14 các bài toán số phức chọn lọc số 02(trang 468 490)

BIÊN SOẠN THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED VN|1 CHINH PHỤC VD VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC CHINH PHỤC VD VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC II CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CHỌN LỌC SỐ 02 ĐỀ BÀI Câu 1 Có bao nhiêu số nguyên để tồn tại 2 số phức thoả mãn và A 5 B 3 C 4 D 6 Câu 2 Có bao nhiêu số phức có phần thực và phần ảo đều là các số nguyên thỏa mãn đồng thời và ? A B C D Câu 3 Cho hai số phức ; thỏa mãn và Biết với là một số nguyên dương Hỏi có bao nhiêu ước số nguyên? A B C.

CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ: II CÁC BÀI TỐN TÍCH PHÂN CHỌN LỌC SỐ 02 ĐỀ BÀI Câu 1: Có số nguyên m để tồn số phức z thoả mãn | z  m  i || z   2mi | A Câu 2: B C | z | D Có số phức z có phần thực phần ảo số nguyên thỏa mãn đồng thời z  i  z  3i  z  4i  z  6i z  10 ? C 10 B A 12 D z  24 z   z2   2i   z1 z2    2i  z1 z z Cho hai số phức ; thỏa mãn Biết Câu 3: z1  z2   2i  a A Câu 4: với a số nguyên dương Hỏi a có ước số nguyên? B 12 C 20 D 16 z  w  z  3w  z  3w  Cho hai số phức z , w thoả mãn , Tính giá trị biểu thức P  z.w  z.w A Câu 5: Cho hai số phức A Câu 6: D C 12 w B  iz  z mặt phẳng tọa độ Oxy đường C D    ; 2  B   C   2; w  iz  z đường trịn có  1 ;   2  D   z   i  z   3i Cho số phức z thỏa mãn số thực Biết tập hợp tất điểm biểu diễn z đường thẳng Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng A Câu 9: B 39 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức bán kính Modul z thuộc tập 1   ; 2 A   Câu 8: D z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  39 z1  z2  Khi z1  z Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức thẳng Khi mơ đun z bằng? A Câu 7: C B B Cho số phức z thỏa mãn C 2  z   i   z   i   25 phức w  z   3i đường tròn tâm A 20 B 10 I  a; b  D Biết tập hợp điểm M biểu diễn số bán kính c Giá trị a  b  c C 18 D 17 Tuyển chọn toán VD-VDC | 468 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC Câu 10: CHUYÊN ĐỀ:  C Gọi z z  z  z  đường cong mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z thỏa mãn  C  Diện tích hình phẳng H H hình phẳng giới hạn 2    5 A B C D Câu 11: z 1  i  Có số thực dương m để tồn số thực z thoả mãn z   3i  m ? A B C D  iz Oxy Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ , số phức  z có tập hợp điểm biểu diễn đường thẳng Môđun z A B C D z   Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn Biết mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức w  z   3i đường trịn Tìm tọa độ tâm I tính bán kính R đường trịn A Câu 14: I  3; 3 , R  64 B Cho số phức z thỏa mãn I  3;3 , R  C  z   i   z   i   25 I  3; 3 , R  D I  3; 3 , R  2 Biết tập hợp điểm M biểu diễn số phức w  z   3i đường tròn tâm I  a; b  bán kính c Giá trị a  b  c A 20 B 10 C 18 D 17 Câu 15: Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z  z  73  Giá trị biểu thức z12  z2  z1 z2 A 213 B 110 C 37 D 183 z ;z Câu 16: Cho số thực b , c cho phương trình z  bz  c  có hai nghiệm phức thỏa mãn z1   3i  A 1 Câu 17: Giả sử B 12  A  21 z1 , z2 P  z1  z2 A số ảo Khi b  c bằng: C D 12  z1 , z2 hai số phức z thỏa mãn  z    zi số thực Biết z1  z2  Giá trị nhỏ Câu 18: Giả sử  z1  2i   z2   z1  z2 B 20  21 C 20  22 D  22 z 1 i  z  z2  z1  z2 số phức z thỏa mãn Khi z đạt giá trị nhỏ số phức có tích phần thực, phần ảo   B C D Tuyển chọn toán VD-VDC | 469 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC Câu 19: Xét hai số phức z1  z2  3i z1 , z2 thỏa mãn CHUYÊN ĐỀ: z1  z2  z2   8i  z1   8i  z1  z2 Khi có giá trị lớn 25 A C 157 B 13 D 34 z   z  2i  w   2i  w   6i zw Câu 20: Xét số phức z; w thỏa mãn Khi đạt giá trị nhỏ nhất, tính A  z 1 B Câu 21: Cho số phức z thỏa mãn nhỏ zz  zz 6 P  z   3i A  10 D C Gọi M m giá trị lớn giá trị Giá trị M  m B  34 C  10 D  34 z  2i  z  4i z   3i  Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn Giá trị lớn biểu thức P  z2 A 13  B C 10  13  x, y  ¡ , 4  y  15 Câu 23: Cho số phức z  x  yi D 10 w thỏa w   3i  Các số phức z , z , z có điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ tạo thành tam giác vuông Gọi m  z  w , M  max z  w Khi m  M B 226 A 224 C 227 D 225 z   2i  z   i w   3i  w   i Câu 24: Xét hai số phức z , w thỏa mãn Giá trị nhỏ z 3i  w3i  z  w abc với a, b, c số nguyên tố Tính giá trị abc A 22 B 24 C 26 D 25 z 1 i  z   8i z  x1  iy1 Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn  4i cho đạt giá trị lớn z  x2  iy2 Giá trị x1  x2  y1 y2 đạt giá trị nhỏ B 55 A 44 Câu 26: Xét ba số phức 470 | Phan Nhật Linh D 46 z , z1 , z2 thoả mãn z  i  z  , z1   z2  5i  Giá trị nhỏ z  z1  z  z2 A C 25 B 10 C D CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC Câu 27: Xét số phức z thỏa mãn nhỏ biểu thức 53  2 A CHUYÊN ĐỀ: zz2  zz 6 P  z   2i Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị Khi M  m 53  2 C B 53  D z1 , z2 , z3  iz2 thay đổi thỏa mãn z1  z2  giá trị lớn b a tz2  (1  t ) z3  z1 c , a, b số nguyên dương, c số nguyên tố Giá t¡ có dạng Câu 28: Với số phức trị a  b  c A 15 C 13 B 12 D 14 z  wz  z  iw   5i  w z Câu 29: Xét số phức , thỏa mãn , Giá trị nhỏ A B  29   C D  29   z   2i  z1   2i z   2i  Câu 30: Với hai số phức z1 , z2 thay đổi thỏa mãn Giá trị nhỏ biểu thức A 5  P  z1   i  z1  z B 10  C 10  D 85    max  z ; z   i     w   2i  w   i Tìm giá trị nhỏ biểu thức Câu 31: Cho hai số phức z , w thỏa mãn  P  zw A 1 B 2  D C  z   2i    z   2i  Giá trị S  z  max z bằng: Câu 32: Cho z  £ thỏa mãn  A  B 52 C  D  1 Tuyển chọn toán VD-VDC | 471 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ: HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Có số nguyên m để tồn số phức z thoả mãn | z  m  i || z   2mi | A B C D Lời giải Chọn A Đặt z  a  bi  a, b  ¡ | z |  Theo giả thiết ta có   a  m    b  1 i   a  1   b  2m  i    a  bi    a  m    b  1   a  1   b  2m   2m   a   4m   b  3m   1     9 2  2 a  b  a  b    Phương trình O bán kính  1 R phương trình đường thẳng, phương trình  2 phương trình đường trịn tâm  1 phải cắt đường trịn có Để tồn số phước z thoả mãn đề đường thẳng có phương trình phương trình Nghĩa  m2   2 d  O,  1   R  m  1    2m  1 3m  2m    1   m  1  Vì Câu 2:   4m     m  5m  6m    m  1 m   2;  1;0;1; 2 m¢ m  2m    nên Có số phức z có phần thực phần ảo số nguyên thỏa mãn đồng thời z  i  z  3i  z  4i  z  6i A 12 472 | Phan Nhật Linh B z  10 ? C 10 D CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ: Lời giải Chọn A M  z  , A  0; 1 , B  0;3  , C  0; 4  , D  0;   z  i  z  3i  z  4i  z  6i Xét  MA  MB  MC  MD Theo bất đẳng thức tam MA  MB  MC  MD  2a0  a0   Khi M thuộc hai elip giác có: MC  MD  CD  10 Do đặt  E1  ,  E2  có độ dài trục lớn 2a0 tâm hai elip trùng  M  0;1  a0  M   E1    E2    I  0;1  M  0;1  a0  điểm trung điểm Do TH1: Nếu M  0;1  a0   z  10   a0  10   a0  TH2: Nếu M  0;1  a0   z  10   a0  10   a0  11 Trường hợp có điểm Trường hợp có điểm Vậy có tất 12 số phức thỏa mãn z  24 z   z2   2i   z1 z2    2i  z1 Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn Biết Câu 3: z1  z2   2i  a A với a số nguyên dương Hỏi a có ước số nguyên? B 12 C 20 D 16 Lời giải Chọn D z   z2   2i   z1 z2    2i  z1 Đặt z3  z2   2i , ta có  z3  z3     1  2 2  z1  z1  z1   z2   2i   z1  z2   2i   z1  z3  z1 z3  z3  3i  3i   z3  z1 z1 2 a  z1  z2   2i  z1  z3  z1  Khi  3i  3i z1  z1   24  i  24 2 2 Tuyển chọn tốn VD-VDC | 473 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ: Do a  nên số ước nguyên a 2.(3  1)(1  1)  16 Câu 4: z  w  z  3w  z  3w  Cho hai số phức z , w thoả mãn , Tính giá trị biểu thức P  z.w  z.w A C Lời giải B Chọn B  D  2 z  2w   z  2w    z  w  z  2w   z  P  w   1 Ta có Tương tự: 2 2 z  3w   z  3w  25   z  3w  z  3w  25  z  P  w  25       2 z  3w   z  3w  16   z  3w  z  3w  16  z  3P  w  16  3 Câu 5: Giải hệ phương  1 ,   ,  3 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  39 z1  z2  Khi z1  z ta P  B 39 A D C 12 Lời giải Chọn C Gọi A B điểm biểu diễn z1 z2 mặt phẳng tọa độ Khi đó: OA  OB  39 AB   AB  z1  z2  2OC  OA     39   12    OAB O Nhận xét: cân Khi đó: với C trung điểm cạnh AB Câu 6: w Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức thẳng Khi mơ đun z bằng? B A  iz  z mặt phẳng tọa độ Oxy đường C Lời giải D Chọn A Ta có: Nếu Nếu Vậy Câu 7: w  iz  w  w.z   iz   w  i  z   w  w  i z   w 1 z z  k 1 z 1 z 1 tập hợp biểu diễn số phức tập hợp biểu diễn số phức w w đường tròn Apollonius đường thẳng thỏa đề Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức bán kính Modul z thuộc tập 474 | Phan Nhật Linh w  iz  z đường trịn có CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ:    ; 2  B  1   ; 2 A   C Lời giải   1 ;   2  D  2; Chọn B Đặt w  x  iy; z  a w Từ ; điều kiện: z  1  iz 1 w 1 w ( x  1)  y  (w  i) z   w  z   z   a2  1 z wi wi x  ( y  1) 2x 2a y  1  a2 1 a2 1 Theo giả thiết quỹ tích w đường trịn bán kính 2, ta có  x2  y  a   4a  10a        a     a       a 1   a 1  đáp án B Câu 8: 2    z   i  z   3i Cho số phức z thỏa mãn số thực Biết tập hợp tất điểm z biểu diễn đường thẳng Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng A B C 2 Lời giải D Chọn C Đặt z  x  yi với x , y  ¡ Ta có:  z   i   z   3i    x  3   y  1 i   x  1    y  3 i    x  3  x  1    y  3  y  1   x  3   y  3   x  1  y  1  i Vì  z   i   z   3i  số thực nên  x  3   y  3   x  1  y  1   x  y    x  y   Do tập hợp tất điểm biểu diễn z đường thẳng  : x  y   Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng  là: 004 d  O,    2 2   1 Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn  z   i   z   i   25 phức w  z   3i đường tròn tâm A 20 B 10 I  a; b  Biết tập hợp điểm M biểu diễn số bán kính c Giá trị a  b  c C 18 D 17 Lời giải Chọn D Gọi điểm M  x; y  điểm biểu diễn số phức w  x  yi,  x, y  R  Tuyển chọn toán VD-VDC | 475 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC  x  yi  z   3i  z  CHUYÊN ĐỀ: x  y 3  i 2 x  y 3  x  y    i   i   i 2i  2 2     z   i   z   i    Khi   x    y  3 i   2i   x    y  3 i   2i  1 2 2   x    y   i   x    y   i    x     y   i     x     y  5      4 1 2 2  x     y  5   25   x     y    100 Từ giả thiết, suy  tập hợp điểm M  x; y  biểu diễn số phức w  z   3i đường tròn tâm I  2;5  bán kính c  10 Vậy a  b  c    10  17 Câu 10:  C Gọi z z  z  z  đường cong mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z thỏa mãn  C  Diện tích hình phẳng H H hình phẳng giới hạn 2  A B  C 2 D Lời giải Chọn D Đặt z  x  yi; x, y  ¡ z.z  z  z    x  yi   x  yi   x  yi  ( x  yi )  Ta có  x2  y  y   x2  y   x2 y  1 1 Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z elip có a  ; Suy diện tích hình phẳng H Câu 11: S   ab  b  z 1  i  Có số thực dương m để tồn số thực z thoả mãn z   3i  m ? A B C Lời giải Chọn A Đặt z  x  yi Ta có   x, y  ¡  z   i   x  yi   i    x  1   y  1 i   x  1 476 | Phan Nhật Linh   y  1    x  1   y  1  2  1 D CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ:  Tập hợp số phức cần tìm hình tròn tâm I  1;1 , R1  Mặt khác z   3i  m   x     y  3 i  m  x  2    y  3  m   x     y  3  m 2 2  2  Tập hợp số phức cần tìm đường trịn tâm J  2; 3 , R2  m Do để tồn số phức z thoả mãn  m   13  m  2  13  IJ  R1  R2     m   13  IJ  R1  R2  m   13 Vì m  nên m  13   iz Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , số phức  z có tập hợp điểm biểu diễn đường thẳng Môđun z A B C D Lời giải Chọn C w Ta có Đặt  iz  w   z    iz  z  w  i    4w  z w    4w 4 z z  r  r   , w  x  yi  x, y  ¡ r x   y  1   1 4x   Khi   16 y  r x   y  1   16  r  z   16  r  y  x  x y   r         4x   16 y   phải phương trình bậc Vì tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường thẳng nên x, y  16  r   r  z   Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn Biết mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức w  z   3i đường trịn Tìm tọa độ tâm I tính bán kính R đường trịn A I  3; 3 , R  64 B I  3;3 , R  C Lời giải I  3; 3 , R  D I  3; 3 , R  2 Chọn C Gọi w  x  yi,  x, y  ¡  Ta có:  w  z   3i  w   3i   z    w   3i  z   w   3i   x  3   y  3    x  3   y  3  64  I  3; 3 , R  Câu 14: Cho số phức z thỏa mãn 2  z   i   z   i   25 Vậy I  3; 3 , R  Biết tập hợp điểm M biểu diễn số I  a; b  phức w  z   3i đường tròn tâm bán kính c Giá trị a  b  c Tuyển chọn toán VD-VDC | 477 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC z1  x  yi  z  z1  x  yi CHUYÊN ĐỀ: z1   3i    x  3   y  3  2 Khi giả thiết môđun tương đương với  1 Và  z1  2i   z2     x   y   i   x    yi   x  x    y  y     x    y    xy  i số ảo phần thực tức x  x    y  y     x  y  x  y   2  x  3   y  3  x     1   :  x  y  x  y   y  2 Giải hệ gồm  z1   2i ; z2   2i  z1  z2  b    2i     2i    b  c  4    z z  c   2i  2i      Vì theo Vi-et ta có:  Câu 17: Giả sử   z1 , z2 hai số phức z thỏa mãn  z    zi số thực Biết z1  z2  Giá trị nhỏ A  21 Chọn C Đặt z1  z2 B 20  21  C 20  22 Lời giải D  22  z  x  yi   z    zi   x   yi    y  xi    x     y   xy    x  x    y   y   i số thực phần ảo tức:  x  x    y   y    x  y  x  y    x  3   y    25  z   4i  2  u1  u2  u  z – – 4i    z1  z2   u1   4i    u2   4i   u1  u2  Đặt ẩn phụ cho đơn giản: z1  3z2   u1   4i    u2   4i   u1  3u2    4i  uuu r uuu r u1  OA  5, u2  OB  A  u1  , B  u2  Gọi u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r uuu r uuu r uuu r uuur 2 2 u1  u2  OA  OB  OA  OB  2OA.OB  25  25  2OA.OB  16  OA.OB  17 Khi Vì uuu r uuu r uuu r2 uuu r2 uuu r uuu r u1  3u2  OA  3OB  OA  9OB  6OA.OB  25  9.25  6.17  352  u1  3u2  22 Dùng bất đẳng thức mơđun ab  a  b có: u1  3u2    4i     4i   u1  3u2  20  22 Tuyển chọn tốn VD-VDC | 479 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC z 1 i  z  z2  z1  z2 số phức z thỏa mãn Khi z1 , z2 Câu 18: Giả sử P  z1  z2 A CHUYÊN ĐỀ: z đạt giá trị nhỏ số phức có tích phần thực, phần ảo   B C D Lời giải Chọn D Ta có: z   i   z   1  i    M  z  Và gọi A  z1  , B  z2   z1  z2  z1  z2  OA  OB  AB  O uuu r uuur P  z1  z2  OA  2OB  Khi Mặt khác  thuộc đường trịn có tâm I  1; 1 , R  thuộc đoạn AB uuu r uuur2 uuu r uuur  OA  4OB  4.OA.OB  OA2  4OB  4OA.OB OA.OB   HA  OH   HB  OH    HA  OH   HA  OH   HA2  OH      HA2  OI  IH  HA2  IH  OI  IA2  OI  R  OI    2 2 2 Do đó: P  OA  4OB   OA 4OB   16 OA2  4OB OA   z1     OA.OB  OB   z2  Dấu xảy   x  1   y  1   z1   i   x  y  1 z1  x  yi  x, y  ¡      2  z1   x  y   x  y   Đặt  x  y    x  y   1  xy    Suy Chọn đáp án D Câu 19: Xét hai số phức z1  z2  3i 25 A z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  có giá trị lớn B 13 C 157 Lời giải Chọn C 480 | Phan Nhật Linh z2   8i  z1   8i  z1  z2 D 34 Khi CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC Gọi A  6;8  , M  z1  , N  z2  CHUYÊN ĐỀ: , theo giả thiết z1  z2   MN  z2   8i  z1   8i  z1  z2  z1  z2  z2   8i   z1  6  8i  z1  z2  z1  z2  z1  z2  mà nên z2   8i  z1   8i  z1  z2  z1  z2   AN  AM  MN  OM  ON  Như A , M , O , N phải bốn điểm thẳng hàng có vị trí hình vẽ Đường thẳng OA có phương y x trình   N  OA  N  x ;  x  ;  mà uuuur uuu r   NM  OA   3;   M  x  3;  x      xM  xO 0 x3  xN  xO  Ta có z1  z2  3i  Khi đó:  x   2x  2      x   x  3     25 x  26 x  10  max 25 x  26 x  10  157  ; 3  x  3   4 x  1 z   z  2i  w   2i  w   6i zw Câu 20: Xét số phức z; w thỏa mãn Khi đạt giá trị nhỏ nhất, tính A  z B D C Lời giải 1 Chọn D Gọi z  x  yi với x; y  ¡ M điểm biểu diễn số phức z z   z  2i    x    y  x   y      x  1   y  1  Ta có 2 2  C  tâm I  1;1 bán kính R  Suy M thuộc đường tròn Gọi w  a  bi với a, b  ¡ N điểm biểu diễn số phức w Tuyển chọn toán VD-VDC | 481 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC Ta có w   2i  w   6i   a  3 CHUYÊN ĐỀ:   b  2   a  3   b    3a  4b   Suy N thuộc đường thẳng  : 3x  y   Gọi d qua I vng góc với đường thẳng  : 3x  y   , suy d : x  y    7 H  d    H  ;   5   IH  Gọi uur uuu r  1  IK  IH  K  ;   C  Ta có IH  3; IK  5 5 Gọi K giao điểm đoạn IH z  w  MN Mặt khác, ta có  C  N thay đổi thuộc đường thẳng  nên suy MN  KH Vì M thay đổi thuộc đường trịn  1 M ;  z  w  HK   5 Do M  K , N  H , suy z  OM  Vậy zz  zz 6 Câu 21: Cho số phức z thỏa mãn P  z   3i nhỏ A  10 Gọi M m giá trị lớn giá trị Giá trị M  m B  34 C  10 Lời giải D  34 Chọn C Đặt z  a  bi  z  a  bi Khi ta có: z  z  z  z   a  bi  a  bi  a  bi  a  bi   a  b   a  b  P  z   3i  Gọi I  a; b   a  2   b  3 A  2;3 điểm biểu diễn số phức z Ta cần tìm max IA  3;0 ,  3;0 ,  0; 3  0;3 Với I điểm thuộc cạnh hình vng có đỉnh 482 | Phan Nhật Linh CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ: Dựa vào hình vẽ, ta nhận thấy IAmin  d  A, MQ  IAmax  AP  , phương trình MQ : x  y   nên   0    3  10  M IAmin  233  m Do M  m   10 z  2i  z  4i z   3i  Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn Giá trị lớn biểu thức P  z2 A 13  B 13 C 10  Lời giải D 10 Chọn B Đặt u  z   z  u   z  2i  z  4i  u   2i  u   4i  ,  z   3i  u   3i      Ta có với u  x  yi; x, y  ¡  y   2  x  1   y  3   tập hợp điểm M biểu diễn số phức u giao nửa đường tròn tâm I  1;3 , bán P kính R  với đường thẳng y  max Dựa vào hình vẽ, ta có M  2;3 , Pmax  13 Tuyển chọn tốn VD-VDC | 483 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC Câu 23: Cho số phức z  x  yi CHUYÊN ĐỀ:  x, y  ¡ , 4  y  15 w thỏa w   3i  Các số phức z , z , z có điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ tạo thành tam giác vuông Gọi m  z  w , M  max z  w B 226 A 224 Khi m  M C 227 D 225 Lời giải Chọn C w   3i  J  4;3 Gọi điểm biểu diễn w K từ ta có K thuộc đường trịn tâm , bán R  kính Gọi A  x; y  z  w  AK , B, C điểm biểu diễn z , z , z , AB  z  z  z z  AC  z  z  z z  BC  z  z  z z  Ta có , , 2  AB  AC  BC  2  AB  BC  AC  AC  BC  AB z  0, z  Từ đề ta có tam giác ABC vuông nên  2 2 2 2   z   z    x  1  y  x  y  x  1 Trường hợp 1: B  AC  BC D  1; 4  , E  1;15  Do 4  y  15 nên A thuộc đoạn DE với Khi M  max AK  JE  R  15 , m1  AK  d  J , DE   R  2  1 z  z    x  y   x  1  y  x  AB  BC  AC Trường hợp 2: P  0; 4  , Q  0;15  Do 4  y  15 nên A thuộc đoạn PQ với M  max AK  JQ  R  10  m1  AK  d  J , PQ   Khi , 2 2 2  z 1  z    x  1  y  x  y  Trường hợp 3: AC  BC  AB 2 2 1    I   ;0   x    y2  R1  2 Suy A thuộc đường tròn tâm   , bán kính  bỏ điểm  1;  ,  0;0  Khi M  max AK  IJ  R  R1  484 | Phan Nhật Linh 13  13  m3  AK  IJ  R  R1  2 , CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ: 13    m   m1 , m2 , m3   3; 2; 2    Vậy  13   M  max  M 1`; M ; M 3  max 15; 10  2;   15   Suy m  M  227 Chú ý: Nếu vẽ xác hình vẽ suy M  JE  15, m  d  I , PQ   R  z   2i  z   i w   3i  w   i Câu 24: Xét hai số phức z , w thỏa mãn Giá trị nhỏ abc z 3i  w3i  z  w với a, b, c số nguyên tố Tính giá trị abc A 22 C 26 Lời giải B 24 D 25 Chọn B Gọi z  x  iy,  x, y  ¡ , w  a  bi ,  a, b  ¡ ; M , N điểm biểu diễn số phức z, w Khi đó, M   : x  y  0; N  d : x  y   z   2i  z   i  x  y  Ta có Gọi w   3i  w   i  a  2b   T  z   i  w   i  z  w  AM  AN  MN A '  Ð  A   1,8; 2,6  với A  3;1 A ''  Ðd  A    2, 2; 2,  , 2 T  AM  AN  MN  A ' M  A '' N  MN  A ' A ''  170    17  abc 5 Vậy a  b  c    17  24 z 1 i  z   8i z  x1  iy1  i z Câu 25: Cho số phức thỏa mãn cho đạt giá trị lớn z  x2  iy2 Giá trị x1  x2  y1 y2 đạt giá trị nhỏ A 44 B 55 C 25 Lời giải D 46 Chọn D Tuyển chọn toán VD-VDC | 485 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ: z   i   z   7i   i Ta có Điều có nghĩa tập hợp điểm biểu diễn cho số  C  :  x  1   y    25 có tâm I  1;  bán kính R  thức z  x  iy đường tròn P  z   8i  MA Ta có khoảng cách A  3;8 Ta có AI  z   7i  2  i  P  z   7i  2  i    P   uur IA   2;1  M1   C  uur  M 1  5;  Pmax  M A    M I  IA   uuuur AM   AI    Pmin Vậy    M   C  r uu r  M  5;7   AM    IM  IA   uuuuu AM   IA          x1  x2  y1 y2          44  46 Câu 26: Xét ba số phức   z , z1 , z2 thoả mãn z  i  z  , z1   z2  5i  Giá trị nhỏ z  z1  z  z2 A B 10 C Lời giải D Chọn A Gọi z, z1 M , M , M điểm biểu diễn số phức Ta có z  i  z 1  z  5i  z   MA  MB với z2  A 0;   B  5;0   M  d với d đường trung trực AB  5 uuur I   ;   2  trung điểm AB nhận AB   5;  làm VTPT  d : x  y  d qua   z1    M   C1  Khi T 486 | Phan Nhật Linh  , bán kính R   C  đường tròn tâm I  0;  , bán kính R với với z2  5i   M   C2    C1  đường tròn tâm 2 z  z1  z  z2  MM  MM  I1 5;0 2 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ:   I1' 0; 3 M 1'   C1'  C1'   M d Lấy đối xứng qua , ta với đường tròn tâm , bán kính R1'  Khi MM 1'  MM  M 1' M  I1' I  R1'  R2  Dấu “=” xảy Hay   M  O  0;0  , M 0;2 , M 5;0  z  0, z2  5i , z1  Câu 27: Xét số phức z thỏa mãn nhỏ biểu thức 53  2 A Chọn A Giả sử  zz2  zz 6 P  z   2i Khi M  m 53  2 C Lời giải B z  x  yi,  x, y  ¡  Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị D 53  ta có z  z  x z  z  y từ giả thiết toán ta z  z   z  z   2x   y   x   y  Từ ta có bốn trường hợp sau  x  1, y   x  1, y   x  1, y   II  :   III  :   x  y  4 x  y  x  y   I :  x  1, y   x  y  4 Hình biểu diễn  I  đoạn AB ,  II  đoạn CD ,  III   IV  :   IV  đoạn AD Với ABCD hình vng hình vẽ đoạn BC Tuyển chọn tốn VD-VDC | 487 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ: P  z   2i  MN Đặt M (3;2) với N điểm thuộc cạnh hình vng ABCD Dựng đường thẳng qua M vng góc với AB cắt AB E cắt CD F Từ hình vẽ max P  P  ME  MD  d ( M , AB)  MD  ta có Hay M m  53 53  2 z  z2  Câu 28: Với số phức z1 , z2 , z3  iz2 thay đổi thỏa mãn giá trị lớn b a tz2  (1  t ) z3  z1 c , a, b số nguyên dương, c số nguyên tố t¡ có dạng Giá trị a  b  c A 15 B 12 C 13 Lời giải D 14 Chọn B z ,z ,z Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường trịn tâm O bán kính R  z z z Gọi điểm biểu diễn số phức , , A, B, C z  z  BC  Ta có OBC tam giác vng cân O tz  (1  t ) z3 biểu diễn điểm M thuộc đường thẳng BC Số phức uuuu r uuu r tz2  (1  t ) z3  z1  OM  OA  AM Do đó, ta có 488 | Phan Nhật Linh CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC Gọi H hình chiếu A lên BC ta có AM  AH  tz2  (1  t ) z3  z1  AM  AH t¡ Khi   CHUYÊN ĐỀ: max tz2  (1  t ) z3  z1  max  AH   ED  R  OD   t¡ Vậy ta có a  5, b  5, c  z  wz  z  iw   5i  Câu 29: Xét số phức z , w thỏa mãn , Giá trị nhỏ A B  29   C Lời giải D  29   Chọn C 2  5i iw   5i   i w  1  w 5 2i 1 i Ta có: Ta có: T  z  wz   z  wz  z  z  wz  z z  z z z w 2 z z w  * z 2 Đặt z  a  bi Suy ra: z  z  2bi Vì nên 4  2b  Gọi A , B điểm biểu diễn w 2bi Suy ra:  C  có tâm I  5; 2  , bán kính R  + A thuộc đường tròn 4  xB  + B thuộc trục Oy Từ  * suy ra: T  AB  MN  4 8 Dấu “  ” xảy A  M  4; 2   w  4  2i B  N  0; 2   2bi  2i  b  1  z  a  i  a    a    z    i Vậy z  wz  có giá trị nhỏ z   2i  z1   2i z   2i  Câu 30: Với hai số phức z1 , z2 thay đổi thỏa mãn Giá trị nhỏ biểu thức A 5  P  z1   i  z1  z B 10  C 10  Lời giải D 85  Tuyển chọn toán VD-VDC | 489 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC Chọn D Đặt z1  x1  y1i với x1 , y1 số thực Từ z1   2i  z1   2i suy  x1  1 CHUYÊN ĐỀ:   y1     x1     y1    x1  y1   z Tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức mặt phẳng phức đường thẳng d : 3x  y   Do z2   2i  I  3;   C  tâm z nên tập hợp điểm N biểu diễn cho số phức đường trịn , bán kính R  P  z1   i  z1  z2  AM  MN điểm Ta cần tìm giá trị nhỏ biểu thức A  3; 1 A  3; 5  Gọi A điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d , ta tìm  AN  AN  AI  IN0  AI  R với N hai Có P  AM  MN  AM  MN  C  , N I A Khi đó, M giao điểm AI giao điểm AI với đường tròn d Vậy biểu thức P  AM  MN đạt giá trị nhỏ AI  R Cách 2: 85  P  z1   i  z1  z2  z1   i  z1   2i   z2   2i  P  z1   i  z1   2i  z2   2i P  z1   i  z1   2i  Đặt z1  x1  y1i với x1 , y1 số thực Từ z1   2i  z1   2i suy  x1  1   y1     x1  y1   P  x1  3 490 | Phan Nhật Linh   y1  1   x1  3   y1    2  x1     y1   CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC Thay y1  CHUYÊN ĐỀ: 13 13 3x1  P x1  13  x1  x1  34  4 ta có  13  P   x1       13  2  13   19     x1   2    13   13  2  13 13   19  P   x1   x1   13    2   13 13     85   13 x1  13   69  19   13 x  x1  16 ; y1  32   13  13  x2  y2   x2  y2   57  133  *     Pmin  85    x1  y1  32   16 x2  y2   t 0 7  x2   3t ; y2   t  2 Từ suy ra: Có   x2  3 x2  49 2 t   y2     9t  t  85 t  255  12 85 170  14 85 ; y2  85 85   max  z ; z   i    w   2i  w   i Câu 31: Cho hai số phức z , w thỏa mãn  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  zw A 1 B 2  D C Lời giải Chọn A Gọi M , N điểm biểu diễn z , w mặt phẳng phức a,b, x,y  ¡ Đặt z  a  bi w  x  yi với a  b   2 max  z ; z   i    a  1   b  1  Ta có Do M nằm miền giao hình trịn tâm O(0;0) , bán kính hình trịn tâm I (1;1) , bán kính w   2i  w   i   x  1   y     x     y  1  x  y  Ta có  1; 1 Do N nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng y   x chứa điểm Gọi T giao điểm IO đường trịn tâm I , bán kính Ta thấy IM  IT  IO  IN 2 2 Tuyển chọn toán VD-VDC | 491 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ: z  w  MN  IN  IM  IO  IT   Theo bất đẳng thức tam giác Đẳng thức xảy M trùng T , N trùng O Vậy z  w    z   2i    z   2i  Giá trị S  z  max z bằng: Câu 32: Cho z  £ thỏa mãn  A  B 52 C  Lời giải D  1 Chọn A Gọi M điểm biểu diễn số phức z  x  yi mặt phẳng phức  z   2i    z   2i   Ta có:  2   x  1   y     2   x     y     I ;1  I ;  , với I1  1;  I  2;4  Do M thuộc phần chung hai hình trịn II Phương trình đường thẳng y  x Dựa vào hình vẽ ta thấy z z lớn M  Q nhỏ M  P , P ; Q lần  I ;   I1 ;1 cho P ; Q lượt giao điểm đường thẳng y  x với đường tròn nằm I1 I 492 | Phan Nhật Linh CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ:   5 5 P   ;4  Q 1  ;2     5  5     Dễ thấy ; Vậy S  z  max z  OP  OQ   Tuyển chọn toán VD-VDC | 493 ... mãn Khi z đạt giá trị nhỏ số phức có tích phần thực, phần ảo   B C D Tuyển chọn toán VD-VDC | 469 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC Câu 19: Xét hai số phức z1  z2  3i z1 , z2 thỏa... Tuyển chọn toán VD-VDC | 479 CHINH PHỤC VD-VDC GIẢI TÍCH NĂM 2022 SỐ PHỨC z 1 i  z  z2  z1  z2 số phức z thỏa mãn Khi z1 , z2 Câu 18: Giả sử P  z1  z2 A CHUYÊN ĐỀ: z đạt giá trị nhỏ số phức. .. 3i  Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn Giá trị lớn biểu thức P  z2 A 13  B C 10  13  x, y  ¡ , 4  y  15 Câu 23: Cho số phức z  x  yi D 10 w thỏa w   3i  Các số phức z , z , z có