CHỦ ĐỀ 1 TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VÉC TƠ I Hệ trục tọa độ trong không gian Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox; Oy; Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm góc O Gọi là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox; Oy; Oz Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian Điểm O được gọi là gốc tọa độ Các mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ Chú ý là các vectơ đơn vị đôi một vuông góc nên và II Tọa độ, vectơ 1) Định nghĩa Nếu 2) Các cô.
CHỦ ĐỀ 1: TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VÉC TƠ I Hệ trục tọa độ không gian Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox; Oy; Oz vuông góc với rr r đơi chung điểm góc O Gọi i; j; k vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox; Oy; Oz Hệ ba trục gọi hệ trục tọa độ vng góc khơng gian Điểm O gọi gốc tọa độ Các mặt phẳng Oxy ; Oyz ; Oxz đôi vng góc với gọi mặt phẳng tọa độ rr r rr r r r r2 r r Chú ý: i; j; k vectơ đơn vị đơi vng góc nên i j k i j j.k k.i II Tọa độ, vectơ r r r r r 1) Định nghĩa: Nếu u x; y; z � u x.i y j z.k 2) Các công thức vectơ r r Cho vectơ: u x1 ; y1 ; z1 v x2 ; y2 ; z2 ta có: r r Tổng hiệu hai vectơ: u �v x1 �x2 ; y1 �y2 ; z1 �z2 r Tích vectơ với số: ku k x1 ; ky1; kz1 k �� �x1 x2 r r � Hai vectơ nhau: u v � �y1 y2 �z z �1 r r r r Chú ý: 0;0;0 ; i 1;0;0 ; j 0;1;0 ; k 0;0;1 �x1 k x2 r r r r x y z � Hai vectơ u ; v phương với � u kv k �0 � �y2 ky2 � x2 y2 z2 �z kz �1 r r r r (Với k u ; v hướng; ngược lại k u ; v ngược hướng) rr Tích vơ hướng vectơ kí hiệu: u v x1 x2 y1 y2 z1 z2 số r r r r � Hai vectơ u ; v vng góc với � u ; v � x1 x2 y1 y2 z1 z2 r r Độ dài vectơ: u x12 y12 z12 , v x22 y22 z22 �xB x A k xC xB uuu r uuur � Điều kiện để điểm A, B, C thẳng hàng AB k AC � �yB y A k yC y A � �zB z A k yB y A rr r r u.v Góc vectơ: cos u ; v r r u.v r r Chú ý: Khi u v x1 x2 y1 y2 z1 z2 x y z 2 r r r r cos u ; v � u ; v x y z 2 2 2 r r r (với u ; v �0 ) góc nhọn, ngược lại r r u v r r r r cos u ; v � u ; v góc tù III Tọa độ điểm 1) Định nghĩa: uuuu r r r r Điểm M x ; y ; z � OM x.i y j z.k (trong x hồnh độ, y tung độ z cao độ) 2) Tính chất: Cho điểm A x1 ; y1; z1 ; B x2 ; y2 ; z2 ta có: uuu r uuu r uuur Vectơ AB có tọa độ là: AB x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 ; vectơ BA x1 x2 ; y1 y2 ; z1 z2 uuu r Độ dài đoạn thẳng AB độ dài vectơ AB và: AB AB x1 x2 y1 y2 z1 z2 x1 x2 � �xM � y y2 � Trung điểm đoạn AB M có tọa độ là: �yM � z1 z2 � �zM � �x x y y2 z1 z2 � ; Khi đó: M �1 ; � 2 � � Nếu C x3 ; y3 ; z3 x1 x2 x3 � �xG � y y2 y3 � ABC tạo thành tam giác có trọng tâm G thì: �yG � z1 z2 z3 � �zG � r r r Ví dụ 1: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho vectơ a 1; 2;3 ; b 0; 1;1 ; c 1;5; r r r r r r r r a) Tìm tọa độ vectơ u a b c v 2a 3b c rr rr rr b) Tính a.b ; b.c a.c r r r r c) Tính cos a ; b cos b ; c Lời giải: r a) Ta có: u 1; 2;3 0; 1;1 1;5; 0; 4; r v 1; 2;3 0; 1;1 1;5; 2; 4;6 0; 3;3 1;5;2 3;6;11 r r rr rr b) Ta có: a b 1; b c 3; a c 17 r r rr r r r r a b 1 b.c 3 3 ; cos b; c r r c) cos a ; b r r 30 15 a.b b.c Ví dụ 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A 0;1; 2 ; B 2;1;0 ; C 1; 4;5 a) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC b) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành c) Tính cosin góc � ABC d) Tìm điểm M thuộc trục hoành cho MB MC Lời giải: x A xB xC � x 1 G � � y yB yC � � G 1; 2;1 a) Gọi G trọng tâm tam giác ABC ta có: �yG A � z A z B zC � 1 �zG � uuu r uuur b) Để ABCD hình bình hành AB DC � 2;0; xD ; yD ;5 zD � D 1; 4;3 uuu r uuur c) Ta có: BA 2;0; 2 ; BC 1;3;5 uuu r uuur uuu r uuur BA.BC 10 4 � Suy cos ABC cos BA; BC BA.BC 25 70 d) Do điểm M �Ox nên ta gọi M x;0;0 ta có MB MC � MB MC � x 12 02 x 1 42 52 � x x x x 42 � x 2 37 � 37 � ;0;0 � Vậy M � � � r r r u r Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz cho a 2; 5;3 ; b 0; 2; 1 ; c 1;7;2 ; d 0; 17; 2 r r r r a) Tìm u a 4b 2c ur r r r b) Tìm m; n; p biết d m.a n.b p.c Lời giải: r a) Ta có: u 2; 5;3 0; 2; 1 1;7; 2; 5;3 0;8; 4 2;14; 0; 27;3 ur r r r b) Ta có: d m.a n.b p.c � 0; 17; 2 m 2; 5;3 n 0; 2; 1 p 1;7; 2m p m 1 � � � � �� 5m 2n p 17 � � n 1 � � 3m n p 2 � �p 2 r r r Ví dụ 4: Trong không gian tọa độ Oxyz cho vectơ u x ; x 3; v y ; 4; Tìm x y để u r v phương Lời giải: r r r r Để u v phương u k v � x ; x 3; k y ; 4; � � x y k � � �x ky 4 � � � �� x 4k � �2 x 1 � �x � � �y 8k � � � k � � Vậy x 1; y Ví dụ 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A 2;5;3 ; B 3;7; ; C x ; y ;6 , tìm x, y để A, B, C thẳng hàng Lời giải: uuu r uuur Ta có: AB 1; 2;1 ; AC x 2; y 5;3 �x k �k uuur uuu r � � Để A, B, C thẳng hàng AC k AB � �y 2k � �x � �y 11 3k � � Vậy x 5; y 11 r r r r Ví dụ 6: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho vectơ a 1;log 5; m b 3;log 3; Tìm m để a b Lời giải: r r rr Để a b � a.b � log 5.log 4m � 4m � m 1 r Ví dụ 7: Trong không gian tọa độ Oxyz cho vectơ a 2; 1; r a) Tìm vectơ b phương với r b) Tìm vectơ c phương với r a , biết r a , biết r b 10 rr a c 100 Lời giải: r r r r a) Vì b phương với a nên b k a 2.k ; k ; 4k r Lại có: b 10 � 2k k 16k 25k 10 � k � k �2 r r r r Do b 2a ; 2;8 b 2 a 4 ; 2; r r r r b) Vì c phương với a nên c k a 2 k ; k ; 4k rr r Khi a c 8k k 16k 25k 100 � k � c ; 4;16 2 2 r r r r Ví dụ 8: Trong không gian tọa độ với hệ trục Oxyz, cho hai vectơ a b cho a ; b 120�, biết r r r r r r a 2; b Tính a b a 2b r r2 r r Ta có: a b a b Lời giải: r2 r r r2 r r a 2a b b a b cos120� 13 12cos120� r r Do a b r r2 r r Lại có: a b a 2b r2 rr r2 r r a 4a b b a b cos120� 4.9 40 24cos120� 52 r r Do đó: a 2b 52 r r r r r Ví dụ 9: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ u i m 1 j 2k Tìm giá trị m để u Khi giá trị m bằng: m0 � A � m 2 � B m C m D m 2 Lời giải: r r m0 � 2 2 Chọn A Ta có: u 1; m 1; suy u m 1 � m 1 � � m 2 � Ví dụ 10: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với trọng tâm G Biết A 1; 1; 2 , B 2;1; 3 , G 1; 2; 3 Khi tọa độ điểm C : �4 � A � ; ; � �3 3 � B 0; 6; 4 C 4; 2; 8 Lời giải: Giả sử C xC ; yC ; zC �xC 3.1 � Khi đó: �yC 2 6 � C 0; 6; 4 Chọn B � �zC 3 4 D 1; 4; 1 r r r Ví dụ 11: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a 2; 1;10 , biết b chiều với a có rr a b 10 Chọn phương án r A b 6;3;0 r B b 4; 2;0 r C b 6; 3;0 Lời giải: r D b 4; 2;0 r r rr r k 2 � � b 4; 2;0 Chọn D Ta có: b k a 2k ; k ;0 k � a b 4k k 10 � � k 2 L � Ví dụ 12: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A 1; 2; 1 ; B 2; 1;3 ; C 3;5;1 Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành A D 4;8; 3 B D 2; 2;5 C D 2;8; 3 Lời giải: D D 4;8; 5 uuu r uuur Vì ABCD hình bình hành nên AB DC � 1; 3; 3 xD ;5 y D ;1 z D � D 4;8; 3 Chọn A r r r Ví dụ 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ a 2; 1;0 ; b 1; 2;3 ; c 4; 2; 1 mệnh đề sau: r r (1) a b r r (3) a phương với c rr (2) b c r (4) b 14 Trong bốn mệnh đề có mệnh đề đúng? A B rr r r Ta có a b � a b 1 rr +) b c � C Lời giải: D r r � � a không phương với c 3 sai r 2 +) b 14 � Chọn C +) Ví dụ 14: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2;1;1 , B 1; 2;3 Tìm tọa độ điểm M uuuu r uuuu r cho AM BM �1 � A M � ; ; � �2 � B M 1;3; C M 4;3;5 Lời giải: D M 5;0; 1 uuuu r uuuu r Giả sử M a; b; c Ta có: AM BM � a 2; b 1; c 1 a 1; b 2; c � a a 1 a 4 � � � �� b 1 b 2 � � b � M 4;3;5 Chọn C � � c5 c c 3 � � Ví dụ 15: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M 1;1; ; N 1; 4;3 ; P 5;10;5 Khẳng định sau sai? A MN 14 B Các điểm O, M, N, P thuộc mặt phẳng C Trung điểm NP I 3;7; D M, N, P ba đỉnh tam giác Lời giải: uuuu r uuur uuur uuuu r Ta có: MN 2;3;1 ; MP 6;9;3 suy MP 3MN nên M, N, P thẳng hàng suy khẳng định D sai Các khẳng định cịn lại Chọn D Ví dụ 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tam giác ABC có A 1; 2; 1 , B 3;0;3 Tìm tọa độ điểm C cho G 2; 2; trọng tâm tam giác ABC A C 2; 4; B C 0; 2; C C 8;10;10 Lời giải: D C 2; 4; 4 � a 3.2 � b 3.2 � G 2; 4; Chọn A Giả sử C a; b; c Vì G trọng tâm ABC nên � � c 3.2 1 � Ví dụ 17: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A 0;0;0 , B 3;0;0 , D 0;3;0 D� 0;3; 3 Tọa độ trọng tâm tam giác A’B’C’ là: A 1;1; 2 B 2;1; 1 C 1; 2; 1 Lời giải: D 2;1; 2 uuur uuuur �AA� DD� 0;0; 3 � A� 0;0; 3 � u u u r u u u u r � B � B� � G 2;1; 2 Chọn D 3;0; 3 �� Từ giả thiết ta có: �AB 3;0;0 A�� u u u r u u u r � �AB 3;0;0 DC � C 3;3;0 r r Ví dụ 18: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, tính góc hai vectơ a 1; 2; 2 b 1; 1;0 r r A a, b 120� r r B a, b 45� r r C a, b 60� r r D a, b 135� Lời giải: Gọi góc hai vectơ Ta có: cos 1 1 2 12 22 2 1 1 02 1 � 135� Chọn D Ví dụ 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1; 1;3 , B 2; 3;5 , C 1; 2;6 Biết uuur uuur uuuu r r điểm M a; b; c thỏa mãn MA 2MB 2MC , tính T a b c A T B T C T 11 D T 10 Lời giải: uuur uuur uuuu r r uuur uuu r r uuur uuur Ta có: MA 2MB MC � MA 2CB � MA BC 3;1;1 � M 7; 3;1 Suy T a b c 11 Chọn C Ví dụ 20: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M 2;3; 1 , N 1;1;1 P 1; m 1; Tìm m để tam giác MNP vng N A m 6 B m C m 4 Lời giải: D m uuuur uuur Ta có: NM 3; 2; 2 , NP 2; m 2;1 Để tam giác MNP vng N uuuur uuur NM NP � 3.2 m 2 � m Chọn B uuu r r r r uuur r r Ví dụ 21: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho điểm A B thỏa mãn OA 3i j 4k AB i j Trung điểm I AB có tọa độ A I 2; 2; 2 B I 2; 2; �7 � C I � ; 3; 4 � �2 � Lời giải: D I 7; 3; 4 Ta có: A 3; 2; 4 , OB OA AB 4i j 4k suy B 4; 4; 4 �7 � Do trung điểm AB là: I � ; 3; 4 � Chọn C �2 � r r r Ví dụ 22: Vectơ u a; b; c có độ dài 2, tạo với vectơ a 1;1;1 góc 30�, tạo với vectơ b 1;1;0 góc 45� Tìm tất giá trị a A a B a � C a Lời giải: 2� D a � r r abc cos 30�� a b c Ta có: cos u; a r r c 1 � a b cos 45�� a b � � Lại có: cos u; b a b 2 � r 2� Mặt khác u a b c � a a � 2a2 4a � a Chọn C r r r r Ví dụ 23: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho a b tạo với góc 120� Biết a 4; b , r r r r giá trị biểu thức A a b a b B A 50 A A 50 r r2 r r Ta có: a b a b C A Lời giải: r2 rr r2 r r a 2a.b b 16 a b cos120� 37 r r2 r r Tương tự a b a b D A 37 13 r2 rr r2 r r a 2a.b b 16 a b cos120� 13 r r r r Do A a b a b 37 13 Chọn D Ví dụ 24: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Biết tọa độ đỉnh A 3; 2;1 , C 4; 2;0 , B� 2;1;1 , D� 3;5; Tọa độ điểm A�là: 3;3;1 A A� 3; 3;3 B A� 3; 3; 3 C A� Lời giải: 3;3;3 D A� �1 � Trung điểm AC O � ; 2; � �2 � �1 � Trung điểm B’D’ O� � ;3; � �2 � uuur uuuu r Do ABCD.A’B’C’D’ hình hộp nên AA� OO� � x A� 3; y A� 2; z A� 1 0;1; � A� 3;3;3 Chọn D r r r r Ví dụ 25: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho vectơ u vng góc với vectơ a 1;1;1 b 1; 1;3 , u r r tạo với tia Oz góc tù u Tọa độ vectơ u là: A 2; 1; 1 B 4; 2; C 4; 2; 2 Lời giải: D 2; 2; 4 � �x y z 1 r � Gọi u x; y; z ta có �x y 3z � �x y z 24 3 � r rr Do u tạo với tia Oz góc tù nên u.k � z �x y z �x 2z �� Từ (1) (2) ta có: � vào (3) ta được: z2 z z 24 x y z y z � � r Với điều kiện z � z 2 � u 4; 2; 2 Chọn C Ví dụ 26: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho điểm A 1; 2; 1 ; B 2; 1;3 ; C 4;7;5 Gọi điểm D a; b; c chân đường phân giác hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC Tính a b c A B 22 C D Lời giải: Ta có: AB 26; BC 26 Theo tính chất đường phân giác ta có: BA DA DA � BC DC DC � 2 1 a a uuur � uuur uuur 2 b b Do D nằm điểm A C nên DA DC C D � � 2 � 1 c c � � a � � � 11 �� b � a b c Chọn A � c 1 � � � Ví dụ 27: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho điểm A 1; 2;3 ; B 5; 2; 1 Tìm tọa độ điểm M a; b; c uuur uuur thỏa mãn MA.MA 4MB.MB Giá trị biểu thức a b c 2 C D 3 Lời giải: uuur uuur uuur uuur Ta có: MA.MA MB.MB � MA2 MA 16.MB MB � MA4 16 MB � MA MB uuur uuur Theo đề ta dễ thấy hai vectơ MA; MB chiều A B 2 � xM xM uuur uuur � yM 2 yM � M 9; 6; 5 � a b c 2 Chọn B Do MA 2MB � � � z M 1 z M � Ví dụ 28: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A 1; 2; 1 , B 2;3; C 3;5; 2 Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC �5 � A I � ; 4;1� �2 � �37 � B I � ; 7;0 � �2 � � 27 � ;15; � C I � � � Lời giải: � 3� 2; ; � D I � � 2� uuu r uuur uuu r uuur Nhận thấy AB 1;1;5 ; AC 2;3; 1 � AB AC nên tam giác ABC vng A trung điểm �5 � I � ; 4;1�là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC Chọn A �2 � BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Trong cặp véc tơ sau, cặp véc tơ đối r r r r A a 1; 2; 1 , b 1; 2;1 B a 1; 2; 1 , b 1; 2; 1 r r r r C a 1; 2;1 , b 1; 2;1 D a 1; 2; 1 , b 1; 2;0 r r Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điều kiện để a vng góc với b r r r r r r r r r r r � a , b A a b B � C D a b a b � � r r Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điều kiện để hai véc tơ a , b r r r r r r r r r r r � a , b A a b B � C D a b a b � � r r Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điều kiện để hai véc tơ a , b đối r r r r r r r r r r r � a , b A a b B � C D a b a b � � r r r r Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a 1; 2;3 , b 2;3; 1 Khi a b có tọa độ A 1;5; B 3; 1; C 1;5; D 1; 5; 2 r r Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a 1; 2;3 , b 2;3; 1 Kết luận sau đúng? r r r r r r r r A a b 1;5; B a b 3; 1; 4 C b a 3; 1; D a b uuur uuur Câu 7: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 2;1; , B 2; 2;6 , C 6;0; 1 Khi AB AC A 67 B 27 C 67 D 27 r r r Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho véc tơ a 1;1;0 , b 1;1;0 , c 1;1;1 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? r A a r B c r r C a b r r D b c Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A 1; 4; , B 3; 2;1 , C 3; 1; Khi trọng tâm G tam giác ABC 7� �1 A G � ; 1; � 3� �3 B G 3; 9; 21 7� �1 �1 � C G � ; 1; � D G � ; ; � 2� �4 � �2 r r r r Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho véc tơ a thỏa mãn hệ thức a 2i 3k Bộ số r tọa độ véc tơ a ? A 2;0; 3 B 2; 0;3 C 2; 3;0 D 2;3;0 uuuu r r r Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M thỏa mãn hệ thức OM 2i k Bộ số tọa độ điểm M? A 0; 2;1 B 2;0;1 C 2;1;0 D 0;1; Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1;3; 2 B 4; 5; Tọa độ véc uuur tơ AB A 3;8; 4 B 3; 8; C 3; 2; D 3; 2; Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1; 2; 3 , B 3; 2;1 Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB A I 2;0; 1 B I 4;0; 2 C I 2;0; 4 D I 2; 2; 1 Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 3; 2;1 , B 1;3; , C 2; 4; 3 Giá trị uuur uuur tích AB AC A 10 B 6 C 2 D Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm sau nằm trục Oz? A A 1;0;0 B A 0;1;0 C A 0;0; D A 2;1;0 Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm sau nằm mặt phẳng Oxy? A A 1; 2;3 B A 0;1; C A 0;0; D A 2;0;0 C mp (Oxy) D mp (Oyz) C mp (Oxy) D mp (Oyz) C mp (Oxy) D mp (Oyz) Câu 17: Điểm M 4;0;7 nằm A mp (Oxz) B trục Oy Câu 18: Điểm M 1; 2;0 nằm A mp (Oxz) B trục Oz Câu 19: Điểm M 0;1;7 nằm A mp (Oxz) B trục Ox Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình chiếu A�của điểm A 3; 2;1 lên trục Ox có tọa độ A 3; 2;0 B 3;0;0 C 0;0;1 D 0; 2;0 Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A�đối xứng với điểm A 3;5; 7 qua trục Ox Tọa độ điểm A�là A 3;0;0 B 3;5;7 C 3; 5; 7 D 3; 5;7 Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với M trung điểm cạnh BC uuuu r A 1; 2;3 , B 3;0; , C 1; 4; 2 Tọa độ véc tơ AM A 2; 2; B 0; 4;3 C 0; 4; 3 D 0;8; 6 r r r r r r r r Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ a 4i j 6k b 2i j m 1 k r r r r r với i, j , k véc tơ đơn vị m �� Để hai véc tơ a b phương m A B 4 C 2 D r r r r r Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ a m 3;6; m b 2i j k với r r r r r i, j , k véc tơ đơn vị m �� Để hai véc tơ a b phương m 1 � D � m3 � r r r r r Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ a 1; 3; b 2i m j pk với A m m 3 � B � m3 � C m 3 r r r r r i, j , k véc tơ đơn vị m, p �� Để hai véc tơ a b phương A m 6, p 8 B m 6, p 8 C m 1, p D m 6, p r r r r r Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ a m;1; m b 4i j mk với r r r r r i, j , k véc tơ đơn vị m �� Để hai véc tơ a b vng góc m0 � A � m 1 � m2 � B � m 3 � m 1 m 3 � � C � D � m 1 m 1 � � r r Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ a b tạo thành với góc 120� r r r r r r Biết a 3, b Khi a b a b A 19 49 B 49 19 C 19 D 19 r r r Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba véc tơ a 1;1;0 , b 1;1;0 , c 1;1;1 Mệnh đề sau đúng? r r r r A a b c r r r B a, b, c đồng phẳng r r C cos b, c rr D a.b Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A 3; 4;0 , B 0; 2; , C 4; 2;1 Tọa độ điểm D �Ox thỏa mãn AD BC A 0;0;0 , 6;0;0 B 2;0;0 , 6;0;0 C 3;0;0 , 3;0;0 D 0;0;0 , 6;0;0 Câu 30: Cho điểm M 1; 1;1 H 0;1; Tìm tọa độ điểm N cho đoạn thẳng MN nhận H làm trung điểm A N 1;3;3 B N 1;3; C N 1;3;6 D N 1;3;7 r r r r r r Câu 31: Cho a b có độ dài Biết góc a; b 60�thì a b A B C D 22 Câu 32: Cho A 3;1;0 , B 2; 4; Tọa độ M điểm trục tung cách A B A M 2;0;0 B M 0; 2;0 C M 0; 2;0 D M 0;0; uuuu r uuu r Câu 33: Cho A 1; 2;3 , B 0;1; 3 Tọa độ điểm M thỏa mãn AM BA A M 3; 4;9 B M 3; 4;15 C M 1;0; 9 D M 1;0;9 Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M 1; 2; , N 2; 1;0 , P 2;3; 1 Tìm tọa uuuu r uuur độ điểm Q biết MQ NP A Q 3;6;3 B Q 3; 6; 3 C Q 1; 2;1 � 3� ; 2; � D Q � � 2� Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A 4;3;5 , B 3; 2;5 C 5; 3;8 Tính cos � ABC A 13 14 B 14 C 13 14 D 14 Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A 2;1;1 , B 0;3; 1 , C 1;1; Mệnh đề sau đúng? A AB AC B AB BC C BC AC D AB AC r r r Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho véc tơ a 1;2;3 , b 2; 1; , c 2;1; 1 Tọa ur r r r độ véc tơ m 3a 2b c A 3;9; B 5;5;12 D 3;9; 4 r r Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ a 4; 2; 4 , b 6; 3; r r r r 2a 3b a 2b C 3; 9; có giá trị A 200 B 200 C 2002 D �200 r r r r Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a x; 2;1 , b 2;1; Tìm x biết cos a, b A x B x C x D x r r Câu 40: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, góc tạo hai véc tơ a 4; 2; b 2; 2 2;0 A 45� B 90� C 135� D 60� Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 2;1;1 , B 0;3; 1 , C 1;1; Khi khẳng định sau nói tam giác ABC? A ABC vng A B ABC vuông B C ABC vuông C D ABC Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2;1;1 , B 0;3; 1 điểm C nằm mặt phẳng Oxy cho ba điểm A, B, C thẳng hàng Điểm C có tọa độ A 1; 2;3 B 1; 2;1 C 1; 2;0 D 1;1;0 Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M 2; 3;5 , N 4;7; 9 , P 3; 2;1 , Q 1; 8;12 Bộ điểm sau thẳng hàng? A M, N, Q B M, N, P C M, P, Q D N, P, Q Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm P x; 1; 1 , Q 3; 3;1 , biết PQ 3, giá trị x là: A B 2 4 C 4 D 2 Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 2;0;3 , B 1;3; 3 , điểm C 0; 2; uuur uuur uuur Điểm D thỏa mãn hệ thức DA DB 3DC có tọa độ là? � 3� A D �2;0; � � 4� 3� � 2;0; � B D � 4� � 3� � 2;0; � C D � 4� � 3� � 2;0; � D D � 4� � Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho ba điểm A 3; 4; 2 , B 5;6; C 4;7; 1 uuuu r uuu r uuur Tọa độ điểm M thỏa mãn AM AB 3BC là: A M 4; 11;3 B M 4;11; 3 C M 4;11; 3 D M 4; 11;3 Câu 47: Cho ba điểm A 2;0; , B 1; 2;3 , C x; y 3;7 Biết x;y giá trị để ba điểm A, B, C thẳng hàng Khi tổng x y A 13 B 26 C D 24 Câu 48: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M 2;3; 1 , N 1;1;1 , P 1; m 1; Với giá trị m tam giác MNP vuông N? A m B m C m D m r r r Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a 1;1;0 , b 1;1;0 , c 1;1;1 Cho OABC uuu r r uuu r r hình bình hành thỏa mãn OA a, OB b Khi diện tích hình bình hành OABC bằng: A B C D Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A 1;0;0 , B 0;0;1 , C 2;1;1 ABCD hình bình hành tọa độ D A D 1;1; B D 3;1;0 C D 3; 1;0 D D 1;1; Câu 51: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh 1, điểm A trùng với gốc tọa độ O, B nằm tia Ox, D nằm tia Oy A’ nằm tia Oz Kết luận sau sai? A A 0;0;0 0;1;1 B D� 1;1;1 1; 1; 1 C C � D A� r r Câu 52: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véctơ a 3; 2;1 b 2;1; 1 Biết r r r r r r r r u ma 3b v 3a mb m �� Giá trị m để hai véctơ u v vng góc m 1 � A � m 9 � m 1 � B � m 9 � m 1 � C � m9 � m 1 � D � m9 � LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN r r Câu 1: Ta có 1; 2; 1 1; 2;1 � a 1; 2; 1 , b 1; 2;1 đối Chọn A r r rr Câu 2: Để a vng góc với b a.b Chọn A r r r r r Câu 3: Để hai véc tơ a, b a b Chọn D r r r r r Câu 4: Để hai véc tơ a, b đối a b Chọn C r r Câu 5: a b 1; 2;3 2;3; 1 1;5; Chọn A r r Câu 6: a b 1; 2;3 2;3; 1 1;5; Chọn A uuu r uuur uuu r uuur Câu 7: AB 4;1; , AC 4; 1; 5 � AB AC 4 1 5 27 Chọn D rr rr Câu 8: Ta có b.c �4 � b.c khơng vng góc với Chọn D 7� �1 Chọn A Câu 9: Ta có G � ; 1; � 3� �3 r Câu 10: a 2;0; 3 Chọn A Câu 11: M 0; 2;1 Chọn A uuu r Câu 12: AB 3; 8; Chọn B Câu 13: I 2;0; 1 Chọn A uuur uuur uuu r uuur Câu 14: AB 4;1;1 , AC 1; 2; 4 � AB AC Chọn D Câu 15: C 0;0; �Oz Chọn C Câu 16: D 2;0;0 � Oxy Chọn D Câu 17: M 4;0;7 � Oxz Chọn A Câu 18: M 1; 2;0 � Oxy Chọn C Câu 19: M 0;1;7 � Oyz Chọn D 3;0;0 Chọn B Câu 20: A� �xA� x A � 3; 5;7 Chọn D Câu 21: Ta có �y A� y A � A� �z z A �A� uuuu r Câu 22: M 1; 2;0 � AM 0; 4; 3 Chọn C r � a 4;6;6 m 1 � � � m Chọn A Câu 23: Ta có �r 6 b 2;3; m 1 � r m2 m Câu 24: Ta có b 2; 2;1 � � m Chọn A 2 r m p � m 6; p Chọn D Câu 25: Ta có b 2; m; p � 3 r rr m 1 � Câu 26: b 4;3; m � a.b 4m m � � Chọn D m 3 � r r2 rr r r Câu 27: a b a b 2a.b 25 2.3.5cos120� 19 � a b 19 r r2 rr r r a b a b 2a.b 25 2.3.5cos120� 49 � a b Chọn D rr b.c r r � Câu 28: cos b, c r r Chọn C b.c Câu 29: Giả sử D a;0; � a � D 6;0;0 2 2 Ta có AD BC � a 3 � � Chọn A a � D 0;0;0 � �xN xH xM 1 � Câu 30: Ta có �y N y H yM � N 1;3;7 Chọn D �z 2z z H M �N r r2 r r r2 r r r2 r r r r2 r r b � a b Chọn B Câu 31:Ta có: a b a b a 2ab b a a b cos 60� Câu 32: Giả sử M 0; b;0 Ta có MA MB � 32 b 1 22 b � b � M 0; 2;0 Chọn C 2 Câu 33: Giả sử M x; y; z �x 1 �x 3 uuuu r uuu r � � � � �y � M 3; 4;15 Chọn B Ta có AM BA � �y 1 � �z 15 � �z 3 uuuu r �xQ 4 � MQ x 1; y 2; z � Q Q Q � � �yQ � Q 3;6;3 Chọn A Câu 34: Ta có: �uuur �NP 4; 4; 1 � � �zQ 1 uuu r �AB 1; 1;0 �AB � � u u u r AB BC AC 13 � � AC 9; 6;3 � AC 14 � cos ABC � Câu 35: Ta có: � Chọn A AB.BC 14 �uuur � �BC �BC 8; 5;3 uuu r � uuu r uuur �AB 2; 2; 2 � AB AC � AB AC Chọn A Câu 36: Ta có: �uuur �AC 1;0;1 ur Câu 37: m 3;6;9 4; 2; 4 2;1; 1 2;6 1;9 1 3;9; Chọn A r r r r rr 2 Câu 38: 2a 3b a 2b 2a 6b a.b 2.36 6.49 24 200 Chọn A rr � a.b 2x �x �2 � �2 � x Chọn D Câu 39: Ta có: r r a.b x 5.3 �x x rr r r r r a.b 8 � a; b 135� Chọn C Câu 40: Ta có: cos a; b r r 6.4 a.b uuu r �AB 2; 2; 2 �AB � � u u u r � � 2 Câu 41: Ta có: �AC 1;0;1 � �AC � AB AC BC � AB AC Chọn A �uuur � �BC 14 �BC 1; 2;3 uuur � �AC a 2; b 1; 1 r Câu 42: C a; b;0 � �uuu �AB 2; 2; 2 a 2 k � a 1 � � �� � AC kAB � � b 2k � � � C 1; 2;0 Chọn C b2 � � 1 2k � uuuu r � uuuu r uuuu r �MN 2;10; 14 � MN 2MQ � M, N, Q thẳng hàng Chọn A r Câu 43: Ta có: �uuuu �MQ 1; 5;7 uuur Câu 44: PQ x; 2; � PQ x2 � 8 � � Chọn A x4 � uuur uuur Câu 45: Gọi D x; y; z � DA x; y;3 z ; DB 1 x;3 y; 3 z x � x 1 x x �x 2; y uuur � � y y 2 y � � Và DC x; 2 y; z Yêu cầu toán � � � �z � z z z � � 3� 2;0; � Chọn A Vậy D � � 4� uuu r uuur uuu r uuur Câu 46: AB 2; 2; , BC 1;1; 3 � AB 3BC 1;7; 1 �x 1 �x 4 uuuu r � � � �y � �y 11 Vậy M 4;11; 3 Chọn B Lại có AM x 3; y 4; z �� �z 1 �z 3 � � uuu r uuur Câu 47: AB 3; 2;1 , AC x 2; y 3;5 uuur uuur �x 13 x y 3 5�� Để A, B, C thẳng hàng � AB k AC � Chọn B �y 13 uuuu r uuur Câu 48: MN 3; 2; , PN 2; m; 1 uuuu r uuur Yêu cầu toán � MN PN � m � m Chọn D uuu r uuu r uuu r uuu r r Câu 49: OA 1;1;0 , OB 1;1;0 � OA.OB Suy diện tích tam giác OAB S OAB OA.OB Chọn A uuu r uuur Câu 50: Để ABCD hình bình hành � AB DC 1;0;1 � D 3;1;0 Chọn B 0;0;1 Câu 51: Do AA� A �O 0;0;0 , điểm A’ nằm tia Oz � A� Tương tự ta có: B 0;1;0 , C 1;1;0 ; D 0;1;0 uuur uuur uuuu r uuuur BB� CC � DD� 0;0;1 � D� 1;1;1 Mặt khác AA� 0;1;1 C � Khẳng định sai D Chọn D r r rr Câu 52: a 14; b a.b rr r r r r r r Để hai véctơ u v vng góc u.v ma 3b 3a mb r2 rr r2 � 3ma m2 a.b 3mb � 42m m 18m � 3m 24m 27 m 1 � �� Chọn B m 9 � ... Câu 1: Trong cặp véc tơ sau, cặp véc tơ đối r r r r A a 1; 2; ? ?1? ?? , b ? ?1; 2 ;1? ?? B a 1; 2; ? ?1? ?? , b 1; 2; ? ?1? ?? r r r r C a ? ?1; 2 ;1? ?? , b ? ?1; 2 ;1? ?? D a 1; 2; ? ?1? ?? ,... 3, b Khi a b a b A 19 49 B 49 19 C 19 D 19 r r r Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba véc tơ a ? ?1; 1;0 , b 1; 1;0 , c 1; 1 ;1? ?? Mệnh đề sau đúng? r r r r A a... uuur Vectơ AB có tọa độ là: AB x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 ; vectơ BA x1 x2 ; y1 y2 ; z1 z2 uuu r Độ dài đoạn thẳng AB độ dài vectơ AB và: AB AB x1 x2 y1 y2