Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Tổ Toán TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG TỔ TOÁN CHUYÊN ĐỀ VỀ MỘT HÀM SỐ HỌC CÓ NHIỀU ỨNG DỤNG PHI – HÀM EULER Học sinh thực hiện Nguyễn Khắc Duy Giáo viên hướng dẫn Nguyễn Ngọc Hạnh Năm học 2021 – 2022 MỤC LỤC Phần A Giới thiệu 3 I Lý do chọn đề tài 3 II Mục đích và đối tượng nghiên cứu 3 III Phương pháp nghiên cứu 3 Phần B Nội dung đề tài 4 I Cơ sở lý thuyết 4 1 Định nghĩa 4 2 Một số định lý quan trọng 4 II Bài tập vận dụng 6 1 Bài tập vận dụng cơ bản 6 2 Các b.
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG TỔ TOÁN CHUYÊN ĐỀ VỀ MỘT HÀM SỐ HỌC CÓ NHIỀU ỨNG DỤNG: PHI – HÀM EULER Học sinh thực hiện: Nguyễn Khắc Duy Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Ngọc Hạnh Năm học 2021 – 2022 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Tổ Toán M ỤC LỤC Phần A Giới thiệu .3 I II III Lý chọn đề tài Mục đích đối tượng nghiên cứu .3 Phương pháp nghiên cứu Phần B Nội dung đề tài I Cơ sở lý thuyết 1.Định nghĩa 2.Một số định lý quan trọng II Bài tập vận dụng 1.Bài tập vận dụng .6 2.Các toán phi – hàm Euler đề thi học sinh giỏi Phần C Tài liệu tham khảo 10 Phần A Giới thiệu Phi – Hàm Euler Nguyễn Khắc Duy Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng I Tổ Toán Lý chọn đề tài Ở bậc trung học sở hay trung học phổ thông, số học mơn quan trọng, có ý nghĩa vô to lớn thu hút nhiều quan tâm giáo viên học sinh Số học mơn nghiên cứu tính chất số tự nhiên, ứng dụng phân mơn khác giải tích, tổ hợp,… Đây mơn địi hỏi kỹ tư cao, kỹ giải toán khéo léo kỹ lưỡng Trong đó, hàm số học mảng có nhiều ứng dụng tốn số học, toán liên quan tới hàm số học ln tốn “khó nhằn” với nhiều học sinh Một hàm số học tiếng phi hàm euler Vì thế, chuyên đề viết nhằm phục vụ cho nhu cầu học tập tìm hiểu dạng toán liên quan tới phi hàm euler II Mục đích đối tượng nghiên cứu Mục đích đề tài nêu định nghĩa phi hàm euler, đồng thời phát biểu số định lý liên quan tới hàm tính chất đặc trưng Qua giới thiệu phương pháp tiêu biểu, thông dụng để giải tốn liên quan đến phi hàm euler, ngồi đề tài tài liệu tham khảo hữu ích góp phần nâng cao lực tư học sinh Đối tượng nghiên cứu định nghĩa tính chất phi hàm euler số toán liên quan III Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc phân tích tài liệu (sách tham khảo, tạp chí, diễn đàn,…) liên quan đến phi hàm euler Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp, phân tích, chứng minh trình bày cách có hệ thống vấn đề có liên quan đến chuyên đề Phần B: Nội dung đề tài Phi – Hàm Euler Nguyễn Khắc Duy Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Tổ Toán Cơ sở lý thuyết I Định nghĩa Phi hàm hàm số học có giá trị n số không vượt n nguyên tố với n Ví dụ: Hệ quả: Cho số tự nhiên p, p số nguyên tố Một hệ thặng dư thu gọn (modulo n) tập hợp số nguyên cho phần tử tập số nguyên tố với n khơng có hai phần tử đồng dư với (mod n) Một số định lý, tính chất quan trọng Định lý 1: Nếu hệ thặng dư thu gọn modulo n a số nguyên dương nguyên tố với n tập lập thành hệ thặng dư thu gọn modulo n Định lý (Định lý Euler): Với n số nguyên dương a nguyên tố với n, ta có Chứng minh: Giả sử hệ thặng dư thu gọn (mod n) lập nên từ số nguyên dương không vượt n nguyên tố với n Khi theo Định lý hệ thặng dư thu gọn (mod n), thặng dư dương bé hệ tập hợp , ta có: (mod n) (đpcm) Định lý (Tính chất nhân tính phi hàm euler) : Giả sử , Chứng minh: Trước hết ta chứng minh bổ đề sau: Nếu m, n hai số nguyên tố với số nguyên k, tồn số (a,b) cho Mà Thật vậy, ta cần chứng minh tập hợp hệ thặng dư đầy đủ modulo mn Ta giả sử tồn cho: Phi – Hàm Euler Nguyễn Khắc Duy Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Tổ Toán (mod n) (mod n) Chứng minh tương tự ta có Bổ đề chứng minh Trở lại toán, áp dụng bổ đề vừa chứng minh ta suy với số nguyên k thuộc ta xác định số (a,b) thuộc cho Nhận xét: Thật vậy, Suy ra: Do có số a nguyên tố với n số b nguyên tố với m nên kết hợp với Nhận xét ta suy có số nguyên dương nhỏ nguyên tố với Từ theo định nghĩa Phi hàm Euler ta suy điều phải chứng minh Định lý (Cơng thức tính giá trị Phi hàm Euler): Giả sử , số nguyên tố phân biệt với số mũ nguyên dương Khi đó: Chứng minh cách sử dụng Định lý kết hợp với hệ suy từ Định lý Định lý (Hệ thức Gauss): Với n số ngun dương ta ln có: Chứng minh: Thật vậy, cách đặt , tập phân hoạch thành tập đôi rời Do Chú ý rằng: Do Từ suy được: II Bài tập vận dụng Bài tập vận dụng Bài 1: Chứng minh n số nguyên dương có k ước số nguyên tố lẻ khác chia hết cho Phi – Hàm Euler Nguyễn Khắc Duy Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Tổ Toán Giải Để ý p số nguyên tố lẻ , từ suy ra: Mà nguyên tố phân biệt n nên số tự nhiên Khi đó, số nguyên tố lẻ nên Bài toán chứng minh Bài 2: Chứng minh n hợp số ; Giải (1) Xét n hợp số, , với Mà đếm số nhỏ n nguyên tố với n, đó, số nhỏ n nguyên tố với n nên tính giá trị ta bỏ k số, tức Dấu xảy với p số nguyên tố (2) Ta có: , với có phân tích n Nếu Nhân lại ta Nếu nên Nhân lại ta Vậy ta điều phải chứng minh Bài 3: Tìm tất số nguyên dương n cho • • Giải Trường hợp 1: Nếu Khi với , cịn với nên n thỏa mãn yêu cầu toán Trường hợp 2: Giả sử Khi t có ước nguyên tố lẻ, theo kết Bài ta phải có: Phi – Hàm Euler Nguyễn Khắc Duy Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Tổ Tốn Do trường hợp này, n thỏa mãn u cầu tốn ta phải có Khi và: (1) Mà nên Lại theo kết Bài ta thấy t có ước nguyên tố lẻ, tức , p số nguyên tố lẻ Nhưng , nên từ đây, (1) tương đương với: Tức với k, q số tự nhiên Kết hợp hai trường hợp tốn ta thấy giá trị n thỏa mãn yêu cầu toán n có dạng , ngồi ta cần có Các tốn phi hàm Euler đề thi học sinh giỏi Bài : (Chọn đội tuyển chuyên ĐHSP Hà Nội) Tìm số nguyên dương n cho , p số nguyên tố lớn Giải Ta xét trường hợp: - Nếu n lẻ đặt với q lẻ, suy Nếu vế trái chia hết cho p ; mà vế phải có ước lẻ p nên , thay vào ta nên không thỏa Suy số nguyên tố, điều cho thấy nên số nguyên tố - Nếu dễ thấy không thỏa nên ta cần xét với q số nguyên tố lẻ Hơn nữa, nên đưa trường hợp trên, tìm Vậy, 2p+1 khơng số ngun tố khơng tồn n thỏa mãn, cịn số ngun tố ta có Bài toán tương tự: Xét k số nguyên dương Chứng minh phương trình có nghiệm nguyên đương phân biệt Phi – Hàm Euler Nguyễn Khắc Duy Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Tổ Toán Bài 2: Chứng minh tồn vô hạn số nguyên dương chẵn k cho không tồn số nguyên dương n để Giải Ta chứng minh số có dạng với m nguyên dương thỏa mãn điều kiện đề Thật vậy, giả sử phản chứng tồn số nguyên dương n cho Gọi phân tích tiêu chuẩn n, đó: Để ý k không chia hết n phải có dạng với p số nguyên tố lẻ - Trường hợp 1: nên hiển khơng thể có dạng Trường hợp 2: Mà nên p buộc phải Nhưng đó, (mâu thuẫn) Bài toán chứng minh Phần C Tài liệu tham khảo [1] Olympiad number theory problems [2] diendantoanhoc.net Phi – Hàm Euler Nguyễn Khắc Duy Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Tổ Toán [3] Định hướng bồi dưỡng học sinh giỏi khiếu toán Số học [4] Các giảng thầy Lê Phúc Lữ chủ đề hàm số học Phi – Hàm Euler Nguyễn Khắc Duy ... quan đến phi hàm euler Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp, phân tích, chứng minh trình bày cách có hệ thống vấn đề có liên quan đến chuyên đề Phần B: Nội dung đề tài Phi – Hàm Euler Nguyễn... 2.Các toán phi – hàm Euler đề thi học sinh giỏi Phần C Tài liệu tham khảo 10 Phần A Giới thiệu Phi – Hàm Euler Nguyễn Khắc Duy Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng I Tổ Toán Lý chọn đề tài Ở... diendantoanhoc.net Phi – Hàm Euler Nguyễn Khắc Duy Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Tổ Toán [3] Định hướng bồi dưỡng học sinh giỏi khiếu toán Số học [4] Các giảng thầy Lê Phúc Lữ chủ đề hàm số học Phi – Hàm Euler