Bài tập toán cao cấp A3

Các khẳng định trên đều đúng?. z có điểm dừng nhưng không có cực trịA. z có điểm dừng nhưng không có cực trị.. z có điểm dừng nhưng không có cực trị.. z có điểm dừng nhưng không có cực t

Trang 1

Trường Đại học Công nghiệp TP.HCM

Trang 2

Mục lục

1.1 Vi phân cấp 1, cấp 2 31.2 Cực trị tự do 51.3 Cực trị có điều kiện 9

6.1 Tích phân mặt loại 1 566.2 Tích phân mặt loại 2 60

Trang 3

A zy.nCm/n x m D zy.n/n C zx.m/m B zy.nCm/n x m D z.n/y n:zx.m/m.

C zy.nCm/n x m D zy.n/n D zy.nCm/n x m D zy.m/m:zx.n/n

Câu 4 Cho hàm số z D f x; y/ D sin.x C y/, chọn đáp án đúng

A z.6/

x 3 y 3 D sin.x C y/ B zx.6/3 y 3 D cos.x C y/

C zx.6/3 y 3 D sin.x C y/ D zx.6/3 y 3 D cos.x C y/.Câu 5 Cho hàm số z D f x; y/ D x20

C y20C x10y11, chọn đáp án đúng

A zx.22/3 y 19 D zy.22/3 x 19 D 1 B zx.22/7 y 15 D zy.22/6 x 16 D 0

C z.22/

x 13 y 9 D zy.22/6 x 16 D 2 D zx.22/11 y 11 D zy.22/11 x 11 D 3.Câu 6 Cho hàm số z D f x; y/ D xy C y cos x C x sin y, chọn đáp án đúng

A zxyx.4/ 2 D 0 B zxyx.4/ 2 D cos x

C z.4/

xyx 2 D sin x D zxyx.4/ 2 D 1

Câu 7 Cho hàm số z D f x; y/ D xey chọn đáp án đúng

Trang 4

Câu 10 Tìm đạo hàm riêng cấp hai z2

xx của hàm hai biến z D xey

C y2C y sin x

A z00xx D y sin x B z00xx D y sin x

C z00xx D ey

C y cos x D z00xx D ey ysin x

Trang 5

Câu 17 Cho hàm hai biến z D exC2y Kết quả nào sau đây đúng?

A z00xx D exC2y. B z00yy D 4:exC2y.

C z00xy D 2:exC2y D Các kết quả trên đều đúng

Câu 18 Tìm vi phân cấp hai d2z của hàm hai biến z D y ln x: Biết x; y là các biến độc lập

C xsin2y: Biết x; y là các biến độclập

z D 2 cos 2xdxdy 2xsin 2yd y2 B d2

z D 2d x2C 2 sin 2ydxdy C 2x sin 2yd y2.

C d2

z D 2d x2 2sin 2ydxdy 2xcos 2yd y2 D d2

z D 2d x2 2sin 2ydxdy C 2x cos 2ydy2.Câu 21 Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến z D x2y3: Biết x; y là các biến độc lập

Câu 23 Cho hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai tại điểm dừng M.x0I y0/ Đặt

A D f00xx.x0; y0/; B D f00xy.x0; y0/; C D f00yy.x0; y0/, D B2 AC Khẳng định nào sau đâyđúng?

A Nếu < 0 và A > 0 thì f đạt cực đại tại M

B Nếu < 0 và A < 0 thì f đạt cực đại tại M

Trang 6

C Nếu > 0 và A > 0 thì f đạt cực tiểu tại M.

D Nếu > 0 và A < 0 thì f đạt cực tiểu tại M

Câu 24 Cho hàm z D x2

2x C y2 Khẳng định nào sau đây đúng?

A z đạt cực đại tai M(1, 0) B z đạt cực tiểu tại M(1, 0)

C z có một cực đại và một cực tiểu D z không có cực trị

Câu 25 Cho hàm z D x4 8x2C y2C 5 Khẳng định nào sau đây đúng?

A z đạt cực đại tại I(0, 0) B z đạt cực tiểu tại J(-2, 0) và K(2, 0)

C z chỉ có hai điểm dừng là I(0, 0) và K(2, 0) D z không có cực trị

2xy C 1 Khẳng định nào sau đây đúng?

A z đạt cực đại tai M(0, 0) B z đạt cực tiểu tại M(0, 0)

C z có một cực đại và một cực tiểu D z có một điểm dừng là M(0, 0).Câu 27 Cho hàm z D x2

C xy C y2 Khẳng định nào sau đây đúng?

A z đạt cực đại tại O(0, 0) B z không có cực trị

C z đạt cực tiểu tại O(0, 0) D Các khẳng định trên sai

Câu 28 Cho hàm z D x2 y2C 2x y C 1 Khẳng định nào sau đây đúng?

A z đạt cực đại tại M 1; 1 B z đạt cực tiểu tại M 1; 1

C z không có cực trị D Các khẳng định trên sai

C 27x C y2C 2y C 1 Khẳng định nào sau đây đúng?

A z có hai điểm dừng B z có hai cực trị

C z có một cực đại và một cực tiểu D z không có cực trị

Câu 30 Cho hàm z D 2x2

6xy C 5y2C 4 Khẳng định nào sau đây đúng?

A z đạt cực đại tại M(0, 0) B z đạt cực tiểu tại M(0, 0)

C z không có cực trị D z có một cực đại và một cực tiểu.Câu 31 Cho hàm z D x3

C y3 12x 3y Khẳng định nào sau đây đúng?

A z đạt cực đại tại M(2, 1) B z đạt cực tiểu tại N(-2, 1)

C z có đúng 4 điểm dừng D z có đúng 2 điểm dừng

Câu 32 Cho hàm z D x4 y4 4x C 32y C 8 Khẳng định nào sau đây đúng?

A z đạt cực đại tại M(1, 2) B z đạt cực tiểu tại M(1, 2)

C z không có điểm dừng D z không có điểm cực trị

12x C 2y3C 3y2 12y Khẳng định nào sau đây đúng?

A z có một cực đại và một cực tiểu B z chỉ có một điểm cực đại

Trang 7

C z không có điểm dừng D z chỉ có một cực tiểu.

Câu 34 Cho hàm z D x3 y2 3x C 6y Khẳng định nào sau đây đúng?

A z đạt cực đại tại M(1, 3) B z đạt cực tiểu tại N(-1, 3)

C z có hai điểm dừng D Các khẳng định trên đều đúng

Câu 35 Cho hàm z D x6 y5 cos2x 32y Khẳng định nào sau đây đúng?

A z đạt cực đại tại M(0, 2) B z đạt cực tiểu tại N(0, -2)

C z không có điểm dừng D z có một cực đại và một cực tiểu.Câu 36 Cho hàm z D x2

4x C 4y2 8y C 3 Khẳng định nào sau đây đúng?

A z đạt cực tiểu tại M(2, 1) B z đạt cực đại tại M(2, 1)

C z có một điểm dừng là N(1, 2) D z không có cực trị

C 4xy 10y2

2x C 16y Khẳng định nào sau đây đúng?

C z đạt cực tiểu tại N(-1, -1) D z đạt cực đại tại N(-1, -1)

Câu 38 Cho hàm z D x3 2x2C 2y3C 7x 8y Khẳng định nào sua đây đúng?

A z có 4 điểm dừng B z không có điểm dừng

C z có điểm dừng nhưng không có cực trị D z có hai cực đại và hai cực tiểu

Câu 39 Cho hàm z D 2x2 2y2C 12x C 8y C 5 Khẳng định nào sau đây đúng?

C z có điểm dừng nhưng không có cực trị D z không có điểm dừng

C 2ey 2y C 3 Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 41 Cho hàm z D x2 y ln jyj 2 Khẳng định nào sau đây đúng?

A z đạt cực tiểu tại M(0, -1) B z đạt cực đại tại M(0, -1)

C z luôn có các đạo hàm riêng trên R D z có điểm dừng nhưng không có cực trị.Câu 42 Cho hàm z D 3x3

C y2 2x2C 2x C 4y C 2 Khẳng định nào sau đây đúng?

C z đạt cực tiểu tại M(-1, -2) D z đạt cực đại tại M(-1, -2)

C 8x C 4y2 8y C 3 Khẳng định nào sau đây đúng?

Trang 8

C z có một điểm dừng là N(1, 2) D z không có cực trị.

C 4xy C 10y2

C 2x C 16y Khẳng định nào sau đây đúng?

A z đạt cực đại tại M(-1, 1) B z đạt cực tiểu tại M(-1, 1)

C z đạt cực đại tại N(1, -1) D z đạt cực tiểu tại N(1, -1)

Câu 45 Cho hàm z D x3 2x2C 2y3C x 8y Khẳng định nào sau đây đúng?

C z có điểm dừng nhưng không có cực trị D z có hai cực đại và hai cực tiểu

C 2y2C 12x C 8y C 5 Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 47 Cho hàm z D x:ey

C x3C 2y2 4y Khẳng định nào sau đây đúng?

4x C sin y y=2 với x 2 R; < y < Khẳng định nào sau đâyđúng?

A z đạt cực đại tại M 1; =3 / B Z đạt cực tiểu tại M 1; =3 /

C Z đạt cực tiểu tại M 1; =3 / D Z có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.Câu 49 Cho hàm z D ln x x C ln jyj y2=2 Khẳng định nào sau đây đúng?

A z không có cực trị B z có hai điểm cực đại

C z có hai điểm cực tiểu D z có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.Câu 50 Cho hàm z D xy.3 x y/ Khẳng định nào sau đây đúng?

A z đạt cực tiểu tại A(1,1), đạt cực đại tại các điểm B(1,0), C(0,1) và không đạt cực trị tạiD(0,0)

B z đạt cực đại tại A(1,1), đạt cực đại tại các điểm B(3,0), C(0,3) và không đạt cực trị tạiD(0,0)

C z đạt cực đại tại A(1,1) và không đạt cực trị tại các điểm B(3,0), C(0,3), D(0,0)

D z đạt cực đại tại A(1,1) và đạt cực tiểu tại các điểm B(3,0), C(0,3), D(0,0)

Trang 9

1.3 Cực trị có điều kiện

Câu 51 Tìm cực trị của hàm z D ln.x2 2y/ với điều kiện x y 2 D 0 Khẳng định nào sauđây đúng ?

A z đạt cực đại tại M(1, -1) B z đạt cực tiểu tại M(1, -1)

C z không có cực trị D Các khẳng định trên đều sai

Câu 52 Tìm cực trị của hàm z D lnˇ

ˇ1 C x2yˇˇ với điều kiện x y 3 D 0 Khẳng định nào sauđây đúng ?

A z không có cực trị

B z có hai điểm dừng là A(0, -3) và D(3, 0)

C z đạt cực đại tại A(0, -3) và B(2, -1)

D z đạt cực tiểu tại A(0, -3) và đạt cực đại tại B(2, -1)

Câu 53 Tìm cực trị của hàm z D x2.y 1/ 3x C 2 với điều kiện x y C 1 D 0 Khẳng địnhnào sau đây đúng ?

A z đạt cực đại tại A(-1, 0) và B(1, 2)

B z đạt cực tiểu tại A(-1, 0) và B(1, 2)

C z đạt cực tiểu tại A(-1, 0) và đạt cực đại tại B(1, 2)

D z đạt cực đại tại A(-1, 0) và đạt cực tiểu tại B(1, 2)

Câu 54 Tìm cực trị của hàm z D 2x2

C y2 2y 2 với điều kiện x C y C 1 D 0 Khẳng địnhnào sau đây đúng ?

A z đạt cực tiểu tại A 2=3I 1=3 /

B z đạt cực đại tại A 2=3I 1=3 /

C z đạt cực đại tại M(1, 0) và N 1=3I 2=3 /

D z đạt cực tiểu tại M(1, 0) và N 1=3I 2=3 /

Câu 55 Tìm cực trị của hàm z D x2

.y C 1/ 3x C 2 với điều kiện x C y C 1 D 0 Khẳng địnhnào sau đây đúng ?

A z đạt cực đại tại A(-1, 0) và B(1, -2)

B z đạt cực tiểu tại A(-1, 0) và B(1, -2)

C z đạt cực tiểu tại A(-1, 0) và đạt cực đại tại B(1, -2)

D z không có cực trị

Câu 56 Tìm cực trị của hàm z D x3=3 3x C y với điều kiện x2C y D 1 Khẳng định nàosau đây đúng ?

Trang 10

A z đạt cực đại tại M(-3, 10) và N(1, 2).

B z đạt cực tiểu tại M(-3, 10) và N(1, 2)

C z đạt cực đại tại M(-3, 10) và cực tiểu tại N(1, 2)

D Các khẳng định trên sai

Trang 11

Chương 2

Tích phân bội hai

Câu 57 Xác định cận của tích phân I D ’

Trang 12

Câu 61 Xác định cận của tích phân I D

f x; y/dy D Các kết quả trên đều sai

Câu 65 Xác định cận của tích phân I D ’

Trang 13

Câu 66 Xác định cận của tích phân I D

R

p 2

R

p 2

R

p 2

R

3 p 4x x 2

Câu 69 Xác định cận của tích phân I D’

p

4 x 2

R32

p

4 x 2

R

0

Câu 70 Trên miền lấy tích phân D W a x b; c y d, viết tích phân kép thành tích phânlặp, khẳng định nào sau đây đúng?

Trang 16

1

dy

p 2

Trang 18

Câu 91 Chuyển tích phân sang hệ toạ độ cực I D

Trang 19

A I = ln3 - ln4 B I = ln4 - ln3 C I = ln4 D I = - ln3.

Câu 107 Tính tích phân I D’

D

dxdy.x C y/2 trong đó D là hình vuông 1 x 2I 0 y 1

Trang 21

12

dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường y D x2

Trang 22

A I D 0 B I D R4=4 C I D R4=16 D I D R4=8.Câu 139 Tính tích phân I D’

D

ex2Cy2dxdy, trong đó D là 1/4 hình vành khăn giữa hai đườngtròn tâm O( gốc toạ độ) có bán kính lần lượt là 1 và 2, thuộc góc phần tư thứ nhất của mặtphẳng Oxy

dx D Các khẳng định trên đều sai

Câu 142 Tính diện tích S của miền giới hạn bởi các đường y D 3x2

Trang 23

Câu 144 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y Dpx C xI y D 2x

D 4 x và 2y2

D x C 8

Trang 25

f x; y; z/dz D Các đẳng thức trên đều sai.

Câu 154 Xét tích phân bội ba ”

f x; y; z/dxdydztrong đó là miền trong không gian đượcgiới hạn bởi các mặt phẳng: x = 0, y = 0, z = 0, z = 2 và y + x = 1 Đẳng thức nào sau đâyđúng?

f x; y; z/dx D Các đẳng thức trên đều sai

Câu 156 Xác định cận của tích phân ”

Trang 26

Câu 164 Tính tích phân bội ba của hàm số f x; y; z/ D sin101

xln.y C z/trên miền W 0 x 2; 1 y e; 1 z e:

eC1

C I = 2ln(e + 1) + ln2 D Các kết quả trên đều sai

Câu 165 Cho là miền x2

Trang 27

Câu 170 Tính tích phân I D

ze2xdxdydz, trong đó là hình hộp 0 x ln 2; 0 y 2; 0 z 2

Trang 29

Câu 184 Chuyển tích phân sau sang tọa độ trụ và xác định cận tích phân: I D

f x2C y2; z/dxdydz,trong đó làphần chung của hai hình cầu: x2

C y2C z2 R2 thuộc tam diện toạ độ thứ nhất.

C y2C z2 R2; x 0

Trang 30

Câu 199 Tính khối lượng M của khối lập phương W 1 x 0; 1 y 0; 0 z 1 Có

khối lượng riêng là ı.x; y; z/ D xyz:

A M D 4p2=3 B M D 2=3 C M D 2p2=3 D M D 8p2=3

Trang 31

Chương 4

Tích phân đường

Câu 202 Tính khối lượng M của hình vuông D W 0 x 1; 0 y 1, có khối lượng riêng làı.x; y/ D x C y

Câu 203 Trong mặt phẳng Oxy, mảnh phẳng đồng chất D là hình tròn x a/2C y b/2 R2

có khối lượng riêng là hằng số ı0 Gọi M là khối lượng của mảnh D, khẳng định nào sau đây đúng?

Trang 32

Câu 208 Tính tích phân đường I D

C

yd l, trong đó C có phương trình x C y D 1; 0 x 1

A I Dp2 B I Dp2=2 C I D 3p2=2 D I D 1=2.Câu 216 Tính tích phân đường I DR

C

.6x C 6y C 2/d l, trong đó C có phương trình 3y C 4x D0; 0 x 1

Trang 33

A I = 15 B I = 10/3 C I = 5 D I = 5/3.Câu 219 Tính tích phân đường I DR

C

.26x C 8y/d l, trong đó C là đoạn thẳng có phương trình3x C 4y C 1 D 0 nối A(0, -1/4) và B(1, -1)

Câu 220 Tính tích phân đường I DR

C x C y/d l, trong đó C là đoạn thẳng nối A(0, 1) và B(1,2)

1 C 4x2d l, trong đó C: y D x2 nối điểm A(0, 0) vàB(1, 1)

Câu 225 Tính tích phân đường I D R

C x C y/d l, trong đó C là đường biên của hình vuông

Trang 34

px2

C y2d l, trong đó C là 1/2 đường tròn x2

C y2 D4; x 0

A l D 2a=3 B l D a=3 C l D a=6 D l D a2=12.Câu 236 Tìm giá trị trung bình của hàm số f x; y/ Dpx2C y2 trên đường tròn x2

a > 0) được giới hạn bởi các trục toạ độ và có tỉ khối tuyến tính là ı.x; y/ D 1

x C y.

A M Dp2=a B M D ap2 C M Dp2 D M D 2p2

Trang 35

4.2 Tích phân đường loại hai

Câu 240 Cho điểm A(0, 1) và B(1, 1), tính tích phân đường I D R

AB

.2xy C 4x3C 1/dx 2xy C4y3 1/dy Lấy theo đường y = 1 đi từ điểm A đến B

AB

.2xy C 4x3C 1/dx 2xy C 4y3 1/dy lấy theo đường

x = 2 đi từ điểm A(2, 1) đến B(2, 0)

Câu 242 Cho điểm A(0, 1) và B(1, 0), tính tích phân đường I D R

AB

.y C 2x C 1/dxC.y 1/dylấy theo đường y = -x + 1 đi từ điểm A đến B

Trang 36

Câu 252 Tính tích phân đường loại I D R

OA.y C 2x/dx C 4y C x/dy ở đây OA là cung y3D x

từ O(0, 0) đến A(1, 1)

Câu 253 Tính tích phân đường loại I D R

OA

.2x C y/dx C 3y2 C x/dy ở đây OA là cung của

y2 D x nối từ O(0, 0) đến A(1, 1)

Trang 37

Câu 260 Gọi S là diện tích của miền giới hạn bởi đường cong kín C Khẳng định nào sau đâyđúng?

Câu 261 Cho C là biên của hình vuông D = [-1; 1] x [0; 2] Tính tích phân đường:

I DI

Câu 266 Cho C là đường tròn x2

C y2 D 16 Tính tích phân đường loại hai:

I DI

C

.y C 3 sin x/dx C 2x C cos y/dy

Trang 38

Câu 268 Cho C là elíp x2

=16 C y2 D 1 Tính tích phân đường loại hai:

I DI

C

.2x C y/dx C 2x y/dy

Câu 274 Cho C là elíp x

C

y.sin x C 1/dx C x cos x/dy

Trang 39

.2xy2C 3x C 2/dx C 2yx2C y 2/dy

Lấy theo đường y D x2=2 từ gốc toạ độ O đến A

Trang 41

.eyC 2ye2x/dx xeyC e2x/dy.

Câu 291 Tích phân đường nào sau đây không phụ thuộc vào các đường trơn từng khúc nối haiđiểm A và B?

.cos y C y cos x/dx y sin ydy

.ey 2ysin 2x/dx C xey cos 2x/dy

.cos y C cos x/dx C sin ydy

Trang 42

Trang 43

Chương 5

Phương trình vi phân

Câu 296 Cho biết một phương trình vi phân nào đó có nghiệm tổng quát là y = Cx Đường

cong tích phân nào sau đây của phương trình trên đi qua A(1, 2)?

Câu 297 Hàm số y D 2x C Cex , C là hằng số tuỳ ý, là nghiệm tổng quát của phương trình vi

phân nào sau đây ?

A sin x cos y D C B cos x sin y D C

C cos y sin x D C D sin x sin y D C

Câu 301 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y0C y

Trang 44

Câu 302 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân dx

sin y C

dycos x D 0

A sin x C cos y D C B sin x cos y D C

C C1sin x C C2cos y D 0 D C1cos x C C2sin y D 0

Câu 303 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân dx

1 C x2 C dy

p1 y2 D 0

A arcsin x C arctan y D C B arcsin x arctan y D C

C arctan x C arcsin y D C D arctan x C ln jy Cp1 y2j D C

Câu 304 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 2xydx C dy D 0

A x2

C ln jyj D C Câu 305 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 1 C y2

Định dạng
Số trang	64
Dung lượng	260,45 KB