Không gian vectơ các đa thức trên một trường

i TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGÔ THỊ THU THỦY KHÔNG GIAN VECTƠ CÁC ĐA THỨC TRÊN MỘT TRƯỜNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán Phú Thọ, 2019 ii TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA: KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGÔ THỊ THU THỦY KHÔNG GIAN VECTƠ CÁC ĐA THỨC TRÊN MỘT TRƯỜNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán học Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Tiến Mạnh Phú Thọ, 2019 iii LỜI CẢM ƠN Trong suốt thời gian thực khóa luận tốt nghiệp, ngồi nỗ lực thân em cịn nhận giúp đỡ tận tình thầy giáo, cô giáo Khoa Khoa học - Tự nhiên Trường Đại học Hùng Vương Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Tiến Mạnh – Giảng viên Khoa Khoa học - Tự nhiên Trường Đại học Hùng Vương Thầy dành nhiều thời gian quý báu để tận tình hướng dẫn, bảo em suốt q trình thực khóa luận tốt nghiệp Đồng thời thầy người giúp em lĩnh hội nắm vững nhiều kiến thức chuyên môn rèn luyện cho tác phong nghiên cứu khoa học Do chưa có nhiều kinh nghiệm nghiên cứu, nên khơng tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận đóng góp quý báu thầy bạn để khóa luận hồn thiện Cuối em xin kính chúc thầy giáo, cô giáo dồi sức khỏe, hạnh phúc thành đạt Em xin chân thành cảm ơn! Việt Trì, ngày 10 tháng năm 2019 Sinh viên Ngơ Thị Thu Thủy iv MỤC LỤC Trang PHẦN MỞ ĐẦU Chương 1: SƠ LƯỢC MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ KHƠNG GIAN VECTƠ VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1.1 Không gian vectơ 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Một số ví dụ khơng gian vectơ 1.1.3 Một số tính chất đơn giản 1.2 Không gian 1.2.1 Định nghĩa không gian 1.2.2 Ví dụ khơng gian 1.3 Ánh xạ tuyến tính 1.3.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính 1.3.2 Ví dụ ánh xạ tuyến tính 10 Chương 2: CƠ SỞ VÀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 13 VECTƠ CÁC ĐA THỨC 13 2.1 Cơ sở tọa độ không gian vectơ đa thức biến 13 2.1.1 Các khái niệm 13 2.1.2 Cơ sở không gian vectơ đa thức biến 17 2.1.3 Tọa độ không gian vectơ đa thức biến 24 2.2 Cơ sở không gian vectơ đa thức nhiều biến 25 2.2.1 Khái niệm đa thức nhiều biến 25 2.2.2 Cơ sở không gian đa thức nhiều biến 25 2.3 Các tập có liên quan 26 Chương 3: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH GIỮA CÁC KHÔNG GIAN 37 VECTƠ ĐA THỨC 37 3.1 Cơ sở lí thuyết: 37 3.2 Các tập có liên quan 44 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 PHẦN MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Có thể nói Khơng gian vectơ (KGVT) lĩnh vực quan trọng Nó coi sở cho hầu hết mơn Tốn mà sinh viên học Chính KGVT giảng dạy năm cho chương trình đào tạo: Sư phạm, Kĩ thuật Công nghệ, Kinh tế, Nơng Lâm, Tìm hiểu KGVT tìm hiểu về: Định nghĩa, tính chất KGVT; Khơng gian con; Sự độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính; Cơ sở KGVT; Bên cạnh đó, đa thức có vai trị quan trọng tốn học Nó đối tượng nghiên cứu trọng tâm Đại số xuyên suốt từ bậc Trung học sở đến Đại học phép toán vành đa thức (chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, nghiệm đa thức, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, đẳng thức, ); dạng toán phương trình, hệ phương trình (bậc nhất, bậc hai, bậc cao, giá trị tuyệt đối, vô tỉ, ); dạng tốn bất đẳng thức, bất phương trình, hệ bất phương trình, mà cịn cơng cụ đắc lực Giải tích lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, tối ưu, Ngoài ra, lý thuyết đa thức cịn sử dụng nhiều tốn cao cấp, toán ứng dụng xem dạng toán khó Như biết, tập đa thức trường số vừa có cấu trúc vành, vừa có cấu trúc KGVT Và KGVT cấu trúc Đại số đại, mang tính trừu tượng Để hiểu rõ KGVT nhằm ứng dụng cấu trúc học tập, nghiên cứu cần thể việc áp dụng KGVT đối tượng cụ thể đối tượng toán học quen thuộc vừa cổ điển, vừa đại có mặt hầu hết lĩnh vực đa thức Từ kinh nghiệm thực tiễn cho thấy nhiều tốn đa thức giải xem xét cấu trúc KGVT Với mục đích hiểu rõ vấn đề đa thức, đồng thời để tìm hiểu ứng dụng cấu trúc KGVT đối tượng cụ thể Tốn học, tơi chọn đề tài: “Không gian vectơ đa thức trường” cho khóa luận tốt nghiệp Mục tiêu khóa luận Cụ thể hóa vấn đề thuộc lý thuyết KGVT nói chung, áp dụng vào KGVT đa thức trường Giải tốn đa thức có ứng dụng KGVT để giải Nhiệm vụ nghiên cứu  Nghiên cứu khái niệm, tính chất đối tượng liên quan đến cấu trúc KGVT  Nghiên cứu kiến thức sở tập đa thức trường, ý đến hai cấu trúc lớp đối tượng (cấu trúc vành, cấu trúc KGVT)  Tìm liên hệ để làm rõ vấn đề KGVT nói chung xem xét cụ thể KGVT đa thức trường Phương pháp nghiên cứu  Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến cấu trúc không gian vectơ  Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu, tham khảo tài liệu, từ rút kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu  Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng dẫn ý kiến giảng viên khác để hoàn thiện mặt nội dung hình thức khố luận Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Cấu trúc KGVT đa thức Phạm vi: Khoá luận chủ yếu tập trung vào vấn đề liên quan đến cấu trúc không gian vectơ, ánh xạ tuyến tính thể cụ thể không gian vectơ đa thức Ý nghĩa khoa học thực tiễn Khoá luận hệ thống kiến thức sở không gian vectơ đa thức biến, nhiều biến Đồng thời liên hệ với vấn đề quen thuộc giải tích, đại số Cụ thể: Đồ thị hàm số, nguyên hàm tích phân, khai triển, đa thức số học, biểu diễn đa thức,… Bố cục khóa luận Chương Sơ lược số kiến thức KGVT ánh xạ tuyến tính 1.1 Khơng gian vectơ 1.2 Khơng gian 1.3 Ánh xạ tuyến tính Chương Cơ sở tọa độ KGVT đa thức 2.1 Cơ sở tọa độ KGVT đa thức biến 2.2 Cơ sở tọa độ KGVT đa thức nhiều biến 2.3 Một số tốn có liên quan Chương Ánh xạ tuyến tính khơng gian vectơ đa thức 3.1 Cơ sở lí thuyết 3.2 Một số tốn có liên quan Chương 1: SƠ LƯỢC MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ KHÔNG GIAN VECTƠ VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1.1 Khơng gian vectơ 1.1.1 Định nghĩa Mọi tập hợp V trang bị Phép cộng “+” : V V  V ( ,  )   Phép nhân “ ” : K V  V   ,   Bộ V , ,. gọi KGVT K hay K  không gian vectơ thỏa mãn tiên đề: 1)           2)             3) 0 V :     ,  V   4)  V ,    :       5)      .  . ,  ,  V ,   K 6)             ,   V ;  ,  K   7)       . ,  V ;  ,  K 8)1.   ,  V Khi phần tử  V gọi vectơ, số   K gọi vô hướng  2 1.1.2 Một số ví dụ khơng gian vectơ Ví dụ 1.1.1: Xét tập tất đa thức biến K  X  với phép cộng Cho P   an n ; Q   bn n  K  X  Khi P  Q   an  bn n  K  X  phép nhân:   K , P   an n  K  X  Khi  P    an n  K  X  Chính phép cộng phép nhân thông thường thực phép toán K  X  Đa thức đóng vai trị vectơ khơng, cịn đa thức đối vectơ đối Các tính chất cịn lại tính chất quen thuộc đa thức Vậy K  X  lập thành KGVT Ví dụ 1.1.2: Tương tự, tập tất đa thức biến K  x  bậc nhỏ số n  cho trước KGVT Ví dụ 1.1.3: Tuy nhiên tập tất đa thức biến K  x  bậc lớn số n  cho trước với phép cộng đa thức thông thường phép nhân đa thức với phần tử trường nêu KGVT Lí tổng hai đa thức bậc lớn n có bậc nhỏ n , nên phép cộng thông thường phép toán ( tập xét ) 1.1.3 Một số tính chất đơn giản Định lý 1.1.1: Trong khơng gian vectơ tồn vectơ không  2 Chứng minh: Thật giả sử khơng gian vectơ có hai vectơ khơng kí hiệu 1  Vì 1 vectơ khơng nên 2  1  2 Tương tự 1  2  1 Từ hai đẳng thức suy điều phải chứng minh Định lý 1.1.2: Mỗi vectơ không gian vectơ có vectơ đối  2 Chứng minh: Giả sử  V có hai đa thức đối 1  Khi đó:         1      1 Vì   1      nên 1   Định lý 1.1.3: Trong khơng gian vectơ ta có 0.  0. 2 Chứng minh: Ta xét phần tử 0.  1.    1  1.   0.  1.  0.   Từ suy ra:   0.   Thêm vào hai vế đẳng thức đa thức đối   ta có:         0.      0.       0.   0. Từ rút 0.  Định lý 1.1.4: Với  V vectơ đối  tích  với 1  2 Chứng minh: Ta có: 1.   1   1  1   Điều chứng tỏ  1  đa thức đối  Định lý 1.1.5:  2 i) a  K ta có a    a  ii) a    Chứng minh: i) Ta có:     a    1   a  a  1 a.0  a     a   a   46 Bài 2: Giả sử n  * , En  n  X   KGVT đa thức bậc  n Chứng tỏ: i  X Q  En , ! P  En , Q   P    i 2 i 0 n    Giải: n X thuộc En ánh xạ i    Rõ ràng với P thuộc En :  P    i i 0 i  X  f : En  En ; f  P    P    i  2  i 0 n    Họ f X k k n họ đa thức với bậc nên sở En Điều chứng tỏ f song ánh từ suy điều phải chứng minh Bài 3: Tìm ánh xạ tuyến tính T : P2  P2 xác định T 1   x; T  x    x , T  x    x  3x Tính T   x  3x  Giải: Giả sử p  P2 p có dạng: p  a0  a1 x  a2 x T  p   a0T 1  a1T  x   a2T  x   a0 1  x   a1   x   a2   x  3x  Do đó: T  p    a0  3a1  4a2    a0  2a2  x   a1  3a2  x Áp dụng: T   x  3x      2   4.3    2.3 x   2  3.3 x   8x  x2 Bài 4: Cho T : P2  P4 T  p  x   x2 p  x  ánh xạ tuyến tính xác định 47 a) Tìm ma trận T sở B   p1 , p2 , p3  P2 sở tắc B ' P4 : p1   x ; p2   x  3x ; p3   x  x  b) Dùng ma trận thu a) tính T 3  x  x  Giải: Cho T : P2  P4 xác định bởi: T  p  x    x p  x  a) Ta có: T  p1   T 1  x   x 1  x   x  x T  p2   T 1  x  3x   x 1  x  3x   x  x  3x T  p3   T   x  x   x   x  x   x  x  x Do ánh xạ T có ma trận: 0 0  A   T  p1   B ' T  p2   B ' T  p3   B '   1  0 1 0 0  4  5 1 Và sau đó: T  p1   B '  A  p B ; p  P2   b) Muốn tính T 3  x  x nhờ công thức trước hết ta phải biểu diễn đa thức 3  x  x sở B P2 Ta có: 3  x  x   p1   p2   p3   1  x    1  x  3x      x  x  Do  ,  ,  nghiệm hệ: 48     4  3  2  5    3    2  Giải hệ ta được:  25 ,  ,  Ta suy ra:  25        3  x  x    B          25           0    3  Vậy: T   x  x    A   B'        5        2  Vì B’ sở tắc P4 nên ta suy ra: T  3  x  x   3x  x3  x Tính trực tiếp ta được: T  3  x  x   x  3  x  x   3x  x3  x trùng với kết Bài 5: Cho D : P2  P2 toán tử đạo hàm D  p   p ' Tìm ma trận D sở B   p1 ; p2 ; p3  đây: a) p1  1, p2  x, p3  x b) p1  2, p2   x, p3   x  x 49  c) Dùng ma trận thu a) để tính D  x  24 x  d) Làm lại phần c) với ma trận phần b) Giải: a) Ta có: D  p1   D 1  1'   x  x  x D  p2   D  x   x '    x  x D  p3   D  x    x  '  x   x  x Ta suy ra, B sở tắc P2 : 0  A  0    0 0  b) D  p1   D    2'    p  p 3 3  p1  p2  p3 ; 2 D  p2   D   3x  x     3x  x  '  3  16 x D  p2   D   3x     3x  '  3  0   3 /   D  p1   B  0  ;  D  p2   B        0    Để tính  D  p3   ta viết: B 3  16 x   p1   p2   p3       3x      3x  x  Ta thấy  ,  ,  nghiệm hệ: 2    2  3  3  3  16 8   Giải hệ ta được: 50  23 16 ;  ;   23          16    Do  D  p3       B    3         Ta suy ra:  3 23  0    16   A 0   0 0      c) Vì câu a) , B sở tắc P2 nên 0     6   D   x  24 x    0   6    48   B      0 0   24    Do D   x  24 x   6.1  48 x  x  6  48 x ; Trùng với kết tính trực tiếp: D   x  24 x     x  24 x  '  6  48 x d) Trong câu b) B khơng phải sở tắc P2 trước hết ta phải biểu diễn p   x  24 x sở B Ta có:  x  24 x   p1   p2   p3         3x      3x  x    2  2  2    3  3  x  8 x 51 Vậy  ,  ,  nghiệm hệ: 2  2  2   3  3  6 8  24  Giải hệ ta được:   1,   1,    1   x  24 x     1  B    3 Do đó: Cho nên: 0  / 23 /     13   1   16   D   x  24 x    0  16 /  B      0 0   3   Ta suy ra: D   x  24 x   13 p1  16 p2  p3  13.2  16   3x   6  48 x Kết trùng với kết tính đạo hàm trực tiếp Bài 6: Cho ánh xạ tuyến tính:  X    X  Xác định f: P  XP ' P Im  f  , Ker  f  ? Giải: Với P  n a X i 0 k  X  ta có: thuộc k n n f  P    ak X  X  kak X k i 0 i 0 k 1 n   1  k  ak X k i 0 P  Ker  f   (k 0, , n), 1  k  ak   (k 0, , n  1 , ak  0) Do ker  f   X 52 Im  f   Vect ( X k  k 1 ), k  , f  X k   1  k  X k Bài 7: Cho n  , E  K n  X  K – KGVT đa thức bậc  n f : EE P P  P' Chứng minh f tự đẳng cấu E biểu diển f 1 Giải: Trước hết với P  E , P  P '  E Dễ dàng chứng minh tính tuyến tính f 1) Giả sử P  E  0 ; deg  P   deg  P ' , ta có P  P '  Điều chứng tỏ Ker  f   0, f đơn ánh 2) Giả sử Q  E Giả sử tồn P  E  0 cho f  P   Q Đặt n  deg  P   deg  Q  lấy đạo hàm: Q   P ' P, Q '   P '' P', ,Q( n )   P  n1  P   P n n Do cách cộng vế ta suy ra: Q  Q '  Q   P n Vậy ta xét ánh xạ g : E  E xác định bởi: Q  E , g  Q   deg Q   Q  (và k i 0   g  0  0) ta ký hiệu g  Q    Q k Hiển nhiên g tuyến tính, và: k 0   P  E ,  g f  P   g  P  P '   P  P '   P ' P ''   P     P  Q  E ,  f g  Q   f Q  Q ' Q ''  Q  Q  Q '  Q    Q  Q '  Q    Q n n  n 1 Trong n  deg  P   deg  Q  Điều chứng tỏ f tự đẳng cấu E, g  f 1 n 53 Bài 8: Ký hiệu D phép đạo hàm tập đa thức hệ số thực ánh xạ từ  X  T  X  vào nó, cho T  p  x    xp  x  i) Chứng minh ánh xạ D không đơn ánh ánh xạ T khơng tồn ánh ii) Chứng minh ánh xạ D T  T D :  X    X  song ánh Giải: i) Dễ thấy ánh xạ D biến hàm vào ánh xạ T biến đa thức vào đa thức có nghiệm Vậy D không đơn ánh D không tồn ánh ii) Ta có: D T  T D   p  x    D  xp  x    xD  p  x    p  x   xp '  x   xp '  x   p  x  với p  x  Vậy ánh xạ D T  T D :  X    X  song ánh Bài 9: Ký hiệu V không gian véc tơ đa thức có bậc nhỏ n với hệ số thực Xét ánh xạ tuyến tính:  :V  V , cho   p  x    p  x  1  p  x    i) Tìm ma trận biểu diễn  theo sở 1, x, x , , x n V ii) Chứng minh  n1  iii) Tìm sở để theo ma trận  có dạng đây: 0 0    0       0  0  iv) Xác định tất đa thức p thỏa mãn: p  a  1  p  a  1  p  a  với số nguyên a Giải: 54 i) Ma trận sở cho 0  0   0  0 1 Cn0   Cn1    n 1 0 Cn   0  ii) Có thể suy trực tiếp từ ý (i) Cũng sử dụng nhận xét: ánh xạ  làm giảm bậc đa thức, từ  n1  iii) Nhận xét toán tử giảm bậc đa thức khác đơn vị Vậy chọn sở dạng e1  p  x  - đa thức bậc n; ei   i 1e1 iv) Do p đa thức, điều kiện p  a  1  p  a  1  p  a  với a tương đương với p  x  1  p  x  1  p  x  Dễ thấy điều kiện lại tương đương với p  x   Ker Sử dụng sở cho câu ii) ta thấy ker khơng gian sinh véc tơ đầu tiên, nói cách khác đa thức có bậc  Cách khác dựa vào lập luận hạng: dựa vào ma trận cho (i), ta dễ dàng thấy  ánh xạ có bậc n-2 Từ suy ker có hạng Nhưng hiển nhiên không gian đa thức bậc  nằm ker Từ ta có điều phải chứng minh Nhận xét: Ta lập luận cách giải thích sau: p đa thức điều kiện p  a  1  p  a  1  p  a  ta viết lại thành: p a   p(a  1)  p  a  1  với a tương đương với p     p      p      ,  ,   Như p hàm số vừa lồi vừa lõm Điều xảy đồ thị p đường thẳng hay p đa thức bậc  55 Bài 10: Ký hiệu  X  không gian đa thức biến hệ số thực, D:  X    X  toán tử đạo hàm: D  f  x    f '  x  , f  x    X  Chứng minh không tồn ánh xạ - tuyến tính d cho d  D Giải: Cách 1: Giả sử tồn tốn tử d thỏa mãn d  D Vì D toàn ánh KerD  nên d toàn ánh ker d  Ta có:  ker d  ker d  ker D  nên ker d  Vì d toàn ánh nên tồn đa thức P cho d  P   Theo P khác số, mặt khác P  ker d  ker D nên P phải số, mâu thuẫn Vậy khơng tồn tốn tử d Cách 2: Giả sử tồn toán tử d Xét V  ker D Như V khơng gian đa thức bậc  Nói riêng dim V  Dễ thấy D,d làm ổn định V: với D điều hiển nhiên, với d, điều suy từ việc D,d gaio hốn với nhau( có D , d giao hoán với nhau) Ký hiệu ,  tương ứng hạn chế D, d xuống V Do   ta có     Như  tự đồng cấu lũy linh V Nhưng V có số chiều nên ta phải có   Như     đẳng thức nói đạo hàm đồng không gian đa thức bậc  Đây hiển nhiên điều vơ lí Vậy khơng tồn tốn tử d Bài 11: Cho số thực phân biệt a1 , a2 , a3 Chứng minh với số thực b1 , b2 , b3 tồn đa thức P  x  bậc không thỏa mãn: P    P '    bi ; i  1,2,3 Trong P ' ký hiệu đạo hàm đa thức P Giải: 56 Giả thiết P  x    c x Từ điều kiện toán ta suy hệ i i 0 i phương trình tuyến tính với ẩn c0 , c1 , ,c5 : a c i 0 i k i  bk ;  iaki1ci  bk ; k  1, 2,3 i 1 Nếu b1  b2  b3  đa thức đa thức thỏa mãn Thật từ giả thiết suy P  x     x  a Q  x  với Q  x  đa thức bậc không i i Từ hệ thức P '    ta suy Q    Do Q  Theo trên, hệ số bk hệ có nghiệm Do ta suy hệ có nghiệm với bk Cách khác: Xét ánh xạ  từ không gian đa thức bậc  với hệ số thực vào gửi đa thức P lên  P  a1  , P '  a1  , , P  a3  , P'  a3   Bài toán yêu cầu chứng minh  song ánh Hiển nhiên  ánh xạ tuyến tính khơng gian có số chiều Dễ dàng kiểm tra ker  toán chứng minh Bài 12: Gọi  n không gian vectơ đa thức với hệ số thực có bậc nhỏ n  n :  p  x   a0  a1 x   an x n ,  , i  1, , n   a) Chứng minh Bn  1, x, x , , x n sở  n b) Xét ánh xạ f : n  n1 xác định bởi: x f  p  x    p  t  dt Tìm ma trận ánh xạ tuyến tính f sở Bn  n sở Bn1  n1 57 Giải: a) Giả sử k0  k1 x  k2 x   kn x n  Khi ta có hệ phương trình: 1.k0  x1k1  x12 k2   x1n kn   n 1.k0  x2 k1  x2 k2   x2 kn    1.k  x k  x k   x n k  n 1 n  n1 n1 x1 x12 x1n Ta có định thức: x2 x22 x2n 0 xn1 xn21 xnn1 Suy hệ có nghiệm tầm thường Do hệ độc lập tuyến tính Dễ thấy hệ sinh  n nên sở  n b) Ma trận ánh xạ f là:  0  1  0    0   0   0        0 m  1 58 KẾT LUẬN CHƯƠNG Chương chủ yếu hệ thống lại kiến thức ánh xạ tuyến tính khơng gian vectơ Đồng thời đưa làm rõ ví dụ, tập liên quan đến ánh xạ tuyến tính khơng gian vectơ đa thức Bên cạnh chương thiết lập đồng cấu tuyến tính khơng gian vectơ đa thức 59 KẾT LUẬN Khóa luận trình bày cách sơ lược kiến thức không gian vectơ, ánh xạ tuyến tính làm sở để sâu tìm hiểu vấn đề cụ thể khơng gian vectơ đa thức trường Trong chương 2, khóa luận làm rõ sở không gian đa thức, chẳng hạn sở tự nhiên, sở Taylor, sở Lagrange,… mặt khác khóa luận tọa độ đa thức sở tương ứng Bên cạnh đó, chương khóa luận thiết lập đồng cấu tuyến tính khơng gian vectơ đa thức Ngồi vấn đề trên, khóa luận bước đầu đưa số tốn có ứng dụng cấu trúc KGVT để giải 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thị Thùy Dung (2016), Giải khai thác số dạng toán đa thức, Khóa luận tốt nghiệp Đại học, Trường Đại học Hùng Vương, Việt Trì [2] Nguyễn Văn Mậu (2009), Đại số tuyến tính hình học giải tích, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Jean – Marie Monier (2009), Đại số 1, Nhà xuất Giáo dục [4] Hồng Xn Sính (2010), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục [5] Nguyễn Duy Thuận (2004), Đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học Sư phạm ... độ không gian vectơ Đồng thời phân tích làm rõ kiến thức sở không gian vectơ đa thức trường Cụ thể không gian đa thức biến ta có sở tự nhiên, sở Taylor, sở Lagrange Đối với không gian vectơ đa. .. không gian vectơ đa thức biến 24 2.2 Cơ sở không gian vectơ đa thức nhiều biến 25 2.2.1 Khái niệm đa thức nhiều biến 25 2.2.2 Cơ sở không gian đa thức nhiều biến 25 2.3 Các. .. VÀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 13 VECTƠ CÁC ĐA THỨC 13 2.1 Cơ sở tọa độ không gian vectơ đa thức biến 13 2.1.1 Các khái niệm 13 2.1.2 Cơ sở không gian vectơ đa thức biến 17