Về một số bài toán phân hoạch tập hợp thỏa mãn một tính chất cho trước

Bài viết nghiên cứu bài toán phân hoạch tập hợp các số nguyên dương Z+ thỏa mãn một tính chất cho trước nào đó. Cụ thể là bài toán Schur với tính chất tồn tại bộ số là nghiệm phương trình cho trước và bài toán Van de Waerden với tính chất tồn tại cấp số cộng độ dài k.

VỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN PHÂN HOẠCH TẬP HỢP THỎA MÃN MỘT TÍNH CHẤT CHO TRƯỚC ĐỖ VIẾT LÂN - NGUYỄN ĐẮC HIẾU Khoa Toán học GIỚI THIỆU Chúng tơi nghiên cứu tốn phân hoạch tập hợp số nguyên dương Z+ thỏa mãn tính chất cho trước Cụ thể tốn Schur với tính chất tồn số nghiệm phương trình cho trước tốn Van de Waerden với tính chất tồn cấp số cộng độ dài k Nghiên cứu số Schur, số Van de Waerden để nhằm mục đích tìm hiểu tốn tập hợp hữu hạn số nguyên dương Từ giới thiệu trò chơi với số Van de Waerden, đưa chiến thuật chơi đồng thời nghiên cứu số toán sơ cấp liên quan đến định lý Schur, định lý Van de Waerden BÀI TOÁN PHÂN HOẠCH TẬP HỢP Sau chặng đường dài toán học theo đường giải tích với tính chất bật liên tục ngày nay, tốn học giới trở lại nhiều với lĩnh vực rời rạc, lĩnh vực có nhiều ứng dụng sống Bài toán phân hoạch tập hợp nhiều nhà toán học đưa từ năm đầu kỷ XX hút nhà toán học tham gia tận ngày Năm 1927, nhà toán học Van de Waerden đưa chứng minh trường hợp tổng quát giả thiết Schur: Cho hai số r k, tồn số nguyên nhỏ n - số Van de Waerden W (r; k) - phân hoạch tập hợp {1, 2, , n} thành r tập có tập chứa cấp số cộng độ dài k Lúc có số Van de Waerden biết đến (đến số) Những số thu hỗ trợ nhiều từ máy tính Thời gian dài sau nhà tốn học nghiên cứu chặn số Van de Waerden, nghiên cứu vấn đề liên quan (những hệ áp dụng) định lý cách chứng minh Nhưng đến năm 1986 sau chứng minh Shelah, số Van de Waerden có chặn đệ quy Sau Gowers cải thiện chặn số Van de Waerden sau chứng minh định Szemerédi cấp số cộng Về chặn có nhiều kết Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2013-2014 Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 12/2013: tr 5-18 ĐỖ VIẾT LÂN - NGUYỄN ĐẮC HIẾU đóng góp Erdos Rado, hay Berlekamp Việc tìm số Van de Waerden tìm chặn tốt cho cịn khó khăn không nhỏ Tuy việc sử dụng kết định lý trò chơi hay toán sơ cấp sử dụng nhiều, đặc biệt kỳ thi quốc gia, quốc tế rời rạc Định lý Van de Waerden phát biểu nào? Các chặn gì? Trị chơi liên quan đến định lý với luật chơi sao? Việc sử dụng định lý toán sơ cấp nào? Các vấn đề trình bày báo ĐỊNH LÝ VAN DE WAERDEN CÁC SỐ VAN DE WAERDEN 3.1 3.1.1 Một số khái niệm định lý đồ thị Đồ thị (i) Cho V tập hợp E tập [V ]2 , với [V ]2 tập tất tập gồm hai phần tử V Khi cặp G = (V, E) gọi đồ thị V Mọi phần tử V gọi đỉnh đồ thị G Mọi phần tử E cặp phần tử V , gọi cạnh đồ thị G (ii) Đồ thị G = (V , E ) đồ thị G = (V, E) V ⊆ V E ⊆ E Đồ thị G = (V , E ) đồ thị cảm sinh G = (V, E) G đồ thị G với a, b ∈ V mà ab ∈ E ab ∈ E Ký hiệu G = G[V ] Đồ thị G = (V , E ) đồ thị bao trùm G = (V, E) G đồ thị G V = V (iii) Tập đỉnh đồ thị G ký hiệu V (G), tập cạnh G ký hiệu E(G) (iv) Một r - tô màu cạnh đồ thị G hàm χ : E(G) → C, |C| = r Thơng thường, ta sử dụng tập C = {0, 1, , r − 1} hay C = {1, 2, , r} Ta xem r - tô màu cạnh χ đồ thị G cách phân chia tập E(G) vào r tập E1 , E2 , , Er mà Ei = {x ∈ E(G)|χ(x) = i} Để biết thêm lý thuyết đồ thị tìm hiểu tài liệu [1, 3] 3.1.2 Định lý Ramsey Người ta đặt nhiều vấn đề phân hoạch tập hợp từ định lý Ramsey dược phát biểu đây: VỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN PHÂN HOẠCH TẬP HỢP Định lý 3.1 (Định lý Ramsey hai màu) Cho k, l ≥ Khi tồn số R = R(k, l) cho tô màu cạnh đồ thị đầy đủ KR với hai màu xanh đỏ ln có đồ thị đầy đủ Kk màu đỏ đồ thị đầy đủ Kl màu xanh Tổng quát hơn, định lý Ramsey cho trường hợp nhiều màu nhiều màu Định lý 3.2 (Định lý Ramsey) Cho r ≥ số k1 , k2 , , kr ≥ Khi tồn số R = R(k1 , k2 , , kr ) cho r - tô màu cạnh đồ thị đầy đủ KR với r màu ln có đồ thị đầy đủ Kki màu Sau thời gian dài nổ lực nhà toán học thu số kết hoi giá trị số Ramsey (xem [1] p.21) (i) R(k, l) = R(l, k) với số nguyên k, l ≥ (ii) R(2, n) = n với số nguyên n ≥ (iii) R(3, 3) = 6, R(3, 4) = 9, R(3, 5) = 14, R(3, 6) = 18, R(4, 4) = 36, R(4, 5) = 25, R(3, 7) = 23, R(3, 8) = 28, R(3, 9) = 36 (iv) R(3, 3, 3) = 17 3.1.3 Định lý Schur Từ định lý Ramsey ta chứng minh định lý Schur trường hợp tổng quát Định lý 3.3 (Định lý Schur) Nếu r, k số nguyên dương tồn số nguyên dương S = S(k, r) cho với r - tơ màu χ : [1, S] → C tồn tập màu [1, S] có dạng {x1 , x2 , , xk , x1 + x2 + + xk } Thực tế ta cần lấy S = R(k + 1, k + 1, , k + 1) − 1, R(k + 1, k + 1, , k + 1) số Ramsey r - màu, để chứng minh định lý Trong trường hợp k = ta có định lý sau Định lý 3.4 (Định lý Schur) Với r ≥ 1, tồn số nguyên dương nhỏ s = s(r) cho với r - tơ màu [1, s] tồn nghiệm đơn sắc phương trình x + y = z Nhận xét 3.5 8 ĐỖ VIẾT LÂN - NGUYỄN ĐẮC HIẾU (i) Trong định lý Schur số x, y, z không thiết phải khác (ii) Số nguyên dương thỏa mãn định lý Schur gọi số Schur ký hiệu s(r) (iii) Một số {x, y, z} thỏa mãn phương trình x + y = z định lý Schur gọi số Schur Hiện nay, người ta tìm số Schur r = 1, 2, 3, Cụ thể s(1) = 2, s(2) = 5, s(3) = 14 s(4) = 45 Khi r = ta dễ dàng thấy s(1) = với số Schur {1, 1, 2} Với số r lớn việc tìm s(r) khó khăn nên người ta tập trung vào tìm chặn trên, chặn cho số Schur Ngay từ cách chọn S = R(k + 1, k + 1, , k + 1) − chứng minh định lý, ta suy kết sau: Hệ 3.6 Với r ≥ ta ln có s(r) ≤ Rr (3) − Hệ 3.6 cho ta chặn s(r) Tuy nhiên chặn chưa thực rõ ràng cịn phụ thuộc nhiều vào số Ramsey Rr (3), Rr (3) ký hiệu cho số Ramsey r màu R(3, 3, , 3) Như yêu cầu đặt phải tìm chặn số Ramsey Rr (3) Bổ đề 3.7 Với r ≥ ta có Rr (3) ≤ 3r! Từ hệ 3.6 bổ đề 3.7 ta suy định lý sau Định lý 3.8 Với r ≥ ta có s(r) ≤ 3.r! Trên chặn số Schur, định lý sau liên quan đến chặn số Schur Định lý 3.9 Với r ≥ ta có s(r) ≥ 3r +1 Ở định lý Schur, số {x, y, z} thỏa mãn phương trình x + y = z x, y khơng thiết phân biệt Khi thay đổi phương trình x + y = 2z x, y phân biệt ta có kết định lý Van de Waerden mà tìm hiểu phần 3.2 3.2.1 Định lý Van de Waerden Định lý Van de Waerden Nếu xem x, z, y nêu cuối phần cấp số cộng độ dài ta phát biểu lại sau: "Với r ≥ 1, tồn số nguyên dương nhỏ s = s(r) cho với r - tô màu [1, s] tồn cấp số cộng màu có độ dài 3" Khi thay ba x, y, z cấp số cộng độ dài k ta có phát biểu định lý Van de Waerden sau VỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN PHÂN HOẠCH TẬP HỢP Định lý 3.10 (Định lý Van de Waerden) Cho k, r ≥ số nguyên Khi tồn số nguyên dương nhỏ w = w(r; k) cho với số nguyên n ≥ w với r - tô màu [1, n] tồn cấp số cộng màu có độ dài k Ngồi định lý phát biểu trên, định lý Van de Waerden có nhiều dạng tương đương sau Định lý 3.11 Các khẳng định sau tương đương (i) Với k ≥ 2, với - tô màu Z+ tồn cấp số cộng màu độ dài k (ii) Với k ≥ tồn số w(2; k) (iii) Với k, r ≥ số w(r; k) tồn (iv) Cho r ≥ Với r - tô màu Z+ tập S = {s1 , s2 , , sn } ⊂ Z+ tồn số nguyên a, d ≥ cho a + dS = {a + s1 d, a + s2 d, , a + sn d} đợn sắc (v) Với k, r ≥ 2, r - tô màu Z+ tồn cấp số cộng màu độ dài k (vi) Với k ≥ 2, tập chứa vô hạn số nguyên dương S = {si }i≥0 cho tồn số c = max{|si+1 − si | : i ≥ 0} ln chứa cấp số cộng độ dài k 3.2.2 Số Van de Waerden Cho đến ngày nay, có số Van de Waerden biết Số Van de Waerden w(r; k) với k = trường hợp tầm thường số Van de Waerden Mệnh đề 3.12 Với r ≥ ln có w(r; 2) = r + Chứng minh định lý suy từ nguyên lý Dirichlet: tô màu r + số với r màu ln tồn số màu Với trường hợp khơng tầm thường (k ≥ 3), người ta tính số giá trị số Van de Waerden: w(2; 3) = 9; w(3; 3) = 27; w(4; 3) = 76; w(2; 4) = 35; w(2; 5) = 178 Cho đến năm 2008, Kouril công bố kết cho W (2; 6) 1132 báo " The Van de Waerden number W (2; 6) is 1132" (xem [2]) Tuy nhiên số Van de Waerden tìm nhờ hỗ trợ lớn từ máy tính Kể ta có hỗ trợ từ máy tính việc tìm số Van de Waerden khơng dễ dàng Chẳng hạn với số w(3, 5), thấy w(5; 3) > 76 cho máy tính thử - tơ màu [1,77] phải đến hàng nghìn năm! Sự khó khăn q lớn khiến 10 ĐỖ VIẾT LÂN - NGUYỄN ĐẮC HIẾU số nhà toán học chuyển hướng sang nghiên cứu số Van de Waerden dạng khác, chẳng hạn thay giả thiết có cấp số cộng độ dài chuyển sang giả thiết có cấp số cộng độ dài Khi nghiên cứu số dạng này, nhà toán học thu nhiều kết Bảng số kết r k1 k2 k3 w - 18 - 22 - 55 3 14 21 3 51 32 Bảng 1: Một số số Van de Waerden hỗn hợp Các nhà toán học tiếp tục với số Van de Waerden cổ điển chuyển sang nghiên cứu chặn trên, chặn số Van de Waerden để tiến tới tìm giá trị xác chúng Định lý 3.13 (Berlekamp 1968) Cho p số nguyến tố w(2; p + 1) ≥ p.2p Định lý 3.14 Cho k ≥ w(2; k) ≥ √ k.2 k−1 (1 − o(1)) Hai định lý phát biểu cho trường hợp đặc biệt số Van de Waerden với - tô màu Với số Van de Waerden nhiều màu ta có hai định lý sau Định lý 3.15 Cho p ≥ q số nguyên tố Khi w(q; p + 1) ≥ p(q p − 1) + Định lý 3.16 Với k ≥ w(r; k) ≥ rk ekr (1 + o(1)) Cho đến ngày nay, với máy tính nhiều phương pháp tìm chặn mới, có chặn tốt cho số Van de Waerden (xem thêm tài liệu [5]) Về chặn trên, năm 1988 Shelah chứng minh chặn cho w(r; k) trường hợp k = 3, k = (xem thêm [4]) Định lý 3.17 Với r ≥ ta có 11 VỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN PHÂN HOẠCH TẬP HỢP r\k 9 35 175 1132 > 3703 > 11495 > 41265 27 > 292 > 2173 > 11191 > 48811 > 238400 76 > 1048 > 17705 > 91331 > 420217 > 170 > 2254 > 98740 > 540025 > 223 > 9778 > 98748 > 816981 Bảng 2: Các chặn số Van de Waerden w(r; 3) ≤ er c1 w(r; 4) ≤ ee c1 er với c1 , c2 số Định lý sau phát biểu Gowers cho trường hợp r = Định lý 3.18 Với k ≥ 2, w(2; k) ≤ 22 22 k+9 Và trường hợp tổng quát Định lý 3.19 Với k, r ≥ ta có r2 2k+9 w(r; k) ≤ 22 ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VAN DE WAERDEN 4.1 Trò chơi Van de Waerden Trò chơi Van de Waerden phát biểu sau: Cho trước hai số n k, tập hợp [1,n] người chơi (hoặc nhiều hơn) Trong lượt chơi người chọn cho số (mỗi số có người chọn) cố gắng tạo cấp số cộng độ dài k đồng thời ngăn chặn đối phương tạo cấp số cộng Người chiến thắng người tạo cấp số cộng trước Từ định lý nêu mục ta có kết trường hợp hai người chơi: (i) Nếu thay tập [1,n] tập Z+ người thứ ln ln thắng có chiến thuật thắng cho người thứ hai người thứ chọn số xem người thứ hai áp dụng chiến thuật (điều làm Z+ vô hạn) (ii) Nếu n = w(2; k) người thứ thắng có chiến thuật đắn 12 ĐỖ VIẾT LÂN - NGUYỄN ĐẮC HIẾU (iii) Nếu n < w(2; k) chiến thuật người thứ hai kết hịa Tuy nhiên việc tìm chiến lược chơi cho trị chơi tốn mở Sau ta xét trường hợp đơn giản với người chơi 4.1.1 Cần tạo cấp số cộng độ dài Theo định lý Van de Waerden (số w(2; 3) = 9) với n lớn đảm bảo trò chơi kết thúc có người thắng Nhưng thực tế cần với n = người thứ chết thắng với chiến thuật thích hợp Nếu muốn chiến thắng người thứ (người I) phải chọn lượt Giả sử người I chọn lượt đầu (ta giả sử tập [1,7], vị trí nhau) Trong lượt người thứ hai (người II), có tình xảy ra: người chọn không chọn Nếu người II không chọn lượt thứ người I chọn lượt thứ hai Và lượt thứ ba chọn hoặc để chiến thắng lúc người II lượt nên chọn số 1, Hình 1: Sau hai lượt chơi Người I chọn để thắng Nếu người II chọn lượt thứ lượt thứ hai người I chọn lượt thứ ba chọn để chiến thắng (vì lúc người II chọn số nên khơng thể chọn 1) Hình 2: Người II chọn Người I chọn số cịn lại để thắng Người I ln thắng chọn hai số Đó chiến thuật thắng trò chơi Câu hỏi trường hợp liệu có cịn chiến thuật để thắng? Bây ta kiểm tra trường hợp cịn lại để chứng tỏ chiến thuật để người I thắng Xét chiến thuật chơi, ý đến đối xứng, ta giả sử lượt thứ người I chọn số từ đến VỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN PHÂN HOẠCH TẬP HỢP 13 Trường hợp 1: Nếu người I chọn Sau người II chọn Ở lượt tiếp theo, người I chọn hoặc thua sau lượt chơi (xem hình vẽ) Hình 3: Trong lượt tiếp người II có lựa chọn vị trí * để thắng Nếu lượt thứ hai người I chọn nước có khả (như hình vẽ) dẫn đến kết hịa Hình 4: Các nước phải theo thứ tự Nếu lượt thứ hai người I chọn người II chọn (vì người II muốn tạo cấp số cộng) buộc người I phải chọn Hình 5: Kết hòa Trường hợp 2: Nếu người I chọn lượt đầu Sau người II chọn Ở lượt tiếp theo, người I chọn hoặc thua sau lượt chơi (xem hình vẽ) Nếu lượt thứ hai người I chọn nước có khả (như hình vẽ) dẫn đến kết hòa Nếu lượt thứ hai người I chọn người II chọn Lúc khơng tạo cấp số cộng độ dài Trường hợp 3: Nếu người I chọn lượt đầu Sau người II chọn Ở lượt tiếp theo, người I chọn thua sau lượt chơi (xem hình vẽ) 14 ĐỖ VIẾT LÂN - NGUYỄN ĐẮC HIẾU Hình 6: Trong lượt tiếp người II có lựa chọn vị trí * để thắng Hình 7: Khơng tạo cấp số cộng Hình 8: Kết hịa Hình 9: Trong lượt tiếp người II có lựa chọn vị trí * để thắng Nếu lượt thứ hai người I chọn nước có khả (như hình vẽ) dẫn đến kết hịa Hình 10: Khơng tạo cấp số cộng Nếu lượt thứ hai người I chọn người II phải chọn Để tạo cấp số cộng người I phải chọn 7, người II chọn số cịn lại Hình 11: Kết hịa VỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN PHÂN HOẠCH TẬP HỢP 15 Cũng từ phân tích ta rút chiến thuật người II: chọn để đưa đến kết hòa Và với lập luận tương tự với n = với chiến thuật kết hòa 4.1.2 Cần tạo cấp số cộng độ dài Tương tự mục trên, với số người chơi cấp số cộng cần tạo có độ dài số w(2; 4) = 35 cho ta số n để đảm bảo trò chơi kết thúc chắn có người thắng Thực tế sau thử với số n khác đưa chiến thuật thắng cho người chơi thứ (người I) với n = 17 (nhỏ số w(2; 4) nhiều!) Dưới đưa chiến thuật thằng cho người I không đề cập đến câu hỏi liệu với số n nhỏ tìm chiến thuật thắng hay không? Chiến thuật để người I thắng sau lượt tạo khả thắng Khi người II khơng thể ngăn cản Cách chơi sau: Ở lượt đầu, người I chọn số "ở giữa" Trong lượt thứ nhất, người II đánh số nào, ta giả sử người II chọn số lớn (vì ngược lại ta lập luận tương tự) Nếu lượt 1, người II chọn số 10, 12, 14, 16 người I thắng sau chọn số 13 Bởi lượt có khả xảy cho người II: Trường hợp 1: Nếu người II chọn khơng chọn 11 15 người I chọn 11 lượt tạo khả thắng lượt (lúc người II chọn số nên khơng thể có cấp số cộng trước người I) Trường hợp 2: Nếu người II chọn 11 15 lượt người I chọn tạo khả thắng Trò chơi kết thúc lượt người I chọn số {1, 5, 9, 13} {5, 9, 13, 17} Hình 12: Trong lượt tiếp người I có lựa chọn vị trí * để thắng Nếu người II chọn 11 lượt Trong lượt người I chọn lượt người II có khả sau: Trường hợp 1: Nếu người II khơng chọn 6, 8, 10 người I thắng lượt chọn lượt tạo cho "con đường thắng" Trường hợp 2: Nếu người II chọn số 6, 8, 10 lượt người I chọn buộc 16 ĐỖ VIẾT LÂN - NGUYỄN ĐẮC HIẾU người II phải chặn Khi người I kết thúc trị chơi tạo cho khả thắng cách chọn 13 (lưu ý lúc người II chưa thể tạo cấp số cộng) Hình 13: Trong lượt tiếp người I có lựa chọn vị trí * để thắng Nếu người II chọn 13 15 17 lượt Ở lượt người I chọn lượt người II có khả sau: Trường hợp 1: Nếu người II khơng chọn người I chọn lượt tạo khả thắng lượt Trường hợp 2: Nếu người II chọn người I thắng lượt chọn lượt Hình 14: Trong lượt tiếp người I có lựa chọn vị trí * để thắng 4.2 Các toán sơ cấp Trong mục chúng tơi giới thiệu số tốn sơ cấp mà chứng minh suy từ định lý Van de Waerden Bài toán (RMO 78) Xét tập X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Chứng minh với cách phân hoạch tập X thành hai tập ln tồn tập chứa phần tử lập thành cấp số cộng HD w(2; 3) = Bài toán Cho dãy vô hạn số nguyên dương (an )n∈N thỏa mãn: < an+1 − an ≤ r Chứng minh dãy chứa cấp số cộng độ dài k HD Sử dụng mệnh đề tương đương nêu định lý 3.11 Bài tốn Cho hình cạnh Tô màu đỉnh đa giác hai màu xanh đỏ Chứng minh tồn tam giác cân có đỉnh màu VỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN PHÂN HOẠCH TẬP HỢP 17 HD Suy từ định lý w(2; 3) = Bài toán (Bulgaria 1998) Tìm số n nhỏ thỏa mãn: với n điểm đường tròn A1 , A2 , , An thỏa mãn A1 A2 = A2 A3 = = An−1 An với tơ màu tồn Ai , Aj , A2j−1 có màu HD Ai , Aj , A2j−1 có màu nghĩa tam giác cân Ai Aj A2j−1 Làm tương tự tốn 3, ta có kết n = Qua tốn giả thiết hình - cạnh toán 3, ta thấy giả thiết "đều" khơng cần thiết Bỏ giả thiết ta có tốn sau Bài tốn Với điểm đường tròn A1 , A2 , , A9 thỏa mãn A1 A2 = A2 A3 = = A8 A9 Tơ màu điểm hai màu xanh đỏ Chứng minh tồn tam giác cân có đỉnh màu Quay trở lại toán 3, giữ giả thiết đa giác giả thiết cần phải thay đổi để giả thiết không bị "thừa"? Ta xét toán sau đây: Bài toán Cho hình - cạnh Tơ màu đỉnh đa giác hai màu xanh đỏ Chứng minh tồn tam giác cân có đỉnh màu Bài tốn Có học sinh lớp 3B ngồi vào bàn dài Các chỗ ngồi đánh số từ đến Chứng minh có học sinh nam nữ cho học sinh có số chỗ tổng số chỗ hai học sinh lại có học sinh nam nữ cho số chỗ học sinh gấp đôi học sinh HD Sử dụng cách chứng minh s(2) = Từ định lý Schur chặn số Schur ta phát biểu số tốn tương tự toán Chẳng hạn với s(3) = 14 ta có tốn Bài tốn Các lớp năm khoa toán (gồm lớp 2A, 2B 2C) tham gia vào đội giải bóng chuyền trường Đội bóng chuyền gồm 14 người mang số áo từ đến 14 Chứng minh có sinh viên lớp có sinh viên mang số áo tổng số áo sinh viên cịn lại có sinh viên lớp mà áo người có số gấp đôi người Từ số Van de Waerden dạng khác ta phát biểu tốn tương tự toán Chẳng hạn với w(2; 3, 4) = 18 ta có tốn Bài tốn Với 18 điểm đường tròn A1 , A2 , , A18 thỏa mãn A1 A2 = A2 A3 = = A1 7A1 Chứng minh tơ màu 18 điểm hai màu xanh đỏ tồn tam giác cân có đỉnh màu tồn hình thang cân có đỉnh màu 18 ĐỖ VIẾT LÂN - NGUYỄN ĐẮC HIẾU TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lanman Bruce; Aaron Robertson (2004), Ramsey Theory on the Integers, American Mathematical Society [2] Kouril M.; Paul J L (2008), The Van de Waerden number W (2; 6) is 1132, Experimential Mathematics [3] Reinhard Diestel (2010), Graduate Texts in Mathematics - Graph Theory, Springer [4] Shelah S (1988), Primitive Recursive Bounds for Van de Waerden numbers, Journal of the American Mathematical Society [5] Herwig P R., Heule M J H., van Lambalgen P M., van Maaren H (2007), A New Method to Construct Lower Bounds for Van de Waerden numbers, The Electronic Journal of Combinatorics [6] Các đề thi lấy từ trang http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php [7] Các thông tin lấy từ trang http://mathworld.wolfram.com/ ĐỖ VIẾT LÂN NGUYỄN ĐẮC HIẾU SV lớp Toán 3A, Khoa Toán học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế ĐT: 0984.243.254, Email: vietlan2005@gmail.com ... cân có đỉnh màu VỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN PHÂN HOẠCH TẬP HỢP 17 HD Suy từ định lý w(2; 3) = Bài tốn (Bulgaria 1998) Tìm số n nhỏ thỏa mãn: với n điểm đường tròn A1 , A2 , , An thỏa mãn A1 A2 = A2... vấn đề phân hoạch tập hợp từ định lý Ramsey dược phát biểu đây: VỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN PHÂN HOẠCH TẬP HỢP Định lý 3.1 (Định lý Ramsey hai màu) Cho k, l ≥ Khi tồn số R = R(k, l) cho tô màu cạnh đồ thị... chiến thuật chơi, ý đến đối xứng, ta giả sử lượt thứ người I chọn số từ đến VỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN PHÂN HOẠCH TẬP HỢP 13 Trường hợp 1: Nếu người I chọn Sau người II chọn Ở lượt tiếp theo, người