(SKKN mới NHẤT) một số dạng và phương pháp giúp học sinh lớp 11 nâng cao kỹ năng giải quyết bài toán giới hạn hàm số

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học bản, xương sống môn khoa học tự nhiên, công cụ hỗ trợ đắc lực cho nhiều môn học khác Ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ tốn học cần thiết, mơn Tốn cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ Qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn trường THPT, tơi nhận thấy dạy học giúp học sinh phát triển tư yêu cầu quan trọng hàng đầu dạy học mơn Tốn nói chung dạy học giải tập Tốn nói riêng Dạy học giúp phát triển tư cho học sinh ngồi việc địi hỏi giáo viên lực chuyên môn, lực sư phạm đòi hỏi nhiều thời gian tâm huyết người giáo viên Cũng qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn lớp 11 tơi thấy học sinh khối 11 học chương giới hạn, đặc biệt phần giới hạn hàm số em khó tiếp thu kiến thức áp dụng vào giải tập cách hiệu Ngoài khơng nắm vững kiến thức nên học sinh cịn mắc phải số sai lầm giải toán giới hạn hàm số Băn khoăn trước khó khăn học trị, tơi định lựa chọn nội dung giới hạn hàm số để tìm tịi nghiên cứu đưa giải pháp nhằm giúp em có cách phân tích lựa chọn kiến thức phù hợp, hiệu việc giải toán giới hạn hàm số Từ lý trên, lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Một số dạng phương pháp giải giúp học sinh lớp 11 nâng cao kỹ giải toán giới hạn hàm số” tạo hội cho học sinh củng cố phương pháp giải toán phần này, giúp học sinh tránh mắc sai lầm khơng đáng có, đồng thời thực ý tưởng góp phần bồi dưỡng lực tư duy, nhìn nhận xác vấn đề đưa ra, giúp hiệu dạy học phần cho học sinh lớp 11 cải thiện nâng cao 1.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài giúp học sinh củng cố kiến thức phần giới hạn hàm số, phát triển kỹ giải tốn giới hạn hàm số nhanh xác Tìm phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh Làm cho học sinh hiểu rõ phân loại dạng tập giới hạn hàm số Từ nâng cao chất lượng học tập học sinh tiết học Ngoài đề tài tài liệu hữu ích cho giáo viên tham khảo q trình dạy học phần 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu cách hướng dẫn học sinh lớp 11 giải toán giới hạn hàm số nhanh xác Ngồi tìm hiểu khó khăn sai lầm học sinh việc học tập giải toán giới hạn hàm số lớp 11, bước tìm biện pháp giúp học sinh khắc phục khó khăn, hạn chế sai lầm thực hành giải tốn góp phần nâng cao chất lượng, nâng cao kết dạy học giới hạn hàm số TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, q trình nghiên cứu tơi sử dụng nhóm phương pháp sau: - Phương pháp phân tích hệ thống hóa tài liệu Nhằm phân tích tài liệu có liên quan đến biện pháp giúp đỡ học sinh học tập môn tốn lớp 11 cấp THPT, trọng sách giáo khoa, sách giáo viên, chương trình giảm tải toán lớp 11 để nắm chuẩn kiến thức, kỹ dạy học mơn tốn khối lớp - Phương pháp vấn Nhằm vấn giáo viên dạy lớp 11 để đưa giải pháp tối ưu giải toán giới hạn hàm số vấn học sinh lớp 11 để nắm mức độ học toán kỹ giải toán giới hạn hàm số em - Phương pháp thực nghiệm Nhằm khẳng định biện pháp giúp đỡ học sinh thực hành giải toán đặc biệt giải toán giới hạn hàm số NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm - Các vấn đề tâm sinh lý Bộ GD-ĐT nghiên cứu cụ thể hóa khung phân phối chương trình cho chương IV – Đại số & giải tích 11 - Dựa vào mục tiêu dạy học nội dung giới hạn hàm số sách giáo khoa Đại Số Giải tích 11 - Dựa vào định nghĩa định lí giới hạn hàm số làm công cụ cho việc giải toán giới hạn hàm số 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tế giảng dạy, nhận thấy đa số học sinh ngại học phần giới hạn hàm số Mặt khác chất lượng đầu vào học sinh trường THPT mà công tác thấp nên kết học tập em phần cịn yếu Ngun nhân vấn đề là: kiến thức lớp bị hổng; khơng có phương pháp học tập, tự ti, rụt rè, thiếu hứng thú học tập Ở học sinh yếu mơn tốn có ngun nhân riêng, đa dạng Có thể chia số loại thường gặp là: + Do quên kiến thức bản, kỹ tính toán yếu + Do chưa nắm phương pháp học mơn tốn, lực tư bị hạn chế + Do lười học + Do thiếu điều kiện học tập điều kiện khách quan tác động, học sinh có hồn cảnh đặc biệt Cụ thể phần giới hạn hàm số học sinh không nắm vững phương pháp tìm giới hạn hàm số nên nhầm lẫn dạng toán thực phép toán tùy tiện Do hiểu khơng đầy đủ xác khái niệm giới hạn dẫn đến làm viết sai kí hiệu, khơng có kí hiệu lim, khơng có kí hiệu: kí hiệu lim Xác định rõ nguyên nhân học sinh điều quan trọng Cơng việc giáo viên có biện pháp để xố bỏ dần ngun nhân đó, nhen nhóm lại lịng tự tin niềm hứng thú học sinh việc học mơn Tốn TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ em, song song với việc bồi dưỡng học sinh giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu Tuy nhiên việc dạy tốt lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ đối tượng học sinh để học sinh yếu theo kịp với yêu cầu chung tiết học, học sinh không nhàm chán 2.3 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm A-KIẾN THỨC CƠ BẢN Các định nghĩa giới hạn hàm số: Định nghĩa 1: Cho khoảng chứa điểm trên Ta nói hàm số dần tới với dãy số hàm số xác định có giới hạn số bất kì, Kí hiệu: hay , ta có Định nghĩa 2: - Cho hàm số xác định khoảng giới hạn bên phải hàm số bất kì, , ta có Kí hiệu: - Cho hàm số xác định khoảng giới hạn bên trái hàm số bất kì, Số gọi với dãy số , ta có Số gọi với dãy số Kí hiệu: Định nghĩa 3: a) Cho hàm số có giới hạn , ta có Kí hiệu: b) Cho hàm số có giới hạn , ta có Kí hiệu: xác định khoảng với dãy số hay xác định khoảng với dãy số hay Định nghĩa 4: Cho hàm số hàm số có giới hạn , ta có Kí hiệu: Ta nói hàm số bất kì, Ta nói hàm số bất kì, xác định khoảng với dãy số hay Ta nói bất kì, TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Một số định lý giới hạn hàm số: Định lý 1: a) Giả sử Khi đó: b) Nếu và ( Dấu f(x) xét khoảng tìm giới hạn, với x ≠ x0 ) B- PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN Nhằm giúp đỡ học sinh học tốt phần giới hạn hàm số chương trình Nắm vững phân dạng loại tập giới hạn hàm, đảm bảo tốt kiến thức phần tập giới hạn hàm số kỳ thi học kì, thi đại học cao đẳng Trong trình nghiên cứu, tìm tịi tập giới hạn hàm số tơi nhận thấy có ba loại giới hạn là: LOẠI I: Giới hạn vô cực hàm số: LOẠI II: Giới hạn hàm số điểm: LOẠI III: Giới hạn bên hàm số: Lý chia giới hạn hàm số thành loại vì: Thứ nhất: Nếu chia nhiều loại, nhiều trường hợp học sinh khó tiếp thu, khó nhớ để vận dụng vào giải tập cách hiệu Thứ hai: Tơi khơng xét tính chất hàm số mà nhận dạng trường hợp cách nhìn vào giá trị mà x tiến đến (một điểm xác định, vô cực, hay giới hạn trái, giới hạn phải) Trong trường hợp nêu lại chia dạng tập định Sau khái quát trình giải tập giới hạn hàm số Giới hạn hàm số vơ cực trình bày trước tiên tiếp nối kiến thức giới hạn dãy số có nhiều dạng dạng tập giống giới hạn dãy số LOẠI I: Giới hạn vô cực hàm số: Dạng 1: → Dạng 2: Giới hạn vô cực → Dạng 3: TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com () Dạng 1: Phương pháp: - Đặt làm thừa số chung với lũy thừa có số mũ cao Chú ý coi , coi đưa vào bậc chẵn Ví dụ 1: Tính giới hạn sau: BÀI GIẢI: Lưu ý: - Ở nhiều học sinh không ý đến việc mắc sai lầm giải sau: - Ở nhiều học sinh không ý đến việc mắc sai lầm giải sau: - Ngồi học sinh cịn nhầm lẫn tập tốn tính giới hạn dạng mà ta làm dạng Bài tập tương tự TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Bài tập 1: Tính giới hạn sau Dạng 2: Phương pháp: - Chia tử mẫu cho với lũy thừa có số mũ cao tử mẫu Chú ý coi , coi đưa vào khỏi bậc chẵn Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: BÀI GIẢI: Lưu ý: - Ở nhiều học sinh không ý đến việc mắc sai lầm giải sau: coi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Bài tập ta biến đổi đưa dạng Lưu ý: - Ở nhiều học sinh không ý đến việc mắc sai lầm giải sau: giải: coi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Nhận xét: Khi tính giới hạn dạng mà đa thức ý số trường hợp sau: - Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn - Nếu bậc tử bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số lũy thừa có số mũ cao tử mẫu - Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn hệ số lũy thừa có số mũ cao tử mẫu dấu, kết hệ số lũy thừa có số mũ cao tử mẫu trái dấu Bài tập tương tự Bài tập 2: Tính giới hạn sau Dạng 3: Phương pháp: - Nhân (chia ) lượng liên hợp để đưa Ví dụ 3:Tính giới hạn sau: dạng: BÀI GIẢI TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lưu ý: - Không thể giải theo cách đặt làm thừa số chung với lũy thừa có số mũ cao dẫn tới dạng vơ định gây khó khăn nhiều cho học sinh Nếu ta giải tập theo cách kết là: - Tuy nhiên cần xem kỹ đề để đưa cách giải ngắn gọn xác áp dụng cách máy móc Chẳng hạn ví dụ sau ta khơng giải phương pháp nhân chia lượng liên hợp: Bài tập tương tự Bài tập 3: Tính giới hạn sau: Chú ý: Sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết làm trắc nghiệm giới hạn hàm số Tính giới hạn ta kiểm tra kết làm trắc nghiệm cách sử dụng máy tính cầm tay sau: TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Tính: ta nhập , sau bấm CALC Cần ý trường hợp sau để lấy kết xác - Nếu máy tính hiển thị kết quả: ( C số; số mũ lớn 10 ) kết giới hạn C số dương kết C số âm kết - Nếu máy tính hiển thị kết quả: ( C số; số mũ nhỏ -10 ) kết giới hạn Ví dụ ta kiểm tra kết ví dụ là: ta nhập hàm số cách thực quy trình bấm máy tính sau: ( ALPHA ) + ) + ALPHA ) ▼ ALPHA ) SHIFT x2 + ALPHA ) + hình máy tính cầm tay hiển thị: sau ta bấm: CALC kết là: Tuy nhiên dạng ta cần ý nhân chia lượng liên hợp rút gọn trước áp dụng bấm máy tính Ví dụ ta kiểm tra kết ví dụ là: phải nhân chia lượng liên hợp đưa nhập hàm số cách thực quy trình bấm máy tính sau: ALPHA ) ALPHA ) x2 + ▼ ALPHA ) + ALPHA ) + máy tính hiển thị: sau ta bấm: CALC kết là: TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 10 LOẠI II: Giới hạn hàm số điểm: Dạng 1: Dạng 2: Giới hạn điểm Dạng 3: Dạng 1: Phương pháp: Thay trực tiếp vào biểu thức Kết luận: Ví dụ 4: Tính giới hạn sau BÀI GIẢI Bài tập tương tự Bài tập 4: Tính giới hạn sau Dạng 2: Tính nhẩm dạng cách thay Ta thấy , nên vào lúc có dạng Phương pháp: - Phân tích ước , xuất nhân tử chung dạng để giản - Có thể sử dụng lược đồ Hooc-ne để phân tích đa thức thành nhân tử - Nếu , biểu thức chứa nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 11 Ví dụ 5: Tính giới hạn sau BÀI GIẢI Bài tập tương tự Bài tập 5: Tính giới hạn sau Dạng 3: (với Ta thấy ) Tính nhẩm thay , nên vào lúc có dạng Phương pháp: Bước 1: Tính (với ) Bước 2: : Tính xét dấu biểu thức Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận L>0 v(x) > L>0 v(x) < L L