverstein, Spectral analysis of large dimensional random matrices Second edition Springer Series in Statistics Springer, New York, 2010 [6] B Bollobás, Random graphs Second edition, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 73 Cambridge University Press, Cambridge, 2001 [7] B Bollobás, Combinatorics Set systems, hypergraphs, families of vectors and combinatorial probability Cambridge University Press, Cambridge, 1986 [8] C Bordenave, M Lelarge, and J Salez, The rank of diluted random graphs, Ann Probab 39 (2011), no 3, 1097-1121 [9] J Bourgain, V Vu and P M Wood, On the singularity probability of discrete random matrices, J Funct Anal 258 (2010), no 2, 559–603 [10] S Brooks and E Lindenstrauss, Non-localization of eigenfunctions on large regular graphs, Israel J Math 193 (2013), no 1, 1–14 [11] Chung, F R K.; Graham, R L.; Wilson, R M Quasirandom graphs Combinatorica (1989), no 4, 345–362 [12] F Chung, Spectral graph theory, CBMS series, no 92 (1997) 22 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 [13] K Costello, Bilinear and quadratic variants on the Littlewood-Offord problem,Israel J Math 194 (2013), no 1, 359–394 [14] K Costello and V Vu, The ranks of random graphs Random Structures and Algorithm 33 (2008), 269-285 [15] K Costello and V Vu, The rank of sparse random matrices, Combin Probab Comput 19 (2010), no 3, 321–342 [16] K Costello, T Tao and V Vu, Random symmetric matrices are almost surely singular, Duke Math J 135 (2006), no 2, 395–413 [17] Y Dekel, J Lee, and N Linial Eigenvectors of random graphs: Nodal domains.Approx- imation, Randomization, and Combinatorial Optimization Algorithms and Techniques, pages 436-448, 2008 [18] I Dimitriu and S Pal, Sparse regular random graphs: spectral density and eigenvectors, Ann Probab 40 (2012), no 5, 2197–2235 [19] A Edelman, E Kostlan and M Shub, How many eigenvalues of a random matrix are real? J Amer Math Soc (1994), no 1, 247–267 [20] A Edelman, Eigenvalues and condition numbers of random matrices, SIAM J Matrix Anal Appl (1988), 543– 560 [21] P Erdăos, On a lemma of Littlewood and Offord, Bull Amer Math Soc 51 (1945), 898902 [22] L Erdăos, A Knowles, H-T Yau and J Yin, Spectral statistics of Erd?s-RvZnyi graphs I: Local semicircle law, Ann Probab 41 (2013) [23] L Erdăos, A Knowles, H-T Yau and J Yin, Spectral statistics of Erd?s-RvZnyi Graphs II: Eigenvalue spacing and the extreme eigenvalues, Comm Math Phys 314 (2012), no 3, 587–640 23 Tp Epsilon, S 03, 06/2015 [24] L Erdăos, B Schlein and H-T Yau, Wegner estimate and level repulsion for Wigner random matrices, Int Math Res Not IMRN 2010, no 3, 436479 [25] L Erdăos and H-T Yau, Universality of local spectral statistics of random matrices, Bull Amer Math Soc (N.S.) 49 (2012), no 3, 377–414 [26] J Friedman On the second eigenvalue and random walks in random d-regular graphs Technical Report CX-TR-17288, Princeton University, August 1988 [27] J Fiedman, A proof of Alon’s second eigenvalue conjecture and related problems (English summary)Mem Amer Math Soc 195 (2008), no 910, viii+100 pp [28] J Friedman and D-E Kohler, The Relativized Second Eigenvalue Conjecture of Alon, preprint ă [29] Z Furedi and J Komlós, The eigenvalues of random symmetric matrices,Combinatorica (1981), no 3, 233-241 [30] V L Girko, A refinement of the central limit theorem for random determinants (Russian) Teor Veroyatnost i Primenen 42 (1997), no 1, 63–73; translation in Theory Probab Appl 42 (1997), no 1, 121–129 (1998) [31] V L Girko, A central limit theorem for random determinants Teor Veroyatnost i Mat Statist 21 (1979), 35–39, 164 [32] A Guionnet and O Zeitouni, Concentration of the spectral measure for large matrices, Electron Comm Probab (2000), 119–136 [33] H Golstein and J von Neumman, Numerical inverting of matrices of high order, Bull Amer Math Soc 53 (1947), 1021-1099 [34] G Halász, Estimates for the concentration function of combinatorial number theory and probability, Period Math Hungar (1977), no 3-4, 197–211 [35] S Janson, T Luczak and A Graphs,Wiley-Interscience (2000) 24 Rucinski, Random Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 [36] J Kahn and E Szemerédi, STOC 1989 [37] J Kahn, J Komlós, E Szemerédi, On the probability that a random ±1 matrix is singular, J Amer Math Soc (1995), 223–240 [38] J Komlós, On the determinant of (0, 1) matrices, Studia Sci Math Hungar (1967) 7-22 [39] J Komlós, On the determinant of random matrices,Studia Sci Math Hungar (1968) 387–399 [40] M Krivelevich and B Sudakov, Pseudo-random graphs.More sets, graphs and numbers, 199-262, Bolyai Soc Math Stud., 15, Springer, Berlin, 2006 [41] A Lubotzky, R Phillips, and P Sarnak Ramanujan graphs, Combinatorica, 8(3):261-277, 1988 [42] G.A Margulis , Explicit group-theoretical constructions of combinatorial schemes and their application to the design of expanders and superconcentrators [in Russian] Problemy Peredachi Informatsii 24 (1988), pp 51-60 [43] B.D McKay The expected eigenvalue distribution of a large regular graph.Linear Algebra and its Applications, 40:203216, 1981 [44] P Mitra, Entrywise bounds for eigenvectors of random graphs Electron J Combin 16 (2009), no 1, Research Paper 131, [45] J E Littlewood and A C Offord, On the number of real roots of a random algebraic equation III Rec Math [Mat Sbornik] N.S 12 , (1943) 277–286 [46] A Litvak, A Pajor, M Rudelson, N Tomczak-Jaegermann, Smallest singular value of random matrices and geometry of random polytopes, Adv Math 195 (2005), no 2, 491– 523 [47] A Marcus, D Spielman and N Srivastava, Interlacing Families I: Bipartite Ramanujan Graphs of All Degrees, preprint 25 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 [48] K Maples, Symmetric random matrices over finite fields announcement, April 15, 2013, preprint [49] A Nilli, On the second eigenvalue of a graph, Discrete Mathematics 91 (1991), 207-210 [50] A Nilli, Tight estimates for eigenvalues of regular graphs, Electronic J Combinatorics 11 (2004), N9, 4pp [51] H Nguyen, On the least singular value of random symmetric matrices, Electron J Probab 17 (2012), no 53 [52] H Nguyen, Inverse Littlewood-Offord problems and the singularity of random symmetric matrices, Duke Math J 161 (2012), no 4, 545–586 [53] H Nguyen and V Vu, Small probability, inverse theorems, and applications, Erdos’ 100th Anniversary Proceeding, Bolyai Society Mathematical Studies, Vol 25 (2013) [54] H Nguyen and V Vu, Random matrices: Law of the determinant, Annals of Probability (2014), Vol 42, No 1, 146167 [55] M Rudelson, Invertibility of random matrices: norm of the inverse, Ann of Math (2) 168 (2008), no 2, 575–600 [56] M Rudelson, Lecture notes on non-aymptotic random matrix theory, notes from the AMS Short Course on Random Matrices, 2013 [57] M Rudelson and R Vershynin, The Littlewood-Offord problem and invertibility of random matrices, Adv Math 218 (2008), no 2, 600–633 [58] M Rudelson and R Vershynin, Delocalization of eigenvectors of random matrices with independent entries, preprint [59] O N Feldheim and S Sodin, A universality result for the smallest eigenvalues of certain sample covariance matrices, Geom Funct Anal 20 (2010), no 1, 88123 [60] A Sỏrkăozy and E Szemerộdi, Uber ein Problem von Erdăos und Moser, Acta Arithmetica, 11 (1965) 205-208 26 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 [61] D Spielman and S-H Teng, D Spielman, S.-H Teng, Smoothed analysis of algorithms, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol I (Beijing, 2002), 597–606, Higher Ed Press, Beijing, 2002 [62] B Sudakov and V Vu, Local resilience of graphs, Random Structures Algorithms 33 (2008), no 4, 409–433 [63] T Tao and V Vu, A central limit theorem for the determinant of a Wigner matrix, Adv Math 231 (2012), no 1, 74–101 [64] T Tao and V Vu, Random matrices: universal properties of eigenvectors, Random Matrices Theory Appl (2012), no [65] T Tao and V Vu, Random matrices: Universality of the local eigenvalues statistics pdf file Acta Math 206 (2011), no 1, 127–204 [66] T Tao and V Vu, On random ±1 matrices: Singularity Determinant,Random Structures Algorithms 28 (2006), no 1, 1–23 [67] T Tao and V Vu, On the singularity probability of random Bernoulli matrices, J Amer Math Soc 20 (2007), no 3, 603–628 [68] T Tao and V Vu, Inverse Littlewood-Offord theorems and the condition number of random matrices, Annals of Math 169 (2009), 595-632 [69] T Tao and V Vu, On the permanent of random Bernoulli matrices,Advances in Mathematics 220 (2009), 657-669 [70] T Tao and V Vu, Random matrices: Universality of local spectral statistics of non-Hermitian matrices, to appear in Annals of Probability [71] T Tao and V Vu, Additive Combinatorics,Cambridge Univ Press, 2006 [72] T Tao and V Vu, Random matrices: The Universality phenomenon for Wigner ensembles, preprint, to appear in AMS lecture notes on Random Matrices, 2013 27 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015 [73] T Tao and V Vu, Random matrices: the distribution of the smallest singular values, Geom Funct Anal 20 (2010), no 1, 260–297 [74] T Tao and V Vu, Random matrices: universal properties of eigenvectors, Random Matrices Theory Appl (2012), no [75] L Tran, V Vu and K Wang, Sparse random graphs: Eigenvalues and Eigenvectors, Random Structures Algorithms 42 (2013), no 1, 110–134 [76] R Vershynin, Invertibility of symmetric random matrices, Random Structures and Algorithms 44 (2014), 135–182 [77] E.P Wigner On the distribution of the roots of certain symmetric matrices.Annals of Mathematics, 67(2):325-327, 1958 [78] N.C Wormald, Models of random regular graphs,In Surveys in Combinatorics, 1999, J.D Lamb and D.A Preece, eds, pp 239-298 [79] V Vu and K Wang, Random projection, random quadratic forms, and random eigenvectors, to appear in Random Structures and Algorithms [80] M Wood, The distribution of sandpile groups of random graphs, preprint 28 ... 1/2) Ma trận đơi cịn gọi ma trận dấu ngẫu nhiên1 Tổng cộng có tất N = 2n ma trận với tất thành phần ±1, ma trận có xác suất 1/N • (Bernoulli đối xứng2 ) Mnsym : ma trận đối xứng ngẫu nhiên. .. trao đổi số toán lý thuyết ma trận ngẫu nhiên có chất tổ hợp Mở đầu Lý thuyết ma trận ngẫu nhiên mảnh đất màu mỡ toán học Bên cạnh vấn đề nội thú vị, ma trận ngẫu nhiên đóng vai trò quan trọng... chéo biến ngẫu nhiên độc lập đồng theo phân phối Bernoulli Số ma trận đối xứng với thành phần ±1 M = 2n(n+1)/2 ma trận có xác suất 1/M • Ma trận kề đồ thị ngẫu nhiên Với đồ thị ta có ma trận kề