Bài tập Toán cao cấp (dùng cho các ngành Kinh tế - Quản trị): Phần 2 gồm có 4 chương như sau: Chương 5 tích phân, chương 6 hàm nhiều biến, chương 7 phương trình vi phân, chương 8 ứng dụng của giải tích trong kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo.
Trang 1Chương Ÿ TÍGH EHÂM ¢ TICH PHAN BÁT ĐỊNH | A TOM TAT LY THUYET 1 Dinh nghia + Hàm F được gọi là nguyên hàm của hàm £ trên khoảng mo X, néu F(x)=f(x), VxexX
+ Tập hợp mọi nguyên hàm của f trên khoảng mở
Trang 3— a +x a a 3 | o =m a?~x? 2a atx +C (a>0) a-X 14 le = aresin—+C (a> 0) =m|x+xx”+k|+C &eR) lã A j dx V¥x?+k 16 [area ẽ= + Sine ee? +€ : 2
17 [ Web aiFax = 2 Wax? +5 aresin 7+ a (a>0) 4 Phương pháp đối biến số trong tích phân bất định
Khi gặp bài tốn tích phân mà hàm số đưới dấu tích phân
so voi dang co ban chỉ thấy khác nhau ở chỗ: biến số cĩ nhân thêm hệ số hoặc sai khác hằng số, ta dùng phương pháp đơi
biến số sau đây:
e Nếu x=oŒ) trong đĩ hàm o(£) là hàm đơn điệu, khả
vi liên tục theo biến t Khi đĩ cơng thức đổi biên là:
[£œ)«x = [fIe(Œ)].e @)át
e Nếu u=(%) khả vi liên tục thì:
[fIwG]w'()áx = [£(0)du
Trang 4Bài tập Tốn Cao cấp dành cho Kinh tế và Quản trị
5 Phương pháp tích phân từng phân trong tích phân bất định
Áp dụng cơng thức
[udv a uv—f vdu
với u=u(x), v= v(x) là các hàm khả vi liên tục theo x
Chú ý:
+ Nhờ cơng thức tính tích phân từng phần, việc lẫy tích phân
Í sdv được đưa về tích phân khác ƒ vdu, do đĩ tích phân sau phải
đơn giản hơn tích phân ban đầu hoặc chúng cùng dạng với nhau Vì vậy cần phải chọn hàm u sao cho đạo hàm của nĩ đơn giản hơn, cịn dv là phần cịn lại của biểu thức dưới dẫu tích phân mà tích phân của phần này hoặc là đã biết hoặc cĩ thể tìm được
+ Đối với các tích phân dạng
Ị P(x)e”dx, Ị P(%x)sin axdx, Ị P(x)cos axdx,
trong đĩ P(x) là đa thức cla x, thi nén chon u=P(x), con dv tương Ứng là các biểu thức e“dx,sinaxdx, cosaxdx
Trang 9- udu - du way: | fy =>A = 2aretgŠ +C= ^arctg Ý25—® „C `3 3 3 3 f Ta biến đổi: x*+2x?+5=(x? + +4
Đặt u=x?+l — du=2xdx > nie =
Trang 12Bài tập Tốn Cao cấp dành cho Kinh tế và Quản trị dv=dx chọn v=x Do đĩ: A, = x.cos(inx)+A, Ta cĩ hệ phương trình: A, =xsin(Inx)—A, |A, =x cos(Inx)+A,
Giải ra, ta được
A¿= F [sinc x)—cos(In x)]+C
A,= 5 [sind x)+cos(in x)]+C
Trang 132 Tính các tích phân bất định sau đây
2 —2z 2z
a | z*e dz b fe COS zđZ
In snz 3 { +°arctgz da
sin’? z l vil
TICH PHAN XAC ĐỊNH A TOM TAT LY THUYET
1 Dinh nghia
Giả sử hàm f(x) xác định trén doan [a,b]
+ Phân hoạch [a, b] thành n phần tùy ý bằng các điểm chia
a=X,<X,< <x,, <x,=b
Trên tửng đoạn [x,¡,x;], ta chọn một điểm š, tùy ý và
tìm chiều đài của từng đoạn đĩ Ax, =X¡ T—Xị¿¡ (= 1,n)
+ Tổng tích phân của hàm số f(x) trên đoạn {a,b] là tổng cĩ
dạng S, => f(&)Ax =f(&)Ax,+f(&,)Ax;+ +f(É,)AX,
+ Nếu tổn tại giới hạn hữu hạn
I=limS, (2 =max {Ax,5i =In])
và giới hạn đĩ khơng phụ thuộc vào phép phân hoạch đoạn [a,b] và cách chọn điểm š, thì s6 I được gọi là (ích phân xác
b
dinh cia ham † trên đoạn [a,b] và ký hiệu là: 1= |f(đx
Trang 14Bài tập Tốn Cao cấp dành cho Kinh tế và Quan trị
Nếu f cĩ tích phân xác định trên [a,b] thi ta nĩi f khả tích
trên [a,b]
b
+ Nếu f(x)>0 trên [a,b] thì tích phân I= Ỉ f(x)dx là
điện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y=f(x); X=a; x=b; y=0
Trang 153 Hệ quả + Nếu f là hàm liên tục trên đoạn [a,b], thì - [eax <ÌÌrxje& + Nếu f liên tục trên doan [a,b] va m<f(x)<M, Vxe[a,b] Thì: m(b~a) < |f(x)dx <M(b-a) 4 Những quy tắc tính tích phân xác định
e Định lý (đạo hàm dưới dấu tích phân):
Nếu hàm số f(%) liên tục trên [a, b] thì hàm số
È(x)= J £(t)dt, 1a mot nguyén ham cia f(x) trén [a,b] -
Chú ý: Theo định lý trên thi hàm dưới dấu tích phân, phải là một hàm liên tục Đặc biệt cần chú ý đến Sự biểu diễn của ham ở, cận dưới là hang số, cận trên là biến số x
O(x) = fe (t)dt => 6'(x) = f(x) Vx €(@, b)
ox) :
+ Trường hợp ở(x) = { f(t)dt thi (x) =flo(x)jo'x)
Trang 16Bài tập Tốn Cao.cấp dành cho Kinh tế và Quản trị
e Cơng thức Newton — Leibnitz:
Cho hàm f{x) liên tục trên đoạn [a,b] và cĩ nguyên hàm F(x) cũng liên tục trên đoạn [a,b] Thi
fc = F(x)!’ =F(b)-F(a) (1)
e Phương pháp đổi biến số:
b B
ƒ£@«x=[?[e()]e'(9át
| trong d6 x=o(t) là hàm kha vi trên đoạn [a,B] sao cho a=Q(a), b=o(P) va a<@(t)<b, Vteja,B]
e Phương pháp tích phân từng phần:
b b
[ậv = uv, — [vdu
trong dé: u=u(x), v= v(x) kha vi trén doan [a,b]
Nếu hàm f là hàm lẻ trên [—a,a] nghĩa 1a:
f(x) =—f(x), Wx e[-a,a] thì f f(x)dx=0
Nếu hàm f{x) là hàm chẵn trên [—a, a], nghĩa là: f(—-x) = f(x), Wxe[-a,a] thì Ỉ f(x)dx= aft (x)dx
Trang 17e Hàm khả tích:
- Điều kiện cần: Hàm f khả tích trên [a,b] thì bị chặn trên
đoạn đĩ
- Điều kiện đủ:
+ Nếu f liên tục trén [a,b] thì f khả tích
+ Nếu f bị chặn trên [a,b] và chỉ cĩ một số hữu hạn
Trang 18Bài tập Tốn Cao cấp dành cho Kính tế và Quản trị Giải: Miền giá trị của f trên [0,1] chỉ cĩ hai giá trị 0 và l nén f(x) bi chan trén [0,1] e Ta chia [0,1] bởi phép phân hoạch đều: Ư =xo xi x2 < < Xa = Ì Trên mỗi đoạn [x,;,x,] nếu chọn É, là số hữu tỉ thì tổng tích phân là Sa = 1 Do đĩ limS, =1
e Ta chia [0,1] bởi n điểm chia 0 = xo < Xi< X¿ < < Xn = 1 Trên mỗi đoạn [x,,,x,] nếu chọn É, là số vơ tỉ thì tổng tích phân là S„ = 0 Do đĩ limS, =0 Suy ra limS, khơng tồn tại -
Vậy f{(x) khơng khả tích trên [0,1]
Trang 19Bài 4: Tính đạo hàm at a — |sinx”dx dx $ b b a sin x?dx đa Š d-, 2 Cc — | sin x*dx db: Giai: b a Vi [sinx°dx là một hằng số, nên đạo hàm của nĩ bằng 0 a d* 3 Vay —|sinx“dx =0 By and , d ? b Đạo hàm theo biên a, ta cĩ: da [sin x?dx = —sin a” b
c Tương tự £ [sin x?dx = sin b” do
Bai 5: Tinh dao ham
d*
2 [viet
Trang 22Bài tập Tốn Cao cấp dành cho Kinh tế và Quản trị „Ì = 2lim— xa Dy =0 Bài 7: Tính các tích phân xác định sau day , m4 dx * i =| cos? x 2 # b I, =|[l-x|dx 9 Giải: Áp dụng cơng thức Newton — Leibnitz 1/4 dx a Ta cĩ: Ỉ soya —— la cos’ X 3
b Chia tích phân của hàm đã cho trên [0, 2] thanh tơng của các tích phân trên đoạn [0,1] và H „2] trên mỗi đoạn ấy hàm đưới
Trang 27¢ TICH PHAN SUY RONG A TOM TAT LY THUYET
1 Tích phân suy rộng cĩ cận vơ hạn
e Nếu hàm y = f{x) xác định khi a<x<+eo và khả tích trên
mỗi đoạn hữu hạn a<x<X, VX>a thì theo định nghĩa, tích
phân suy rộng của hàm số f trên [a,+œ] được xác định bởi đẳng thức sau đây: lo = Jim [#@9éx (1) Néu khi X—> +00, ham F(X)=[f(x)dx cé gidi han hiru han, +œ m= thì ta gọi { f(x)dx 1a A6i tw Néu ƒ f(x)dx khơng hội tụ thi ta a / a
goi tich phan suy rong trén 1a phan kp
e Tương tự: Ỉ f(x)dx = jim f ex)dx
+o 9 x
ƒ f(x)dx= lim i f(x)dx+ Jim {fax
—= x 0
2 Tích phân suy rộng của những hàm số khơng bị chặn
e Nếu ham sé f(x) giới nội và khả tích trên mỗi đoạn [a+e,b], Ve>0 và lim |f(x)|=+e, ta định nghĩa:
b 5
[f@œ)4x= lim F() = lim [f@Jdx (2)
ate
Trang 28Bài tập Tốn Cao cấp dành cho Kính tế và Quản trị
Nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn thì tích phân (2) được gọi là hội tụ, ngược lại nĩ được gọi là phân kỳ
e Nếu hàm số f{x) giới nội và khả tích trên mỗi đoạn [a,b—e],
Ve>0 và lim |f@|= +eo, ta định nghĩa :
{ f(x)dx = lim F(e) = lim [ £G0¢x @)
Nếu giới hạn nảy tổn tại hữu hạn thì tích phân (3) được gọi là
hội tụ, ngược lại nĩ duge goi 1a phan ky
e Nếu hàm f(x) cĩ gián đoạn loại hai tại điểm c của đoạn [a,b]
và liên tục khi a<x<c và c<x<b, thì theo định nghĩa người ta đặt :
Jena = im I F(x)dx+ lim i f{x)dx (4)
c+t;
b
Tích phân suy rộng Ị f(x)dx (trong đĩ f{c) = œ,a<c<b)
được gọi là hồi #¿ nếu tổn tại cả hai giới hạn ở về phải của (4)
và phân kÿ nêu khơng tơn tại dù chỉ một trong các giới hạn đĩ
Trang 31I > +, z a ~ dx Bai5: Tinh tich phan suy rong I= (= x 0 Giai:
Trang 35Chương VI
HAM NHIEU BIEN
A TOM TAT LY THUYET I Miền xác định của ham
Cho tập hop khac rong D va DCR" Một anh xa di tt
D vao R được gọi là hàm n biến
Ký hiệu: D ———> Rhay f: D->Đ
* Tập hợp D gọi là ¿áp xác định của f
* Giá trị của u =f(x,,Xa, x„) tại điểm M, (x?, x3 Xã)
được ký hiệu là f(x†,x$, x)) hoặc f(M,)
If Đạo hàm riêng
Giả sử hàm u=f(%x,,xạ ,x„) xác định trong tập mở D, M,(x?,x?, x9) là một điểm thuộc D Đặt:
Au _ £(X9, 0.52), 5) FAX) Xie RITE xe
Ax, 1 AX 1
Nếu lim ^Ủ., <i<n) tồn tại hữu hạn thì giới hạn này ˆ ; 4x0 Ax
gọi là đạo hàm riêng của ham u=f(x,,x,, %,) tai M, theo
biên x, và ký hiệu:
Trang 36Bài tập Tốn Cao cấp dành cho Kinh tế và Quan trị
9u Of
—— ›—- ơx, "ơx, ` , fi
ơu , Au
âv: ——= — <
Vậy: fim, * (i<i<n)
Việc tính đạo hàm riêng, thực chất là tính đạo hàm của
hàm một biến (khi ta xem các biến số kia là hằng số) 1H Đạo hàm riêng cấp cao
e Đạo hàm riêng của a theo biến x, Œ&=l,n) tức là
i
a aay Ou { & «13 dan haem tino of
biểu thức: ——| —— |, được gọi là đạo hàm riêng cầp OX, \ OX;
hai của u theo biến x,, x, và ký hiệu bằng một trong ou những g ky ký hiệu sau: ° 8x OX, , ur Xe 1 Tương tự ta cĩ thể định nghĩa đạo hàm riêng cấp cao hơn _ cập hai
e Nếu hàm f cĩ các đạo hàm riêng đến cấp n liên tục tại điểm M, thì đạo hàm hỗn hợp cấp n tùy ý tại điểm M khơng phụ thuộc vào thứ tự của các biến được lây đạo hàm riêng
IV Dao ham ham hợp
Nếu u =(x,,X¿, X„), Xị =;(t,,t; Ea}; (Gi=1,n) cu OS Gu OX,
khả vi thi: —=)'———_ vi at, Sf Ox, ot, (k (k=1,2 =1,2, ,.m)
Trang 37V Vi phân cấp 1 và cấp 2
Cho z=f(x,y) cĩ các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục, ta cd
vi phân cấp 1 và vi phân cấp 2 của f lân lượt như sau: dz=f dx +f dy đ°z=fˆ dx? +2f, dxdy +£, dy? VI Cực trị của hàm nhiều biến 1 Hàm lỗi, hàm lõm i) Tap lỗi: Cho DC R° D được gọi là záp lơi nêu Vx,x'eD, VÀ e(0,1)=^x+(1—^)x'e<D ii) Ham sé y=f(x) goi la 1éi ngat todn cục trên tập lồi DcR nêu
f (Ax+(1-A)x') <Af(x)+(I-4)f(x'), Vx,x'eD, VA (0,1)
hoặc nếu tại mọi điểm (x,,y,), tiếp tuyến với đồ thị nằm hồn
tồn phía dưới đề thị (đối với các bài tốn kinh tê thường gặp)
iii) Hàm số y=f(x) gọi là lðm ngặt tồn cục trên tập lồi ˆ DcRnéu
f(Ax+(1-2)x')> f(x)+-^)f(x) Wx,x'eR, VA e(0,1)
hoặc nếu tại mọi điểm (x,,y,), tiếp tuyến với để thị nằm hồn tồn phía trên đồ thị (đối với các bài tốn kinh tế thường gặp)
iv) Ham sé z=f(x,y) gọi là lơi ngặt tồn cục trên tập lồi
DcR nếu
f(AX+(-^A)X)<^f(X)+(-^)f(X').vX,X eD,v^.e(0,1)
Trang 38Bai tập Tốn Cao cấp dành cho Kinh tế và Quản trị
hoặc nếu tại mọi điểm (x,,y,,z„) tiếp diện với đồ thị nằm hồn
tồn phía dưới đơ thị (đơi với các bài tốn kinh tế thường gặp) v) Ham sé z=f(x, y) gọi là lõm ngặt tồn cục trên tập lồi
Dc R? néu
£(2X+(1-A)X') > Af (X)+(1-A)£(X’), VX, X' ED, V2 (0,1)
hay nếu tại mọi diém (x,,y,,z,) tiép điện với đồ thị năm hồn
tồn phía trên đồ thị (đối với các bài tốn kinh tê thường gặp) vi Hàm số z=f(x,y) gọi là /ổi zồn cục trên tập lồi , DCR nếu
f(AAX+(-^)X)</ŒQ)+(~^)f(X).vxX.X eD,VA e(0,1) vi) Hàm số z=f(x,y) gọi là iðm tồn cục trên tập lồi
DcRˆ nếu
f(^X+(-^)X)>2ƒ(X)+(-^)f(X) vX.X' «D,v2 e(0,1)
2 Cực trị địa phương, cực trị tồn cục của hàm số thực theo
một biến số thực
Xét ham s6: y=f(x), xeDCR
» Hàm số f gọi là đạt cực đại địa thương tại x, 6D nếu: 3e>0: Vx €(x,T—s, x,+e)SD:f(x)<f(%,)
e Ham sé f goi là đạt cực tiểu địa phương tại x, nếu:
Fe > 0: Vx E(x, ~e, x, +2) OD: f(x) 2f(x,)
Trang 39e© Hàm số f gọi là đạt cực đại tồn cục trên D tại x, nếu: VxeÐD, £(x)<f(x,)
e Hamséf goi 1a dat cuc tiéu toan cuc trên Dtai x, néu: VxeD, f(x)>f(x,)
Chú ý: |
- Một cực trị địa phương khơng chắc là cực trị tồn cục
- Khơng phải hàm sơ nào cũng cĩ cực trị tồn cục
- Trong các ứng dụng kinh tế, hầu hết các hàm số chỉ cĩ -
một cực trị địa phương duy nhật và đĩ cũng là cực trị tồn
cục
- Trên tập lồi DC'R, đối với các bài tốn kinh tế thường
gap ta cd:
+ Néu f"(x) >0, VxeD thi f lồi ngặt tồn cục trên D Khi đĩ, một điểm cực tiểu địa phương cũng là cực tiểu
tồn cục trên D
+ Néu f"({x) <0, Vx eD thi f lõm ngặt tồn cục trên D Khi đĩ, một diém cuc dai địa phương cũng là cực đại tồn cục trên D
3 Cực trị địa phương, cực trị tồn cục của hàm số thực theo hai biến số thực
Xét hàm số z=f(x,y), (x,y)Dc R” Đặt
B(G,,y„)„£) =l&»)[(x-x.} +-y,} |” cele >0
Trang 40Bài tập Tốn Cao cấp dành cho Kinh tế và Quản trị
e Hàm số f gọi là đạt cực đại địa phương tại (x„.y„)< D nếu
3e>0: V(x,y} <B((x,,y,);e)Ð:f(x, y)Sf(x,,y,)
e Hàm số f gọi là đạt cực tiểu địa phương tại (x„,y„) D nếu
3e>0: V(x,y)e B((x,.y„),e)(\D:f(x,y)>f (x¿.y,)
e Hàm số f gọi là đạt cực đại tồn cục tại (x V,) ED nếu:
W(x, y) eD,f(x, y)< f(x,, Yo)
e Hàm số f gọi là đạt cực tiểu tồn cục tại (X Y,) cD nếu:
v(x,y)<D,f(x,y)>f(x,.y,)
Các chú ý ở trường hợp hàm một biến vẫn đúng cho trường hợp hai biến
© Điều kiện cần của cực trị địa phương (điều kiện cấp 1): Nếu hàm f đạt cực trị địa phương tại (xo, yo) và f cĩ các
đạo hàm riêng tại (xo, yo) thì
f (Xoo) =f, (Xp,Ơ9) =0
â iu kin của cực trị địa phương (điều kiện cấp 2)
Nhắc lại: Cho z=f(%x,y) cĩ các đạo hàm riêng cấp 2 liên
tục, ta cĩ vi phân cấp 1 và vi phân cấp 2 của f lần lượt như sau: dz=£jdx+fldy
27 = £,,dx’ + 26 dxdy+f dy”