Hướng dẫn giải đề kiểm tra định kỳ số 4 - 2013 môn toán thầy phương

Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0 4 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - J E N M A B C S D I K Bài 1: Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông tại S, SA = SB = SC = a. Gọi M, N, E lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AB, AC, BC. D là ñiểm ñối xứng của S qua E, I là giao ñiểm của ñường thẳng AD với mặt phẳng (SMN). Chứng minh rằng AD vuông góc với SI và tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI. Giải: • Xác ñịnh giao ñiểm I của ñường thẳng AD với mp(SMN): ðiểm ( ) S SAD ∈ và ( ) S SMN ∈ Gọi J là trung ñiểm của ñoạn MN. Do ABC là tam giác ñều (cạnh AB = AC = BC 2 a = ) Và M; N là trung ñiểm của AB, AC nên J là trung ñiểm của AE ⊂ (SAD). Vậy J cũng là giao ñiểm của mp(SMN) và (SAD). Suy ra SJ kéo dài cắt ñường thẳng AD tại giao ñiểm I. Từ E là trung ñiểm của SD kẻ ñường thẳng song song với SI cắt AD tại K. Suy ra AI = IK = KD. Trong tam giác vuông cân BSC ta có: 2 ' ' 3 3 . 3cos 3cos BCC B a a S a α α = = 1 2 2 2 a SE BC= = 2 SD a ⇒ = AS ⊥ BS, AS ⊥ CS nên AS ⊥ SD 2 2 2 2 2 2 AS 2 3 AD SD a a a ⇒ = + = + = 3 3 3 a AD a AI IK KD ⇒ = ⇒ = = = Trong tam giác vuông ASD ta có: 2 2 2 3 , . . 3 3 a SA a AI AD a a = = = , tức là 2 . SA AI AD = Vậy I trùng với chân ñường cao kẻ từ S, tức là SI AD ⊥ . ðể tính thể tích khối tứ diện MBSI, trước tiên ta chứng minh ( ) SM MBI ⊥ . Thật vậy trong tam giác cân ASB, M là trung ñiểm của cạnh AB nên SM AB ⊥ . Lại có: BD // SC mà SC ⊥ (SAB) nên BD ⊥ SM. Vậy SM ⊥ (ABD) tức SM ⊥ (MBI) . 1 . ( ) 3 S MBI V SM dt MBI = ∆ Ta có: 1 2 2 2 a SM AB= = Vì M là trung ñiểm của AB nên ( ) ( ) dt MBI dt MAI ∆ = ∆ HƯỚNG DẪN GIẢI ð Ề KI Ể M TRA ð Ị NH K Ỳ S Ố 04 Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0 4 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - I B C D A M J Lại có: ( ) . 1 1 1 . ( ) . 2 3 6 dt MBI MA AI dt BAD BA DA ∆ = = = ∆ Và vì ∆ BAD vuông tại ñỉnh B nên dt( ∆ BAD) 2 1 1 2 . 2. 2 2 2 a AB BD a a= = = Suy ra 2 2 ( ) 12 a dt MBI∆ = Từ ñó: 3 . 1 . ( ) 3 36 S MBI a V SM dt MBI= ∆ = (ñvtt) Bài 2: Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác ñều cạnh a, các mặt ACD và BCD vuông góc với nhau. Hãy tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và tính số ño của góc giữa hai ñường thẳng AD, BC. Giải: Theo giả thiết AB = BC = BD = AC = AD = a Nên gọi I là trung ñiểm cạnh CD ta có: DC ⊥ AI Mà mp(ACD) ⊥ (BCD)  0 ( ) 90 AI BCD AIB⇒ ⊥ ⇒ = , do ñó: 2 2 2 2 AI BI AB a + = = Nhưng AI = BI (do hai CAD CBD ∆ = ∆ ) Nên 2 a AI BI= = Từ ñó 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a IC ID AD AI a= = − = − = Vậy , 2 2 2 a IC ID CD IC a = = = = Thể tích khối tứ diện ABCD là: 3 1 1 1 2 . . . 2. 3 3 2 12 2 2 BCD a a a V AI S a ∆ = = = Gọi J là trung ñiểm của cạnh AB, M là trung ñiểm của cạnh BD Ta có: MI // BC, MJ // DA nên góc giữa hai ñt AD, BC cũng chính là góc giữa hai ñường thẳng MJ và MI. Trong tam giác IMJ ta có: ; IJ 2 2 2 a AB a MI MJ = = = = (do IJ là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông ABI). Vậy IMJ là tam giác ñều  0 IMJ 60 ⇒ = ñó cũng chính là góc giữa các ñường thẳng AD và BC. Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với ñáy hình chóp. Cho AB = a, SA = 2 a . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh SC ( ) AHK ⊥ và tính thể tích hình chóp OAHK. Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0 4 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - I O D C A B S K H M E Giải: + BC vuông góc với (SAB) ⇒ BC vuông góc với AH mà AH vuông với SB ⇒ AH vuông góc với (SBC) ⇒ AH vuông góc SC (1) + Tương tự AK vuông góc SC (2) Từ (1) và (2) ⇒ SC vuông góc với (AHK ) 2 2 2 2 3 SB AB SA a = + = 6 SB 3 AH.SB SA.AB AH 3 a a⇒ = ⇒ = ⇒ = 2 3 2 3 SH SK 3 3 a a ⇒ = ⇒ = (do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuông tại A) Ta có HK song song với BD nên 2 2 3 HK SH a HK BD SB = ⇒ = . Kẻ OE// SC ( )( ( )) OE AHK doSC AHK ⇒ ⊥ ⊥ suy ra OE là ñường cao của hình chóp OAHK và 2 4 2 IC SC a OE = = = (Vì ∆ SAC cân tại A , AI là ñường cao, là ñường trung tuyến). Gọi AM là ñường cao của tam giác cân AHK ta có 2 2 2 2 4 9 a AM AH HM= − = ⇒ AM= 2 3 a 3 1 1 1 2 . . . 3 3 2 2 27 OAHK AHK a a V OE S HK AM= = = C2 : ðể tính hình chóp OAHK ta gắn vào hệ trục tọa ñộ vuông góc Axyz có A là gốc tọa ñộ, trục Ax  hướng theo AD  , trục Ay  hướng theo AB  , trục Az  hướng theo AS  . Thế thì: A(0; 0; 0), ; ;0 2 2 a a O       Từ tính ñồng dạng của các tam giác vuông SKA và SAD, dễ dàng tính ñược 2 2 3 3 3 SK SD a = = , Suy ra 2 2 ; 0; 3 3 K K K a a x y z= = = . Do tính ñối xứng của hình vẽ ta cũng có: 2 2 0; ; 3 3 H K H a a x y z= = = 1 . , 6 OAHK V AO AH AK   =      2 2 2 2 0; ; , ;0; 3 3 3 3 a a a a AO AK     = =               , 2 2 0; ; 3 3 a a AH   =        Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0 4 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - O A C B S H K I 2 2 2 2 0 0 3 3 3 3 , ; ; 2 2 2 2 0 0 3 3 3 3 a a a a AH AK a a a a         = −           2 2 2 2 2 2 2 4 ; ; 9 9 9 a a a   = −       2 2 3 2 2 2 2 2 2 . , . . 2 9 2 9 9 a a a a a AO AH AK   = + =      3 . 1 2 . , 6 27 O AHK a V AO AH AK   ⇒ = =      Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho nửa ñường tròn ñường kính AB = 2R và ñiểm C thuộc nửa ñường tròn ñó sao cho AC = R. Trên ñường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy ñiểm S sao cho  0 ( , ) 60 SAB SBC = . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh tam giác AHK vuông và tính V S.ABC . Giải: • Chứng minh ∆ AHK là tam giác vuông: Theo giả thiết SA ⊥ (ABC) (1) BC SA ⇒ ⊥ ðiểm C thuộc nửa ñường tròn ñường kính AB, Nên (2) BC AC ⊥ Từ (1) và (2) suy ra ( ) BC SAC ⊥ ( ) ( ) SBC SAC ⇒ ⊥ theo giao tuyến SC Mà AK ⊥ SC, AK ( ) SBC AK KH ⊂ ⇒ ⊥ . Vậy AHK ∆ vuông tại ñỉnh K. • Tính thể tích . S ABC V theo R Từ C kẻ CI ⊥ AB. Do giả thiết AC = AO = OC = R Nên tam giác AOC ñều và 2 R IA IO = = . Lại ñể ý SA ⊥ (ABC) nên (SAB) ⊥ (ABC) ⇒ CI ⊥ (SAB). Vậy tam giác SIB là hình chiếu vuông góc của tam giác SCB trên mp(SAB). Vì 3 4 BI AB = nên diện tích của SIB ∆ bằng: 3 3 3 ' ( ) ( ) . . (3) 4 8 4 S dt SIB dt SAB SA AB R SA= ∆ = ∆ = = Gọi 2 2 1 1 1 ( ) . . 3. 2 2 S dt SCB BC SC R SA R = ∆ = = + Theo ñịnh lý về diện tích hình chiếu, ta có: 0 2 2 1 1 1 3 ' os60 (4) 2 4 R S S c S SA R = = = + Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0 4 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 - a a z y x A C B C 1 B 1 A 1 M N Từ (3) và (4) ta có: 2 R SA = Từ ñó: 3 . 1 1 6 . ( ) . . 3 6 12 S ABC R V SA dt ABC AC BC SA = ∆ = = . Bài 5: Cho lăng trụ ñứng ABC.A 1 B 1 C 1 có ñáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, AA 1 = 2 a . Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của ñoạn AA 1 và BC 1 . Chứng minh MN là ñường vuông góc chung của các ñường thẳng AA 1 và BC 1 . Tính 1 1 MA BC V . Giải: Từ giả thiết suy ra ñáy ABC là tam giác vuông cân với ñỉnh là A. Ta lập hệ tọa ñộ như hình bên. Ta có: A(0; 0; 0), B (0; a; 0), ( ;0; 2) C a a , 2 0;0; , ; ;0 2 2 2 a a a M N               Và tọa ñộ của các vectơ : ( ) 1 ; ; 2 ; ; ;0 2 2 a a BC a a a MN   = − =       ( ) 1 AA 0;0; 2 a=  + Dễ thấy 1 1 . .AA 0 MN BC MN = =     MN ⇒ là ñường vuông góc chung của AA 1 và BC 1 . + ðể tính thể tích 1 1 MA BC V ta xác ñịnh tọa ñộ 3 vectơ: 1 1 2 2 2 0;0; , 0; ; , ;0; 2 2 2 a a a MA MB a MC a       = = − =                      Sẽ tìm ñược 2 1 2 , ;0;0 2 a MA MB     =           Sau ñó tìm ñược: 3 3 1 1 2 2 , . 2 2 a a MA MB MC   = =      Thể tích cần tìm sẽ là: 1 1 3 3 1 2 2 . 6 2 12 MA BC a a V = = Nhận xét: Có thể tính 1 1 MA BC V bởi: 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 . . . . . 3 3 2 3 2 2 12 MA BC MA C a a V h S BA AC MA a a= = = = Bài 6: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a, hình chiếu của ñiểm A’ lên mặt phẳng (ABC) là trực tâm H của tam giác ABC, góc giữa ñường thẳng chứa cạnh bên và mặt phẳng Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0 4 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 6 - A B C A' B' C' M H ñáy của hình lăng trụ bằng α . Chứng minh rằng hai ñường thẳng AA’ và BC vuông góc với nhau. Tính diện tích mặt bên BCC’B’ của hình lăng trụ. Giải: Gọi H là trực tâm ABC ∆ . Theo giả thiết A’H ⊥ (ABC) nên AH là hình chiếu của AA’trên mp(ABC)  ' A AH ⇒ là góc tạo bởi cạnh bên A’A và ñáy  'A AH α ⇒ = . Ta có: A’H ⊥ (ABC), BC ⊥ AH AA' BC ⇒ ⊥ (ñịnh lí 3 ñường vuông góc) ' BC B B ⇒ ⊥ (do A’A // B’B) (tính chất lăng trụ). Mặt bên BCC’B’ là hình chữ nhật ' ' '. BCC B S BB BC ⇒ = Trong ABC ∆ ñều cạnh a, H là trực tâm cũng là trọng tâm nên AH 3 2 3 . 2 3 3 a a = = . Trong tam giác vuông ' : A AH 3 3 ' , ' ' os 3cos 3cos AH a a A A BB A A c α α α = = = = Vậy 2 ' ' 3 3 . 3cos 3cos BCC B a a S a α α = = . Giáo viên : Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn . HƯỚNG DẪN GIẢI ð Ề KI Ể M TRA ð Ị NH K Ỳ S Ố 04 Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0 4 Hocmai.vn. ñường thẳng AD tại giao ñiểm I. Từ E là trung ñiểm của SD kẻ ñường thẳng song song với SI cắt AD tại K. Suy ra AI = IK = KD. Trong tam giác vuông cân