Thầy đỗ văn đức bài giảng nguyên hàm tích phân và ứng dụng khóa IMO 2022

Microsoft Word BÀI GI¢NG TÍCH PHÂN KHÓA IMO 2K4 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE môn Toán Đăng kí học – Inbox thầy Thầy Đỗ Văn Đức – http facebook comdovanduc2020 1 Thầy Đỗ Văn Đức Khóa học LIVE VIP IMO môn Toán Page livestream và tài liệu https www facebook comdovanduc2020 Group hỏi bài và tâm sự https www facebook comgroups2004thayduc Bài 1 – Mở đầu về Nguyên Hàm 1 Định nghĩa  Cho hàm số  f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) Hàm số  F x được gọi là nguyên hà.

Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn Đăng kí học – Inbox thầy Thầy Đỗ Văn Đức Khóa học LIVE-VIP IMO mơn Tốn Page livestream tài liệu: https://www.facebook.com/dovanduc2020 Group hỏi tâm sự: https://www.facebook.com/groups/2004thayduc Bài – Mở đầu Nguyên Hàm Định nghĩa  Cho hàm số f  x  xác định K ( K khoảng,  Ví dụ: Hàm số y  x  x nguyên hàm đoạn nửa khoảng) Hàm số F  x  gọi hàm số x   nguyên hàm hàm số f  x  K  x3  x   3x2  x   F   x   f  x  với x  K  Chú ý 1: Nếu K   a ; b  đẳng thức F   a   f  a  ; F   b   f  b  hiểu F  x  F a F  x   F b  f  a  lim  f b  xa x b xa x b  Chú ý 2: Nếu F nguyên hàm hàm số f khoảng  a ; b  F , f hai hàm số liên tục lim đoạn  a ; b F nguyên hàm hàm số f đoạn  a ; b Định lý Giả sử hàm số F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K Khi đó:  Với số C , hàm số F  x   C nguyên hàm hàm số f  x  K  Với nguyên hàm G  x  f  x  K tồn số C ho G  x   F  x   C với x  K Do F  x   C , C   họ tất nguyên hàm f  x  K Ký hiệu  Chú ý: Mọi hàm số f  x  liên tục K có nguyên hàm K   f   x  dx  f  x   C    f  x  dx   f  x   f  x  d x  F  x   C Tính chất    f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx   kf  x  dx  k  f  x  dx  k   _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn  Chú ý: Nếu  f  x  dx  F  x   C Đăng kí học – Inbox thầy  f  ax  b  dx  a F  ax  b   C  a   Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp  Chú ý: Nếu  f  x  dx  F  x   C  f  u  du  F  u   C , với u hàm x,  f  ax  b  dx  a F  ax  b   C Từ ta cần biết nguyên hàm số hàm số thông dụng xây dựng nguyên hàm hàm số hợp   0dx  C   e x dx  e x  C    dx  x  C ax   a x dx   C  a  0, a  1 ln a   cos xdx  sin x  C  sin   cos   sin x dx  ln tan  C   cos x dx  ln tan     C     x dx  x  1  1  C   1   sin xdx   cos x  C  x dx  ln x  C  tan xdx   ln cos x  C   cot xdx  ln sin x  C  1   dx    C x x x x dx   cot x  C dx  tan x  C x x  Một số công thức tính nhanh dx ax  b dx x  ln  C    arccos  C   2 a a  ax  b  cx  d  ad  bc cx  d x x a dx dx ax  I   ln x  a  x  C    ln  C 2 a x 2a a  x x a dx x dx a  x2  a2    arctan  C  a       C  x x2  a a ln x a a a x dx    ln x  x  a  C x a2  x2 a x 2 x a   a  x dx   arcsin  C 2 a dx x    arcsin  C x a 2 a   x  a dx  x  a  ln x  x  a  C a2  x2 2 Bài tập luyện tập Bài 1: Chứng minh hàm số F  x    ln cos x nguyên hàm hàm số f  x   tan x     Bài 2: Chứng minh hàm số F  x   ln sin x nguyên hàm hàm số f  x   cot x Bài 3: Chứng minh hàm số F  x   a  x nguyên hàm hàm số f  x   Bài 4: Chứng minh hàm số F  x   x a2  x2 ax nguyên hàm hàm số f  x   ln 2a a  x a  x2 Bài 5: Chứng minh hàm số F  x   ln x  x  a nguyên hàm hàm số f  x   x a _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn Tìm nguyên hàm hàm số sau b) y   x a) y   x d) y  2  x e) y  a) y   x   x  3 b) y   x  x   x  1 c) y   x  3 d) y   x  x   x  1 x3  x  b)  d x; x2 c)  x  2 c)  b)  d)    x  3x   x x4 dx; d)  x x 3  x 2  x  1dx; x2 dx x   x  x  x  1 dx  2 1     3x 3 dx x  Tìm hàm số y  f  x  , biết a) f   x   x  f 1  5; b) f   x    x f    c) f   x   x  x f    0; d) f   x   x  Tìm hàm số y  f  x  , biết  f 1  x2 a) f   x    x   f    8; b) f   x   x  x  f 1  2; c) f   x    x  1 x  1  f    1; d) f   x   x3  x  f  1  Tìm hàm số y  f  x  , biết f   x   ax  bx x  , f  1  2, f 1  4, f  1  Tìm hàm số y  f  x  , biết f   x   Tìm nguyên hàm hàm số sau: 15 x , f 1  14 ; sin x cos x a) y   tan x  cot x  ; b) y  x c) y  3sin ; d) y  cos x 10  1 Tìm    a)   x  x  dx;   5 32 x  x f) y  Tìm: x2  3x a)  d x; x 1 x 2 x c) y  x  Tìm nguyên hàm hàm số sau: 3 Đăng kí học – Inbox thầy Biết hàm số F  x   A a   ax  nguyên hàm hàm số f  x   , giá trị a x5  x  5 B a  C a  D a  _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn 11 Đăng kí học – Inbox thầy Biết hàm số F  x    ax  bx  c  x  nguyên hàm hàm số f  x   20 x  30 x  2x  3   ;    Giá trị a  2b  c 2  A 12 B C D Biết hàm số F  x   ax  b sin x  a, b    nguyên hàm hàm số f  x   sin x  cos x Giá trị a  4b A 13 B D Biết F  x  nguyên hàm hàm số f  x   x  x  F 1  Tính F   A F     14 C B F     C F    2 D F    1 Biết F  x  nguyên hàm hàm số f  x   e x  ln10 thỏa mãn F 1  e, F    a  be ( a, b  ) Giá trị a  b A 15 B 19 D 9 C Cho hàm số f  x   3x   2m  1 x  2m Biết F  x  nguyên hàm hàm số f  x  thỏa mãn F    3, F 1  15 Giá trị m A m  B m  10 C m  21 D m  11 Bài – Nguyên hàm phân thức hữu tỉ Dạng f  x  ax  b  f  x  dx  a ln ax  b  C dx ax  b   ax  b  cx  d   ad  bc ln cx  d Dạng f  x  a  0, b  4ac    ax  bx  c  C Hệ quả: 1) dx   x  a  x  b   a  b ln xa  C; x b dx xa  ln  C a 2a x  a dx 1   ax  b 2  a  ax  b   C 2) Dạng f  x  a  0, b  4ac    ax  bx  c x Chú ý: Với n  , Hệ quả: Dạng f  x   ax  b   c2  ac   x   ax  b  n n dx   dx    C;  n  1 x n1 a  n  1 ax  b  n 1  C dx x  arctan  C c c c dx ax  b   arctan  C 2 c  ax  b   c ac x _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn Dạng f  x  cx  d  ac   ax  bx  c Đăng kí học – Inbox thầy Phân tích cx  d    2ax  b    Phương pháp giải: Tách P  x thành phân số có Q  x thể lấy nguyên hàm theo bảng nguyên hàm theo dạng Nếu bậc đa thức P  x  lớn P  x  Q  x  dx bậc đa thức Q  x  ta thực phép chia đa thức để biến bậc đa thức tử nhỏ bậc đa thức mẫu Phân tích đa thức Q  x  thành nhân tử để tính nguyên hàm Dạng Một số khai triển cần lưu ý A B C 1)    ( m, n, p đôi khác nhau)  x  m  x  n  x  p  x  m x  n x  p 2) 3)  x  m  x  n   A B C   x  m x  n  x  n 2  m  n A Bx  C với b  ac    2 ( x  m)   ax  bx  c  x  m ax  bx  c A B C D     với a  b 2 ( x  a )  ( x  b) x  a ( x  a) x  b ( x  b) P  x Xét phân thức có dạng f  x    x  a  x  b  x  c  4) Nếu deg  P  x    3, ta thực phép chia đa thức: f  x   Q  x   Kĩ thuật tìm nhanh hệ số Nếu deg  P  x    3, ta phân tích: f  x   A B C   x a x b x c A B C   x a x b x c Tìm nhanh hệ số: P  x P a P  x P b A  ;B  ;  x  b  x  c  xa  a  b  a  c   x  c  x  a  xb  b  c  b  a  C P  x  P c  x  a  x  b  x C  c  a  c  b  BÀI TẬP LUYỆN TẬP 16 Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) 17 2x  b) 4x2  x  2x  b) x5 x 1 Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) x2  x  x2 _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn 18 Tìm ngun hàm hàm số sau: a) 19 x3 x2  x  b) x2 x  x  12 x  x  1 x   b) 2x x  5x2  x  b) x3  x3  x  x  b) x  x2  3 2x  x  4x  x 1 x3  x x  x  x2  x b)  x  1  x   2 x 1 b) x 1  x  x x 1 b) 8x7  x 1  x  b) x2  x4  b) x4  x6  Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) 29 x2  x  x  x  22 Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) 28 b) Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) 27 3x  2 3x  x  Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) 26 x  6x  Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) 25 b) Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) 24 4x  4x 1 Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) 23 2x  4x  4x 1 Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) 22 b) Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) 21 2x  x  Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) 20 Đăng kí học – Inbox thầy x2 1 x4  Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) x4 1 x6  _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn 30 Đăng kí học – Inbox thầy Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) 31 3x  5x b) 100 x  x 50   Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) 32 x19 b) 3  x  10 x  10 x Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) x  x2  b)  x  3  x  5 Bài – Phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm Các dạng toán thường gặp  I   f  ax  b  xdx  t  ax  b  dt  adx  I   I   f  ax  b  xdx  t  ax  b  dt  2ax.dx  1 I   f  ln x  dx  t  ln x  dt  dx x x  b I   f  a  b ln x  dx  t  a  b ln x  dt  dx x x  I   I   f  e x  e x dx  t  e x  dt  e x dx  I   f  cos x  sin xdx  t  cos x  dt   sin x.dx  I   f  sin x  cos xdx  t  sin x  dt  cos x.dx  I   f  tan x  1 dx  t  tan x  dt  dx  1  tan x  dx cos x cos x  I   f  cot x  1 dx  t  cot x  dt  dx   1  cot x  dx sin x sin x  I   f  sin x ; cos x  sin x dx  t  sin x  dt  sin x.dx  I   f  sin x  cos x   sin x  cos x  dx  t  sin x  cos x  dt   cos x  sin x  dx n  ax xn n 1  b m dx  t  ax n 1  b  dt   n  1 ax n dx  m, n    n f  x dx  t  f  x   dt  f   x  dx f  x _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn   R  n1 Đăng kí học – Inbox thầy n ax  b , , k ax  b  dx  t  n ax  b , n  BCNN  n1 , n2 , , nk  Chú ý: Phương pháp vi phân: I   f  x  f   x  dx   f  x  d  f  x    G  f  x    C 1 Ví dụ: I   sin  x  xdx   sin  x  d  x    sin  x  d  x    cos  x   C 2 33 Tìm nguyên hàm sau:  x3  a) I   x   1 dx  18  34 dx x (1  x )2   3x  dx dx cos x tan x dx cos x x3 dx x8  b) I   x cos  x  dx b) I   dx cos x sin x b) I   dx  sin x b) I    4cos x  5 sin x cos x  3cos x  dx Tìm nguyên hàm sau: a) I   sin x 1  sin x  cos xdx 42 b) I   Tìm nguyên hàm sau: a) I   41 b) I   x x  dx Tìm nguyên hàm sau: a) I   40 b) I   x x  dx Tìm nguyên hàm sau: a) I   sin x cos3 xdx 39 Tìm nguyên hàm sau: a) I   sin x cos x dx 38 10 Tìm nguyên hàm sau: a) I   37  x  3 Tìm nguyên hàm sau: a) I   36 x dx Tìm nguyên hàm sau: a) I   3x  x dx 35 b) I   b) I   dx cos x  tan x   Tìm nguyên hàm sau: ln x a) I   dx x b) I   x ln  x  1 x2  dx _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn 43 Tìm ngun hàm sau: a) I   44 ln x  dx x ln x dx x  ln x  1 dx x ln x  ln(ln x)  1 b) I   e b) I   dx e  e x  eln x dx x b) I   e tan x dx cos2 x e2 x dx ex  b) I   6x dx x  4x  x  1 17  x  1 15 b) I   dx 1 x  1 x x x3  3x  x2  1 dx b) I   x x  9dx b) I   x2 x2  dx x3  dx x4  x b) I   x2 1 dx x4  Tìm nguyên hàm sau: a) I   54 dx Tìm nguyên hàm sau: a) I   53 x Tìm nguyên hàm sau:  x2 a) I   dx x  x2  52 x Tìm nguyên hàm sau: a) I   51 ln  ln x  b) I   Tìm nguyên hàm sau: a) I   50 dx Tìm nguyên hàm sau: a) I   49  Tìm nguyên hàm sau: a) I   48  x  ln x  Tìm nguyên hàm sau: a) I   esin x cos xdx 47 ln x Tìm nguyên hàm sau: a) I   xe x dx 46 b) I   Tìm nguyên hàm sau: a) I   45 Đăng kí học – Inbox thầy dx x x b) I   x 3x  x  dx Tìm nguyên hàm sau: a) I   x dx x  x 2 2 b) I   x dx  2x 1 _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn 55 Tìm nguyên hàm sau: a) I   tan xdx 56 b) I   tan xdx Tìm nguyên hàm sau: a) I   57 Đăng kí học – Inbox thầy dx cos x b) I   5sin x  sin x dx cos x  cos x  b) I   sin x dx cos x b) I   dx Tìm nguyên hàm sau: a) I   cos5 x dx  sin x Bài tập luyện tập 58 Tìm nguyên hàm sau: a) I   59 dx x x xdx b) I   dx cos x  sin x 1  x  b) I   sin x cos3 xdx Tìm nguyên hàm sau: a) I   cos5 xdx 62 Tìm nguyên hàm sau: a) I   61 x  x3 Tìm nguyên hàm sau: a) I   60 dx 3x   3x  b) I   Biết khoảng 3   ; , 2  sin x  cos x dx sin x  cos x f  x  hàm số 20 x  30 x  2x  có nguyên hàm F  x    ax  bx  c  x  3, với a , b, c   Tổng S  a  b  c A 63 Cho hàm số f  x   B C D cos x  sin x    3   có nguyên hàm F  x  thỏa mãn F    Giá trị F   cos x  sin x 4 2 A 3  11ln B 3 C 3 D 3  ln _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 10 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn Đăng kí học – Inbox thầy 66 Cho hàm số y  f  x  liên tục  thỏa mãn f  x   f   x    x  1 e x  x 1  Tính tích phân I   f  x  dx ta kết A I  e  B I  C I  D I  e  67 Cho hàm số f  x  liên tục  0;1 thỏa mãn f  x   f 1  x   x  x x   0;1 Giá trị I   f  x  dx A I   25 B I   15 C I  25 D I  15  68 Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn f   x   f  x   cos x Tính I   f  x  dx  A I  B I  C I  D I  69 Cho hàm số y  f  x  liên tục  thỏa mãn điều kiện f  x   f   x   x 3 Tích phân  f  x  dx 1 A ln B ln C ln D ln 70 Xét hàm số f  x  liên tục đoạn  1; 2 thỏa mãn f  x   xf  x    f 1  x   x Tính giá trị I   f  x  dx 1 B I  A I  C I  71 Cho hàm số f  x  liên tục  0;1 Biết D I  15 1   x f  1  x   f  x  dx  Tính f  0 B f    A f    1 C f     D f    72 Cho hàm số y  f  x  liên tục nhận giá trị dương  0;1 thỏa mãn f  x  f 1  x   x   0;1 dx 1 f  x Giá trị I   A I  B I  C I   0; 2 thỏa mãn x3  3x  f   x   I  dx f  x 73 Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương, có đạo hàm đoạn f  x  f   x   e2 x 4 x với x   0; 2 Giá trị D I  f    _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 64 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn A I   64 B I   Đăng kí học – Inbox thầy 16 C I   D I   32 74 Cho hàm số f  x  nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 cho f 1  f  x  f 1  x   e x2  x x   0;1 Tính I   A I   60  2x  3x  f   x  f  x dx 1 C I   D I  10 10 10 Nguồn: Đề thi thử Toán THPTQG 2019 lần trường THPT Hậu Lộc – Thanh Hóa B I  75 Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn f  x   f   x    cos x , x   Tính I 3   f  x  dx A I  6 B I  12 C I  12 D I  76 Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp , thỏa mãn f 1  x   x f   x   x x   Tính I   xf   x  dx A I  B I  1 C I  D I   77 Cho hàm số f  x  liên tục , đồ thị hàm số y  f  x  nhận điểm I  2;  làm tâm đối xứng Tính I    x   f  x  dx A B C D 16 78 Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  1; 2 thỏa mãn f  x   xf  x    f 1  x   x Tính giá trị tích phân I   f  x  dx 1 A I  B I  C I  D I  2 Nguồn: Theo đề khảo sát chất lượng Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc 79 Cho hàm số y  f  x  xác định  cho f   x   f  1  x  , x   f    1, f 1  2021 Giá trị  f  x  dx bằng: A 2021 B 2020 C 1011 D 80 Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn f  x   f   x  , x   Biết 2022  f  x  dx  Tính I   xf  x  dx _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 65 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn A I  15 Đăng kí học – Inbox thầy B I  C I  20 D I  10 Nguồn: Thi thử lần – THPT Chuyên Quốc Học Huế - Năm 2020-2021 81 Cho hàm số y  f  x  liên tục  thỏa mãn f   x   2021 f  x   x sin x, x   Giá trị  tích phân I   f  x  dx  2021 A B 2022 D 1011 2019 Nguồn: Đề thi thử lần – Sở Hà Tĩnh – Năm 2020-2021 C 82 Cho hàm số y  f  x  liên tục có đạo hàm  thỏa mãn f  x   f 1  x    x  x  , x   Biết tích phân I   xf   x  dx   a a (với a, b số nguyên dương phân số tối giản) b b Tính T  3a  b A T  B T  48 C T  16 D T  Nguồn: Thi thử lần – THPT Chuyên Nguyễn Bình Khiêm Quảng Nam năm 2020-2021 83 Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn f  x   f 1  x   x 1  x  x   Tính I   f  x  dx A I  40 B I  60 C I  50 84 Cho f  x  hàm số liên tục đoạn  0;1 biết D I  70   x  f  sin x   dx  a với a   Tính   f  sin x  dx theo a 2a  4 A  B 4a  8  C 2a  4  D 4a  8  85 Cho f  x  hàm số liên tục  thỏa mãn f  x   f   x   x   Giá trị I  x f  x dx 2 A B C 10 D 16 _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 66 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn Đăng kí học – Inbox thầy ĐỔI BIẾN – XỬ LÝ CẬN 86 Cho hàm số f  x  x2 x   Giá trị liên tục  thỏa mãn f 1  x   f 1  x   x 1 I  f  x  dx 1 A I    B I    C I    87 Cho hàm số y  f  x  liên tục  0;    thỏa mãn f  x   D I     ln x f x 1 x x  x   0;    Giá trị I   f  x  dx A I  2ln B I  ln 2 C I  ln D I  ln 88 Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn xf  x   f 1  x    x10  x  x, x   Khi  f  x  dx 1 A  17 20 B  13 C 17 D 1 Nguồn: Đề Tham Khảo 2020  2x   x  x  4x  89 Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn x f 1  x   f  , x  0, x   x  x  Khi  f  x  dx có giá trị 1 A B C D 90 Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn f  x  x  1  f   x  x  1  6 x  12 x  x  2, x   Giá trị I   f  x  dx 3 A 32 B C 36 D 20 91 Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn f  x   xf  x   x , x   Khi A 15 B 17  f  x  dx 1 17 D  Nguồn: Thi HK2 – Sở Lâm Đồng năm 2019-2020 C _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 67 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn Đăng kí học – Inbox thầy 92 Cho hàm số f  x  liên tục  0;    thỏa mãn f  x  1  f  x   x  ln  x  1 2x 4x x Biết 17  f  x  dx  a ln  b ln  c với a, b, c   Giá trị a  b  2c A B C D Nguồn: Thi KSCL Sở Phú Thọ - Năm 2019-2020 93 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn xf  x   f  x  1  e x , x   Khi  f  x  dx 1 A C 1  e  B 3e D  e  1 94 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  thỏa mãn f 1  f  x   xf  x   x  x  với x   Tính tích phân I   xf   x  dx A I  B I  1 C I  D I  Nguồn: Đề thi thử lần – THPT Chuyên Đại Học Vinh Nghệ An – Năm 2020-2021 95 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn xf  x  1  f  x    x  3x  1, x   Giá trị   f  x  1  f   x   dx A 96 Cho x B hàm f  x số C liên tục 1   1 f  x    x f  x   x3  x x   0;    Biết x  A 2a  b  B 2a  b  D  0;    thỏa mãn  f  x  dx  a  b ln 2, a, b   Tính 2a  b C 2a  b  97 Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn f  3x   f  x   x x   D 2a  b  1  f  x  dx  Giá trị I   f  x  dx A B 10 C D 12 98 Biết hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn f  x   f  x  10   x3  28 x  280 x  900 Giá trị 20  f  x  dx A 37333 B 112000 C 337334 D 112003 _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 68 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn Đăng kí học – Inbox thầy f  x  liên tục  thỏa mãn 99 Cho hàm số f  x   f  x   28 x  10 x  x   Tính I   f  x  dx A 222 B 211 C 655 D 632 100 Biết hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn f  x    f  x  16   e x với x   Tính 16 I  f  x  dx 2 B e 3 A  e C  e 6 D e3 101 Cho hàm số f  x  liên tục  thảo mãn f  x  1  f  x  3  f  x  5  9 x  21 x   Giá trị  f  x  dx A 42 B 17 C 288 D 34 102 Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn hệ thức f  x  1  f  x  3  f  x  5  3x  Giá trị I   f  x  dx A I  6 103 Cho B I  hàm số f  x có C I  2 đạo hàm liên tục D I  xác định  thỏa mãn xf  x  1  f  x  1  f  3x    x3  48 x  47 x   Giá trị I   f  x  dx A 49 104 Cho B 64 hàm số I   f  x  dx  y  f  x C 36 thỏa mãn f  x   8x3 f  x   D 72 x3 x2   Tích phân ab a b với a, b, c  , , , phân số tối giản Giá trị a  b  c c c c B 2 A C D 1 PHÂN LY BIẾN SỐ 105 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục khoảng  0;    thỏa mãn x f   x   f  x   f  x   x   0;    Tính f   biết f 1  e A f    e B f    e C f    2e2 D f    e Nguồn: Đề thi thử Toán THPT Quốc gia 2019 trường THPT Lê Quý Đôn – Quảng Ngãi 106 Cho hàm số f  x  đồng biến có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f    f   x   xf  x   x x   Giá trị  xf  x  dx A e  B e  C e D e  _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 69 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn Đăng kí học – Inbox thầy 107 Cho hàm số y  f  x  liên tục, có đạo hàm  1;0 Biết f   x    x  x  e  f  x  x   1; 0 Tính giá trị biểu thức A  f    f  1 D A  e Nguồn: Đề thi thử Toán THPT QG 2019 trường THPT chuyên Ngoại Ngữ – Hà Nội A A  1 B A  C A  108 Hàm số f  x  có đạo hàm nhận giá trị dương  1;1 thỏa mãn f   x   f  x   x   1;1 Biết f 1  1, giá trị f  1 A f  1  e4 B f  1  e3 C f  1  e3 D f  1  109 Hàm số f  x  liên tục, thỏa mãn f   x  x   x f  x   x   Biết f    Giá trị f   A f    110 Hàm số B f    C f    f  x  liên tục nhận giá trị dương D f     0;    thỏa mãn f 1  f  x   f   x  3x  x   0;    Giá trị f   thuộc khoảng sau đây? B  3; 4 A 1;3 C  6;    111 Cho hàm số f  x  liên tục đồng biến 1; 4 thỏa mãn f 1  x  1; 4 Giá trị f   A 391 18 112 Cho B hàm số f  x 381 18 liên C tục, không âm D  4;  x  xf  x    f   x  với 361 18 D    0;  , thỏa 371 18 mãn f  0    f  x  f   x   cos x  f  x  , x  0;  Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ  2    hàm số f  x   ;  Giá trị Mm 6 2 A B 21 C 42 D 21  f   x  f  x    f   x    x f  x      113 Hàm số f  x  nhận giá trị dương  0;    thỏa mãn  f       f    Giá trị f 1 A f 1  B f 1  5 C f 1  6 D f 1  114 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn f  x   0, x   Biết f    f   x    x  x  f  x  Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f  x   m có nghiệm _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 70 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn Đăng kí học – Inbox thầy m  e4 m  e4 A  B  m  e C  D  m  e 0  m  m  Nguồn: Đề kiểm tra học kỳ Toán 12 năm 2017 – 2018 trường THPT Kim Liên – Hà Nội (Chọn A) 115 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0;    thỏa mãn điều kiện f 1  f  x       f  x    f   x  , x  Tính x x x x  A  ln B  ln  f  x  dx C  ln D  ln Nguồn: Thi thử lần – Sở Nghệ An năm 2020-2021 116 Cho hàm số y  f  x  đồng biến  0;   ; y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương  0;   3 thỏa mãn f     f   x    36  x  1 f  x  Tính f   2 A f    529 B f    256 C f    961 D f    441 Nguồn: Đề thi thử Chuyên Long An lần – Năm 2020-2021 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 117 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  thỏa mãn f  x   f   x    3e 2 x x   Biết  ln  f   Giá trị f     A f    31 B f    19 C f    118 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục 31  0;    D f    thỏa mãn 19  x   f  x   xf   x   x3 x   0;    f 1  e Giá trị f   A 4e2  4e  B 4e2  2e  C 4e2  2e  D 4e2  4e  119 Cho hàm số f  x  liên tục  0;    thỏa mãn f 1  2 ln x  x  1 f   x   f  x   x  x với x   0;    Biết f    a  b ln với a, b   Giá trị a  b A a  b  120 Cho x B a  b  hàm số y  f  x C a  b  nhận giá trị âm D a  b   0;    thỏa mãn 2  x  10  f   x   f  x   x   0;    Biết f 1  1 Giá trị I   f  x  dx A I  3ln B I   ln D I  4 ln  0;    thỏa mãn f 1   ln x  x  1 f   x    x   f  x   x  x  1 x   0;    Biết f    a  b ln với a, b  Giá trị 121 Cho hàm số y  f  x C I  2 ln liên tục T  a  b A T   16 B T  21 16 C T  D T  _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 71 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn Đăng kí học – Inbox thầy 122 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  0;    thỏa mãn f 1  ; f   x  x  1  f  x    x  x  x   0;    Giá trị f   A f    24 B f    16 C f    123 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  0;    D f    thỏa mãn f  x   f   x   xe  x x  Biết f 1  e1 Giá trị f   A f    2e B f    f  x    x  1 f   x   x3  x  x A  B hàm số x2  C liên tục  1;    e2 thỏa mãn đẳng thức D  3 có đạo hàm  0;    thỏa mãn B f    số D f     x  1 Biết f 1  Giá trị f   x5 A f    hàm e2 x   1;    Giá trị f    y  f  x  x   f   x   3xf  x   126 Cho C f    f  x  có đạo hàm liên tục khoảng 124 Cho hàm số 125 Cho 2e y  f  x  xf   x   f  x   ln x  x có C f    đạo hàm 1;    thỏa mãn f  e   3e Giá trị f   thuộc khoảng liên  f  x  , x  1;    Biết D f    tục sau đây? 25   A  12;    127 Cho hàm 27  29    23   B  13;  C  ;12  D  14;        Nguồn: Đề thi thử THPTQG 2019 mơn Tốn lần trường THPT TX Quảng Trị số y  f  x có đạo hàm liên f  x   xf   x   x 2018 x   0;1 Tìm giá trị nhỏ tục đoạn  0;1 thỏa mãn  f  x  dx A 1 1 B C D 2018.2020 2019.2020 2020.2021 2019.2021 Nguồn: Đề thi KSCL Toán 12 lần năm 2018 – 2019 trường Nơng Cống – Thanh Hóa 128 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0;    thỏa mãn xf   x   f  x   2ln x   Biết f 1  10 f    a  b ln  a, b    Giá trị a  b A 41 B 32 C 18 D 29 Nguồn: Sáng tác 129 Cho hàm số f  x liên tục khoảng  0;    thỏa mãn f 1  1 f  x   xf   x   x x  x  1, x   0;   Số nghiệm phương trình f  x   A B C D _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 72 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn Đăng kí học – Inbox thầy 130 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn f   x   f  x   e x cos 2021x f    Đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục hoành điểm có hồnh độ thuộc đoạn  1;1 ? A 4043 B C D 1287 Nguồn: Thi thử lần – THPT Chuyên Quốc Học Huế - Năm 2020-2021 131 Cho hàm số f  x  liên tục nhận giá trị dương , thỏa mãn f    e  2  sin x  f  x   e cos x f ( x )   f ( x )  0, x   Khi f   thuộc khoảng   A 1;  B  2;3 C  3;  D  0;1 132 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  , thỏa mãn f   x   xf  x   xe  x f    2 Tính f 1 A f 1  e B f 1   e C f 1  D f 1  e e Nguồn: Đề thi thử Sở Hưng Yên năm 2020-2021 133 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn điều kiện sau: f    2  x  1 f   x   xf  x    x, x   Tính tích phân I  A I   xf  x  dx 3 B I   C I  D I   2 Nguồn: Đề thi thử lần – THPT Chuyên Thái Bình năm 2020-2021 134 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0;    , thỏa mãn x  e x f   e x   f  e x   x   f 1  Giá trị f   thuộc khoảng sau đây? A  3;  B  2;3 C  4;5  D  5;  Nguồn: Đề thi HK2 – Sở Quảng Nam năm 2020-2021 135 Với x  1;    , hàm số f  x  xác định, liên tục, nhận giá trị dương đồng thơi thỏa mãn 3x f  x   f  x   x f   x  f 1  Giá trị f  3 A B C D Nguồn: Đề thi thử sở Tiền Giang – Năm 2020-2021 136 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục khoảng  0;    thỏa mãn lim x t với t  Biết f 1  1, tính f  e  A 3e  B 3e C 2e xf  t   tf  x  1 x2  t D e Nguồn: Đề thi thử lần – THPT Chuyên Quốc Học Huế năm 2020-2021 _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 73 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn Đăng kí học – Inbox thầy TÍCH PHÂN HÀM CHẴN HÀM LẺ 137 Cho hàm số y  f  x  hàm lẻ liên tục  4; 4 thỏa mãn 2  f   x  dx   f  2 x  dx  4 Giá trị I   f  x  dx A I  10 B I  6 C I  D I  10 138 Cho hàm số y  f  x  hàm chẵn liên tục  thỏa mãn A I  f  2x  1 1 x dx  Tính I   f  x  dx B I  C I  D I  16 Nguồn: Đề thi thử THPT Quốc gia mơn Tốn năm 2019 sở GD&ĐT Đà Nẵng   139 Cho hàm số f  x  hàm chẵn, liên tục  có đồ thị hàm số qua điểm M   ;  Biết    f  x  dx  Giá trị I  0  sin x f   sin x  dx  A I  B I  2 C I  140 Cho hàm số f  x  xác định  \ 0 thỏa mãn f   x   thức f  1  f   A b  a B a  b D I  1 , f 1  a, f  2   b Giá trị biểu x  x2 C a  b D  a  b ĐỔI BIẾN – ĐỔI VAI TRÒ BIẾN 141 Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn f  x   f  x   x, x   Tính I   f  x  dx A I  B I  C I  D I  142 Cho hàm số y  f  x  liên tục  thỏa mãn f  x   f  x   f  x   x, x   Tính I   f  x  dx A I  B I  C I  12 D I  143 Cho hàm số y  f  x  liên tục  thỏa mãn x  f  x   f  x   1, x   Tính I  A I  B I  C I   f  x  dx 2 D I  144 Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  x  x  1  x  2, x   Giá trị I   xf   x  dx A I  B I  17 C I  23 D I  33 _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 74 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn Đăng kí học – Inbox thầy 145 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  thỏa mãn f  x  x    x  x  1, x   Giá trị  x f   x  dx thuộc khoảng đây? 8 A  20;  10  B  20; 25  C 10; 20  D  25;  20  CẬN CHỨA BIẾN x2 146 Cho hàm số f  x    cos t dt x   Đạo hàm hàm số f  x  A f   x   x cos x 147 Cho hàm số f  x   B f   x   x cos x x2 A f   x    x B f   x   x 1 x C f   x   x  x x  sin t dt x   0;    Giá trị A  D f   x   x sin x  t dt t   Đạo hàm hàm số f  x   148 Cho hàm số f  x   C f   x   x sin x B 2   f    2 C 149 Cho hàm số f  x  liên tục  0;    thỏa mãn D f   x   x  x D  x2  f  t  dt  x.cos  x  Giá trị f   A f    B f    C f    D f    x 150 Biết hàm số f  x  thỏa mãn  te f  t  dt  e f  x   x   Đạo hàm hàm số f  x  A f   x   x  151 Cho biết f  x   B f   x   x  e2 x  t ln C f   x   x D f   x   x  tdt Số điểm cực trị hàm số f  x  e A B C D 152 Cho hàm số y  f  x  nhận giá trị đương, có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 Xét hàm số g  x  thỏa g  x  f  x  x mãn  Tính g x   18 f t d t      0  A 11  g  x dx B C 13 D _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 75 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn BĐT TÍCH PHÂN f  x 153 Cho hàm số Đăng kí học – Inbox thầy  0;1 có đạo hàm liên tục đoạn  f   x     x  1 f  x   40 x  44 x  32 x  4, x   0;1 Tích phân A  13 15 B f  x 154 Cho hàm số C 0   f   x  f  x   1 dx  2 f 1   xf  x  dx 13 D  15 12 Nguồn: Thi HK2 Sở Bạc Liêu – Năm 2019-2020  0;    liên tục đồng biến A f  39   5 12 thỏa mãn f    Biết thỏa mãn f   x  f  x  dx Giá trị f  39  B f  39   39 C f  39   78 D f  39   99 155 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn f 1  0,   f   x  dx  1 0 x f  x  dx  Giá trị I  0 f  x  dx A B 156 Cho hàm số C f  x  có đạo hàm D  0;1 thỏa mãn  f  x  dx  f    Biết  f   x  cos A  x 3 Giá trị I   f  x  dx dx  B  C  D       157 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0;  f    Biết  4 4      f  x  dx  , f   x  sin xdx    Giá trị I   f  x  dx B I  A I  1 D I  C I  2 158 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  liên tục  0;1 thỏa mãn f 1    f   x   dx    cos  2 A I   1  x  f  x  dx  Giá trị I   f  x  dx  B I   C I   D I   _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 76 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn Đăng kí học – Inbox thầy 159 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 f    f 1  Biết 1  f  x  dx  2  f   x  cos  x dx   Tính I   f  x  dx A  B I  160 Cho hàm số 3 C I   D I    f  x    f    0,   f   x   dx  2  có đạo hàm liên tục thỏa mãn    cos x f  x  dx  Giá trị f   A 1 B C D 161 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục 1; 2 thỏa mãn   x  1 f  x  dx   , f    2   f   x  dx  Giá trị I   f  x  dx 1 A I  B I   C I   20 D I  20 162 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn   f   x   dx    x  1 e x f  x  dx  0 e2  f 1  Giá trị I   f  x  dx A I  e 1 B I  e  e C I  D I  e2    163 Cho hàm số f  x  xác định  0;  thỏa mãn  2     f  x  sin  x   dx   Giá      f  x   2  trị I   f  x  dx A  B C 164 Cho hàm số y  f  x  liên tục  0;1 thỏa mãn  Giá trị   f  x  D  f  x  dx   xf  x  dx    f  x  dx  dx A 20 B 40 C 10 D 80 _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 77 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn Đăng kí học – Inbox thầy 165 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn f 1  1,   f   x   dx   f  x  dx  Giá trị A I  I   f  x  dx B I  C I  D I  1 166 Cho hàm số f  x  có đạo hàm nhận giá trị dương  4;8 thỏa mãn f    ; f     f   x   4  f  x  dx  Giá trị f     A B C D 3 167 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  0;3 thỏa mãn f  3  4,   f   x  dx  27 333  x f  x  dx  Giá trị  f  x  dx A B 153089 1215 25 150893 D 21 Nguồn: Đề thi thử lần – Sở Phú Thọ - Năm 2020-2021 C 64   f  x   f  x  x  dx   168 Cho hàm số f  x  liên tục có đạo hàm  2; 2 thỏa mãn 2 f  x Tính I   dx x 1 A I    ln 2 B I    ln 2 C I    ln D I    ln 2 Nguồn: Thi thử lần – THPT Kim Liên Hà Nội năm 2020-2021 169 Cho f  x  hàm số xác định liên tục  0;1 thỏa mãn  1 f  x  dx    f  x  dx Giá trị 1 f   bằng: 2 A 1 B C D 170 Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 , thỏa mãn f 1  1,   f   x   dx  1  x f  x  dx  Tích phân  xf  x  dx A B C D _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 78 ... _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 38 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn Đăng kí học – Inbox thầy Bài 11 - Ứng dụng tích phân tính thể tích Thể tích quay miền... _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 33 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn Đăng kí học – Inbox thầy Bài 10 - Ứng dụng tích phân tính diện tích Giới hạn đồ... _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học ONLINE mơn Tốn 11 Đăng kí học – Inbox thầy Biết hàm số F  x    ax  bx  c  x  nguyên hàm hàm số f