Đang tải... (xem toàn văn)
() M�t s� phương pháp xác ñ�nh công th�c t�ng quát c a dãy s� 1 S� GIÁO D�C ðÀO T�O ð�NG NAI Tr ư�ng THPT BC Lê H�ng Phong Giáo viên th c hi n NGUY�N T�T THU Năm h�c 2008 – 2009 M�t s� phương pháp xác ñ�nh công th�c t�ng quát c a dãy s� 2 M�C L�C M�C L�C 1 L�I M � ð�U 3 I S� D�NG CSC – CSN ð� XÂY D�NG CÁCH TÌM CTTQ C �A M�T S� D�NG DÃY S� CÓ CÔNG TH�C TRUY H�I ð�C BI�T 4 II S� D�NG PHÉP TH� LƯ�NG GIÁC ð� XÁC ð�NH CTTQ C�A DÃY S� 24 III �NG D�NG BÀI TOÁN TÌM CTTQ C �A DÃY S� VÀO GI �I M �T S� B.
M t s phương pháp xác đ nh cơng th c t ng quát c a dãy s S GIÁO D C & ðÀO T O ð NG NAI Trư ng THPT BC Lê H ng Phong Giáo viên th c hi n NGUY N T T THU Năm h c: 2008 – 2009 -1- M t s phương pháp xác đ nh cơng th c t ng qt c a dãy s M CL C M C L C L IM I S ð U D NG CSC – CSN ð XÂY D NG CÁCH TÌM CTTQ C A M T S DÃY S D NG CĨ CƠNG TH C TRUY H I ð C BI T II S D NG PHÉP TH LƯ NG GIÁC ð XÁC ð NH CTTQ C A DÃY S 24 III NG D NG BÀI TỐN TÌM CTTQ C A DÃY S TOÁN V DÃY S -T VÀO GI I M T S BÀI H P 30 BÀI T!P ÁP D NG 41 K T LU!N – KI N NGH 45 TÀI LI U THAM KH O 46 -2- M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s L IM ð U Trong chương trình tốn h c THPT tốn liên quan đ n dãy s m t ph n quan tr ng c a đ i s gi i tích l p 11 , h c sinh thư ng g p nhi u khó khăn gi i tốn liên qua ñ n dãy s ñ c bi t tốn xác đ nh cơng th c s h ng t ng quát c a dãy s Hơn n a m t s l p toán xác đ nh đư c cơng th c t ng quát c a dãy s n i dung c a tốn g n đư c gi i quy t Do xác đ nh cơng th c t ng quát c a dãy s chi m m t v trí nh t đ nh tốn dãy s Chun đ “M t s phương pháp xác đ nh cơng th c t ng quát c a dãy s ” nh m chia s v i b n ñ ng nghi p m t s kinh nghi m gi i toán xác ñ nh CTTQ c a dãy s mà b n thân đúc rút đư c q trình h c t p gi ng d y N i dung c a chuyên ñ ñư c chia làm ba m c : I: S d ng CSC – CSN ñ xây d ng phương pháp tìm CTTQ c a m t s d ng dãy s có d ng cơng th c truy h i đ c bi t II: S d ng phương pháp th lư ng giác ñ xác ñ nh CTTQ c a dãy s III: ng d ng c a tốn xác đ nh CTTQ c a dãy s vào gi i m t s toán v dãy s - t h p M t s k t qu chuyên ñ có m t s sách tham kh o v dãy s , nhiên chuyên ñ k t qu đư c xây d ng m t cách t nhiên ñư c s p x p t ñơn gi n ñ n ph c t p giúp em h c sinh n m b t ki n th c d! dàng phát tri"n tư cho em h c sinh Trong q trình vi t chun đ , chúng tơi nh n ñư c s ñ ng viên, giúp ñ# nhi t thành c a BGH quý th y t Tốn Trư ng THPT BC Lê H ng Phong Chúng tơi xin đư c bày t$ lịng bi t ơn sâu s c Vì l c th i gian có nhi u h n ch nên chun đ s% có nh ng thi u sót R t mong quý Th y – Cô b n đ ng nghi p thơng c m góp ý ñ" chuyên ñ ñư c t t -3- M t s phương pháp xác đ nh cơng th c t ng quát c a dãy s M T S PHƯƠNG PHÁP XÁC ð NH CÔNG TH C T NG QUÁT C A DÃY S I S D NG CSC – CSN ð XÂY D NG CÁCH TÌM CTTQ C A M T S D NG DÃY S CÓ CÔNG TH C TRUY H I ð C BI T Trong m c xây d ng phương pháp xác ñ nh CTTQ c a m t s d ng dãy s có cơng th c truy h i d ng ñ c bi t Phương pháp ñư c xây d ng d a k t qu ñã bi t v CSN – CSC , k t h p v i phương pháp ch n thích h p Trư c h t nh c l i m t s k t qu ñã bi t v CSN – CSC S# h$ng t%ng quát c&a c'p s# c(ng c'p s# nhân 1.1: S# h$ng t%ng quát c&a c'p s# c(ng = − + ∀ ≥ , s th c không đ i có tính ch t ð nh nghĩa: Dãy s g i c p s c ng : g i công sai c a CSC; : g i s h ng ñ u, g i s h ng t ng quát c a c p s ð nh lí 1: Cho CSC ð nh lí 2: G i = Ta có : + − t ng n s h ng ñ u c a CSC = + ð nh lí 3: Cho CSN có cơng b i Ta có: t ng n s h ng ñ u c a CSN = có cơng sai d Ta có: − 2: S# h$ng t%ng qt c&a c'p s# nhân có tính ch t + = ð nh nghĩa: Dãy s b i ð nh lí 4: G i (1) (2) ∀ ∈ℕ − = g i c p s nhân cơng (3) có cơng b i Ta có: (4) -4- M t s phương pháp xác đ nh cơng th c t ng quát c a dãy s Áp d)ng CSC – CSN ñ+ xác ñ,nh CTTQ c&a m(t s# d$ng dãy s# đ-c bi t Ví d 1.1: Xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy s = Gi.i: Ta th y dãy = − − ∀ ≥ = − Áp d ng k t qu (1) ta có: m t CSC có cơng sai = − − =− Ví d 1.2: Xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy s = ñư c xác ñ nh b i: = + ñư c xác ñ nh b i: ∀ ≥ − Gi.i: Ta th y dãy = Ta có: m t CSN có cơng b i = − − Gi.i: Trong tốn g p khó khăn dãy ∀ ≥ không ph i CSC hay CSN! Ta th y dãy khơng ph i CSN xu t hi n h ng s − − ñi chuy"n dãy s v CSN Ta có: − = − − ð t ⇒ nên ta vi t công th c truy h i c a dãy sau: − = − = − ⇒ − =− = VT Ta tìm cách làm m t + = Nh n xét: M'u ch t − =− − − (1) = V y = − + ñư c xác ñ nh b i: Ví d 1.3: Xác ñ nh s h ng t ng quát c a dãy =− − = ∀ ≥ Dãy =− + cách làm ta phân tích − = − CSN cơng b i ∀ = + = đ" chuy"n công th c m t CSN Tuy truy h i c a dãy v (1), t ta đ t dãy ph ñ" chuy"n v dãy nhiên vi c làm có v khơng t nhiên l m! Làm th ta bi t phân tích − =− + ? Ta có th" làm sau: -5- M t s phương pháp xác đ nh cơng th c t ng quát c a dãy s Ta phân tích − = − = ⇒ Th t v y: *N u = *N u dãy ≠ , ta vi t sau: + Hay = = − − = − − + − + = CSC có cơng sai − − − = nên + − + − ∀ ≥ Khi cơng th c truy h i c a dãy ñư c vi t + , t ta có đư c: − = = V i cách làm ta xác ñ nh ñư c CTTQ c a dãy = − − + − − V y ta có k t qu sau: = D$ng 1: Dãy s CTTQ là: = = + − + ∀ ≥ − − − − + + , ta có: V y CTTQ c a dãy = = = − = ñư c xác ñ nh : − − = − + − − (2) + ∀ ≥ − = ñ" chuy"n v dãy s m t + Khi cơng th c truy h i c a dãy ñư c vi t sau: + + = + − = ≠ − Gi.i: ð" tìm CTTQ c a dãy s ta tìm cách làm m t CSN Mu n làm v y ta vi t : − = − − + − ð t h ng s ) có = + Ví d 1.4: Xác đ nh CTTQ c a dãy ≠ ( − ⇒ ∀ = = − = − Chú ý : 1) ð" phân tích đư c đ(ng th c (2), ta làm sau: -6- M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s − = + − − theo − − = ta có: − = = = − ⇔ = − , ñó = + ∀ ≥ − , ta xác ñ nh CTTQ sau: − (3) v i m t ña th c theo Khi ñó ta 2) Trong trư ng h p t ng quát dãy m t ña th c b c = Phân tích = + Cho ( ) = − − − = = − − − + V y ta có: = − th ? V n ñ cịn l i ta xác đ nh Ta th y : *N u = − − m t đa th c có b c nh$ b c c a m t b c , mà đa th c b c nên đ" có (3) ta không ph thu c vào h s t c a ch n ña th c b c + , có h s t b ng khơng đ" xác đ nh + phương trình, đ(ng th c (3) ta cho + giá tr c a b t kì ta đư c h gi i h ta tìm đư c h s c a * N u ≠ − − m t ña th c b c v i nên ta ch n ña th c b c ñ(ng th c (3) ta cho + giá tr c a ta s% xác đ nh đư c V y ta có k t qu sau: − có: = đư c xác đ nh b i: , + = − ñó m t ña th c b c theo ; h ng s Ta làm sau: Ta phân tích: m t đa th c theo Khi đó, ta đ t = − − v i D$ng 2: ð" xác ñ nh CTTQ c a dãy = − Lưu ý n u = , ta ch n ña th c b c ña th c b c ≠ ta ch n = − ta có đư c: Ví d 1.5: Cho dãy s Gi.i: Ta phân tích + = = = − + − − − + + + = có h s t b ng khơng, cịn n u Tìm CTTQ c a dãy − − + − − -7- M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s = ( Cho = ⇒ = + ) − + = ta có h : + = = + = ⇔ ⇒ = = + − = Ví d 1.6: Cho dãy s = − + Tìm CTTQ c a dãy = Gi.i: Ta v'n b t chư c cách làm ví d trên, ta phân tích: − Cho = , ta có: = − ⇒ = − =− + Nên ta có: + = − V y = − + − − + = − = − = Suy α = − α = α − ( − − + α − − − ⇒ = α =α ( − − − α + + = α − ≠α v i = − α −α − + α , ta phân tích − ( − ) α − − α )= Trư ng h p α = , ta phân tích α = ⇒ − Chú ý : Trong trư ng h p t ng quát dãy Khi ñó: α − )= =α − α − − α V y ta có k t qu sau D$ng 3: ð" xác ñ nh CTTQ c a dãy = − + α ∀ ≥ , ta làm sau: • N u =α ⇒ • N u ≠ α , ta phân tích α = α − Ta tìm đư c: = − α + = α α− α − α − Khi ñó: = − − + α -8- M t s phương pháp xác đ nh cơng th c t ng quát c a dãy s Gi.i: Ta có: + V y = + − ( = − + − − + − + − Ví d 1.8: Tìm CTTQ c a dãy =− − − + + + + = b c )= + = − + = = − + − − + − + + ∀ ≥ nên ta vi t công th c truy h i c a dãy − = − − = − + D$ng 4: ð" xác ñ nh CTTQ c a dãy đa th c theo d ng − + − = − Gi.i: Ta phân tích: = − − + − sau: − − − = − − V y − + − − = + = = − cho = , ta ñư c: − − = nên công th c truy h i c a dãy ñư c vi t l i sau: = =− + Hơn n a =− Ví d 1.7: Tìm CTTQ c a dãy = = − , ta phân tích α Ví d 1.9: Xác đ nh CTTQ c a dãy =− + α + ∀ ≥ cách phân tích = Gi.i: ð" xác đ nh CTTQ c a dãy s trên, ta thay th dãy m t CSN Ta vi t l i công th c truy h i c a dãy sau: = − − − , d ng ∀ ≥ b ng m t dãy s khác -9- M t s phương pháp xác đ nh cơng th c t ng quát c a dãy s − − = − nghi m phương trình : − = − = ⇒ − − + − − − − − + − = = ⇔ = − = + , ta ph i ch n = Ta ch n − − + − , = = α =α = α nghi m c a h : + = V y ta có k t qu sau: ñó − + G i s th c khác không; − − + = ≥ ( phương trình = + , , hay − = + α = ∀ ≥ − , : D$ng 5: ð" xác đ nh CTTQ c a dãy = Khi đó: = − = đư c xác đ nh b i: Khi đó: − = − = = − − − − − S* d ng k t qu c a d ng 3, ta có trư ng h p sau: − − ≠ Hay = + • N u − − • N u là s th c cho trư c G i hai nghi m c a phương trình : đư c g i phương trình đ c trưng c a dãy) + = nghi m c a h : + hay = S* d ng k t qu d ng 3, ta tìm đư c: ∀ ≥ = − = Chú ý : Tương t v i cách làm ta xác ñ nh CTTQ c a dãy − sau: = − − ≥ nghi m c a phương trình đ c trưng: − + − , ta làm sau: − + = - 10 - M t s phương pháp xác ñ nh công th c t ng quát c a dãy s = = V i V y ta d! dàng ch ng minh đư c giá tr c n tìm = Ví d 3.4: Cho dãy ∀ ≥ % & + = + ≡ + + ' Tính = Tìm ph n nguyên c a ∑ (Olympic 30 – – 2000 kh i 11 ) = Gi.i: Ta có: + = + + ⇒ − = + ⇒ + ∑ + + − < ⇒ < + = ∑ = Vì ( % ∑ + < = = + α α + = − ∑ Ta có ⇒ = − ∀ ≥ Tìm α đ" dãy s + = h n ( HSG Qu c Gia B ng A – 2004 ) Gi.i: = ⇒ − Ví d 3.5: Cho dãy ð t = ð t − − = = V y + + = + − + = b) Ta có: ⇒ + = = a) Ta có: − − = = + ! α = + = ∑ = nên dãy + + + ! α∑ = ⇒ − + − α có gi i h n h u h n tìm gi i + − α + = có gi i h n h u h n ⇔ = + − !α = − + − ! α − − ! α ⇔α = π - 32 - M t s phương pháp xác đ nh cơng th c t ng quát c a dãy s = Khi ñó ( % =− =− − + = + + = cho + không chia h t cho + Ví d 3.6: Cho hai dãy Tìm t t c s nguyên t ∀ ≥ − (TH&TT – 327 ) Gi.i: + Ta có: = + − Gi s* có m t s t nhiên =− = + + + + Suy : =− ⇒ + ⇒ = ⇒ = − = + + − + =− = + + − − − − + = + + = − − + = − ⇒ + − = ⋮ ⇒ = = + *N u *N u = = ⇒ + = − không chia h t cho ta th y th$a yêu c u toán *N u > ⇒ − = − ⇒ = ∀ − − ≡ ≠ + = − (20) = Khi đó, ta có: + *N u V y + ⇒ = = + + − − (21) − = T (20) (21) ⇒ − + − − ⇒ − = = + + + + + = đ" vơ lí V y + ð t − = % & ⇒ − − ⇒ + = − − − không th$a yêu c u toán + ≡ ⇒ = th$a yêu c u toán % & hai giá tr c n tìm - 33 - M t s phương pháp xác đ nh cơng th c t ng qt c a dãy s Ví d 3.7: Cho dãy h ng ñ u tiên c a dãy = = − − ∀ ≥ + − Tính t ng c a s (HSG Qu c Gia – 2001 ) Gi.i: = Ta có: + − (22) − − − Ta phân tích = − + = − ⇔ + = ⇔ Suy = = − = + − − − − = = − Cho = − = , ta có h =− − ⇒ = ⇒ = ⇒ ∑ − − = = − = = = + ∑ + − − − − + = − + = = + + − = − = = + + − (Belarus 1999) xác đ nh : Ví d 3.8: Cho hai dãy s ∀ ≥ Ch ng minh r ng < < ∀ ≥ − Gi.i: Ta có: = = " π ⇒ = " π + + " π π = ! + π = " π - 34 - M t s phương pháp xác đ nh cơng th c t ng qt c a dãy s = B ng quy n p ta ch ng minh ñư c: π ð tα = "α = ⇒ ð t = " !α ⇒ " ! α Vì ≥ ⇒ <