BÀI tập TÓAN CAO cấp DÀNH CHO KINH tế và QUẢN TRỊ _UEH

Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế LỜI NĨI ĐẦU Sách “Bài tập Tốn Cao Cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế” cung cấp tảng Toán học cho sinh viên khối ngành thương mại – kinh tế – quản trị – tài chính, nhằm phục vụ cho mơn chun ngành Cuốn sách giúp sinh viên biết cách vận dụng kiến thức học để giải tập, giúp sinh viên nắm vững số kiến thức ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính, hàm biến, hàm nhiều biến, tích phân, phương trình vi phân ứng dụng đạo hàm kinh tế đời sống,… Mơn Tốn giúp người học có cơng cụ để tính tốn Từ kết tính tốn, người học phân tích, tổng hợp, kết luận đưa định Ngoài ra, mơn Tốn cịn giúp người học có khả tư tốt, biết cách lý luận chặt chẽ, có phương pháp quan sát tồn diện tinh tế Năng lực Toán học khả cần thiết để nghiên cứu sâu ngành khoa học khác, đặc biệt kinh tế Do đó, việc học toán giúp sinh viên khối ngành thương mại – kinh tế – quản trị – tài nâng cao lực cạnh tranh hội nhập Trong vài chục giải Nobel Kinh tế gần đây, có khoảng 10 giải Nobel Kinh tế trao cho nhà Kinh tế học mà xuất thân họ nhà Tốn học Vì thời gian dành cho mơn học nhà trường q ít, nên để học tốt môn học này, sinh viên cần phải dành nhiều thời gian để tự học, đọc thật kỹ tài liệu học theo nhóm Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế Dù cố gắng, không tránh khỏi nhiều thiếu sót Chúng tơi thành thật mong muốn góp ý quý độc giả Nhóm biên soạn, năm 2018 (Nguyễn Thanh Vân – Đào Bảo Dũng) Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương I: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Chương II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH & ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ 53 Chương III: HÀM MỘT BIẾN GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 99 Chương IV: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN 122 Chương V: TÍCH PHÂN 167 Chương VI: HÀM NHIỀU BIẾN 201 Chương VII: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 224 Chương VIII: ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH TRONG KINH TẾ 248 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế Chương I MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT I Định nghĩa ma trận & phép toán ma trận Định nghĩa ma trận Ma trận A có cấp (cịn gọi kích thước) m  n bảng số số thực, xếp thành m dịng n cột có dạng  a11 a12  a a 22 A   21 L L   a m1 a m2 Cho ma trận A   a ij  mn L L L L a1n   a 2n   (a ij ) mn L   a mn  , B   bij  mn Khi đó: A mn  Bmn  a ij  bij , i  1, m j  1, n Các loại ma trận - Ma trận Omn ma trận gồm toàn số - Ma trận vuông: ma trận mà số dòng số cột Ta thường gọi số dòng ma trận vuông cấp ma trận Khi đó, đường chéo nối phần tử a11 , a 22 , …, a nn gọi đường chéo ma trận Bài tập Tốn Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế vuông Khi đó, vết ma trận vng tổng tất phần tử đường chéo - Ma trận tam giác trên: ma trận vuông mà phần tử đường chéo bằng0 - Ma trận tam giác dưới: ma trận vuông mà phần tử đường chéo bằng0 - Ma trận đường chéo: ma trận vuông mà phần tử khơng thuộc đường chéo bằng0 - Ma trận đơn vị: ma trận đường chéo mà phần tử thuộc đường chéo bằng1 - Ma trận chuyển vị A   a ij  mn AT   a ji  n m Phép cộng hai ma trận A   a ij  mn , B   bij  A  B   a ij  bij  mn mn Phép nhân ma trận với số thực k.A   k.a ij  mn (k  ¡ ) Tính chất: Cho A, B, C ma trận cấp m  n ,  ¡ Khi đó: i A  B  B A ii (A  B)  C  A  (B  C) iii A  O  O  A với O  (0)mn Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế iv A  (A)  O với A  (a ij ) mn (còn gọi ma trận đối A) v (A  B)  A  B vi (  )A  A  A vii ()A  (A) viii 1.A  A ix  A   B  T   A T   BT Phép nhân hai ma trận Cho ma trận A   a ij  Thì: A.B   cij  mp , B   bij  pn p mn với cij   a ik b kj , i  1, m, j  1, n k 1 Tính chất: Cho Dkm , A mn , Bmn , Cnp Khi i (DB)C  D(BC) ii (A  B)C  AC  BC iii D(A  B)  DA  DB iv Im Amn  A v Amn In  A vi (BC)T  CT BT Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế II Định thức Cho ma trận vuông cấp n:  a11 a12  a a 22 A   21 L L   a n1 a n a1n   a 2n   (a ij ) nn L   a nn  L L L L Định thức ma trận A ký hiệu A hay det(A) xác định sau: (i) n  , ta định nghĩa: A  a11  a11 (ii) n  2, đặt A ij   1 M ij , gọi phần bù đại số i j a ij A , M ij định thức bù a ij A (chú ý M ij định thức cấp n  có từ A cách bỏ dòng thứ i cột thứ j A ) Khi đó: A = a i1Ai1  ai2 Ai2  L  ain Ain (khai triển theo dòng i) = a1jA1j  a j A2 j  L  a nj Anj (khai triển theo cột j) Một số tính chất thường dùng: i A  A T với A ma trận vuông ii Định thức đổi dấu đổi chỗ hai dòng với định thức 10 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế I I I Điểm dừng M  ; 1, 05 ;1, 05  2 2 Điều kiện đủ  0   Ma trận Hess biên: H      1  1, 05   1     1, 05      Ta có H1  1  1  1 H2  H  0 1, 05 C1  0,C2  0,   C1  0,C2  0,   Vậy hàm U(C1 ,C2 ) đạt cực đại toàn cục I  * C1  C1   C  C*  1, 05 I  2 Bài (cực tiểu hóa chi phí): Giả sử xí nghiệp cần xác định lượng lao động L, lượng vốn K để cực tiểu hóa chi phí C(L, K)  wL  rK 262 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế w = 400 tiền lương cho lao động, r = 0,01 lãi suất vốn vay Giả sử xí nghiệp phải sản xuất Qo = 1000 đơn vị sản phẩm hàm sản phẩm là: Q(L, K)  LK Giải: Điều kiện ràng buộc Q0  L1/2 K1/2 Hàm Lagrange toán: F(L, K, )  wL  rK    Q  L1/2 K1/2  Điều kiện cần FL   Xét hệ phương trình: FK  F    1/2 1/2  w  L K      r  L1/2 K 1/2   Q0  L1/2 K1/2     K (800)  L  2   L (0, 02)    2 K  LK  106   263 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế L     K  200000     Điểm dừng M  5, 200000, 4 Điều kiện đủ Ma trận Hess biên:  3/2 1/2  L K  H    L1/2 K 1/2     L1/2 K1/2   L1/2 K 1/2 1/2 3/2 L K  L1/2 K 1/2   L1/2 K1/2   1/2 1/2   L K     Ta có 3/2 1/2 L K H1   L1/2 K1/2  L1/2 K1/2   L1K H  H   L1/2 K 1/2 Vì H1  H  với L, K,   nên hàm chi phí L  L*  C(L, K) đạt cực tiểu toàn cục khi:  * K  K  200 000 264 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Hàm chi phí C(q)  3q2  75q  36q ln q  135 với q mức sản lượng a Tính chi phí biên b Tìm q để chi phí trung bình C(q)  C(q) đạt giá trị q nhỏ c So sánh giá trị chi phí biên giá trị chi phí trung bình C(q) đạt giá trị nhỏ Giả sử hàm lợi nhuận xí nghiệp sản phẩm   R  C  T  P.Q   cQ  tQ  f  P  12  3Q đơn giá bán, c  chi phí đơn vị sản phẩm, f  định phí độc lập sản lượng Q Hãy tìm sản lượng Q cho xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa định mức thuế t đơn vị sản phẩm để thu xí nghiệp nhiều thuế Giả sử hàm lợi nhuận xí nghiệp sản phẩm   R  C  T  P.Q   cQ  tQ  f  P  10  Q đơn giá bán, c  chi phí đơn vị sản phẩm, f  định phí độc lập sản lượng Q Hãy tìm sản lượng Q cho xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa 265 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế định mức thuế t đơn vị sản phẩm để thu xí nghiệp nhiều thuế Một hãng có hàm lợi nhuận   P.Q(L)  C(L) với P đơn giá bán, Q(L)  100 L hàm sản xuất C(L)  2500L  1000 hàm chi phí, L lượng lao động a Khi P  200 , tìm L để hãng có lợi nhuận tối đa b Khi L tăng thêm 1% mức sản lượng hãng tăng (hay giảm) phần trăm? Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm với mức sản lượng Q Hàm lợi nhuận doanh nghiệp   P(Q).Q  C(Q) C(Q) hàm tổng chi phí doanh nghiệp Gọi Q0 , P0 mức sản lượng đơn giá bán doanh nghiệp có lợi nhuận lớn Chỉ số Lerner dùng để biểu thị quyền lực độc quyền doanh nghiệp, ký hiệu L có cơng thức L L  MC(Q )   0,1 P0 a Chứng minh rằng: P0  MC(Q )  D ,  D D  D (P0 ) hệ số co dãn cầu giá P0 b Chứng minh rằng: L   266  D (P0 ) Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế Một công ty sản xuất độc quyền Cho biết hệ số co dãn cầu theo giá 2 chi phí biên cơng ty 20 (đơn vị tiền) đơn vị sản phẩm a Tìm mức đơn giá P để cơng ty có lợi nhuận tối đa b Khi MC tăng 10% mức đơn giá tăng hay giảm phần trăm? c Hãy tính số Lerner cơng ty Một xí nghiệp thị trường cạnh tranh hồn hảo có hàm tổng chi phí TC(Q)  VC(Q)  FC(Q) với Q mức sản lượng xí nghiệp này, VC(Q)  Q2  180Q chi phí biến đổi (cịn gọi biến phí) FC(Q)  140000 chi phí cố định a Khi P  1200 , tìm mức sản lượng Q để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa b Mức giá hòa vốn định nghĩa mức đơn giá bán tổng chi phí trung bình thấp Hãy tìm mức giá hịa vốn xí nghiệp c Mức giá đóng cửa định nghĩa mức đơn giá bán biến phí trung bình thấp Hãy tìm mức giá đóng cửa xí nghiệp Hàm lợi nhuận công ty sản phẩm   R  C  P.Q  (wL  rK) R doanh thu, C chi phí, L lượng lao động, 267 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế w  tiền lương lao động, K tiền vốn, r  0,03 lãi suất tiền vốn, P  đơn giá bán Q hàm sản xuất Cobb-Douglas: Q  L1/3K1/3 Hãy tìm L , K cho công ty đạt lợi nhuận tối đa Hàm lợi nhuận công ty sản phẩm   R  C  P.Q  (wL  rK) R doanh thu, C chi phí, L lượng lao động, w  tiền lương lao động, K tiền vốn, r  0,03 lãi suất tiền vốn, P  10 đơn giá bán Q hàm sản xuất Cobb-Douglas : Q  L1/3K1/3 Hãy tìm L , K cho cơng ty đạt lợi nhuận tối đa 10 Cho hàm lợi nhuận  phụ thuộc theo đơn giá P , sản lượng 1 Q  L K , lượng lao động L , lương lao động w , lượng vốn K , lãi suất vốn vay r sau   PQ  wL  rK Với w  2, r  0,02 , P  Tìm L K để  đạt max 11 Giả sử xí nghiệp sản xuất loại sản phẩm tiêu thụ hai thị trường tách biệt Giả sử đơn giá bán thị trường thứ P1  , đơn giá bán thị trường thứ P2  Hàm tổng chi phí xí nghiệp là: C  Q1 ,Q2   Q12  Q1 Q2  Q22  t.Q2 với Q1 , Q2 lượng hàng bán thị trường thị trường t  chi phí tăng thêm đơn vị sản 268 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế phẩm thị trường Hãy tìm lượng hàng phân phối thị trường cho xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa 12 Giả sử xí nghiệp sản xuất loại sản phẩm tiêu thụ hai thị trường tách biệt Giả sử đơn giá bán thị trường thứ P1  , đơn giá bán thị trường thứ P2  Hàm tổng chi phí xí ngiệp là: C  Q1,Q2   2Q12  Q1 Q2  Q22  t.Q2  với Q1 , Q2 lượng hàng bán thị trường thị trường t  chi phí tăng thêm đơn vị sản phẩm thị trường Hãy tìm lượng hàng phân phối thị trường cho xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa 13 Giả sử hàm lợi ích hai sản phẩm là: U(x, y)  ln x  ln y x lượng hàng thứ nhất, y lượng hàng thứ hai Giả sử người tiêu dùng có thu nhập 10 phải dùng hết để mua hai sản phẩm trên, P1  P2  đơn giá hai mặt hàng thứ thứ hai Tìm x y để cực đại hóa U(x, y) 14 Giả sử hàm lợi ích hai sản phẩm là: U  x, y   ln x  ln y x lượng hàng thứ nhất, y lượng hàng thứ hai Giả sử người tiêu dùng có thu nhập 12 phải dùng hết để mua hai sản phẩm trên, P1  P2  đơn giá hai mặt hàng hàng thứ thứ hai Tìm x y để cực đại hóa U(x, y) 269 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế 15 Giả sử hàm lợi ích phụ thuộc vào số tiền tiêu dùng hai thời kỳ thời kỳ C1 C2 sau: U(C1 ,C2 )  C1C2 Giả sử lãi suất sau thời kỳ thứ r = 4%, tổng thu nhập C C thời kỳ thứ 10 Giả sử ta có ràng buộc C1   10 ( 1 r 1 r thời giá C2 thời kỳ thứ 1) Hãy tìm C1, C2 để cực đại hóa hàm lợi ích U(C1 ,C2 ) 16 Một cơng ty có ngân sách quảng cáo hàng tháng 24000 (USD) Bộ phận tiếp thị ước tính x (USD) chi tiêu tháng cho quảng cáo báo y (USD) chi tiêu tháng cho quảng cáo truyền hình doanh thu công ty R(x, y)  40x y Cho biết lợi nhuận công ty (x, y)  20%R(x, y)  C(x, y) với C(x, y) chi phí quảng cáo Bằng phương pháp nhân tử Lagrange, tìm x y để cơng ty có lợi nhuận tốt 17 Một xí nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm tiêu thụ hai thị trường tách biệt Biết hàm cầu loại sản phẩm thị trường QD1  780  2P1 QD2  480  P2 hàm tổng chi phí C  Q2  20Q  10 Qi (i  1, 2) lượng hàng xí nghiệp phân phối cho thị trường thứ i Tìm mức sản lượng lượng hàng phân phối thị trường loại sản phẩm để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa 270 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế 18 Một xí nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm tiêu thụ hai thị trường tách biệt Biết hàm cầu thị trường QD1  310  P1 ; Q D2  235  P2 hàm tổng chi phí C(Q)  Q2  30Q  20 với Q  Q1  Q2 Qi (i  1, 2) lượng hàng xí nghiệp phân phối cho thị trường thứ i a Tìm mức sản lượng lượng hàng phân phối cho thị trường để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa b Tìm mức sản lượng lượng hàng phân phối cho thị trường để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa xí nghiệp sản xuất 80 đơn vị sản phẩm 19 Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm Biết hàm cầu hai loại sản phẩm là: QD1  1800  2P1  P2 ; QD2  2160  P1  P2 hàm tổng chi phí C(Q1 ,Q2 )  720Q1  1060Q2  800 Tìm mức sản lượng loại sản phẩm để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa 20 Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm tiêu thụ thị trường Biết hàm cầu hai loại sản phẩm thị trường QD1  800  2P1  P2 ; QD2  960  P1  P2 271 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế hàm tổng chi phí C(Q1 ,Q2 )  320Q1  250Q2  300 Pi , Qi (i  1, 2) đơn giá mức sản lượng mặt hàng thứ i a Tìm mức sản lượng loại sản phẩm để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa b Tìm mức sản lượng loại sản phẩm để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa với điều kiện hạn chế chi phí C  166700 21 Giả sử hàm chi phí xí nghiệp C(L, K)  wL  rK w  800 tiền lương cho lao động, r  0,02 lãi suất vốn vay Giả sử xí nghiệp cần xác định lượng lao động L, lượng vốn K để cực tiểu hóa chi phí Nếu xí nghiệp phải sản xuất Qo = 1000 đơn vị sản phẩm hàm sản phẩm Q  L1/2 K1/2 L, K bao nhiêu? 22 Cho hàm chi phí C(L, K)  wL  rK w  , r  0,02 Hàm sản xuất hàm Cobb – Douglas có dạng Q(L, K)  L1/2K1/2 Tìm L K để hàm C(L, K) đạt cực tiểu toàn cục thỏa mãn điều kiện Q  100 272 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế 1 23 Cho Q  K L3 Độ co giãn Q theo L L  kết sau a  12 K b c 12 K d 13 L 24 Một xí nghiệp có hàm sản xuất Cobb - Douglas Q  x, y   3x  y (với   ,       ) với x  , y  lượng nguyên liệu thứ thứ hai a Tính suất biên theo x xí nghiệp, ký hiệu Mx Q(x, y) b Tính suất biên theo x xí nghiệp, ký hiệu Mx Q(x, y) c Hãy so sánh kết x.M x Q(x, y)  y.M y Q(x, y) với Q(x, y) 25 Một xí nghiệp có suất thỏa phương trình Q  x, y   3x y với x  , y  lượng nguyên liệu thứ thứ hai Khi x tăng 1% suất xí nghiệp tăng phần trăm? 26 Giả sử Q hàm sản xuất Cobb  Douglas dạng Q  L, K   LK 273 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế Khi đó, hệ số co dãn Q theo K L  , K  kết sau a 0,125 b c d 0,5 27 Cho hàm sản lượng Q mợt xí nghiệp phụ thuộc vào lượng lao động L lượng vốn K Q  L  LK Tại thời điểm L  100 K  25 , xí nghiệp giảm lượng lao động đơn vị Để sản lượng không thay đổi xí nghiệp cần tăng lượng vốn xấp xỉ kết sau a 1,00 b 1,25 c 1,50 d 1,75 28 Một người tiêu dùng sử dụng hết số tiền 220 (đơn vị tiền) để mua hai loại hàng Biết hàm lợi ích người U   x  4 y x, y tương ứng lượng hàng thứ thứ hai mua Lợi ích người tiêu dùng lớn lượng hàng thứ thứ hai mua x  20 , y  15 Khi đơn giá loại hàng thứ thứ hai tương ứng a P1  , P2  b P1  , P2  12 c P1  10 , P2  16 d P1  , P2  274 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế 29 Tiết kiệm S quốc gia có liên hệ với thu nhập I , I2 phương trình S2   IS  2I Giả sử thu nhập sử dụng cho hai mục đích tiết kiệm tiêu dùng a Tìm xu hướng tiết kiệm biên I  16 S  12 b Tìm xu hướng tiêu dùng biên I  16 S  12 Hướng dẫn: (a.) Xu hướng tiêu dùng tiết kiệm biên MPS  dS dI S(I) hàm tiêu dùng theo thu nhập I (a.) Xu hướng tiêu dùng tiêu dùng biên MPC  dC dI C(I) hàm tiêu dùng theo thu nhập I Ta ln có MPS  MPC  30 Gọi x tổng thu nhập quốc gia C  C(x) hàm tiêu dùng, S  S(x) hàm tiết kiệm Giả sử hàm xu hướng tiêu dùng biên thỏa mãn  1  MPC     C(1)  10 x2   x a Hãy xác định biểu thức hàm tiết kiệm S(x) b Tính MPS(100) 275 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế 276 .. .Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế LỜI NÓI ĐẦU Sách ? ?Bài tập Toán Cao Cấp dành cho khối ngành... CỦA GIẢI TÍCH TRONG KINH TẾ 248 Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế Chương I MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC A TÓM... 1  12 * A A Bài tập Toán Cao cấp dành cho khối ngành Thương Mại, Kinh tế Tìm ma trận nghịch đảo phép biến đổi theo dòng: (thường dùng cho ma trận có cấp lớn) Các phép biến đổi sơ cấp dòng: i