TIỂU LUẬN HÌNH học sơ cấp đề tài NGHIÊN cứu QUAN hệ VUÔNG góc TRONG KHÔNG GIAN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA : TOÁN TIN HỌC  TIỂU LUẬN HÌNH HỌC SƠ CẤP ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU: QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN E S M A D GVHD: Trần Nam Dũng P O B H C N SINH VIÊN THỰC HIỆN: Trần Nguyễn Hoàng Thương Vương Thị Hồng Nguyễn Thị Kim Anh Huỳnh Thị Yến Nhi Lù Ngọc Quỳnh Như Võ Thị Bích Oanh 1411299 1511111 1511008 1511211 1511222 1511228 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .4 LỜI MỞ ĐẦU .5 Các dạng tốn chứng minh tính vng góc .6 a) Các định nghĩa tính vng góc b) Các định lý tính vng góc c) Liên hệ quan hệ song song quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng d) Các phương pháp dạng toán thường gặp tính vng góc Các dạng tốn tìm khoảng cách 13 a) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (hoặc đến đường thẳng) .13 b) Khoảng cách đường thẳng đến mặt phẳng song song với đường thẳng 15 c) Khoảng cách mặt phẳng song song 17 d) Khoảng cách hai đường thẳng chéo 17 Các dạng toán góc 19 a) Góc đường thẳng mặt phẳng 19 b) Góc mặt phẳng 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 23 LỜI CẢM ƠN Để hồn thành Tiểu luận này, nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tận tình hướng dẫn, giảng dạy suốt trình học tập, nghiên cứu rèn luyện Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh nói chung khoa Tốn-Tin học nói riêng Nhóm chúng em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới giảng viên hướng dẫn Trần Nam Dũng tận tình, chu đáo hướng dẫn nhóm chúng em buổi học lớp xuyên suốt Tiểu luận Mặc dù, nhóm chúng em cố gắng để hoàn thành Tiểu luận cách hoàn chỉnh Song nhiều hạn chế mặt kiến thức, kinh nghiệm thực tế, kèm theo thời gian gấp rút nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót định mà nhóm chưa nhìn nhận Nhóm chúng em mong nhận góp ý thầy để Tiểu luận hồn chỉnh Nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn! Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng năm 2018 LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình mơn Tốn lớp 11, mơn hình học khơng gian có tính chất khái qt trừu tượng cao Mặc dù THCS học sinh làm quen với khái niệm ban đầu hình học khơng gian để tiếp thu kiến thức học tập tích cực luyện tập, học sinh gặp nhiều khó khăn Một mặt giáo viên gặp khó khăn định việc tổ chức hoạt động dạy học, mặt khác học sinh gặp khó khăn việc chiếm lĩnh tri thức rèn luyện kỹ tương ứng Giải tập hình học không gian vấn đề không đơn giản nhiều học sinh Tuy vậy, tạo hội cho học sinh phát triển trí tưởng tượng phong phú, khả phát giải vấn đề, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn xuất phát từ lý Hiện sách giáo khoa tập tham khảo dạng tốn khơng có hệ thống phương pháp giải nên nhóm định chọn đề tài: QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Các tốn quan hệ vng góc ln chủ đề quen thuộc khơng thể thiếu tốn hình học khơng gian có mặt kì thi nói chung thi Đại học, Cao đẳng nói riêng Các nội dung thi tuyển sinh thuộc dạng tốn thường đề cập đến là: 1/ Chứng minh tính vng góc: +/ Đường thẳng vng góc với mặt phẳng +/ Hai đường thẳng vng góc với +/ Hai mặt phẳng vng góc với nhau… 2/ Các tốn tìm khoảng cách: +/ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng +/ Khoảng cách hai đường thẳng chéo 3/ Các toán xác định góc: +/ Góc hai đường thẳng chéo +/ Góc hai mặt phẳng +/ Góc đường thẳng mặt phẳng… Trong viết này, đề cập đến nội dung: Tính vng góc Khoảng cách vấn đề liên quan trực tiếp đến Các dạng tốn chứng minh tính vng góc a) Các định nghĩa tính vng góc + Định nghĩa 1: đường thẳng gọi vuông góc với góc chúng 90 ° a ⊥ b ⇔ ( a ,b )=90 ° + Định nghĩa 2: đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng mặt phẳng a ⊥ ( P ) ⇔ ∀ b ⊂ ( P ) :a ⊥ b + Định nghĩa 3: mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 90 ° ( α ) ⊥ ( β ) ⇔ ( ( α ) , ( β ) )=90° b) Các định lý tính vng góc + Định lý 1: } a ⊥ b ⇒ a ⊥c b /¿ c + Định lý 2: } a ⊥ (P ) ⇒a⊥b b ⊂( P) + Định lý 3: } a ⊥ (P ) ⇒a⊥b b /¿ ( P ) + Định lý (định lý đường vng góc): } d d ⊄(P ) d ¬⊥ ( P ) ' ⇒ Δ⊥ d ↔ Δ ⊥ d Δ⊂ (P ) ' d hình chiếu d lên ( P ) + Định lý 5: } a , b⊂ ( P ) a ⋂ b ∈( P) ⇒ d ⊥ (P ) d⊥a d⊥b + Định lý 6: d' P d a b P } a ⊥ (P ) ⇒b ⊥ (P ) a/ ¿ b + Định lý 7: } a⊥ ( P ) ⇒ a ⊥ (Q) ( P ) /¿ ( Q ) + Định lý 8: } ( P)⊥ (Q) ( P ) ⋂ ( Q )= Δ ⇒ a⊥ ( Q ) a⊂ ( P ) a⊥ Δ + Định lý 9: } ( P ) ⋂ ( Q )= Δ ( P ) ⊥ ( R ) ⇒ Δ⊥ ( R ) (Q)⊥ ( R) + Định lý 10: P a Q Q P R } a ⊥ (P ) ⇒( P)⊥ (Q) a ⊂(Q) c) Liên hệ quan hệ song song quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng + Định lý 11 (hệ định lý 7): } a ⊥ ( P) a ⊥ ( Q ) ⇒ ( P ) /¿ ( Q ) ( P)≢ (Q) + Định lý 12: } a ⊥ (P ) b ⊥ ( P ) ⇒ a /¿ b a ≢b + Định lý 13: }[ a⊥b a/¿ b ⇒ b ⊥ (P ) a /¿ ( P ) d) Các phương pháp dạng tốn thường gặp tính vng góc + Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vng góc với đường thẳng: - Dùng định nghĩa chứng minh góc đường thẳng 90 ° - Dùng định lý chứng minh đường thẳng vng góc - Dùng định lý – chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng suy đường thẳng vng góc Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng cạnh a Mặt bên SAD tam giác mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M , N , P trung điểm SB , BC , CD Chứng minh AM ⊥ BP Giải: Gọi H trung điểm AD S ∆ SAD SH ⊥ AD Do nên M Mà ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) AD=( SAD ) ⋂ ( ABCD ) nên theo định lý 9, ta có: SH ⊥ ( ABCD ) B A Suy ra: SH ⊥ BP (theo định lý 2) (1) N H Dễ thấy ( ABCD ), tam giác vuông BPC CHD C D P nên ta có: ^ ^ ^ ^ (2) CBP= DCH ⇒ CBP+ HCB=90 ° ⇒ BP⊥ HC Mà HC /¿ AN nên theo định lý 1, ta có: BP⊥ AN (3) Từ (1), (2) giả thiết SH , HC ⊂ ( SHC ) SH ⋂ HC ∈ ( SHC ), theo định lý 5, ta có: BP⊥ ( SHC ) Mà MN /¿ ( SHC ) nên theo định lý 3, ta có: BP⊥ MN (4) Từ (3), (4) giả thiết AN , MN ⊂ ( AMN ) AN ⋂ MN ∈ ( AMN ), theo định lý 5, ta có: BP⊥ ( AMN ) Khi đó, áp dụng định lý 2, ta có: AM ⊥ BP Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD A ’ B ’ C ’ D ’ Gọi M , N , P trung điểm BB ’ ,CD , A ’ D’ Chứng minh MP ⊥ C ' N Giải: E CC ’ Gọi trung điểm Dễ thấy ( CDD ' C ' ), tam giác vuông C ' CN D ' C ' E nên ta có: ^'=^ ^ ^'=90 ° ⇒C ' N ⊥ ED ' (1) CNC C ' ED ' ⇒ CC ' N + CNC ' ' Mặt khác, BC ⊥ ( CD D C ) ME /¿ BC nên theo định lý 6, ta có: N ME ⊥ ( CD D' C' ) Mà C ' N ⊂ ( CDD ' C ' ) nên theo định lý 2, ta có: ME ⊥ C ' N (2) Từ (1), (2) giả thiết ED ' , ME ⊂ ( A ' MED ' ) ED ' ⋂ ME ∈ ( A ' MED ' ), theo định lý 5, ta có: C ' N ⊥ ( A ' MED ' ) Mà MP ⊂ ( A ' MED ' ) nên theo định lý 2, ta có: MP ⊥ C ' N Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B SA ⊥ ( ABCD ) , AD=2 a , AB=BC =a Chứng minh ∆ SCD vuông Giải: Theo định lý 2, ta có: } SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ CD CD ⊂ ( ABCD ) Gọi I trung điểm AD Dễ thấy ABCI hình vng ∆ CID vng cân I Suy ^ ACI= ^ DCI=45 ° ^ Khi đó: ACD=^ ACI + ^ DCI =90 ° Dẫn đến: AC ⊥CD Theo định lý 5, ta có: } SA , AC ⊂ ( SAC ) SA ⋂ AC ∈ ( SAC ) ⇒ CD ⊥ ( SAC ) CD ⊥ SA CD ⊥ AC Mà SC ⊂ ( SAC ) nên theo định lý 2, ta có: SC ⊥CD Suy ra: ∆ SCD vuông C - Dùng định lý (định lý đường vng góc) chứng minh đường thẳng vng góc - Chứng minh vector phương vector pháp tuyến đường thẳng vng góc - Chứng minh tích vơ hướng đường thẳng Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD Chứng minh AB⊥ CD Giải: Gọi M trung điểm CD Khi đó, ∆ ACD , ∆ BCD nên AM ⊥CD BM ⊥CD AM ⃗ CD=⃗ BM ⃗ CD=0 Suy ra: ⃗ AB ⃗ CD=(⃗ AM +⃗ BM ) ⃗ CD=⃗ AM ⃗ CD +⃗ BM ⃗ CD=0 Ta có: ⃗ Suy ra: AB⊥ CD + Dạng 2: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng: - Dùng định nghĩa chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng mặt phẳng - Dùng định lý chứng minh đường thẳng vng góc với đường thẳng giao thuộc mặt phẳng - Dùng định lý – liên hệ quan hệ song song vng góc chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng - Dùng định lý – giao tuyến mặt phẳng chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông C SA ⊥ ( ABC ) a) Chứng minh BC ⊥ ( SAC ) b) Gọi E hình chiếu A lên SC Chứng minh AE⊥ ( SBC ) c) Gọi ( P ) mặt phẳng qua AE, vng góc với ( SAB) cắt SB D Chứng minh SB⊥ ( P ) d) Gọi F=DE ⋂ BC Chứng minh AF ⊥ ( SAB ) Giải: a) Theo định lý 2, ta có: } SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC BC ⊂ ( ABC ) Mặt khác: AC ⊥ BC (∆ ABC vuông C ) Theo định lý 5, ta có: } SA , AC ⊂ ( SAC ) SA ⋂ AC ∈ ( SAC ) ⇒ BC ⊥ ( SAC ) BC ⊥ SA BC ⊥ AC b) Do BC ⊥ ( SAC ) (câu a) AE ⊂ ( SAC ) nên theo định lý 2, ta có: BC ⊥ AE Mặt khác: SC ⊥ AE (giả thiết) Theo định lý 5, ta có: 10 } SC , BC ⊂ ( SBC ) SC ⋂ BC ∈ ( SBC ) ⇒ AE ⊥ ( SBC ) AE ⊥ SC AE ⊥ BC c) Ta thấy: ( P ) ≡ ( ADE ) Trong ( P ), kẻ EH ⊥ AD H với H ∈ AD Theo định lý 8, ta có: } ( P ) ⊥ ( SAB ) ( P ) ⋂ ( SAB ) =AD ⇒ EH ⊥ ( SAB ) EH ⊂ ( ADE ) ED ⊥ AD Mà SB⊂ ( SAB ) nên EH ⊥ SB Mặt khác, AE ⊥ ( SBC ) (câu a) SB⊂ ( SBC ) nên theo định lý 2, ta có: AE⊥ SB Theo định lý 5, ta có: } AE , EH ⊂ ( P ) AE ⋂ EH ∈ ( P ) ⇒ SB ⊥ ( P ) SB ⊥ AE SB ⊥ EH d) Do SA ⊥ ( ABC ) (giả thiết) AF ⊂ ( ABC ) nên theo định lý 2, ta có: SA ⊥ AF Mặt khác, SB⊥ ( P ) (câu c) AF ⊂ ( P ) nên theo định lý 2, ta có: SB⊥ AF Theo định lý 5, ta có: } SA , SB⊂ ( SAB ) SA ⋂ SB∈ ( SAB ) ⇒ AF ⊥ ( SAB ) AF ⊥ SA AF ⊥ SB Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên (SAB) tam giác SC=a Goi H K trung điểm cạnh AB AD a) Chứng minh rằng: SH (ABCD) b) Chứng minh: AC SK CK SD Giải  CM SH (ABCD)Dùng đl đảo đl Pitago cm BC SB 11  BC AB (ABCD hình vng) BC (SAB) BC SH Mặt khác: AB SH Từ (1) (2) SH (ABCD) (1) (2) a) CM AC SK CK SD  CM AC SK Ta có: Từ (1) (2) AC SK (1) AC (SHK) (2)  CM CK SD Ta cm CK DH Từ (1) (2) CK SD (1) (2) + Dạng 3: Chứng minh mặt phẳng vng góc với mặt phẳng: Mặc dù toán đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng năm 20022011 nhiều so với tốn có loại tốn khơng xem nhẹ Phương pháp để giải tốn dựa vào định lý quan trọng sau đây: Cho hai mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến d.Khi đường thẳng nằm mặt phẳng mà vng góc với d vng góc với mặt phẳng cịn lại Ngồi người ta dựa vào định nghĩa hai mặt phẳng vng góc để chứng minh tính vng góc hai mặt phẳng Ví dụ 7: Cho hình chóp tam giác S ABC đáy ABC tam giác cân A SA ⊥( ABC) Gọi I trung điểm BC Chứng minh ( SAI ) ⊥ ( SBC ) Giải: S Dễ thấy tam giác vuông SAB SAC Suy SB=SC ⇒ ∆ SBC cân S ⇒ SI ⊥ BC I Mặt khác, SA ⊥ ( ABC ) (giả thiết) BC ⊂ ( ABC ) nên theo định lý 2, ta có: SA ⊥ BC Theo định lý 5, ta có: C A 12 I B } SA , SI ⊂ ( SAI ) SA ⋂ SI ∈ ( SAI ) ⇒ BC ⊥ ( SAI ) BC ⊥ SA BC ⊥ SI Khi đó, theo định lý 10, ta có: } BC ⊥ ( SAI ) ⇒ ( SAI ) ⊥ ( SBC ) BC ⊂ ( SBC ) Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a có SA=SB=SA=a Chứng minh rằng: (ABCD) (SBD) Giải Chứng minh (ABCD) (SBD) Gọi O = AC ∩ BD Ta có: SO AC (SO trung tuyến tam giác cân SAC) BD AC (đường chéo hình thoi) SO, BD cắt (SBD)  Các tập rèn luyện: Bài 1: (ĐH Khối D năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thang, Giả sử Bài 2: (Cao đẳng khối A năm 2008) Cho hình chóp S.ABCD Chứng minh có đáy ABCD hình thang , với , BA = BC = a, AD = 2a Gọi M , N trung điểm SA, SD Chứng minh BCNM hình chữ nhật Bài 3: (Cao đẳng khối A, B, D năm 2009) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , cạnh đáy a.Cạnh bên Gọi M, N , P trung điểm SA, SD, DC Chứng minh Bài 4: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC tam giác vuông C, hai mặt bên (SAC) (SAB) vng góc với đáy Gọi D, E hình chiếu A SC SB Chứng minh Các dạng tốn tìm khoảng cách Hai toán quan trọng mục này, hai dạng tốn thường xun có mặt kì thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng năm gần đây: 1/ Tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ( đến đường thẳng ) 2/ Tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo toán đường thẳng vng góc chung a) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (hoặc đến đường thẳng) * Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (hoặc đường thẳng) độ dài đường vng góc hạ từ điểm lên mặt phẳng (hoặc lên đường thẳng) 13 * Cách làm: Có bước: + Bước 1: Xác định chân đường vng góc từ điểm lên mặt phẳng (hoặc lên đường thẳng) + Bước 2: Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông (bao gồm định lý Pythagore), tỉ số lượng giác, tỉ số tam giác đồng dạng, nhau, tỉ số diện tích,… để tính khoảng cách cần tìm Ví dụ 9: Cho tứ diện OABC OA , OB , OC đơi vng góc với Kẻ OH ⊥ ( ABC ) A a) Chứng minh H trực tâm ∆ ABC b) Chứng minh hệ thức: 1 1 = + + 2 2 O H O A O B OC H O Giải: C a) Gọi M = AH ⋂ BC Do OA ⊥ ( OBC ) (giả thiết) BC ⊂ (OBC ) B nên theo định lý 2, ta có: OA ⊥ BC M Mặt khác, OH ⊥ ( ABC ) (giả thiết) BC ⊂ ( ABC ) nên theo định lý 2, ta có: OH ⊥ BC Theo định lý 5, ta có: } OA , OH ⊂ ( OAH ) OA ⋂ OH ∈ ( OAH ) ⇒ BC ⊥ ( OAH ) BC ⊥ OA BC ⊥ OH Mà AH ⊂ ( OAH ) nên theo định lý 2, ta có: BC ⊥ AH Tương tự: AC ⊥ AH Do đó: H trực tâm ∆ ABC b) Theo hệ thức lượng ∆ OAM vng O có OH đường cao, ta có: 1 = + 2 OH O A O M Do BC ⊥ ( OAH ) (câu a) OM ⊂ ( OAH ) nên theo định lý 2, ta có: BC ⊥OM Theo hệ thức lượng ∆ OBC vuông O có OM đường cao, ta có: 1 = + 2 O M O B OC Do đó: 1 1 = + + 2 2 O H O A O B OC 14 Ví dụ 10: Cho ABCD hình tứ diện có cạnh AD= AC=4 cm ; AB =3 cm; BC=5 cm Tìm khoảng cách từ A đến (BCD) Giải: Suy AB , AC , AD đơi vng góc Kẻ AH ⊥ ( BCD ) ⇒ d [ A , (BCD ) ]= AH H Theo ví dụ 7, ta có: A 1 1 1 = + + = 2+ 2+ 2 2 AH AD A B A C 4 Vậy d [ A , ( BCD )] = D Vì AC=4 , AB=3 , BC=5 nên ∆ ABC vuông A ⇒ AH = AD ⊥( ABC ) C B √ 34 17 √ 34 17 Ví dụ 11 : Cho hình hộp đứng có đáy hình vng, tam giác vng cân, Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo a Giải vuông cân (tại ) nên vuông cân (tại Hạ Ta có lại có ) nên (do dựng) đường cao tam giác vuông Vậy b) Khoảng cách đường thẳng đến mặt phẳng song song với đường thẳng * Định nghĩa: Khoảng cách đường thẳng đến mặt phẳng song song với đường thẳng khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng } a /¿ ( P ) ⇒ d [ a , (P )] =d [ A , (P ) ] A∈a * Cách làm: Đưa tốn tìm khoảng cách đường thẳng đến mặt phẳng song song với đường thẳng tốn tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 15 Ví dụ 12: Cho hình chóp có vng góc với mặt phẳng đáy nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính Tính khoảng cách từ đường thẳng a Vì đường kính đến mặt phẳng Giải: nửa lục giác nội tiếp đường tròn nên ta có : , đồng thời , Vì Vì Như Trong mặt phẳng Mà dựng vuông Gọi I trung điểm b.Ta có : Hạ ,ta có : nên Vậy Xét tam giác Mặt khác cắt có đường cao , ta có: , ta có: nên: , ta được: 16 Hạ Vậy vng góc với , ta có khoảng cách từ điểm tới Ví dụ 13: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A ’ B ’ C ’ có đáy ABC tam giác vng có BA=BC =a, cạnh bên AA ’=a √ Gọi M , E trung điểm BC , BB ' Tính khoảng cách ( AME ) B’ C A' C' B' Giải: E A C Ta có: B' C/¿ EM ⇒ B ' C /¿ ( AME ) M B Suy ra: d [ B ' C , ( AME )]=d [ B ' , ( AME )] Gọi B' H đường cao hạ từ B' xuống ( AME ), với H ∈ ( AME ) Suy ra: B' H , AH , MH đôi vng góc tứ diện B' HAM d [ B ' , ( AME )] =B ' H Do đó, theo ví dụ 7, ta có: 1 1 1 a = 2+ 2+ = + + = ⇒ B' H= √ 2 B H BA BE BM a a a a ' Vậy d [ B ' C , ( AME )]= a √7 c) Khoảng cách mặt phẳng song song * Định nghĩa: Khoảng cách mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đến mặt phẳng } ( P ) /¿ ( Q ) ⇒d [ ( P ) , (Q ) ]=d [ A , (Q )] A ∈( P) * Cách làm: Đưa tốn tìm khoảng cách mặt phẳng song song tốn tốn tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ví dụ 14: Cho hình chóp tứ giác S ABCD cạnh đáy E a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA S Gọi M , N , P trung điểm AE , BC , AB Tìm khoảng cách ( SAC ) ( MNP ) theo a M Giải: Dễ thấy SE/¿ AD / ¿ BC SE= AD=BC A Suy SEBC hình bình hành ⇒ EB/¿ SC Mặt khác: EB /¿ MP D P O B H C N 17 Do đó: SC/¿ MP Lại có: AC/ ¿ PN Khi đó, ta có: ( SAC ) /¿ ( MNP ) Suy ra: d [ ( SAC ) , ( MNP ) ]=d [ H , ( MNP )] với H=PN ⋂ BD ∈ ( MNP ) a √2 Gọi O= AC ⋂ BD ∈ ( SAC ) ⇒ OH ⊥ AC OH = BD = Theo định lý 5, ta có: } SO , AC ⊂ ( SAC ) SO ⋂ AC ∈ ( SAC ) ⇒ OH ⊥ ( SAC ) OH ⊥ SO OH ⊥ AC Do đó: d [ ( SAC ) , ( MNP ) ] =d [ H , ( MNP ) ] =OH = Vậy d [( SAC ) , ( MNP ) ] = a√2 a √2 d) Khoảng cách hai đường thẳng chéo * Định nghĩa: Khoảng cách đường thẳng chéo độ dài đường vng góc chung đường thẳng * Cách làm: Có cách: + Cách 1: Tính độ dài đoạn vng góc chung đường thẳng: Xác định điểm M ∈ a , N ∈ b cho MN ⊥ a MN ⊥ b, MN đường vng góc chung a b : - Dựng mặt phẳng (P) chứa a song song với b Lấy điểm B∈ b , kẻ BB’ ⊥ (P) với B’ ∈(P) Trong (P) qua B’ , dựng b ’ /¿ b Gọi M =a ⋂ b Từ M , kẻ MN /¿ BB’ với N ∈b Khi đó, MN đường vng góc chung hai đường thẳng chéo a b khoảng cách a b độ dài đoạn MN N B b b' P M a B' d [ a ,b ] =MN Ví dụ 15: Cho hình tứ diện ABCD cạnh √ cm Hãy xác định tính độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng AB CD Giải: A Gọi M , N trung điểm AB ,CD M Theo định lý 5, ta có: B D N C 18 } MC , MD ⊂ ( MCD ) MC ⋂ MD ∈ ( MCD ) ⇒ AB ⊥ ( MCD ) AB⊥ MC AB ⊥ MD Mà MN ⊂ ( MCD ) nên theo định lý 2, ta có: AB⊥ MN Tương tự: CD ⊥ ( ABN ) ⇒CD ⊥ MN Do đó: MN đoạn vng góc chung AB CD Dễ thấy: MN =6 Suy ra: d [ AB , CD ] =MN =6 Vậy d [ AB , CD ] =6 + Cách 2: Nếu a /¿ ( P ) b ⊂ ( P ) khoảng cách a b khoảng cách a ( P ) } a/¿ ( P ) ⇒ d[ a ,b ] =d [ a , ( P) ] b ⊂( P) Ví dụ 16: Cho hình lập phương ABCD A ’ B ’ C ’ D ’ cạnh Gọi M , N trung điểm AB ,CD Tìm khoảng cách hai đường thẳng A ’ C MN Giải: A' D' Ta có: MN /¿ BC ⇒ MN /¿ ( A ' BC ) Suy ra: B' d [ MN , A ' C ] =d [ MN , ( A ' BC )] Trong ( AB B' A ' ), gọi I = A' B ⋂ AB kẻ MH ⊥ A ' B H Suy ra: AB⊥ A ' B I MH /¿ AI 1 √2 AB= √ Do đó: MH = AI = 2 C' I A H D M B N C Mặt khác, theo định lý 5, ta có: } A ' B , BC ⊂ ( A ' BC ) A ' B ⋂ BC ∈ ( A ' BC ) ⇒ MH ⊥ ( A ' BC ) MH ⊥ A ' B MH ⊥ BC Suy ra: d [ MN , ( A ' BC )] =MH Vậy d [ MN , A ' C ] = √2 + Cách 3: Nếu a ⊂ ( P ), b ⊂ ( Q ) ( P ) / ¿ ( Q ) khoảng cách a b khoảng cách ( P ) ( Q ) } a⊂ ( P ) b ⊂ ( Q ) ⇒d [ a ,b ] =d [ ( P) , (Q )] ( P ) /¿ ( Q ) * Lưu ý: Nếu a /¿ ( P ) khoảng cách a ( P ) khoảng cách từ điểm a đến ( P ) Tương tự, khoảng cách hai mặt phẳng song song ( P ) ( Q ) khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng 19 => Kết luận: Đưa tốn tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng e) f) g) Các dạng tốn góc a) Góc đường thẳng mặt phẳng * Định nghĩa: Góc đường thẳng mặt phẳng góc đường thẳng hình chiếu lên mặt phẳng * Cách làm: Có bước: + Bước 1: Tìm I =d ⋂ ( α ) + Bước 2: Từ A ∈ d , kẻ AH ⊥ ( α ) + Bước 3: Khi đó, góc đường thẳng d mặt phẳng ( α ) góc AI HI ^ ^ ^ ( d , ( α )) =( AI , HI )= AIH =φ(0 ° ≤ φ≤ 90 °) Ví dụ 17: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) Gọi H trung điểm AB SH =HC , SA= AB Tính góc SC ( ABCD ) Giải: 2 Ta có: AH =BH = AB= a , SA= AB=a Mặt khác, ∆ BHC vuông B có: HC= √ B H + B C = 2 a √5 a √5 Suy ra: SH=HC= 2 5a =H C Khi đó, ta có: S A + A H = 2 Suy ra: ∆ SAH vuông A ⇒ SA ⊥ AH Theo định lý 8, ta có: } ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ( SAB ) ⋂ ( ABCD ) =AB ⇒ SA ⊥ ( ABCD ) SA ⊂ ( SAB ) SA ⊥ AB Do đó: AC hình chiếu SC lên ( ABCD ) Suy ra: ^ ( SC , ( ABCD ) )=^ ( SC , AC )= ^ SCA Mặt khác: tan SCA= SA a √2 = = AC a √ 2 20 √ Vậy ( SC , ( ABCD ) )=arctan ^ 2 b) Góc mặt phẳng * Định nghĩa: Góc mặt phẳng góc đường thẳng thuộc mặt phẳng vng góc với tiếp tuyến mặt phẳng *Cách làm: Có bước: + Bước 1: Tìm Δ=( α ) ∩ ( β ) lấy O ∈ Δ + Bước 2: Lấy A ∈ ( α ) , B ∈ ( β ) dựng OA ⊥ Δ OB ⊥ Δ + Bước 3: Khi đó, góc mặt phẳng ( α ) ( β ) góc OA OB ^ ^ ^ ( ( α ) , ( β ) ) =( OA ,OB )= AOB=φ( 0° ≤ φ ≤ 90°) Ví dụ 18: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ’ B ’ C ’ D ’ có đáy hình vng ABCD cạnh a a để ( A ' BD ) ⊥ ( MBD ) b AA ’=b Gọi M trung điểm CC ’ Xác định tỷ số Giải: A' Gọi O tâm hình vng ABCD D' B' Dễ thấy A' B=A ' D ⇒ ∆ A ' BD cân A' Suy ra: A ' O⊥ BD O C' M b Tương tự: MO ⊥ BD O A B Mà AO=( A ' BD ) ⋂ ( MBD ) a D O C nên ^ ( ( A ' BD ) , ( MBD ) )=^ ( A ' O , MO )= ^ A ' OM Khi ( A ' BD ) ⊥ ( MBD ) ⇔ ( ( A BD ) , ( MBD ) )=90 ° ' ⇔^ A ' OM =90 ° ⇔ ∆ A ' OM vuông O ⇔ A ' O2 +O M 2= A ' M ' Dễ thấy: A O = 2 2 a a b 2 ' 2 b +b , O M = + , A M =2 a + 2 4 Do đó: A' O2+O M 2= A' M ⇔ 2 2 a b a b +b + + =2 a + 2 4 ⇔ a =b 21 ⇔ a=b a b Vậy =1 ( A ' BD ) ⊥ ( MBD ) Ví dụ 19 : Cho hình chóp có đáy Gọi trung điểm Giải Kẻ Mà Do hình chữ nhật, cạnh , tính cosin góc tạo hai mặt phẳng , Ta lại có: Vậy cosin góc hai mặt phẳng * Lưu ý: Trong số trường hợp, u cầu tính góc mặt phẳng, ta áp dụng cơng thức hình chiếu để tính: Gọi hình ( H ) có diện tích S, hình ( H ' ) hình chiếu hình ( H ) lên mặt phẳng ( α ) có diện tích S ' φ góc mặt phẳng chứa ( H ) mặt phẳng ( α ) Khi đó, ta có: S' =S cos φ Ví dụ 20: Cho hình hộp có đáy hình thoi cạnh a, góc Chân đường vng góc hạ từ xuống mặt phẳng trùng với giao điểm hai đường chéo đáy Cho , tính góc cạnh bên mặt đáy Giải Gọi Theo giả thiết ta có Hình chiếu 22 Xét có tam giác Trong tam giác vng : Vậy góc cạnh bên mặt phẳng đáy TÀI LIỆU THAM KHẢO Để hoàn thành tiểu luận này, chúng em có tham khảo số tài liệu: [1] Bài giảng mơn hình học sơ cấp giảng viên hướng dẫn môn học thầy Trần Nam Dũng [2] Nguyễn Anh Trường (2013), Tài liệu tổng ơn tập hình học khơng gian Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [3] Trần Văn Thương, Phạm Đình, Lê Văn Đỗ, Cao quang Đức (2001), phân loại phương pháp giải tốn hình học không gian Nhà xuất đại học quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh [4] Bài giảng ơn thi đại học hình học khơng gian giaoan.violet 23 BẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC: STT Họ tên MSSV Nhiệm vụ Phần trăm hoàn thành nhiệm vụ Trần Nguyễn Hồng Thương 1411299 Lý thuyết, vẽ hình tổng hợp 100% 1511111 Các phương pháp dạng toán thường gặp tính vng góc 100% 100% Vương Thị Hồng Nguyễn Thị Kim Anh 1511008 Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song với đường thẳng Huỳnh Thị Yến Nhi 1511211 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (hay đường thẳng) 100% 100% 100% Lù Ngọc Quỳnh Như 1511222 Khoảng cách mặt phẳng song song khoảng cách đường thẳng chéo Võ Thị Bích Oanh 1511228 Các dạng tốn góc 24 ... VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Các tốn quan hệ vng góc ln chủ đề quen thuộc khơng thể thiếu tốn hình học khơng gian có mặt kì thi nói chung thi Đại học, Cao đẳng nói... hoạt động dạy học, mặt khác học sinh gặp khó khăn việc chiếm lĩnh tri thức rèn luyện kỹ tương ứng Giải tập hình học không gian vấn đề không đơn giản nhiều học sinh Tuy vậy, tạo hội cho học sinh phát... Các dạng tốn chứng minh tính vng góc .6 a) Các định nghĩa tính vng góc b) Các định lý tính vng góc c) Liên hệ quan hệ song song quan hệ vuông góc đường thẳng mặt phẳng