ĐỀ THI và đáp án vào 10 môn TOÁN hà nội 2000 2022

MỤC LỤC Đề số Đề Thi Trang Đề thi vào lớp 10 Sở Giáo Dục Đào Tạo Hà Nội Năm 2000-2001 2 Đề thi vào lớp 10 Sở Giáo Dục Đào Tạo Hà Nội Năm 2001-2002 Đề thi vào lớp 10 Sở Giáo Dục Đào Tạo Hà Nội Năm 2002-2003 Đề thi vào lớp 10 Sở Giáo Dục Đào Tạo Hà Nội Năm 2003-2004 16 Đề thi vào lớp 10 Sở Giáo Dục Đào Tạo Hà Nội Năm 2004-2005 18 Đề thi vào lớp 10 Sở Giáo Dục Đào Tạo Hà Nội Năm 2006-2007 24 Đề thi vào lớp 10 Sở Giáo Dục Đào Tạo Hà Nội Năm 2007-2008 28 Đề thi vào lớp 10 Sở Giáo Dục Đào Tạo Hà Nội Năm 2008-2009 32 Đề thi vào lớp 10 Sở Giáo Dục Đào Tạo Hà Nội Năm 2009-2010 40 10 Đề thi vào lớp 10 Sở Giáo Dục Đào Tạo Hà Nội Năm 2010-2011 45 11 Đề thi vào lớp 10 Sở Giáo Dục Đào Tạo Hà Nội Năm 2011-2012 50 12 Đề thi vào lớp 10 Sở Giáo Dục Đào Tạo Hà Nội Năm 2012-2013 54 13 Đề thi vào lớp 10 Sở Giáo Dục Đào Tạo Hà Nội Năm 2013-2014 58 14 Đề thi vào lớp 10 Sở Giáo Dục Đào Tạo Hà Nội Năm 2014-2015 65 15 Đề thi vào lớp 10 Sở Giáo Dục Đào Tạo Hà Nội Năm 2015-2016 70 16 Đề thi vào lớp 10 Sở Giáo Dục Đào Tạo Hà Nội Năm 2016-2017 76 17 Đề thi vào lớp 10 Sở Giáo Dục Đào Tạo Hà Nội Năm 2017-2018 81 18 Đề thi vào lớp 10 Sở Giáo Dục Đào Tạo Hà Nội Năm 2018-2019 88 29 Đề thi vào lớp 10 Sở Giáo Dục Đào Tạo Hà Nội Năm 2019-2020 92 20 Đề thi vào lớp 10 Sở Giáo Dục Đào Tạo Hà Nội Năm 2020-2021 100 21 Đề thi vào lớp 10 Sở Giáo Dục Đào Tạo Hà Nội Năm 2021-2022 104 HDedu - Page SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2000 - 2001 Đề Số Khóa ngày: (Đề thi có 01 trang) Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút khơng kể thời gian phát đề A.Lí thuết ( điểm): Học sinh chọn hai đề sau: Đề 1: Thế phép khử mẫu biểu thức lây Viết cơng thức tổng qt Ap dụng tính : − 1− + 2 Đề 2: Phát biểu chứng minh định lí góc có đỉnh bên đường trịn B.Bài tốn bắt buộc ( điểm):  x −4 Bài 1(2, điểm): Cho biểu thức: P = +   x ( x − 2) x    x +2 − :  x −2  x x −2 a) Rút gọn P b) Tính GT P biết x= − c) Tì̀m GT n đề có x thoả mãn P.( x + 1) > x + n Bài 2(2 điểm): Giải toán cách lâp phưong trình Một ca nơ chạy sơng 8h , xi dịng 81 km ngược dịng 105 km Một lân khác chạy khúc sơng , ca nơ chay h, xi dịng 54 km ngược dịng 42 km Hãy tính vận tốc xi dịng ngược dịng ca nơ, biết vân tốc dịng nước vận tốc riêng ca nơ khơng đổi Bai3(3, điểm): Cho đường trịn (O) đường kính AB = R , dây MN vng góc với dây AB I cho IA < IB Trên đoạn MI lấy điểm E ( E khác M I ) Tia AE cắt đường tròn điểm thứ hai K HDedu - Page a) Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp b) C / m tam giác AME , AKM đồng dạng AM= AE ⋅ AK c) C / m : AE AK + BI ⋅ BA = 4R2 d) Xác định vị trí điểm I cho chu vi tam giác MIO đạt GTLN ………………………………………… HẾT…………………………………………… HƯỚNG DẪN GIẢI Đề số ( 2000-2001) A.Lý thuyết Câu Thế phép khử mẫu biểu thức lấy Viết cơng thức tổng qt Áp dụng tính: − 1− + 2 Lời giải Phép khử mã̃u biểu thức lấy phép toán đưa phân thức có mã̃u thành phân thức với khơng cịn mẫu Áp dụng: ( − 1) − − 1− − 1− 3 −1 1− + = + = + = + = 2 2 2 2 Câu Phát biểu chứng minh định lí góc có đỉnh bên đường trịn Lời giải Định lí: Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn HDedu - Page Chứng minh: Nối B với D Theo định lí góc nội tiếp ta có:  , DBE  sđ   1= AmD = BDE sd BnC 2   + DBE  (góc ngồi tam giác) Mà BEC = BDE  + sd   = ( sd BnC Do đó, BEC AmD) B.Bài tập bắt buộc ( điểm)  x −4 Câu 1( 2,5 điểm) Cho biểu thức P = +  − x x ( 2)  x    x +2 − :  x −2  x x −2 a) Rút gọn P b) Tính giá trị P biết x= − c) Tìm giá trị n để có x thoả mān P ⋅ ( x + 1) > x + n Lời giải  x > a) Điều kiện:  ⇔ 0< x ≠  x − ≠ Ta có P = x −4+3 x x−4− x =(4 x − 4) : (−4) =1 − x : x ( x − 2) x ( x − 2) HDedu - Page b) Với x= − P =1 − − =1 − ( − 1) =1 − ( − 1) =2 − có P ⋅ ( x + 1) > x + n ⇔ (1 − x )(1 + x ) > x + n ⇔ − x > x + n 1 ⇔ < x + x + < − n ⇔ n < 4 c) Ta Câu 2(2,0 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình: Một ca nơ chạy sơng 8 h , xi dịng 81 km ngược dịng 105 km Một lần khác cūng chạy khúc sơng đó, ca nơ chạy 4 h , xi dịng 54 km ngược dịng 42 km Hāy tính vận tốc xi dịng ngược dịng ca nơ, biết vận tốc dịng nước vận tốc riêng ca nô không đổi Lời giải Gọi x  / km h vận tốc xi dịng ngược dịng ca nơ km h y  / ( x > y > 0) Ta có hệ phương trình  81 105 1 x + y =  x = 27  x = 27  (thỏa mān điều kiện) ⇔ ⇔  1 y = 54 42 21   +  = =  x  y 21 y Vậy vận tốc xi dịng 27 / km h km h , vận tốc ngược dòng 21 / Câu 3(3,5 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB = R , dây MN vng góc với dây AB I cho IA < IB Trên đoạn MI lấy điểm E ( E khác M I ) Tia AE cắt đường tròn điểm thứ hai K a) Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp b) Chứng minh tam giác AME AKM đồng dạng AM= AE ⋅ AK c) Chứng minh: AE ⋅ AK + BI ⋅ BA = 4R2 d) Xác định vị trí điểm I cho chu vi tam giác MIO đạt GTLN HDedu - Page Lời giải a) Vì AB đường kính nên  AKB= 90° = 90° nên tứ giác IEKB nội tiếp = EIB Ta có EKB  (do chắn cung nhỏ MK  = KAM  ) b) Ta có MAE   = sđ  AN = sđ  AM = MKA EMA 2 Vậy ∆AME ∽ ∆AKM c) Từ ∆AME ∽ ∆AKM suy AE AM = AM AK ⇔ AE AK = AM Tam giác AMB vng M (do AB đường kính) MI đường cao nên BI ⋅ BA = MB Khi đó, AE ⋅ AK + BI ⋅ BA= AM + MB = AB = R d) Ta có CMIO = MI + IO + OM Mà OM = R không đổi nên CMIO lớn MI + IO lớn HDedu - Page Ta có ( MI + IO) ≤ ( MI + IO )= 2OM = R suy MI + IO ≤ R = IO = Dấu "=" xảy MI R Vậy chu vi tam giác MIO lớn I nằm AB cách O khoảng R ………………………………………………………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI NĂM HỌC 2001 - 2002 Đề Số (Đề thi có 01 trang) KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Khóa ngày: Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút khơng kể thời gian phát đề A.Lí thuyết ( điểm): Học sinh chọn hai đề sau: Đề 1: Phát biếu định nghĩa nêu tính chất hàm số bậc Ap dụng: Cho hai hàm số bậc = y 0, x − y = -6x Hỏi hàm số đồng biến , hàm số nghịch biến , sao? Đề 2: Nêu dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn B.Bài tập bắt buộc(8 điểm): x+2   x x −4  Bài 1(2, điểm): Cho biểu thức P = −   x− : x +1  x +1 1− x   a) Rút gọn P b) Tìm GT x để P < HDedu - Page c) Tìm GTNN P Bai2(2 điểm): Giải tốn cách lâp phương trình Một cơng nhân dự định làm 150 sản phẩm thời gian định.Sau làm 2 h với xuất dự kiến , người cảI tiến cácthao tác nên tăng xuất sản phẩm mổi hồn thành 150 sản phẩm sóm dự kiến 30 phút Hãy tính xuất dự kiến ban đầu Bài3(3, điểm): Cho đường trị̀n (O) đường kính AB cố định đường kính EF ( E khác A, B ) Tiếp tuyến B với đường tròn cắt tia AE , AF lân lượt H , K Từ A kẻ đường thẳng vng góc với EF cắt HK M a) Chứng minh tứ giác AEBF hình chữ nhât b) Chứng minh tứ giác EFKH nội tiếp đường tròn c) Chứng minh AM trung tuyến tam giác AHK d) Gọi P, Q trung điểm tương ứng HB, BK , xác định vị trí đường kính EF để tứ giác EFQP có chu vi nhỏ …………………………… HẾT…………………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2002 - 2003 Đề Số (Đề thi có 01 trang) Khóa ngày: Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian phát đề A- Lý thuyết (2đ) thí sinh chọn đề sau Đề , Phát biểu viết dạng tổng quát qui tắc khai phương tích Áp dụng tính: P = 50 − Đề Định nghĩa đường trịn Chứng minh đường kính dây lờn đường tròn HDedu - Page B- Bài tập bắt buộc ( điểm) Bài 1(2,5 đ )  x 8x   x −  Cho biểu thức P = + −  :  x 2+ x 4− x  x−2 x a/ Rút gọn P b/ Tìm giá trị x để P = −1 c/ Tìm m để với giá trị x > ta có: m( x − 3) P > x + Bài (2đ) Giải toán cách lập phương trình: Theo kế hoạch, hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I vượt mức 18% , tổ II vượt mức 21% , thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ theo kế hoạch? Bài 3(3,5d ) Cho đường trịn (O) , đường kính AB cố định, điểm I nằm giã A O cho AI = AO Kẻ dây MN vuông góc với AB I Gọi C điểm tùy ý thuộc cung lớn MN , cho C không trùng với M , N B Nối AC cắt MN E a/Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đường tròn AE ⋅ AC b / Chứng minh ∆AME đồng dạng với ∆ACM AM= c/ Chứng minh AE AC − AI IB = AI d/Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác CME nhó …………………………………………………HẾT…………………………… HƯỚNG DẪN GIẢI Đề số ( 2002-2003) A Lý thuyết (2 điểm): Học sinh chọn đề Đề 1: Phát biểu viết dạng tổng quát qui tắc khai phương tích HDedu - Page Áp dụng: P = 50 − Lời giải Qui tắc khai phương tích: Muốn khai phương tích số khơng âm, ta khai phương thừa số nhân kết với Với hai số a b khơng âm, ta có a ⋅b = a⋅ b Áp dụng: = P 50 − − 2 = = = 2 Đề 2: Định nghīa đường tròn Chứng minh đường kính dây lớn đường trịn Lời giải Định nghĩa đường trịn: Đường trịn tâm O bán kính R (với R > ) hình gồm điểm cách điểm O khoảng R , kí hiệu (O; R ) Chứng minh đường kính dây lớn đường tròn: Gọi AB dây đường trịn (O; R ) Nếu AB đường kính AB = R Nếu AB khơng đường kính: Xét tam giác AOB , có: AB < AO + OB = R + R = R Vậy ta có AB ≤ R hay đường kính dây lớn đường tròn 10 HDedu - Page 10 HƯỚNG DẪN GIẢI Đề Số 19(2019-2020) Bài I (2,0 điểm) Vó́i 𝑥𝑥 = Thay vào 𝐴𝐴 ta có : 𝐴𝐴 = Rút gọn biểu thức 𝐵𝐵 Với 𝑥𝑥 ≥ 𝐵𝐵 𝐵𝐵 𝐵𝐵 𝐵𝐵 𝐵𝐵 4(√𝑥𝑥 + 1) 4(√9 + 1) ⋅ (3 + 1) = = =1 25 − 𝑥𝑥 25 − 16 15 − √𝑥𝑥 √𝑥𝑥 + �: + 𝑥𝑥 − 25 √𝑥𝑥 + √𝑥𝑥 − , 𝑥𝑥 ≠ 25, ta có 𝐵𝐵 = � 15 − √𝑥𝑥 √𝑥𝑥 + �: + =� (√𝑥𝑥 + 5)(√𝑥𝑥 − 5) √𝑥𝑥 + √𝑥𝑥 − 15 − √𝑥𝑥 + 2(√𝑥𝑥 − 5) √𝑥𝑥 + = : (√𝑥𝑥 + 5)(√𝑥𝑥 − 5) √𝑥𝑥 − 15 − √𝑥𝑥 + 2√𝑥𝑥 − 10 √𝑥𝑥 + = : (√𝑥𝑥 + 5)(√𝑥𝑥 − 5) √𝑥𝑥 − √𝑥𝑥 + √𝑥𝑥 − = ⋅ (√𝑥𝑥 + 5)(√𝑥𝑥 − 5) √𝑥𝑥 + 1 = √𝑥𝑥 + 94 HDedu - Page 95 15 − √𝑥𝑥 √𝑥𝑥 + �: 𝐵𝐵 = � + (√𝑥𝑥 + 5)(√𝑥𝑥 − 5) √𝑥𝑥 + √𝑥𝑥 − 15 − √𝑥𝑥 + 2(√𝑥𝑥 − 5) √𝑥𝑥 + 𝐵𝐵 = : (√𝑥𝑥 + 5)(√𝑥𝑥 − 5) √𝑥𝑥 − 15 − √𝑥𝑥 + 2√𝑥𝑥 − 10 √𝑥𝑥 + 𝐵𝐵 = : (√𝑥𝑥 + 5)(√𝑥𝑥 − 5) √𝑥𝑥 − √𝑥𝑥 + √𝑥𝑥 − 𝐵𝐵 = ⋅ (√𝑥𝑥 + 5)(√𝑥𝑥 − 5) √𝑥𝑥 + 1 𝐵𝐵 = √𝑥𝑥 + 3) Tìm tất giá trị nguyên x để biêuu thức P= A ⋅ B đạt giá giá trị nguyên lớn Ta có P = A ⋅ B = 4( x + 1) ⋅ = 25 − x x + 25 − x Để P nhận giá trị nguyên x ∈  4 (25 − x) hay 25 − x ∈ U (4) ={−4; −2; −1;1; 2; 4} Khi đó, ta có bảng giá trị sau: Do P đạt giá trị nguyên lớn nên ta có P = Khi giá trị cần tìm x x = 24 Bài II (2,5 điểm) 1.Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình - Gọi thời gian để đội thứ đội thứ hai làm riêng hồn thành xong cơng việc lân lượt x y ( x > 15, y > 15) , đơn vị (ngày) Một ngày đội thứ làm (công việc) x 95 HDedu - Page 96 Một ngày đội thứ hai làm (công việc) y - Vi hai đội làm 15 ngày hồn thành xong cơng việc Như 1 1 ngày hai đội làm (cơng việc) Suy ra, ta có phương trình : + = 15 x y 15 (1) - Ba ngày đội đội thứ làm - Năm ngày đội thứ hai làm (công việc) x (cơng việc) y - Vì đội thứ làm ngày dừng lại đội thứ hai làm tiếp ngày hai đội hồn thành xong 25% = (cơng việc) Suy ra, ta có phưong trình : + = x y (2) 1 x +  Từ (1) (2) ta có hệ phương trình :  3 +  x 1 1 =  x = 24 y 15  x = 24 (TMĐK) ⇔ ⇔ 1 40 y =   = = 40 y  y  - Vậy thời gian để đội thứ làm riêng hồn thành xong cơng việc 24 (ngày) thời gian để đội thứ hai làm riêng hồn thành xong công việc 40 (ngày) 2) Số mét khối nước đựng bồn thể tích bồn chứa Như số mét khối đựng bồn = sē : V 0,32.1,75 = 0,56 ( m3 ) Bài III(2,0 điểm) 1) Giải phương trình: x − x − 18 = 0(1) *- Cách 1: Đạt = t x (t ≥ 0)(*) 96 HDedu - Page 97 *Phưong trình (1) trở thành : t − 7t − 18 = 0(2) Ta có : ∆ = (−7) − 4.1.(−18) = 121 = 112 ⇒ ∆ = 11 Suy ra:Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt là: = t1 − 11 + 11 = −2(ktm) = 9(t / m) t2 = 2 Thay t = vào (*) ta có : x = 9⇔ x= ±3 Vậy nghiệm phương trình : x = ±3 • Cách 2: ⇔ �𝑥𝑥 +22 = 0(𝑣𝑣𝑣𝑣̂𝑙𝑙𝑙𝑙) 𝑥𝑥 − = Ta có : 𝑥𝑥4 − 7𝑥𝑥2 − 18 = ⇔ 𝑥𝑥2 = ⇔ 𝑥𝑥 = ±3 2 ⇔ 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 9𝑥𝑥 − 18 = ⇔ 𝑥𝑥2 �𝑥𝑥2 + 2� − 9�𝑥𝑥2 + 2� = ⇔ �𝑥𝑥2 + 2��𝑥𝑥2 − 9� = Vậy nghiệm phương trình : 𝑥𝑥 = ±3 2) Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂, cho đường thẳng (𝑑𝑑): 𝑦𝑦 = 2𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑚𝑚2 + parabol (𝑃𝑃): 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm 𝑥𝑥2 − 2𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚2 − 1(1) Để (𝑑𝑑) cắt (𝑃𝑃) hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với ∀𝑚𝑚 𝑎𝑎 = ≠ Ta có : � ′ ′ Δ = �𝑏𝑏 � − 𝑎𝑎𝑎𝑎 > ∀𝑚𝑚 Xét Δ′ = 𝑚𝑚2 − �𝑚𝑚2 − 1� = 𝑚𝑚2 − 𝑚𝑚2 + = > 0, ∀𝑚𝑚 Vậy (𝑑𝑑) cắt (𝑃𝑃) hai điểm phân biệt b) Tìm tất giá trị m để (𝑑𝑑) cắt (𝑃𝑃) hai điểm phân biệt có hồnh độ 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 thỏa 1 −2 mān + = + (2) 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 Ta có 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 ≠ ⇒ 𝑚𝑚2 − ≠ ⇒ 𝑚𝑚 ≠ ±1 Hai nghiệm phương trình : 𝑥𝑥1 = 𝑚𝑚 − 1; 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚 + 1 −2 𝑥𝑥 +𝑥𝑥 −2+𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 Biến đối biểu thức (2) ta có : + = +1⇒ = ⇒ 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = −2 + 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 Thay 𝑥𝑥1 = 𝑚𝑚 − 1; 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚 + vào biểu thức 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = −2 + 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 ta có : 97 HDedu - Page 98 𝑚𝑚 − + 𝑚𝑚 + = −2 + (𝑚𝑚 − 1)(𝑚𝑚 + 1) ⇒ 𝑚𝑚2 − − = 2𝑚𝑚 ⇔ 𝑚𝑚2 − 2𝑚𝑚 − = ⇔ (𝑚𝑚 − 3)(𝑚𝑚 + 1) = 𝑚𝑚 = 𝑚𝑚 − = ⇔� ⇔� 𝑚𝑚 = −1(𝐿𝐿) 𝑚𝑚 + = Kết Luận : Với 𝑚𝑚 = thỏa mān yêu cầu toán Bài IV( điểm ) 1) Chứng minh bốn điểm B, C , E , F thuộc đường tròn Xét tứ giác BCEF ta có : = 90°( BE đường cao ) BEC = 90°(CF đường cao ) BFC ⇒ BCEF tứ giác nội tiếp (đỉnh E , F nhìn cạnh BC góc vng) 2) Chứng minh đường thẳng OA vng góc với đường thẳng EF =  Vẽ tiếp tuyến Ax hình vē ⇒ BAF ACB (tính chất giưa đường tiếp tuyến dây cung)  Do tứ giác BCEF nội tiếp ⇒  AFE = ACB  Ta suy BAF =  AFE ⇒ EF / / Ax (do hai góc so le trong) Lại có Ax ⊥ OA ⇒ OA ⊥ EF (đpcm) 3) Chứng minh ∆APE đồng dạng ∆ABI ( = °  = ˆ  + EFC Ta có :  AEB = ABI VAEB  180 ABI + EFC ) = Mặt khác  APE + PAI 90° (vì AI ⊥ PE ) � � = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � = 90∘ (Vi 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⊥ 𝐵𝐵𝐵𝐵) ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � + 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 Vậy ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴~∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 Chứng minh 𝐾𝐾𝐾𝐾//𝑃𝑃𝑃𝑃 Gọi 𝑀𝑀 giao điểm 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐸𝐸𝐸𝐸, dung đường kính 𝐴𝐴𝐴𝐴 Ta có 𝐵𝐵𝐵𝐵//𝐶𝐶𝐶𝐶 vng góc 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵//𝐶𝐶𝐶𝐶 vng góc 𝐴𝐴𝐴𝐴 98 HDedu - Page 99 ⇒ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 hình bình hành nên 𝐻𝐻, 𝐾𝐾, 𝑆𝑆 thẳng hàng Ta có 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 � =△� = ⇒△ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∼△ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⇒ 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 Nội tiếp đường tròn � ⇒ 𝐻𝐻𝐻𝐻//𝑃𝑃𝑃𝑃 � = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 � = 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 Kết hợp 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 nội tiếp đường tròn ⇒ 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 Bài V ( 0,5 điểm) Ta có 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 = ⇔ 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 = − 𝑎𝑎𝑎𝑎 thay vào 𝑃𝑃 ta 𝑃𝑃 = 𝑎𝑎4 + 𝑏𝑏4 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 = (𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 )2 − 2𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 = (3 − 𝑎𝑎𝑎𝑎)2 − 2𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 = − 6𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 − 49 49 85 2 = − 7𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑎𝑎 𝑏𝑏 = − �(𝑎𝑎𝑎𝑎) + ⋅ 𝑎𝑎𝑎𝑎 ⋅ + � + + = − �𝑎𝑎𝑎𝑎 + � + 4 Vì 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 = − 𝑎𝑎𝑎𝑎, mà (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2 ≥ ⇔ 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 ≥ −2𝑎𝑎𝑎𝑎 ⇒ − 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≥ −2𝑎𝑎𝑎𝑎 ⇔ 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≥ −3 Và (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)2 ≥ ⇔ 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 ≥ 2𝑎𝑎𝑎𝑎 ⇒ − 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≥ 2𝑎𝑎𝑎𝑎 ⇔ 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≤ (2) 7 7 Từ (1) (2) suy −3 ≤ 𝑎𝑎𝑎𝑎 ≤ ⇔ −3 + ≤ 𝑎𝑎𝑎𝑎 + ≤ + ⇔ ≤ 𝑎𝑎𝑎𝑎 + ≤ 2 2 81 81 81 85 85 ⇔− ≤ − �𝑎𝑎𝑎𝑎 + � ≤ − ⇔ − + ≤ − �𝑎𝑎𝑎𝑎 + � + ≤− ⇔ ≤ �𝑎𝑎𝑎𝑎 + � ≤ 4 4 4 85 ⇔ ≤ − �𝑎𝑎𝑎𝑎 + � + ≤ 21 Vậy Max 𝑃𝑃 = 21 Dấu = xáy � Min 𝑃𝑃 = Dấu = xảy � 𝑎𝑎𝑎𝑎 = −3 𝑎𝑎 = √3 𝑏𝑏 = √3 ⇔� v� 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 = 𝑏𝑏 = −√3 𝑎𝑎 = −√3 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 = −1 𝑎𝑎𝑎𝑎 = ⇔� � 2 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 = −1 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = ………………………………… HẾT……………………………… 99 HDedu - Page 100 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI Đề Số 20 KÌ THI TUYÉN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020 - 2021 Khóa ngày: (Đề thi có 01 trang) Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian phát đề Bài I ( điểm) Cho hai biểu thức A = x +1 = B x +2 x +5 − , với x ≥ 0; x ≠ x −1 x −1 1) Tính giá trị biều thức A x = 2) Chứng minh B = x +1 3) Tìm tất giá trị x để biểu thức P = A ⋅ B + x đạt giá trị nhỏ Bài II (2.5 điểm) 1) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Quãng đường từ nhà An đên nhà Bình dài 3( km) , buối sáng An từ nhà An tới nhà Bình Buổi chiều ngày An xe đạp từ nhà Bình nhà An quãng đường với vận tốc lớn vận tốc An 9( km / h) Tính vận tốc An , biết thời gian buổi chiều thời gian buổi sáng 45 phút (giả sử An với vận tốc khơng đổi tồn quãng đường đó) 2) Một bóng bàn có dạng hình cầu có bán kính 2(cm) Tính diện tích bề mặt bóng bàn (lấy π xấp xi 3, 14 ) Bài III ( điểm) 100 HDedu - Page 101  2 x +  1) Giải hệ phương trình  4 x −  = y −1 = y −1 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : y =mx + 4(m ≠ 0) a) Gọi A giao điểm đường thẳng d với trục Oy Tìm tọa độ điểm A b) Tìm tất giá trị m để đường thẳng d cắt trục Ox điểm B cho tam giác OAB tam giác cân Bài IV (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn đường cao BE Gọi H , K chân đường vng góc kẻ từ E đến đường thẳng AB BC a) Chứng minh tứ giác BHEK nội tiếp b) Chứng minh BH ⋅ BA = BK ⋅ BC c) Gọi F chân đường vng góc kẻ từ C đến AB I trung điểm EF Chứng minh ba điểm H , I , K thẳng hàng Bài V ( 0.5 điểm) Giải phương trình x + 3x − = x + ……………………………….HẾT…………………………………… Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 20: 2020-2021 Bài I Thay 𝑥𝑥 = ta 𝐴𝐴 = Ta có: 𝐵𝐵 = √𝑥𝑥 − − √4+1 √4+2 = 2(√𝑥𝑥 − 1) √𝑥𝑥 + 3(√𝑥𝑥 + 1) − (√𝑥𝑥 + 5) = = = 𝑥𝑥 − (√𝑥𝑥 − 1)(√𝑥𝑥 + 1) (√𝑥𝑥 − 1)(√𝑥𝑥 + 1) √𝑥𝑥 + 101 HDedu - Page 102 Ta có: 𝑃𝑃 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 + √𝑥𝑥 = 2, =� 4 √𝑥𝑥 + ⋅ + √𝑥𝑥 = + √𝑥𝑥 √𝑥𝑥 + √𝑥𝑥 + √𝑥𝑥 + + √𝑥𝑥 + 2� − √𝑥𝑥 + Áp dụng bẩt đẳng thửc Cauchy với hai sổ đương √𝑥𝑥 + + √𝑥𝑥 + ≥ 2� √𝑥𝑥 + √𝑥𝑥+2 vả √𝑥𝑥 + ta được: ⋅ (√𝑥𝑥 + 2) = ⇔ 𝑃𝑃 ≥ − ⇔ 𝑃𝑃 ≥ Vậy giả trị nhō nhẩt 𝑃𝑃 lả chi khi: 𝑥𝑥 + = = √𝑥𝑥 + ⇔ (√𝑥𝑥 + 2)2 = ⇔ �√ ⇔ 𝑥𝑥 = √𝑥𝑥 + = −2 √𝑥𝑥 + Bài II Đổi 45 phút = Gọi vạ̉n tở An lả 𝑥𝑥( km/ℎ)(𝑥𝑥 > 0) Khỉ ta có: Thởi gian An từ nhà An đển nhả Bình Vận tốc xe đạp An là: 𝑥𝑥 + 9( km/h) Thời gian An xe đạp tử nhà Bình nhà An 𝑥𝑥 Theo đề bải ta có phương trình: 𝑥𝑥+9 (giờ) (giờ) 3 𝑥𝑥 = − = ⇔ 𝑥𝑥 + 9𝑥𝑥 − 36 = ⇔ � 𝑥𝑥 = −12 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + So sánh với điểu kiện ta vạ̀n tốc cùa An km/h Diện tich bề mặt bóng là: 𝑆𝑆 = 4𝜋𝜋𝑅𝑅 = 4.3, 14.22 = 50,24( cm2 ) Bải III Điều kiện 𝑦𝑦 ≠ 3 2𝑥𝑥 + =5 =5 2𝑥𝑥 + 14𝑥𝑥 = 14 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦−1 𝑦𝑦−1 � � � � ⇔ ⇔ ⇔ (Thỏa mãn) =3 4𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 − 12𝑥𝑥 − =3 =9 𝑦𝑦−1 𝑦𝑦−1 𝑦𝑦−1 a) Vi 𝐴𝐴 lả giao điểm (𝑑𝑑) vả trục 𝑂𝑂𝑂𝑂 nên 𝐴𝐴(0; 𝑏𝑏) Ta có 𝐴𝐴 ∈ (𝑑𝑑) ⇒ 𝑏𝑏 = ⇒ 𝐴𝐴(0; 4) b) Phương trinh hoành độ giao điểm (𝑑𝑑) trục 𝑂𝑂𝑂𝑂 102 HDedu - Page 103 𝑚𝑚𝑚𝑚 + = 0(𝑚𝑚 ≠ 0) ⇔ 𝑥𝑥 = − 4 ⇒ 𝐵𝐵 �− ; 0� 𝑚𝑚 𝑚𝑚 Ta có △ 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 cân 𝑂𝑂 ⇒ 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑂𝑂𝑂𝑂 ⇔ = �− � ⇔ 𝑚𝑚 = ±1 𝑚𝑚 Vậy giá trị cần tìm m ±1 Bài IV : = K = 90 Tứ giác BHEK có H từ suy tứ giác BHEK nội tiếp �1 = 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 � Do từ giác BHEK nội tiếp nên 𝐾𝐾  � pḥụ góc E � = 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 Dễ 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 Xét tam giác BKH tam giác BAC • 𝐵𝐵ˆ chung � 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 �1 = 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 � • 𝐾𝐾 Suy △ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 đồng dạng △ 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 Từ suy điều phải chứng minh 3) Ta có 𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝐼𝐼𝐼𝐼 nên tam giác HIE cân 𝐼𝐼 Suy ra∠HHE = ∠IEH = 90∘ − ∠AFE = 90∘ − ∠ACB = ∠EBC = ∠EHK Do tam giác ABC tam giác nhọn nên ta có I, K ln khác phía với A qua bờ HE Từ suy H, I, K thằng hàng Bài V Giái phurong trinh √𝑥𝑥 + √3𝑥𝑥 − = 𝑥𝑥 + ĐK: 𝑥𝑥 ≥ , 103 HDedu - Page 104 • Áp dung BDT Cô − si cho sổ thực dương 𝑥𝑥 , ta 𝑥𝑥+1 √𝑥𝑥 ⋅ ≤ • Áp dủng BĐT CÓ - si cho sổ thực dương 3𝑥𝑥 − , ta + 3𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 − = √3𝑥𝑥 − = �1 (3𝑥𝑥 − 2) ≤ 2 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 − ⇒ 𝑉𝑉𝑉𝑉 ≤ + = 2𝑥𝑥 2 (1) + App dụng BĐT Cö - si cho Tử (1) vả (2), suy 𝑉𝑉𝑉𝑉 ≤ 𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑥𝑥 = Dẩu "=n xày ⇔ �3𝑥𝑥 − = ⇔ 𝑥𝑥 = = Võyy nghiỗm cỳa phong trỡnh l = ………………………………… ….HẾT………………………………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có trang) ĐỀ SỐ 21 KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2021-2022 Khóa Ngày : 13/6/2021 Đề thi mơn: TOÁN Ngày thi : 18/7/2021 Thời gian làm : 90 phút,không kể thời gian phát đề 104 HDedu - Page 105 Bài I (2,0 diếm) Cho hai biếu thức 𝐴𝐴 = √𝑥𝑥 𝐵𝐵 √𝑥𝑥+3 = 2√𝑥𝑥 √𝑥𝑥−3 − Tinh giá trị biểu thức 𝐴𝐴 𝑥𝑥 = 16 3𝑥𝑥+9 𝑥𝑥−9 Chứng minh 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = Bài II (2,5 diểm) vói 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑥𝑥 ≠ √𝑥𝑥 + Giải toán sau cách lập phương trình hoăc hệ phương trình : Một tổ sản xuất phải làm xong 4800 đồ bảo hộ y tế số ngày quy định Thực tế, ngày tồ làm nhiều 100 đồ bảo hộ y tế so với số đồ bảo hiểm y tế phải làm ngày theo kế họach Vì ngày trước hét thời hạn, tồ sản xuất làm xong 4800 đồ bảo hộ y tế Hịi theo kế hoạch, ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiéu đồ bảo hộ y tế? (Giả định só đồ bảo hộ y tế mà tổ làm xong ngày nhau.) Một thùng nước có dạng hình trụ với chiều cao 1,6𝑚𝑚 bán kính đáy 0,5 m Người ta sơn tồn phía ngồi mặt xung quanh thùng nưóc (trừ hai mặt đáy) Tỉnh diẹ̣n tích bề mặt son thùng nước (lấy 𝜋𝜋 ≈ 3,14 ) Bài III (2,0 điểm) 6x+1 Giải phương trinh � 2𝑥𝑥+1 − 2𝑦𝑦 = −1 + 3𝑦𝑦 = 11 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol (𝑃𝑃) : 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 đường thẳng (𝑑𝑑): 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 − Tìm tất giá trị 𝑚𝑚 để (𝑑𝑑) cát (𝑃𝑃) hai điểm phân biệt có hồnh độ 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 cho |𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 | = Bài IV (3,0 diểm) Cho tam giác 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 vuông 𝐴𝐴 Vẽ đường trịn tâm 𝐶𝐶, bán kính 𝐶𝐶𝐶𝐶 Từ điềm 𝐵𝐵 ké tiếp tuyến 𝐵𝐵𝐵𝐵 với đường trờn (𝐶𝐶; 𝐶𝐶𝐶𝐶) ( 𝑀𝑀 tiếp điềm, 𝑀𝑀 𝐴𝐴 nằm khác phía đường thằng 𝐵𝐵𝐵𝐵 ) Chứng minh bốn điểm 𝐴𝐴, 𝐶𝐶, 𝑀𝑀 𝐵𝐵 thuộc đường tròn Láy điểm 𝑁𝑁 thuộc đoạn thẳng 𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑁𝑁 khác 𝐴𝐴, 𝑁𝑁 khác 𝐵𝐵 ) Lấy điểm 𝑃𝑃 thuộc tia đối tia 𝑀𝑀𝑀𝑀 cho 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 Chứng minh tam giác 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 tam giác cân đường thằng 𝐴𝐴𝐴𝐴 qua trung điểm đoạn thẳng 𝑁𝑁𝑁𝑁 105 HDedu - Page 106 Bài 𝐕𝐕(0,5 điểm) Với số thực 𝑎𝑎 𝑏𝑏 thỏa mãn 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 = 2, tim giá trị nhỏ biểu thức 𝑃𝑃 = 3(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) + 𝑎𝑎𝑎𝑎 …………………………………….Hết………………………………………………… Hướng dẫn giải Bài : a) Rõ ràng 𝑥𝑥 = 16 thỏa mãn điều kiện đề Do đó, với 𝑥𝑥 = 16, ta có b) Với 𝑥𝑥 ≥ 𝑥𝑥 ≠ 9, ta có 𝐵𝐵 Từ suy Bài : = 2√𝑥𝑥 − 𝐴𝐴 = √16 √16 + 3𝑥𝑥 + = = 2√𝑥𝑥(√𝑥𝑥 + 3) − 3𝑥𝑥 − (√𝑥𝑥 + 3)(√𝑥𝑥 − 3) √𝑥𝑥 − (√𝑥𝑥 + 3)(√𝑥𝑥 − 3) −𝑥𝑥 + 6√𝑥𝑥 − −(√𝑥𝑥 − 3)2 − √𝑥𝑥 = = = (√𝑥𝑥 + 3)(√𝑥𝑥 − 3) (√𝑥𝑥 + 3)(√𝑥𝑥 − 3) √𝑥𝑥 + 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = − √𝑥𝑥 √𝑥𝑥 + = √𝑥𝑥 + √𝑥𝑥 + √𝑥𝑥 + Lời giải a) Điều kiện: 𝑥𝑥 ≠ −1 Từ hệ phương trình, ta có hay 3� − 2𝑦𝑦� + � + 3𝑦𝑦� = 19, 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 19 = 19 𝑥𝑥 + 106 HDedu - Page 107 Từ đây, ta có 𝑥𝑥 = (thỏa mãn) Thay vào phương trình thứ hệ, ta 𝑦𝑦 = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = (0,2) b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (𝒫𝒫) (𝑑𝑑) : 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 − ⇔ 𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 𝑚𝑚 + = Để (𝒫𝒫) cắt (𝑑𝑑) hai điểm phân biệt có hồnh độ 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , tức Δ′ > Điều tương đương với − (−𝑚𝑚 + 2) > 0, hay 𝑚𝑚 > Lúc này, theo định lý Vieta, ta có 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = −𝑚𝑚 + Do (𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 )2 = (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 )2 − 4𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = − 4(−𝑚𝑚 + 2) = 4(𝑚𝑚 − 1) Suy ra, để |𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 | = ta phải có 4(𝑚𝑚 − 1) = 4, tức 𝑚𝑚 = (thỏa mãn 𝑚𝑚 > 1) Vậy, có giá trị 𝑚𝑚 thỏa mãn yêu cầu đề 𝑚𝑚 = Bài 4: Lời giải  = 90 nên điểm 𝐴𝐴 thuộc đường trịn đường kính 𝐵𝐵𝐵𝐵 Lại có BMC  = 90 (do a)Vì BAC 𝐵𝐵𝐵𝐵 tiếp tuyến đường trị̀n (𝐶𝐶) ) nên 𝑀𝑀 thuộc đường trờn đường kính 𝐵𝐵𝐵𝐵 Từ đây, ta suy bốn điểm 𝐴𝐴, 𝐶𝐶, 𝑀𝑀, 𝐵𝐵 thuộc đường trịn đường kính 𝐵𝐵𝐵𝐵  = 90 𝑁𝑁 ∈ 𝐴𝐴𝐴𝐴 nên NAC  = 90 Tương tự, ta có BMC  = 90 b) Do NAC  + CMP = BMC 90 nên   NAC = PMC = 90 107 HDedu - Page 108   Xét hai tam giác 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃, ta có NAC = PMC = 90 (đều bán kính đường tròn (𝐶𝐶) ) 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑀𝑀𝑀𝑀 (giả thiết) nên hai tam giác (c − g − c ) Tữ 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 (hai cạnh tương ứng) Kết chứng tỏ tam giác 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 cân đỉnh 𝐶𝐶   Gọi 𝐼𝐼 trung điểm đoạn 𝑁𝑁𝑁𝑁 Khi đó, ta có CIP = CIN = 90 (tính chất tam giác  CMP  cân) Vì = CIP = 90 nên bốn điểm 𝐶𝐶, 𝐼𝐼, 𝑀𝑀, 𝑃𝑃 thuộc đường trờn đường kính  = MCP  𝐶𝐶𝐶𝐶 Từ MIP Bài V : Lời giải Từ giả thiết, ta có 𝑎𝑎𝑎𝑎 = (𝑎𝑎+𝑏𝑏)2 −𝑎𝑎2 −𝑏𝑏2 = (𝑎𝑎+𝑏𝑏)2 −2 Do 𝑃𝑃 = 3(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) + 16 (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2 − (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2 + 6(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) − (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 3)2 − 11 = = 2 Mặt khác, ta lại có (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2 ≤ (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2 + (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)2 = 2(𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 ) = 4, suy −2 ≤ 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ≤ Tự đó, ta có ≤ 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + ≤ Như vậy, ta có 12 − 11 = −5 𝑃𝑃 ≥ Dấu đẳng thức xảy 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 = −1 Vậy Min P = -5 …………………………………….Hết………………………………………………… 108 HDedu - Page 109 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2000 - 2001 Đề Số Khóa ngày: (Đề thi có 01 trang) Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút khơng kể thời gian phát đề A.Lí thuết... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KÌ THI TUYÉN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2009 - 2 010 Đề Số Khóa ngày: (Đề thi có 01 trang) Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian phát đề Bài (2.5... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2002 - 2003 Đề Số (Đề thi có 01 trang) Khóa ngày: Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian phát đề A- Lý thuyết